Rozdział VI.
Przestrzeń Euklidesa.
I. Przestrzeń Euklidesa.
Jedną z najważniejszych przestrzeni wykorzystywanych w fizyce jest przestrzeń Euklidesa.
Przestrzeń Euklidesa jest po pierwsze przestrzenią metryczną, a po drugie ma strukturę przestrzeni liniowej
( wektorowej ). Obie te struktury są zgodne. W szczególności metryka może zostać wprowadzona z wykorzystaniem pojęcia iloczynu skalarnego. Łatwo można pokazać, że długość wektora x określona wzorem :
sqrt[ ( x , x ) ]
Co jest zgodne ze wzorem na metrykę Euklidesa ( wzór (3.1)) :
ρ(p, q ) = sqrt[ ( p1– q1)2 + ( p2 – q2 )2 + ... + ( pn – qn )2 ] Zatem metryka indukowana jest przez pewną formę biliniową określoną na przestrzeni liniowej.
Konsekwencją istnienia struktury liniowej jest możliwość wprowadzenia bazy afinicznej : U {O , e1, ... , en }
tj. układu złożonego z punktu wyróżnionego O ( środka układu odniesienia ) i bazy wersorów rozpinających daną przestrzeń liniową e1, ... , en.
Definicja 6.1 Przestrzenią Euklidesa n-wymiarową En, nazwiemy przestrzeń liniową X = Rn , wraz z określoną na niej metryką Euklidesa. Każda baza afiniczna U {O , e1, ... , en } określona na takiej przestrzeni definiuje pewien układ współrzędnych w szczególności może on być kartezjański.
( przestrzeń Euklidesa jest oczywiście przestrzenią zorientowaną )
Definicja 6.2 Mówimy, że w przestrzeni En wprowadzono współrzędne ( kartezjańskie ), jeśli każdemu punktowi tej przestrzeni przyporządkowano uporządkowany zbiór liczb rzeczywistych (x1, ... , xn ) – zapis z użyciem współrzędnych kowariantnych lub (x1, ... , xn ) – zapis z użyciem współrzędnych kontrawariantnych.
( póki co nie będziemy ich rozróżniali, bo jak wiemy w przestrzeni En zapisy z użyciem obu rodzaii współrzędnych są tożsame )
Punkty o współrzędnych (x1, ... , xn ) i (y1, ... , yn ) są identyczne wtedy i tylko wtedy, kiedy xi = yi dla każdego i = 1, 2, ..., n
Oczywiście w przestrzeni Euklidesowej mamy możliwość określania nieskończenie wielu ( równoważnych lub nie równoważnych ) układów współrzędnych. O konkretnym wyborze któregoś z tej mnogości układów zazwyczaj decyduje fakt dogodności obliczeniowej danego układu. Przykładowo w fizyce, dla obliczenia zagadnienia posiadającego symetrię osiową najdogodniejszym będzie układ walcowy.
Przestrzeń Euklidesa możemy pokryć obszarami w których wprowadzono różne układy współrzędnych, przejście od jednego układu do drugiego musi oczywiście być ustalone w sposób spójny.
Niech będą dane dwa obszary ( lub nawet dwie przestrzenie En ) w przestrzeni En X i Y. Punkty tych przestrzeni oznaczmy jako odpowiednie zbiory liczb :
x = (x1, ... , xn ) , y = (y1, ... , yn )
( obszarem nazywamy tutaj pewien zbiór otwarty D ∈ En ).
Zdefiniujmy teraz przekształcenie ( homeomorfizm ) : F : X → Y określone poprzez układ funkcji gładkich : yi = yi (x1, ... , nn ) , i = 1, ... , n
Macierz :
( ∂y1/∂x1 ... ∂y1/∂xn )
( ∂yi/∂xj ) = ( ... ) ; i , j = 1, … , n ( ∂yn/∂x1 ... ∂yn/∂xn )
( obliczaną w pewnym punkcie x0 =( x01, x02, ... , x0n ) )
nazywamy macierzą Jakobiego odwzorowania F. Wyznacznik tej macierzy tj. : | ∂y1/∂x1 ... ∂y1/∂xn |
J = | ∂yi/∂xj | = | ... | ≠ 0 | ∂yn/∂x1 ... ∂yn/∂xn | nazywamy jakobianem przekształcenia F.
Punkt x0 nazywamy punktem nieosobliwym przekształcenia F, jeśli jakobian przekształcenia F w punkcie x0 jest różny od zera. Przekształcenie F nazywamy regularnym w obszarze X jeśli wszystkie punkty należące do tego obszaru są nieosobliwe. Dla przekształcenia regularnego istnieje przekształcenie odwrotne F-1: Y → X.
Macierz Jakobiego dla przekształcenia F-1ma postać :
Dla odwzorowania regularnego w obszarze X i Y mamy więc określony (jednoznacznie ) sposób zamiany współrzędnych (x1, ... , xn ) na (y1, ... , yn ) i odwrotnie.
Najprostszym przykładem zamiany współrzędnych jest transformacja liniowa współrzędnych :
y1 = a11x1 + a12 x2 + … + a1n xn
Przestrzeń Euklidesa E3 stanowi model przestrzeni fizycznej dla mechaniki newtonowskiej. Modelem czasu jest przestrzeń E1.
II. Układy współrzędnych definiowane na przestrzeni
E3.
Najczęściej stosowanym układem współrzędnych wprowadzanym na trójwymiarowej przestrzeni Euklidesa E3, jest układ ortokartezjański. Jest to układ prostoliniowy i prostokątny. Istnieją jednak pewne zagadnienia kinematyczne (dynamiczne lub ogólniejsze) w których celowe jest stosowanie innych układów współrzędnych. Zazwyczaj wybór takiego układu związany jest z prostszą postacią równań (a co z tym związane – łatwiejszym ich rozwiązaniem ) otrzymywanych w takim, konkretnym układzie współrzędnych.
Spośród wielu możliwych do zdefiniowania, ortogonalnych układów współrzędnych omówione zostaną trzy najczęściej wykorzystywane : kartezjański, sferyczny, walcowy.
( dwa ostatnie są to układy krzywoliniowe prostokątne ) Przegląd i omówienie innych układów można znaleźć w :
„Matematyka w fizyce i chemii” – H. Margenau. G. M. Murphy. PWN 1962.
( Dla zaspokojenie ciekawości dodam , że możemy również wprowadzić układy : elipsoidalne, sferoidalne, stożkowe, dwubiegunowe itp. )
Zanim jednak to zrobimy rozpatrzmy w sposób ogólny krzywoliniowe układy współrzędnych.
Położenie punktu materialnego można zadać nie tylko przy pomocy współrzędnych kartezjańskich (x, y, z) ale również dowolnych innych współrzędnych q1, q2, q3 . Współrzędne kartezjańskie mogą być oczywiście wyrażone jednoznacznie przez te współrzędne :
x = x(q1, q2, q3 ) , y = y(q1, q2, q3 ) , z = z(q1, q2, q3 )
I odwrotnie – współrzędne q1, q2, q3 mogą być wyrażone (przy spełnieniu warunku różnego od zera jakobianu przekształcenia) jako funkcje współrzędnych x, y, z :
q1= q1(x, y, z) , q2 = q2(x, y, z) , q3 = q3 (x, y ,z)
Współrzędne : q1, q2, q3 lub ogólnie qi ; gdzie i = 1,2,3 - będziemy nazywali „współrzędnymi uogólnionymi”.
Współrzędne uogólnione jak zobaczymy odgrywają podstawową rolę w mechanice analitycznej.
Mamy zatem : qi = qi(t ) r = r (qi )
Linie qi = const. nazywamy liniami współrzędnościowymi.
∂r/∂qi = ( ∂x/∂qi ) ei = Hi ei ;
gdzie ei – wersory bazy krzywoliniowego układu współrzędnych Hi – współczynniki Lamego.
(zobacz np. „Wstęp do analizy wektorowej” – T. Trajdos-Wróbel. PWN 1959 )
Rys. 2.1 Reper krzywoliniowego układu współrzędnych
Hi = | ∂r/∂qi | = sqrt [ (∂x/∂qi )2 + (∂y/∂qi )2 + (∂z/∂qi )2 ] ei = (1/ Hi )(∂r/∂qi )
Współrzędne krzywoliniowe nazywamy ortogonalnymi jeżeli : ( e1 • e2 ) = ( e2 • e3 ) =( e1 • e3 ) = 0
Mamy następujące wzory na różniczki współrzędnych : dx = (∂x/∂q1)dq1 + (∂x/∂q2)dq2 + (∂x/∂qi )dq3 dy = (∂y/∂q1)dq1 + (∂y/∂q2)dq2 + (∂y/∂qi )dq3 dz = (∂z/∂q1)dq1 + (∂z/∂q2)dq2 + (∂z/∂qi )dq3
Kartezjański układ współrzędnych
Układ kartezjański jest układem prostoliniowym i prostokątnym.
Dla tego układu mamy : Hi = 1 ; i = 1,2 ,3 e1 = i , e2 = j , e1 = k . i • i = j • j = k • k =1, i • j = j • k = k • i =0,
Jak wiadomo istnieją dwa równoprawne rodzaje układów kartezjańskich :
prawo i lewo skrętny. Zazwyczaj posługujemy się układem prawoskrętnym dla którego słuszna jest reguła śruby prawoskrętnej.
Rys. 2.2 Układy kartezjańskie
Cylindryczny (walcowy) układ współrzędnych
W cylindrycznym układzie współrzędnych położenie punktu M w przestrzeni określają : q1 = ρ - odległość punktu M od ustalonej prostej Oz
q2 = ϕ - kąt utworzony przez płaszczyznę przechodzącą przez oś Oz i punkt M z ustaloną płaszczyzną xOz q1 = z – wartość zorientowanego odcinka na osi Oz
Rys. 2.3 Cylindryczny (walcowy) układ współrzędnych.
Położenie punktu M zadane jest więc funkcją : M = M(ρ, ϕ, z) ; 0 ≤ ρ < + ∝ , 0 ≤ ϕ < 2π , -∝ < z < + ∝.
Związki między współrzędnymi walcowymi i współrzędnymi ortokartezjańskimi są następujące : x = ρ cos (ϕ) , y = ρ sin (ϕ) z = z
ρ = sqrt (x2 + y2 + z2 ) , ϕ = arctg (y/x) = arcsin(y/ρ) , z = z Współczynniki Lamego :
H1 = sqrt [ (∂x/∂ρ)2 + (∂y/∂ρ)2 + (∂z/∂ρ)2 ] = 1 H2 = sqrt [ (∂x/∂ϕ)2 + (∂y/∂ϕ)2 + (∂z/∂ϕ)2 ] = ρ H3 = sqrt [ (∂x/∂z)2 + (∂y/∂z)2 + (∂z/∂z)2 ] = 1 Wersory :
e1 = eρ = cos (ϕ) i + sin (ϕ) j e2 = eϕ = -sin (ϕ) i + cos (ϕ) j e3 = k
Sferyczny (biegunowy) układ współrzędnych
W sferycznym układzie współrzędnych położenie punktu M w przestrzeni określają : q1 = r - odległość punktu M od ustalonego punktu O (biegun)
q2 = θ - kąt utworzony przez wektor wodzący r punktu M z ustaloną półprostą Oz (oś biegunowa) q3 = ϕ – kat utworzony przez płaszczyznę przechodzącą przez oś Oz i punkt M , ze stałą płaszczyzną xOz Położenie punktu M zadane jest więc funkcją : M = M(r, θ, ϕ) ; 0 ≤ r < + ∝ , 0 ≤ θ < π , 0 < ϕ < 2π.
Związki między współrzędnymi walcowymi i współrzędnymi ortokartezjańskimi są następujące : x = r sin (θ)cos (ϕ) , y = r sin (θ)sin (ϕ) z = r cos (θ)
r = sqrt (x2 + y2 + z2 ) , θ = arctg {sqrt [(x2 + y2 ) / z ]} , ϕ = arctg (y/x)
Współczynniki Lamego :
H1 = sqrt [ cos2 (θ) sin2(θ) + sin2(θ) sin2(θ) + cos2 (θ) ] = 1 H2 = sqrt [ r2 sin2(ϕ) sin2(θ) + r2 cos2 (ϕ) sin2(θ)] = r sin(θ) H3 = sqrt [ r2 cos2(ϕ) scos2(θ) + r2 sin2 (ϕ) cos2(θ) + r2 sin2(θ)] = r Wersory :
e1 = er = cos (ϕ) sin(θ) i + sin (ϕ)sin(θ) j + cos(θ) k e2 = eϕ = -r sin (ϕ) sin(θ) i + r cos (ϕ)sin(θ) j
e3 = eθ = r cos (ϕ) cos(θ) i + r sin (ϕ) cos(θ) j – r sin(θ) k
Jak widać wersor eϕ leży w płaszczyźnie (x, y) , a wersor er jest skierowany w dół.
Rys. 2.4 Sferyczny układ współrzędnych.