Iloczyn wektorowy

Iloczyn wektorowy jest pojęciem zależnym nie tylko od wektorów do niego wchodzących ( czynników ) ale również od skrętności wybranego układu współrzędnych w którym określiliśmy te wektory.

Definicja 5.1 Mówimy , że przestrzeń ( np. przestrzeń Euklidesa ) i wprowadzony w niej układ współrzędnych (np. ortokartezjański ) Oxyz ma „orientacje dodatnią” ( układ prawo skrętny ) jeśli śruba o gwincie prawoskrętnym, której osią jest oś Oz posuwa się zgodnie ze zwrotem osi Oz, w przeciwnym wypadku układ jest lewoskrętny. ( zobacz rysunek 21 )

Rys. 5.1 Orientacje układu współrzędnych za pomocą reguły śruby o „różnym gwincie”

Wybranie określonej orientacji jest równoważne z wyborem obiegu konturu zamkniętego.

Rys. 5.2 Wybór orientacji układu współrzędnych równoważny jest wyborowi „obiegu” krzywej zamkniętej a) kierunek obiegu dla układu prawoskrętnego b) lewoskrętnego.

Do wprowadzonego pojęcia „orientacji” jeszcze powrócę, teraz jedynie zacytuje pewne stwierdzenie z wspomnianej wcześniej książki Marcelego Starka [ str. 46-47 ] : „ W fizyce a czasem w niektórych działach matematyki, chcąc wyróżnić pewien ustalony obieg , a więc orientację, na płaszczyźnie używa się pojęć nie matematycznych takich jak np. obieg zgodny z ruchem wskazówek zegara lub przeciwny ruchowi wskazówek zegara. Jest to niezbędne w fizyce

, natomiast w matematyce ustalenie tego typu orientacji czy obiegu nie ma charakteru ścisłego i służy raczej celom pogladowo-dydaktycznym”

Przestrzeń w której wybrano określoną orientacje nazywa się przestrzenią zorientowaną.

Definicja 5.2 Wektor którego zwrot zależny jest od wyboru orientacji układu współrzędnych nazywamy wektorem osiowym lub pseudowektorem ( axial vector ). Wektor którego zwrot nie jest zależny od wyboru orientacji układu współrzędnych nazywamy wektorem biegunowym (polar vector ) .

Definicja 5.3 Iloczynem wektorowym pary wektorów a, b ( oznaczanym jako : a × b , co tłumaczy angielską nazwę „cross product” – iloczyn krzyżowy ) względem danego kartezjańskiego układu współrzędnych nazywamy pseudowektor , którego długość jest równa polu równoległoboku rozpiętego na tych wektorach. W przypadku kiedy pole to nie jest równe zeru , kierunek tego pseudowektora jest prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej przez wektory a, b. Zwrot iloczynu wektorowego jest taki by trójka wektorów

a, b, a × b , była równoskrętna z skrętnością przyjętego układu współrzędnych. (rys. 23 ) Pole równoległoboku rozpiętego na wektorach : a , b możemy wyrazić wzorem ( rys 24 ) : P = ab sin (∠ a, b ) , mamy zatem wzór na iloczyn wektorowy postaci :

a × b = | a | | b | sin (∠ a, b )

Jest to ogólnie znany wzór, właściwiej jednak byłoby zapisać go w postaci : a × b = [ | a | | b | sin (∠ a, b ) ] n ;

gdzie n – jest wersorem prostopadłej do płaszczyzny wyznaczonej przez wektory a, b.

lub | a × b | = | a | | b | sin (∠ a, b )

Własności iloczynu wektorowego :

W pierwszej kolejności należy zauważy, że iloczyn wektorowy nie jest przemienny tj. a × b ≠ b × a , ma natomiast własność : a × b = - ( b × a ) (rys 25)

Iloczyn wektorowy jest łączny względem mnożenia przez skalar : m (a × b ) = (ma ) × b

Jest rozdzielny względem dodawania : ( a + b ) × c = (a × c ) + (b × c ) Iloczyn wektorowy nie jest łączny : a × ( c × b ) ≠ ( a × b ) × c

Rys. 5.3 Iloczyn wektorowy

Rys. 5.5 Antyprzemienność iloczynu wektorowego.

Z definicji iloczynu wektorowego wynika, że a × b = 0 , gdy a = 0 lub b = 0 lub sin (∠ a, b ) = 0 tj. θ = 0 lub θ = π co oznacza , że wektor a jest równoległy do wektora b.

Możemy zatem wypowiedzieć stwierdzenie – warunkiem koniecznym i wystarczającym aby dwa niezerowe wektory a, b były równoległe jest znikanie ich iloczynu wektorowego tj. :

a × b = 0

Tabelka iloczynów wektorowych wersorów bazy ( układu ortokartezjańskiego ) jest następująca :

Rys. 5.6 Iloczyny wektorowe wersorów bazy.

Twierdzenie 5.1 W układzie ortokartezjańskim iloczyn wektorowy dwóch wektorów : a = ( ax i + ay j + azk ) ; b = ( bx i + by j + bzk )

wyraża się wzorem :

a × b = ( ay bz - azby ) i + ( az bx - axbz ) j + ( ax by - aybx ) k (5.1) Dowód opiera się na jawnym obliczeniu wyrażenia : ( ax i + ay j + azk ) × ( bx i + by j + bzk ) z

uwzględnieniem tabelki z rys 26.

Posługując się symbolem wyznacznika wzór (5.1) możemy przepisać następująco : a × b = | ay az | i + | az ax | j + | ax ay | k

| by bz | | bz bx | | bx by |

Można zauważyć, że posługując się wyznacznikiem “symbolicznym” ( ponieważ w pierwszym wierszu występują wektory a nie liczby ) iloczyn wektorowy możemy zapisać jeszcze krócej :

( rozwijając np. według elementów pierwszego wiersza ) | i j k |

a × b = | ax ay az | | bx by bz |

Z definicji iloczynu wektorowego ( wektorów nie zerowych ) wynika : sin (∠ a, b ) = | a × b | / ab

Warunek równoległości dwóch wektorów wymaga, aby ich iloczyn wektorowy był wektorem zerowym , co pociąga za sobą fakt, że każda współrzędna iloczynu wektorowego jest równa zeru tj. :

| ay az | = 0 ; | az ax | = 0 ; | ax ay | = 0

| by bz | | bz bx | | bx by |

Uwaga ! Wektor zerowy może być zarazem prostopadły , równoległy ( tzn. właściwie tworzy dowolny kąt ) do dowolnego wektora niezerowego. Wektor zerowy ma dowolny ( nieustalony ) kierunek.

W rachunku wektorowym dużą rolę odgrywa pewna własność iloczynu wektorowego zwana „tożsamością Lagrange’a”. Mówi ona o związku modułu iloczynu wektorowego dwóch wektorów z ich iloczynem skalarnym.

Obliczmy :

| a × b | 2 = [ ab sin (∠ a, b ) ] 2 = a2 b2 sin2 (∠ a, b ) = a2 b2 [ 1 - cos2 (∠ a, b ) ] =

= a2 b2 - a2 b2 cos2 (∠ a, b ) = a2 b2 - [ ab cos (∠ a, b ) ]2 = a2 b2 – ( a

·

Ostatecznie, zatem :

| a × b | 2 = ( a

·

·

·

Iloczyn wektorowy i co z tym związane pseudowektory są często wykorzystywane w fizyce.

Rozważmy kilka przykładów : a) (pseudo)wektor prędkości kątowej.

Niech ciało materialne ( punkt materialny lub bryła sztywna ) obraca się dookoła pewnej osi. Wówczas każdy punkt tego ciała porusza się po okręgu leżącym w płaszczyźnie prostopadłej do osi obrotu.

Rys. 5.7 Wektor prędkości kątowej.

Niech wektor r , poprowadzony z dowolnego punktu M leżącego na osi obrotu wyznacza położenie punktu P.

Jeśli θ oznacza kąt między osią obrotu ciała a wektorem r , a prędkość kątowa wynosi ω, to prędkość liniowa punktu P styczna do okręgu wynosi :

v = ω r sin (∠ ω, r ) => v = ω × r

Kierunek prędkości v jest oczywiście styczny do okręgu leżącego w płaszczyźnie prostopadłej do osi obrotu i przechodzącego przez punkt P , tj. : v ┴ ω , v ┴ r

Jeżeli ω = ( ωx , ωy, ωz ) to :

| i j k | v = ω × r = | ωx ωy ωz | | x-x0 y-y0 z-z0 |

W szczególnym przypadku , gdy oś obrotu przechodzi przez początek układu , otrzymujemy : vx = ωy z - ωz y ; vy = ωz x - ωx z ; vx = ωx y - ωy x

b) (pseudo)wektor momentu obrotowego. ( moment siły względem punktu P )

Moment siły to wielkość charakteryzująca działanie siły zewnętrznej na ciało materialne i wpływająca na ruch obrotowy tego ciała. Niech A będzie punktem zaczepienia siły F , P – niech będzie dowolnym punktem. Momentem Ms siły F względem punktu P nazywamy iloczyn wektorowy wektora o początku w punkcie P i końcu A i wektora siły F .

Ms = F r sin (∠ F, r )

Uwaga! W fizyce o tym czy pewien wektor jest osiowy czy biegunowy , przekonujemy się w następujący sposób.

Wektor reprezentuje pewne zjawisko. Dokonujemy odbicia zwierciadlanego zjawiska w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku badanego wektora. Jeżeli kierunek przebiegu zjawiska ulega po odbici zmianie na przeciwny , to wektor reprezentujący zjawisko jest biegunowy , w przeciwnym wypadku jest osiowy. Jeżeli zjawisko jest reprezentowane przez wektor równy iloczynowi wektorowemu dwóch wektorów biegunowych , to jego kierunek nie ulega zmianie.

Rozróżnienie miedzy wektorami biegunowymi i osiowymi jest szczególnie ważne wtedy , gdy dokonujemy operacji na wektorach obu rodzajów. Nie można ani przyrównywać do siebie ani też dodawać wektorów różnego rodzaju.

Wtedy bowiem po zmianie skrętności układu współrzędnych ( układu odniesienia ) , pewne wyrazy po obu stronach równości zmieniałyby znak a inne nie. Spełnienie pewnej równości wektorowej w układzie prawoskrętnym mogłoby nie zachodzić w układzie lewoskrętnym.

( Dokładniej to zagadnienie omówiono w książce „Wstęp do fizyki współczesnej – podstawy teoretyczne tom I” – J. Kociński PWN 1977 , str. 20 –21 )