Przykład 2.1 Współrzędne sferyczne na płaszczyźnie.
Rozważmy sferyczny układ współrzędnych : x1 = r cos(φ) , x1 = r sin(φ) , r ≥ 0
Jak można się przekonać pary ( r, φ ) i ( r, φ + 2π ) przy k∈Z przedstawiają ten sam punkt.
Z tego powodu współrzędne sferyczne nie zadają współrzędnych regularnych na całej płaszczyźnie E2.
Aby sprawić, że współrzędne sferyczne będą regularne musimy nałożyć warunek : 0 < φ < 2π.
Macierz Jakobiego odwzorowania ( r, φ ) → ( x1, x2 ) ma postać : ( ∂x1/∂r ∂x1/∂φ ) = ( cos(φ) – r sin(φ) )
( ∂x2/∂r ∂x2/∂φ ) ( sin(φ) r cos(φ) ) Jakobian jest równy :
J = r ≥ 0, oczywiście J = 0 dla r = 0 ( prosta r = 0 jest osobliwa dla danej transformacji )
Dlatego w obszarze r > 0 , 0 < φ < 2π tj. obszar En z którego wycięto półpłaszczyznę x1 ≥ 0 i punkt x2 = 0, współrzędne r, φ określone są jednoznacznie i nie mają punktów osobliwych.
Na rysunku 2.5 pokazano graficzny sposób jednoznacznej transformacji z płaszczyzny (r, φ) na płaszczyznę (x1,x2 ) To, że prosta r = 0 jest osobliwa dla danej transformacji widać już choćby z tego, że prosta ta odwzorowuje się w punkt na płaszczyźnie (x1,x2 ). Transformacja ( x1, x2 ) → ( r, φ ) ma postać :
r = sqrt[ (x1)2 + (x2 )2 ] ; φ = arctg(x1/x2 )
Widać więc, że należy wykluczyć punkt x2 = 0, i obszar x1 ≥ 0
Rys. 2.5
W przestrzeni En wzory transformacyjne dla współrzędnych sferycznych określonych w takiej przestrzeni mają postać :
Jak już wiemy w przestrzeni trójwymiarowej powyższe wzory mają postać :
x1 = r sin (θ)cos (ϕ) , x2 = r sin (θ)sin (ϕ) , x1 = r cos (θ) ; 0 < θ < π , 0 < φ < 2π , r ≥ 0 Jakobian tego przekształcenia ma postać :
J = r2 sin(θ )
Odpowiednie obszary zmienności współrzędnych przedstawia rysunek 2.6
III. Izometrie przestrzeni euklidesowych.
Obecnie rozpatrzymy dokładniej pojecie przekształceń izometrycznych dla trójwymiarowych przestrzeni afinicznych. Przypadek ten ma szczególne znaczenie dla mechaniki klasycznej. Przekształcenia izometryczne w przestrzeni Euklidesa są niekiedy nazywane ruchami.
Niech będą dane dwa ortokartezjańskie układy współrzędnych w trójwymiarowej przestrzeni Euklidesa : U {O , e1, ... , en }
U’{O’ , e’1, ... , e’n }
Rozpatrzymy możliwe transformacje nie zmieniające metryki między tymi układami.
Niech w układzie U dany punkt p ma współrzędne (x, y, z)
Ogólna postać transformacji współrzędnych tego punktu do układu U’ ma postać : x’ = a11 x + a12 y + a13 z + b1.
y’ = a21 x + a22 y + a23 z + b2.
z’ = a31 x + a32 y + a33 z + b3.
lub w zapisie macierzowym :
X’ = A X + B (3.1) gdzie : X’ – jest macierzą współrzędnych x’ ; X – macierzą współrzędnych x , A – macierzą współczynników, B – jest macierzą wyrazów wolnych b.
Można dowieść, że macierz A jest macierzą nieosobliwą i det A = ±1. Macierz A jest to macierzą ortogonalną , zatem : AT A = 1 , gdzie : AT – jest macierzą A - transponowaną.
Gdy układy U, U’ – maja orientacje zgodną, to det A = 1, gdy zaś ich orientacja jest niezgodna, to det A = −1.
Do elementarnych przekształceń izometrycznycznych zaliczamy : translacje tj. przesunięcia o stały wektor, oraz obroty (o zadany kąt dokoła pewnej ustalonej osi ), przypadkiem szczególnym obrotów jest ruch zwany „odbiciem zwierciadlanym” (inwersją ).
Można pokazać, że izometrie tworzą grupę. ( struktura grupowa zostanie omówiona w jednym z kolejnych rozdziałów )
Rys.3.1 Ogólne przekształcenie izometryczne (transformacja) układów współrzędnych – prostokątnych.
Ponieważ macierz przejścia A, między układami U i U’ jest macierzą nieosobliwą istnieje transformacja odwrotna ; X = AT X’ + B
Przejdźmy teraz do kolejnego omówienia szczególnych postaci izometrii.
Translacje możemy zapisać w postaci równania macierzowego : X’ = X + B
Obrót dla przypadku kiedy środki układów U i U’ pokrywają się, możemy zapisać w postaci równania : X = AX
Jak wiadomo macierz (w szczególnym przypadku ) A na płaszczyźnie ma postać : A = ( cos(ϕ) , sin(ϕ) ) ; gdzie ϕ - jest kątem obrotu
( -sin(ϕ) , cos(ϕ) ) lub :
A = ( cos(ϕ) , sin(ϕ) ) ( sin(ϕ) , -cos(ϕ) )
Az = ( cos(ϕ) sin(ϕ) 0 )
( sin(ϕ) -cos(ϕ) 0 ) ; det A = 1 ( 0 0 1 )
Obrót wokół osi Ox : Ax = ( 1 0 0 ) ( 0 cos(ϕ) -sin (ϕ) ) ( 0 sin(ϕ) cos(ϕ) ) Obrót wokół osi Oy : Ay = ( cos(ϕ) 0 sin(ϕ) ) ( 0 1 0 ) ( -sin(ϕ) 0 cos(ϕ) )
W ogólnym przypadku obrotu wokół dowolnej osi nie pokrywającej się z żadną osią układu współrzędnych macierz A będzie odpowiednim iloczynem macierzy Ax , Ay , Az.
W szczególnym przypadku kiedy ϕ = 0 mamy oczywiście A = I, gdzie I – jest macierzą jednostkową.
W przypadku ϕ = π/2 mamy symetrię względem początku układu współrzędnych
W literaturze spotyka się dwie różne interpretacje obrotów – interpretację czynną i interpretację bierną.
Według interpretacji czynnej pod wpływem operatora obrotu A, płaszczyzna (X,Y) – w przypadku dwuwymiarowym albo przestrzeń (X, Y, Z ) – w przypadku trójwymiarowym, ze wszystkimi punktami znajdującymi się na niej obraca się wokół pewnej osi – zwanej osią obrotu, o kat ϕ. A układ współrzędnych pozostaje bez zmian. W interpretacji biernej płaszczyzna (X, Y) wraz ze wszystkimi punktami pozostaje
nieruchoma, a obraca się układ współrzędnych o kąt -ϕ. Obie te interpretacje są równoprawne, a konkretny wybór jednej z nich jest podyktowany jedynie względami prostoty rachunkowymi.
Jak wiadomo macierze ortogonalne w przestrzeni n- wymiarowej obrazują grupę oznaczaną jako : O(n). Macierze których det A = 1tworza podgrupę SO(n) grupy O(n). Jest to grupa spójna.
To oznacza, że jeżeli A0 i A1 – to dwie macierze obrotu, należące do grupy SO(n), to w SO(n) możemy znaleźć krzywą A(t) ; 0 ≤ t ≤ 1 (tj. ciągły zbiór macierzy o wyznaczniku równym 1 ) taką, że A0 = A(0) , A1= A(1).
Twierdzenie 3.1 Dowolna izometria o wzorze postaci (3.1) , w której det A = - 1,jest superpozycją : odbicia , translacji i obrotu.
Twierdzenie 3.2 Dowolna izometria o wzorze postaci (3.1) , w której det A = + 1,jest superpozycją : translacji i obrotu.
Rys. 3,2 Obrót układu współrzędnych na płaszczyźnie.
Grupa S0(3) jest podstawą modelu matematycznego zbiorów wszystkich możliwych obrotów ciała sztywnego.
Jest ona zatem przestrzenią konfiguracyjną ciała sztywnego o jednym punkcie stałym – środek obrotu.
Przekształcenie izometryczne (3.1) może zostać przedstawione w reprezentacji kwaterionowej.
Niech będzie dany dowolny kwaterion postaci : Λ = λ0 + λ1e1 + λ2e2 + λ3e3 = λ0 + λλλλ
gdzie : λi - współrzędne kwaterionu, ek – baza. i = 0 ... 3 ; k = 1... 3 ; e0 = 1.
W poprzednich rozdziałach wprowadziliśmy dwie struktury – metryczną i algebraiczną. Ich połączenie dało nam bogatą strukturę matematyczną zwaną przestrzenią Euklidesa. Obecnie zajmiemy się badaniem przestrzeni Euklidesa wykorzystując jej własności analityczne głownie jej różniczkowalność ( poglądowo jej gładkość )
Geometria różniczkowa zajmuje się badaniem własności krzywych i powierzchni w pewnej określonej przestrzeni geometrycznej (najczęściej jest to przestrzeń Euklidesa, ale może być to przestrzeń ogólniejsza np. Riemanna).
Podobnie jak geometria analityczna geometria różniczkowa posługuje się metodą współrzędnych, ale podczas gdy w tej pierwszej używa się przy badaniu obiektów geometrycznych niemal wyłącznie aparatu algebraicznego (głównie algebry wektorów ), w geometrii różniczkowej stosujemy aparat rachunku różniczkowego i całkowego. Jednym z podstawowych zadań leżących w obszarze badań geometrii różniczkowej jest badanie własności niezależnych od przyjmowanego układu współrzędnych tj. tzw. niezmienników krzywych i powierzchni (zwanych własnościami wewnętrznymi obiektu geometrycznego).
Jeśli chodzi o zastosowania fizyczne geometrii różniczkowej (dokładnie zobacz punkt 6) to znalazła ona zastosowanie w kinematyce tj. dziale mechaniki teoretycznej (klasycznej) zajmującej się opisem ruchu.
Fizyczne pojęcie toru punktu materialnego odpowiada matematycznemu pojęciu krzywej w przestrzeni. Czas (jako pojęcie fizyczne) pełni rolę parametru – zmiennej niezależnej. Wszystkie matematyczne wnioski dotyczące opisu ruchu (takie jak : prędkość , przyspieszenie ) w raz z ich wektorowym charakterem można przenieść bezpośrednio na ruch fizyczny. Należy oczywiście mieć na uwadze konkretną przestrzeń matematyczną w jakiej modeluje się procesy fizyczne – zazwyczaj jest to trójwymiarowa przestrzeń Euklidesowa. Mechanikę klasyczna można wyrazić (czasami bardziej elegancko) również na innych przestrzeniach np. symplektycznej - fazowej.
Znajomość geometrii różniczkowej jest również konieczna dla zrozumienia podstawowych idei ogólnej teorii względności.
Teoria Krzywych
I. Krzywa na płaszczyźnie i w przestrzeni
Pojęcie „krzywej” (linii krzywej, szczególnym przypadkiem której jest linia prosta) należy do podstawowych i najprostszych terminów stosowanych w geometrii różniczkowej. Równanie linii prostej wprowadza się zazwyczaj na kursie geometrii analitycznej ( lub po prostu geometrii) określając jej równanie w układzie kartezjańskim
wprowadzonym na trójwymiarowej przestrzeni Euklidesa E3. Są to równania o popularnej analitycznej postaci : y = ax + b (zadane na płaszczyźnie OXY – prostokątnego układu kartezjańskiego ) ; gdzie a, b – są pewnymi (niezerowymi współczynnikami ).
Krzywą możemy zadawać (określać) na wiele sposobów, jednym z nich (bardzo wygodnym ) jest określenie krzywej w postaci parametrycznej.
Definicja 1.1 Zbiór L punktów M(x, y) gdzie współrzędne x, y określone są poprzez funkcje (zależności) o postaci : x = φ(t ) ; y = ψ(t ) ; t ∈ <A, B> ( parametr rzeczywisty )
nazywamy krzywą płaską.