Definicja 13.3 Jeśli w przestrzeni wprowadzono kartezjański układ współrzędnych to funkcja pola wektorowego R = R (M) jest równoważna zadaniu trzech funkcji skalarnych punktu M : P(M) , Q(M) , R(M), zatem :
R(M) = P(x, y, z) i + Q(x, y, z) j + R(x, y, z) k ( r = P i + Q j + P k ) (13.2) lub :
R(M) = Rx (x, y, z ) i + Ry (x, y, z ) j + Rz (x, y, z ) k (13.3) Definicja 13.4 Wektorową linią pola r nazywamy taką linię która w każdym swoim punkcie ma kierunek tego pola , tzn. wektor pola leży na stycznej do tej linii.
Niech pole wektorowe będzie określone równaniem (13.1), wtedy równanie różniczkowe linii wektorowych ma postać :
dx/ P = dy/ Q = dz/ R
Rotacja pola wektorowego.
Definicja 13.5 Polem rotacji ( wirowości ) lub, krótko rotacją pola wektorowego R(M) ( różniczkowalnego ), oznaczaną ”rot R(M)” ( po angielsku i rosyjsku rotacja bywa oznaczana jako „curl R(M)” ), nazywamy pole pseudowektorowe określone w układzie ortokartezjańskim Oxyz równością :
rot R = [ (∂R/∂y) – (∂Q/∂z)] i + [(∂P/∂z) – (∂R/∂x)] j + [(∂Q/∂x) – (∂P/∂y)] k lub :
rot R = [ (∂Rz /∂y) – (∂Ry /∂z)] i + [ (∂Rx /∂z) – (∂Rz /∂x)] j + [ (∂Ry /∂x) – (∂Rx /∂y)] k dla zapisu (13.2) Rotacje możemy zapisać również posługując się symbolem wyznacznika ( wyznacznika symbolicznego) o postaci : | i j k |
rot R = | ∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z | | Rx Ry Rz |
Operator rot jest operatorem liniowym tzn. jeżeli dane są dwa różniczkowalne pola wektorowe R1 i R2 to : rot ( R1+ R2 ) = rot R1 + rot R2
rot (kR ) = k rot R ; k – stała rzeczywista
Definicja 13.6 Jeśli w pewnym obszarze D w którym określone jest pole wektorowe R , mamy : rot R = 0
to pole wektorowe R nazywamy bezwirowym ( w tym obszarze).
Przykład 13.1 Znaleźć rotacje pola wektorowego : a = ( x + z ) i + ( y + z ) j + ( x2 + z) k.
Korzystając ze wzoru (6.1) mamy :
(∂Rz /∂y) – (∂Ry /∂z) = - 1 ; (∂Rx /∂z) – (∂Rz /∂x) = 1 – 2x ; (∂Ry /∂x) – (∂Rx /∂y) = 0 Zatem : rot a = − i + ( 1 – 2x) j
Posługując się operatorem nabla rotacje możemy zapisać symbolicznie w następujący sposób : rot ... = ∇× ...
tzn. rot R = ∇× R
Dla różniczkowalnego pola skalarnego φ i różniczkowalnego pola wektorowego R zachodzi tożsamość : rot ( φ R ) = ( grad φ) × R + φ rot R
Wykorzystując proste rachunki możemy dowieść następującego twierdzenia :
Twierdzenie 13.1 Pole potencjalne jest polem bezwirowym tzn. jeżeli R =grad φ to rot R = 0 Zatem : rot grad φ = 0
Twierdzenie 13.2 Jeżeli pole wektorowe R jest bezwirowe ( w pewnym obszarze lub globalnie ) to jest ono potencjalne ( posiada potencjał ) Czyli gdy : rot R = 0 to R = grad φ.
W fizyce najważniejszymi przykładami pól bezwirowych są pola grawitacyjne i elektryczne ( jak wiadomo oba te pola posiadają potencjały skalarne )
Interpretacja kinematyczna rotacji.
Niech ciało sztywne obraca się ze stałą prędkością kątową ω dokoła osi S , przechodzącej przez punkt O. Przez r oznaczmy wektor wodzący punktu M należącego do ciała sztywnego. Prędkość liniowa tego punktu będzie wynosiła v = ω × r. = const.
Jest to pewne pole prędkości tj. : v(M). Obliczmy rotacje tego pola. Mamy zatem :
r = x i + y j + z k ; ω = ωx i + ωy j + ωz k | i j k |
v = | ωx ωy ωz | = ( zωy - yωz ) i + ( xωz - zωx ) j + ( yωx - xωy ) k | x y z |
| i j k | rot v = | ∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z | = 2ω | (zωy - yωz ) (xωz - zωx ) (yωx – xωy) | Zatem : ω = ½ rot v.
Prędkość kątowa punktu poruszającego się ciała sztywnego jest równa połowie rotacji prędkości liniowej.
[ 15, str. 164 ]
Rys. 13.1 Interpretacja kinematyczna rotacji.
Przykład 13.2 Dane jest pole wektorowe : R = ( − 2xy − y2 , 2yz – 2xy , y2 − x2 ) Sprawdzić czy jest ono potencjalne a jeśli tak to znaleźć jego potencjał skalarny.
Warunkiem potencjalności jest : rot R = 0 , zatem obliczamy rotacje : rotx R = (∂Rz/∂y) - (∂Ry/∂z) = 2y – 2y = 0
roty R = (∂Rx/∂z) - (∂Rz/∂x) = - 2x – (-2x) = 0 rotz R = (∂Ry/∂x) - (∂Rx/∂y) = -2y – (-2y) = 0
Zatem : rot R = 0 , pole jest, więc potencjalne tzn. R = grad φ.
Potencjał skalarny pola wektorowego możemy wyznaczyć korzystając ze wzorów (6.1) poprzez odpowiednie całkowanie. Ogólny wzór jest następujący [ 15, str. 164 ] :
x y z
φ =
∫
Rx(x, y, z) dx +∫
Ry(x0, y, z) dy +∫
Rz(x0, y0, z) dz + C ∂ x0 y0 z0 Niech M0 = ( 0, 0, 0 )x y
φ =
∫
(-2xz - y2 ) dx +∫
2yz dy + C = z ( y2 − x2 ) − xy2 + C.0 0
XIV. Dywergencja pola wektorowego.
Definicja 14.1 Polem dywergencji ( rozbieżności ) lub krótko dywergencją różniczkowalnego pola wektorowego R(M) , oznaczaną jako „div R(M)”, nazywamy pole skalarne określone w układzie ortokartezjańskim Oxyz równością
div R = ( ∂Rx/∂x ) + (∂Ry/∂y ) + (∂Rz/∂z) lub div R = ( ∂P/∂x ) + (∂Q/∂y ) + (∂R/∂z)
Dywergencja pola wektorowego jest polem skalarnym , dywergencja pola pseudowektorowego jest polem pseudoskalarnym. Posługując się operatorem nabla , operator div możemy zapisać następująco :
div ... = ∇
·
...tzn. div R = ∇
·
Rdiv ( R1 + R2 ) = div R1 + div R2 div ( k R) = k div R ; k – stała
Dla różniczkowalnego pola skalarnego φ i różniczkowalnego pola wektorowego R zachodzi tożsamość : div ( φ R ) = ( grad φ)
·
R + φ div RDefinicja 14.2 Polem bezźródłowym nazywamy pole wektorowe R, którego dywergencja jest równa zeru tj. dla pola bezźródłowego : div R = 0
Twierdzenie 14.1 Jeżeli pole wektorowe klasy C1 jest rotacją pola wektorowego , to jego dywergencja jest równa zeru tj. : div rot R = 0
W dalszej kolejności potrzebny nam będzie następny ( po operatorze nabla ) operator różniczkowy.
Definicja 14.3 Laplasjanem pola skalarnego φ ( klasy co najmniej C1 ) oznaczanym ∇2 lub ∆ , nazywamy funkcje określoną w układzie ortokartezjańskim Oxyz równością :
∇2 φ ≡ ∆ φ : = ( ∂2φ/∂x2 ) + ( ∂2φ/∂y2 ) + ( ∂2φ/∂z2 )
Operator ∇2 – nazywamy operatorem Laplace’a ( laplasjanem ) , symbolicznie możemy go zapisać w postaci :
∇2 = ( ∂2/∂x2 ) + ( ∂2/∂y2 ) + ( ∂2/∂z2 ) i oczywiście mamy :
∇2 = ∇
·
∇Definicja 14.3 mówi o polu skalarnym , jednak operator Laplace’a możemy stosować zarówno do pól skalarnych jaki i wektorowych.
Twierdzenie 14.2 Dywergencja różniczkowalnego pola skalarnego jest równa laplasjanowi potencjału tj. :
∇2 φ ≡ ∆ φ ≡ ∇
·
∇φ ≡ div grad φ = ( ∂2φ/∂x2 ) + ( ∂2φ/∂y2 ) + ( ∂2φ/∂z2 ) Można dowieść następujących tożsamości :∆ R = grad div R − rot rot R rot rot R = grad div R - ∆R rot grad φ = ∇ × ∇φ = 0 div rot R = ∇
·
( ∇× R ) = 0Definicja 14.4 Polem solenoidalnym ( polem o potencjale wektorowym )w obszarze D nazywamy pole wektorowe , będące w tym obszarze rotacją pewnego pola wektorowego, przy czym to pole wektorowe nazywamy „potencjałem wektorowym pola solenoidalnego”.
Pole solenoidalne klasy C1 jest polem bezźródłowym. Zachodzi również zależność odwrotna, jeżeli pole wektorowe klasy C1 jest bezźródłowe , to w otoczeniu ustalonego punktu P jest ono solenoidalne. Potencjał wektorowy pola solenoidalnego R jest określony z dokładnością do gradientu dowolnej funkcji skalarnej.
XV. Linie pola wektorowego, rurka wektorowa.
Definicja 15.1 Linią pola wektorowego A nazywamy taką krzywą L, na której w każdym punkcie M ∈ L, styczna ma kierunek wektora A(M)
Gdy wektor A(M) jest różny od zera a funkcje Ax , Ay , Az mają ciągłe pochodne w punkcie M , to przez każdy punkt M przechodzi określona linia pola. Gdy poprowadzimy wszystkie linie pola wektorowego przechodzące przez punkty pewnego elementu powierzchni S, to ich zespół będzie tworzył „rurkę wektorową”.
Rys. 15.1 Linia pola wektorowego i rurka wektorowa.
XVI. Podsumowanie części B.
Rozpatrzyliśmy trzy operacje różniczkowe pierwszego rzędu wykonywane na polach skalarnym φ : grad φ - przeprowadzającym pole skalarne w pole wektorowe,
i polu wektorowym a : div a , rot a
- przeprowadzającym odpowiednio pole wektorowe w pole skalarne i wektorowe. Z tych trzech operacji możemy złożyć ( sensownie , ponieważ nie ma sensu np. operacja grad grad φ) pięć operacji drugiego rzędu :
div grad φ = ∆ φ ; rot grad φ = 0 ; grad div a ; div rot a = 0 ; rot rot a = grad div a - ∆ a.
gdzie jak pokazano : ∆ φ = ( ∂2φ/∂x2 ) + ( ∂2φ/∂y2 ) + ( ∂2φ/∂z2 ) ∆ a = ( ∂2a/∂x2 ) + ( ∂2a/∂y2 ) + ( ∂2a/∂z2 )
jest operatorem Laplace’a. Operator ten działa prawostronnie tj. sensowne jest wyrażenie : ∇
·
φ a bezsensowne jest wyrażenie : φ·
∇ . Należy jednak uważać ponieważ przy wyrażeniach postaci : ∇·
a , zapis a·
∇ posiadanastępujący sens : P ∂/∂x + Q ∂/∂y +R ∂/∂z. W wielu podręcznikach możemy spotkać się z zapisem iloczynu skalarnego w postaci ( . , . ) - gdzie na miejsce kropek wstawiamy wektory , przykładowo : ( a , b ) oznacza nasz
Przykład 16.4 Prawa elektrodynamiki klasycznej ( równania Maxwella ) w przypadku jednorodnego i izotropowego środowiska nieprzewodzącego , przy braku ładunków i prądów możemy zapisać następująco :
(ε/c) ∂E/∂t = [ ∇, H ] - (µ/c) ∂H/∂t = [ ∇, E ] ( ∇, E ) = 0
(∇, H ) = 0
Gdzie : E – pole wektorowe natężenia pola elektrycznego , H – pole wektorowe natężenia pola magnetycznego , ε, µ – stałe przenikalności elektrycznej i magnetycznej ośrodka ( dla naszego przypadku ε , µ = const. ), c – prędkość światła w próżni.
a to jest nic innego jak równanie falowe postaci :
E = 0 ; - jest operatorem D’Alemberta i = ∂2 / ∂t2 - ∆
Podobne równanie otrzymujemy dla pola wektorowego H.
∂2 H/∂t2 - (c2/µε) ∆ H = 0 [ 24, str. 116 ]
Bardzo ważnymi równaniami w fizyce są równania :
Definicja 7.1 Funkcją harmoniczną φ ,w obszarze D nazywamy funkcje φ klasy C2 spełniającą w tym obszarze równanie Laplace’a tj. ∆ φ(x, y ,z) = 0 ; x, y, z ∈ D