Druga forma kwadratowa powierzchni.
Równanie krzywej L możemy napisać następująco : r = r (u(s), v(s))
dr/ds = ru (du/ds ) + rv (dv/ds )
d2r/d2s = ruu (du/ds )2 + 2 ruv (du/ds)(dv/ds ) + rvv (dv/ds )2 + ru (d2u/d2s ) + rv (d2u/d2s ) Zatem :
kn = (d2r /ds2 ) • n = [ ( ruu • n )du2 + 2( ruv • n )du dv + ( rvv • n )dv2 ] /ds2 Wyrażenie :
Ldu2 + 2Mdudv + Ndv2 w którym :
L = ruu • n ; M = ruv • n ; N = rvv • n nazywamy drugą formą kwadratową powierzchni.
Uwzględniając wprowadzone już wzory mamy :
L = ru • rv • ruu / W ; M = ru • rv • ruv / W ; N = ru • rv • rvv / W
Krzywiznę normalną możemy wyrazić jako stosunek drugiej formy kwadratowej do pierwszej formy kwadratowej Powierzchni :
kn = (L du2 + 2Mdudv + N dv2 ) / ( Edu2 + 2Fdudv + G dv2 ) (9.1)
Ze wzoru (9.1) wynika ,że krzywizna normalna kn ( w ustalonym punkcie P), zależy jedynie od wielkości µ = du/dv określającej kierunek na płaszczyźnie stycznej do powierzchni w punkcie P. Kierunki odpowiadające takim wartością µ, dla których krzywizna normalna osiąga maksimum lub minimum nazywamy „kierunkami głównymi” w danym punkcie powierzchni. Dla wyznaczenia kierunków głównych należy rozwiązać równanie : d/dµ [(L + 2Mµ + Nµ2 )/ (E + 2Fµ + Gµ2 )] = 0
Równanie to możemy zapisać również w postaci :
| dv2 -dudv du2 |
| E F G | = 0 (9.2)
| L M N |
Jeżeli w danym punkcie P spełniony jest warunek :
L/E = M/F = N/G (9.3) to równanie (9.2) jest spełnione tożsamościowo. Punkty w których spełniony jest warunek (9.3) nazywamy
„ombilikami”.
Rys. 9.5 Kierunki główne 1,2 w punkcie X
Twierdzenie 9.1 W każdym punkcie powierzchni regularnej nie będącej ombilikiem, istnieją dokładnie dwa kierunki główne wzajemnie ortogonalne.
Definicja 9.2 „Linią krzywiznową” powierzchni nazywamy taką krzywą L położoną na tej powierzchni, której styczna w każdym punkcie P ∈ L ma kierunek główny.
Linia krzywiznowa określona jest równaniem różniczkowym (9.2), a z twierdzenia (9.1) wynika, że przez każdy punkt powierzchni regularnej nie będący ombilikiem, przechodzą dokładnie dwie linie krzywiznowe wzajemnie ortogonalne.
Definicja 4.3 Krzywizny normalne w kierunkach głównych nazywamy krzywiznami głównymi powierzchni S w danym punkcie P ∈ S
Równanie z którego można wyznaczyć krzywizny główne ma postać :
(EG - F2 ) k2 – (EN – 2FM + GL) k + LN - M2 = 0 (9.4) Jest to równanie kwadratowe którego dwa pierwiastki rzeczywiste k1 i k2 są poszukiwanymi krzywiznami
głównymi powierzchni S w punkcie P∈ S.
Definicja 9.4 Iloczyn krzywizn głównych tj. wielkość : K = k1k2 = (LN − M2 ) / (EG − F2 )
nazywamy „krzywizną Gaussa“
Definicja 9.5 Średnią arytmetyczną krzywizn głównych tj. wielkość : H = ½ k1k2 = ½ (EN – FM + GL) / (EG − F2 )
nazywamy „krzywizną średnią“ powierzchni S w danym punkcie P ∈ S.
Definicja 9.6 Odwrotności krzywizn głównych tj. wielkości R1 = 1/k1 ; R2= 1/k2
nazywamy „promieniami głównymi krzywizny”.
Definicja 9.7 „Kierunkiem asymptotycznym” na powierzchni regularnej S nazywamy kierunek w którym krzywizna normalna zeruje się. Warunkiem koniecznym i wystarczającym aby kierunek µ był asymptotycznym jest zerowanie się drugiej formy kwadratowej L du2 + 2Mdudv + N dv2 = 0
Definicja 9.8 „Linią asymptotyczną „ na powierzchni nazywamy krzywą L położoną na tej powierzchni , której styczna w każdym punkcie ma kierunek asymptotyczny.
Definicja 9.9 Punkt P ∈ S w którym LN − M2 > 0 , nazywamy „punktem eliptycznym” powierzchni S Definicja 9.10 Punkt P ∈ S w którym LN − M2 < 0 , nazywamy „punktem hiperbolicznym” powierzchni S
Rys. 9.6 Punkt P - eliptyczny i hiperboliczny danej powierzchni.
Przykład 9.1 Powierzchnię określoną równaniami : x= u cos(v) ; y = u sin(v) ; z = bv dla b > 0
nazywamy „helikoidą” lub „powierzchnią śrubową”
Dla helikoidy mamy :
ru = [ cos(v) , sin(v), 0] ; rv = [ -u sin(v) , u cos(v), b] ;
ruu = [0 ,0, 0] ; ruv = [ -sin(v) , cos(v), 0] ; rvv = [ -u cos(v) , -u sin(v), 0] ; Współczynniki pierwszej formy kwadratowej :
E =1 ; F = 0 ; G = u2 + b2
Współczynniki drugiej formy kwadratowej : L = 0 ; M = -b/ sqrt( u2 + b2 ) ; N = 0 Krzywizna normalna :
kn = -2bdudv / [ du2 + ( u2 + b2 )dv2 ] sqrt( u2 + b2 ) Krzywizna Gaussa :
K = -b2 / ( u2 + b2 )2 Krzywizna średnia :
H =0 Ponieważ w każdym punkcie mamy K < 0 , zatem każdy punkt helikoidy jest punktem hiperbolicznym
Rys. 9.7 Powierzchnia śrubowa
Równania linii krzywiznowych helikoidy są następujące ( u2 + b2 ) dv2 - du2 = 0 czyli : dv = ± du/ sqrt ( u2 + b2 ) Po scałkowaniu otrzymujemy :
v = C1 + ln(u + sqrt ( u2 + b2 )) ; v = C2 - ln(u + sqrt ( u2 + b2 ))
Twierdzenie 9.2 Jedyną powierzchnią której wszystkie punkty są ombilikami jest sfera.
Definicja 9.11 Punkt w którym H = 0 nazywamy „punktem minimalnym”
Definicja 9.12 Powierzchnię składającą się tylko i wyłącznie z punktów minimalnych nazywamy „powierzchnią minimalną”
Odnośnie form różniczkowych na powierzchni – można wprowadzić również III formę różniczkową ale jak się okazuje nie wnosi ona niczego nowego, bowiem może być ona wyrażona jako kombinacja liniowa I i II formy.
X. Linie geodezyjne
Definicja 10.1 Linią geodezyjną nazywamy krzywą L na powierzchni S, której krzywizna geodezyjna w każdym jej punkcie jest równa zeru.
kg = 1/ [ W (ds/dt)3 ] | (dr/dt) • ru ,(d2r/dt2 ) • ru | (5.1) | (dr/dt) • rv ,(d2r/dt2 ) • rv |
Dla siatki parametrycznej ortogonalnej (tzn. F = 0 ) mamy odpowiednio : kg | u =const = (1/ √E ) ∂/∂u [ ln(√G )]
kg | v =const = − (1/ √E ) ∂/∂v [ ln(√G )]
Krzywizna geodezyjna krzywej L położonej na powierzchni zależy jedynie od współczynników pierwszej formy kwadratowej powierzchni S i ich pochodnych cząstkowych, zatem krzywizna geodezyjna jest pojęciem geometrii wewnętrznej powierzchni S.
Twierdzenie 10.1 Krzywa regularna L położona na powierzchni regularnej S i nie mająca punktów wyprostowania jest linią geodezyjną wtedy i tylko wtedy, gdy wektory: normalny główny krzywej L - n i normalny powierzchni S – ν są wektorami kolinearnymi w każdym punkcie P ∈ L.
Zatem dla linii geodezyjnej : n • ν = 0
Inna definicja geodezyjnej. Linią geodezyjną na powierzchni nazywamy krzywą leżącą na tej powierzchni wzdłuż której płaszczyzna ściśle styczna jest stale prostopadła do tej powierzchni.
Twierdzenie 10.2 Krzywa regularna L położona na powierzchni regularnej S i nie mająca punktów wyprostowania jest linią geodezyjną wtedy i tylko wtedy, gdy płaszczyzna ściśle styczna krzywej L jest prostopadła do płaszczyzny stycznej powierzchni S.
Przykładami linii geodezyjnych są : na płaszczyźnie – linie proste ; na powierzchni sfery – okręgi wielkie.
Linie geodezyjne (ich równania)odgrywają bardzo ważną rolę w mechanice klasycznej i teorii względności.
W szczególności mamy stwierdzenie (wynikające z OTW ) : trajektorią punktu materialnego na którego nie działają żadne siły zewnętrzne jest pewna linia geodezyjna.
XI. Indykatrysa Dupina
Indykatrysę Dupina nazywamy również „wskaźnicą”. Wprowadził ją do geometrii w 1813 roku matematyk i inżynier francuski Franciszek Piotr Dupin (czyt. dipę)
Zadajmy na powierzchni regularnej S dowolny punkt P. Niech kn – będzie krzywizną normalną powierzchni w tym punkcie w pewnym kierunku. Zadajmy w punkcie P płaszczyznę styczną a następnie odłóżmy na tej płaszczyźnie od punktu P w wybranym kierunku odcinek o długości : 1/sqrt( | kn | )
Zbiór końców tych odcinków nazywamy „indykatrysą Dupina” powierzchni S w punkcie P.
Indykatrysa Dupina przedstawia elipsę w punkcie eliptycznym , parę sprzężonych hiperbol w punkcie hiperbolicznym, parę linii prostych równoległych w punkcie parabolicznym.
Rys. 22 Indykatrysy Dupina dla: a) punktu eliptycznego, b) punktu hiperbolicznego, c) punktu parabolicznego
XII. Wzory Boneta-Kowalewskiego
Podobnie jak było to dla wzorów Freneta znajdziemy obecnie zależności dla wektorów: dττττ/ds , db/ds , dn/ds , w bazie ττττ , b, n.
Rozkład taki możemy przedstawić w postaci macierzy : dττττ/ds = a11ττττ + a12b + a13n
db/ds = a21ττττ + a22b + a23n dn/ds = a31ττττ + a32b + a33n
Jest to macierz skośnie symetryczna zatem : aik = - aki . Można pokazać, że : a12 = kg ; a13 = kn ; współczynnik : a23 = τg jest nazywany skręceniem geodezyjnym
τg = − ττττ • dn/dt
a ponieważ : b = n × ττττ oraz n = ru × rv / W , ττττ = dr/ds zatem :
τg = [( ru × rv ) (dn × dr )] / W ds2 lub po przekształceniach :
τg =[ (EM – FL) du2 + (EN – GL) dudv + (FN – GM )du2 ] / W (Edu2 + 2Fdudv + Gdv2 ) Ostatecznie mamy zatem następujące wzory :
dττττ/ds = kgb + knn db/ds = -kgττττ + τgn dn/ds = -knττττ -τgb lub w postaci macierzowej : [dττττ/ds ] [ 0 , kg , kn ] [ ττττ ] [db/ds] = [ - kg , 0 , τg ] [ b ] [dn/ds] [ - kn , τg, 0 ] [ n ]
Powyższe zależności nazywamy wzorami Boneta-Kowalewskiego