Między liczbami zespolonymi α + iβ i macierzami skośnie symetrycznymi [ α , β ]
[ -β, α ]
zachodzi izomorfizm. Polega on na tym, że równości, dodawaniu i mnożeniu liczb zespolonych odpowiadają wzajemnie jednoznacznie – równość, dodawanie i mnożenie takich macierzy.
Przykładowo, równości liczb zespolonych α + iβ = γ + iδ odpowiada równość macierzy : [ α , β ] = [ γ , δ ]
możemy zatem traktować jako macierzową reprezentacje liczby zespolonej. [4 str. 229 ]
3. Podstawowe działania algebraiczne wykonywane na macierzach.
Samo zdefiniowanie macierzy w postaci odpowiedniej tablicy np. liczb jest niewystarczające. Pełna definicja macierzy powinna zawierać określenie dozwolonych działań, którym taka tablica musi podlegać w sposób
jednoznaczny, tj. powinniśmy określić algebrę w zbiorze macierzy. Formalnie macierz jest, więc „tablicą” ( zbiorem tablic ) spełniającą zasady określonej algebry.
( Uwaga. w dalszej kolejności, jeśli nie napisano inaczej, poprzez zapis typu : A, B, C, ... rozumiemy macierze postaci [ aij ]mn , [ bij ]rp , przy czym standardowo zakładać będziemy, że są to macierze o jednakowych wymiarach tj. mn = rp. )
Definicja 3.2 Nierówności macierzowe. Nierówności zachodzące dla dwóch lub więcej macierzy A, B postaci : A < B , A ≤ B , A ≥ C ,....
oznaczają, że odpowiednie ich elementy spełniają takie nierówności tj. odpowiednio : aij < bij , aij ≤ bij , aij ≥ cij , ....
Definicja 3.3 Dodawanie i odejmowanie macierzy. Sumą ( lub odpowiednio różnicą ) dwóch macierzy A, B ( o jednakowych wymiarach ) nazywamy macierz C , której elementy są sumą ( różnicą ) odpowiednich elementów macierzy A i B :
C = A ± B ⇔ aij ± bij Oczywiście:
A + B = B + A
A + ( B + C ) = ( A + B ) + C
A + 0 = A ( macierz zerowa jest elementem neutralnym dodawania )
Definicja 3.4 mnożenie macierzy przez skalar. Iloczynem macierzy A przez dowolny skalar λ nazywamy macierz B : B = λA = Aλ ⇒ bij = λ aij
A + A = 2A ogólnie A + A + .... + A = λA --- λ ---
Definicja 3.5 Iloczyn dwóch macierzy. Niech będą dane dwie macierze : A = [ aij ]mn , B = [ bij ]pq
Gdy ilość kolumn n macierzy A jest równa ilości wierszy p, macierzy B tj. n = p, to mówimy, że macierze A i B są zgodne. Relacja ta nie jest przemienne tzn. jeżeli macierze A i B są zgodne to nie pociąga to zgodności macierzy B i A.
to możemy określić macierz C typu ( m, q ) nazywaną iloczynem macierzy zgodnych A i B.
Macierz C = AB =[ c11, c12 , c13 , … ,c1q ]
Uwaga. Dla macierzy niezgodnych iloczyn AB jest nieokreślony tj. możemy mnożyć tylko macierze zgodne.
Zatem aby wyznaczyć iloczyn dwóch macierzy A = [ aij ]mn , B = [ bij ]pq najpierw sprawdzamy, czy są one zgodne tj. sprawdzamy czy n = p, jeśli tak to, macierz będąca ich iloczynem będzie miała typ ( m q ), a jej element leżący w i-tym wierszu oraz k-tej kolumnie będzie suma iloczynów elementów i-tego wiersza macierzy A i odpowiadających im elementów k-tej kolumny macierzy B. ( jest to po prostu iloczyn skalarny i-tego wiersza macierzy A i k-tej kolumny macierzy B ).
Dla iloczynu macierzy mamy następujący schemat :
Przykład 3.1 Niech będą dane dwie macierze ( zgodne ) : A = [ a1, a2 , a3 ] X = [ x1, y1 ]
Dla macierzy ( również zgodnych ) o postaci : A = [ a1, a2 , a3 ] X = [ x1, y1 , z1 ]
Należy zauważyć, że iloczyn XA w pierwszym przypadku jest również określony, gdyż liczba kolumn macierzy X jest równa liczbie wierszy macierzy A.
C = XA = [ x1a1 + y1b1, x1a2 + y1b2 , x1a3 + y1b3 ] [ x2a1 + y2b1, x2a2 + y2b2 , x2a3 + y2b3 ] [ x3a1 + y3b1, x3a2 + y3b2 , x3a3 + y3b3 ] Jest to macierz 3 × 3 i od razu widać, że AX ≠ XA.
W drugim przypadku iloczyn XA jest nieokreślony, gdyż liczba kolumn macierzy X nie jest równa ilości wierszy macierzy A.
W przypadku ogólnym mnożenie macierzy nie jest przemienne tzn. AX ≠ XA, równość AX = XA może zachodzić w przypadku szczególnym. W związku z tym faktem musimy rozróżniać mnożenie prawostronne i lewostronne tj.
C = AX i C = XA - mówimy odpowiednio, że macierz A mnożymy prawostronnie ( lub lewostronnie ) przez macierz X.
Definicja 3.6 Dwie macierze zgodne A i B nazywamy macierzami zgodnymi (przemiennymi), wtedy gdy : AB = BA
Można dowieść, że macierze skalarne typu n × n są przemienne z dowolnymi macierzami kwadratowymi typu n × n, w szczególności :
1A = A1 tj. macierz jednostkowa jest przemienna z dowolną macierzą zgodną.
Nie jest natomiast w ogólności przemienne mnożenie dowolnej macierzy kwadratowej z macierzą diagonalną.
Uwaga. W związku z faktem nieprzemienności iloczynu macierzy wprowadza się pojęcie komutatora dwóch macierzy [ A , B ] = AB − BA, oczywiście dla macierzy przemiennych ich komutator jest równy zeru.
Zdefiniowana powyżej reguła mnożenia macierzy wynika z pewnych ich własności i zastosowań ( np. w teorii przekształceń i równań liniowych ). Możliwa jest jednak inna definicja. Przykładowo, zamiast iloczynu skalarnego wiersza pierwszej macierzy przez pierwszą kolumnę drugiej macierzy, możemy wziąć iloczyn pierwszego wiersza przez pierwszy wiersz lub pierwszej kolumny przez pierwszą kolumnę, jednakże tak zdefiniowany iloczyn wyprowadza nas poza obszar klasycznego rachunku macierzowego. Z przykładem uogólnionych iloczynów macierzowych możemy zapoznać się w książce Tadeusza Banachiewicza pt. „Rachunek krakowianowy”. Macierze które omawiamy w niniejszym tekście tj. macierze których iloczyn jest taki jak zdefiniowano powyżej, nazywane są macierzami Cayleya.
Przykład 3.2 Można sprawdzić, że iloczynem macierzy A przez macierz B dla : A = [ 1 , -2 , 0 ] ; B = [ -2, 1, 0 ]
Z definicji sumy i iloczynu macierzy wynikają następujące własności :
A (BC) = (AB )C tj. mnożenie macierzy jest łączne ( oczywiście zakładamy przy tym , że odpowiednie macierze są zgodne )
λ (AB ) = (λA)B
( A ± B )C = AC ± BC tj. Mnożenie macierzy jest rozdzielne względem dodawania i odejmowania C(A ± B ) = CA ± CB
A + 0 = A tj. macierz zerowa jest elementem neutralnym dodawania
0A = A0 = 0 ( oczywiście przyjmujemy, ze macierz zerowa ma odpowiedni typ )
Dla macierzy nie zachodzi prawo alternatywy dla iloczynu zerowego, tzn. z tego, że iloczyn macierzy jest równy zeru, nie wynika, że przynajmniej jedna z tych macierzy była zerowa. Mało tego, z równości AB = 0 nie wynika BA = 0
Aby wyznaczyć iloczyn A(β)A(α) wystarczy w iloczynie A(α)A(β) dokonać zamiany α ↔ β, wtedy można się przekonać, że A(α) A(β) = A(β)A(α)
Można dowieść następującego twierdzenia :
Twierdzenie 3.1 Zbiór wszystkich macierzy stopnia ( m, n ), oznaczmy go jako M( m, n) z dodawaniem i mnożeniem przez skalar należący do ciała liczb rzeczywistych lub zespolonych ( zgodnych z wprowadzonymi powyżej własnościami ) tj. czwórka ( M, + , • , K ), tworzy mn-wymiarową przestrzeń wektorową.
Transpozycja macierzy.
Definicja 3.7 Macierzą transponowana do macierzy A = [ aij ]mn , nazywamy macierz o wymiarze ( n, m) otrzymana z macierzy A w wyniku zamiany wierszy na kolumny tzn.
AT = [ ajiT ]nm
Macierz transponowana AT do macierzy A danej :
A = [ a11, a12 , a13 , … , a1n ] [ a21, a22 , a23 , … , a2n ]
[ ... ] [ am1, am2 , am3 , … ,amn ]
ma postać :
AT = [ a11 , a21 , a31 , … , am1 ] [ a12 , a22 , a32 , … , am2 ]
[ ... ] [ a1n, a2n , a3n , … , amn ]
W szczególnym przypadku, macierz transponowana do macierzy wierszowej : A = [ a1, a2 , a3 , … , an ]
Jest macierzą kolumnową : AT = [ a1 ]
[ a2 ] [ ... ] [ an ] i odwrotnie.
Działanie polegające na wyznaczeniu macierzy transponowanej AT nazywamy transpozycją macierzy.
Zachodzą następujące zależności : ( A + B )T = AT + BT
( AT )T = A ( λA)T λAT (AB )T = BTAT
Definicja 3.8 Jeżeli A jest macierzą kwadratową, dla której zachodzi : A = AT to macierz A nazywamy macierzą symetryczną. Oczywiście warunek (2.4) jest zatem równoważny warunkowi A = AT
Można wspomnieć, że macierze symetryczne odgrywają bardzo ważną rolę w zastosowaniu rachunku macierzowego do rozwiązywania wielu problemów technicznych.
Definicja 3.9 Jeżeli A jest macierzą kwadratową, dla której zachodzi : A = − AT to macierz A nazywamy macierzą antysymetryczną. Oczywiście warunek (2.5) jest zatem równoważny warunkowi A = −AT
Twierdzenie 3.1 Jeżeli A jest macierzą kwadratową, to macierz : A + AT jest macierzą symetryczną, a macierz :
A − AT jest macierzą antysymetryczną.
Można również pokazać, że iloczyn : AAT lub ATA jest macierzą symetryczną Jednakże , ogólnie AAT ≠ ATA
Macierze ( rzeczywiste ) dla których spełniona jest równość AAT = ATA nazywamy macierzami normalnymi.
Twierdzenie 3.2 Jeżeli macierze A i C są nieosobliwymi ( definicja macierzy osobliwej będzie podana później ) macierzami stopnia n i macierz A jest macierzą symetryczną, to macierz :
B = CTAC
jest również macierzą symetryczną.
W tym przypadku zachodzi również : BT = CTAC
Macierze A i B związane taką zależnością nazywamy macierzami kongruentnymi.
Potęgowanie macierzy.
Niech będzie dana macierz kwadratowa A potęgę tej macierzy ( o wykładniku naturalnym ) możemy zdefiniować następująco :
Definicja 3.10 Macierz A nazywamy macierzą nilpotentną, jeżeli istnieje liczba naturalna n, taka, że An = 0, ale An-1 ≠ 0. Liczbę n nazywamy indeksem nilpotentności.
Definicja 3.11 Macierz A nazywamy macierzą idempotentną , jeżeli spełnia ona warunek A2 = A.
Przykład 3.4 Macierz : A = [ 0, 1, 0 ]
[ 0, 0, 1 ] [ 0, 0, 0 ]
jest macierzą nilpotentną o indeksie 3, ponieważ A3 = 0.
Macierz :
Macierzą sprzężoną A- z daną macierzą zespoloną A = [ aij ] ,o wymiarze ( m, n ) nazywamy macierz o wymiarze (m, n ) powstałą w wyniku zastąpienia elementów aij elementami aij- tj. elementami sprzężonymi.
Operacja sprzężenia macierzy jest operacją symetryczną, tzn. że jeżeli macierz A jest sprzężona z macierzą B, to macierz B jest sprzężona z macierzą A.
Własności operacji sprzężenia :
(A- )- = A ( dwukrotne zastosowanie do danej macierzy operacji sprzężenia prowadzi do tej samej macierzy ) ( A + B )- = A- + B- ( sprzężenie sumy macierzy jest równe sumie macierzy sprzężonych )
( λ A )- = λ- A- , λ – dowolna liczba zespolona
( AT )- = A- T ( sprzężenie macierzy transponowanej jest równe macierzy sprzężone transponowanej ) ( A-1 )- = A- -1 ( sprzężenie macierzy odwrotnej, jest równe odwrotności macierzy sprzężonej )
Macierz jest macierzą rzeczywistą, jeśli jest identyczna z macierzą z nią sprzężoną tzn. jeżeli A- = A czyli aij- = aij
Transponowaną macierz sprzężoną z macierzą A tj. macierz ( AT )- oznaczymy jako A†.
A† = ( AT )- = ( A- )T
Przykład 3.5 Niech będzie dana macierz A = [ 1 , i ] [ 1+ i , 2 ] Macierz A† ma postać : [ 1 , 1 – i ]
[ -i , 2 ]
Definicja 3.12 Macierz A nazywamy macierzą hermitowską lub samosprzężoną, jeśli jest identyczna z transponowaną macierzą z nią sprzężoną tzn. gdy :
A = A†
Wtedy to : aij = aji-
Macierz hermitowska jest oczywiście macierzą kwadratową, jej elementy na przekątnej głównej są rzeczywiste.
Macierz hermitowska i jednocześnie rzeczywista jest macierzą rzeczywistą symetryczną.
Bardzo często operacje transponowania, a następnie sprężania macierzy nazywamy sprzężeniem hermitowskim.
Własności operacji sprzężenia hermitowskiego :
det A† = det A- ( pojęcie wyznacznika zostanie wprowadzone w dalszym punkcie )
Uwaga. W literaturze spotyka się często inny sposób oznaczania macierzy transponowanej i sprzężonej.
Zamiast AT stosuje się A~ , zamiast A- stosuje się A*.
Definicja 3.13 Macierz A nazywamy macierzą skośnie hermitowską lub antyhermitowską, jeżeli jest ona przeciwna do transponowanej macierzy z nią sprzężonej tzn. gdy :
A = − A†
aij = − aji-
Macierz antyhermitowska jest oczywiście macierzą kwadratową, jej elementy na przekątnej głównej są czysto urojone albo są równe zeru. Macierz antyhermitowska i jednocześnie rzeczywista jest rzeczywista macierzą antysymetryczną.
Definicja 3.14 Macierz A nazywamy macierzą unitarną, jeżeli odwrotna do niej macierz jest identyczna z transponowaną macierzą z nią sprzężoną , tzn. gdy :
A-1 = A† lub równoważnie A†A = AA† = E Wtedy to :
n
ΣΣΣΣ
aij akj- = δik j=1Macierz unitarna jest, oczywiście macierzą kwadratową nieosobliwą. Macierz unitarna i jednocześnie rzeczywista, jest rzeczywistą macierzą ortogonalną. ( definicja macierzy ortogonalnej zostanie podana w dalszym punkcie )
Twierdzenie 3.3 Zbiór wszystkich macierzy unitarnych tego samego stopnia tworzy grupę względem mnożenia macierzy. Grupę tą oznaczamy symbolem U(n) , n- stopień macierzy unitarnych.
Twierdzenie 3.4 Jeżeli macierz A jest macierzą unitarną, to macierze AT, A-1 również są macierzami unitarnymi.
4. Podział (dekompozycja ) macierzy na macierze blokowe.
W wielu przypadkach, szczególnie wtedy gdy macierz ma duży wymiar lub posiada pewne szczególne cechy, dogodnie jest podzielić ją za pomocą poziomych i pionowych linii na macierze o mniejszych wymiarach tj. na tzw.
bloki lub klatki. Procedurę podziału macierzy wejściowej na odpowiednie bloki nazywamy dekompozycją macierzy.
Przykładowo niech dana będzie macierz o postaci :
Zatem macierz A możemy teraz zapisać w postaci macierzy blokowej : A = [ P , Q ]
[ R , S ]
Oczywiście w zależności od konkretnych potrzeb taki podział może być różny.
Szczególnego rodzaju macierzą blokową jest macierz quasidiagonalne. Rozważmy mianowicie macierz o postaci [ a11, a12 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ]
Jest to przykład macierzy quasiprzekątnej. Macierz taką możemy przedstawić w postaci klatkowej, stosując następującą dekompozycję :
Przykład 4.1 Macierz quasidiagonalna może mieć postać taką :
[ a11, a12 , 0 , 0 , 0 ] [ a21, a22 , 0 , 0 , 0 ]
[ 0 , 0 , β , 0 , 0 ] = diag ( A1 , β , A2 )
gdzie :
A1 = [ a11 , a12 ] A2 = [ a44 , a45 ] [ a12 , a22 ] [ a54 , a55 ]