W punkcie pierwszym poznaliśmy krzywą śrubową. Teraz zapoznamy się z wybranymi krzywymi istotnymi z punktu widzenia fizycznego. Wspomnę również o pewnych punktach osobliwych na krzywych oraz podam przykład (rysunkowy) tzw. krzywej patologicznej.
a) spirala logarytmiczna
Spirala logarytmiczna jest trajektorią zakreślona przez punkt M prostej OL obracającej się ze stałą prędkością ω do koła punktu O, przy czym punkt M porusza się po tej prostej z prędkością proporcjonalną do odległości
r = OM , punktu M do punktu O.
Rys. 2.3 Spirala logarytmiczna Rys. 2.4 Spirala Archimedesa b) spirala Archimedesa
Spirala Archimedesa jest trajektorią zakreśloną przez punkt M poruszający się ze stałą prędkością po prostej OL, obracającej się ze stałą prędkością dokoła punktu O.
c) Cykloida
Cykloidą nazywamy krzywą płaską , którą zakreśla punkt M, okręgu toczącego się bez poślizgu po prostej.
- w naszym przypadku jest nią oś OX.
Równanie cykloidy jest następujące : x = a(t - sin(t)) ; y = a(1- cos(t) )
Rys. 2.5 Cykloida
Jeżeli punkt M leży wewnątrz koła (rys. 2.6 – a) lub na zewnątrz koła (rys. 2.7 – b) to mówimy o, odpowiednio:
cykloidzie skróconej i cykloidzie wydłużonej
Rys. 2.6 a – cykloida skrócona; b – cykloida wydłużona
d) krzywe stożkowe
Stożkowymi nazywano w starożytności krzywe otrzymane w wyniku przecięcia powierzchni stożkowej płaszczyznami o różnych nachyleniach względem osi. Stożkowymi są : okrąg, elipsa, parabola, hiperbola.
Krzywe te występują w mechanice nieba i lotów kosmicznych. Stożkowe są to krzywe płaskie.
Rys. 2.7 Krzywe stożkowe
Równanie okręgu : x2 + y2 = a2 Równanie elipsy : x2/ a2 + y2 /b2 = 1 Liczby a, b nazywamy „półosiami” elipsy.
Równanie hiperboli : x2/ a2 - y2 /b2 = 1
Równanie paraboli : y2 = 2px gdzie a > 0 ; b > 0 , p ≠ 0
d) Parabola półkubiczna
Równania paraboli półkubicznej mają postać : x = t2 ; y = t3
Rys. 2.8 Parabola półkubiczna
Parabola półkubiczna ma w punkcie x = 0 ; y = 0 osobliwość przy dowolnej parametryzacji. Taki punkt osobliwy nazywa się „ostrzem’
e) „Krzywa” która nie spełnia definicji krzywej
Wprowadzona definicja krzywej jest definicją obejmującą bardzo szeroki zakres możliwych postaci krzywych , jednak istnieje wiele (bardzo, bardzo wiele) innych możliwych do pomyślenia ( lub narysowania) „krzywych”
Z punktu widzenia przyjętej definicji (chodzi zwłaszcza o założenie lokalnej wzajemnej jednoznaczności) nie są one jednak krzywymi – a raczej są krzywymi patologicznymi. Jedną z możliwych krzywych patologicznych przedstawia rysunek 12
Rys. 2.9 Krzywa patologiczna
III. Wzory Freneta.
Przyjmijmy następujące oznaczenia : dr(s)/ ds ≡ r. (s) oraz dr. (s)/ds ≡ r.. (t) Wektor r. (s) jest wektorem jednostkowym a wektor r.. (s) jest do niego ortogonalny.
Oznaczmy różniczkę drogi : ds = dx2 + dy 2 + dz 2 (3.1) Oznaczmy : t (s) = r. (s) – jako wektor (jednostkowy) styczny do krzywej.
Wektor t (s) jest wersorem stycznej do krzywej i leży na płaszczyźnie ściśle stycznej. ( tj. płaszczyźnie na której leży wektor styczny )
Oznaczmy : n (s) = r.. (s)/ |r.. (s)| - jako wektor normalny do krzywej
Jest to wersor prostej zwanej „normalną główną” prostopadły do wektora r. (s), leży on na płaszczyźnie normalnej.
Oznaczmy : b = t × n = r. × r.. / | r.. | - jako wektor binormalny.
Rys. 3.1 Trójnóg Freneta zadany na krzywej
Wektory t , n , b – jest to zatem trójka wzajemnie ortogonalnych wektorów jednostkowych. Wektory te wyznaczają następujące kierunki : styczny, normalny , binormaliny.
Określają również trzy płaszczyzny : styczną, normalna, prostującą.
Ponieważ powyższe wektory są wzajemnie ortogonalne możemy przyjąć je jako wektory bazowe i zdefiniować tzw.
reper ruchomy ( bazę zmieniającą się wzdłuż zadanej krzywej gładkiej )
Definicja 3.1 Długość | t. (s)| wektora t. (s) (a zatem wektora r.. ) nazywamy „krzywizną” krzywej L w punkcie s (lub r (s) ). Oznaczmy krzywiznę jako: k(s) (jest to skalar)
Zatem krzywizna krzywej sparametryzowanej naturalnie dana jest zależnością : k = sqrt[ (x..)2 + (y..)2 + (z..)2 ]
Krzywizna krzywej odniesiona do dowolnego parametru jest dana następująco : k = |r’(t) × r’’(t) | / | r’(t) |3
Krzywizna krzywej płaskiej zadanej przez funkcje x = x(t) ; y = y(t) :
k = f’’ / (1+f ’2 )3/2 ; gdzie f ’ ≡ df/dx
(warto przeczytać : I. N. Bronsztejn, K. A. Siemiendiajew „Matematyka – poradnik encyklopedyczny”
WN-PWN 2004 – Rozdział dotyczący geometrii różniczkowej) Mamy następujące (oczywiste) twierdzenie :
Twierdzenie 3.1 Krzywizna linii prostej jest tożsamościowo równa zeru.
Twierdzenie odwrotne jest również słuszne tzn. :
Twierdzenie 3.2 Krzywa gładka L dla której k = 0 dla całego przedziału zmienności parametru jest linią prostą w tym przedziale zmienności.
Definicja 3.2 Wielkość (skalarną ) ρ = 1/ k(s) nazywamy promieniem krzywizny krzywej Definicja 3.3 Punkt M krzywej L w którym k = 0 nazywamy „punktem wyprostowania” krzywej
Geometryczny sens krzywizny jest następujący : wybierzmy dwa punkty na krzywej (gładkiej) L : P(s), M(s + h) następnie wyznaczmy wektory t(s) i t(s + h) styczne w punktach P i M krzywej Oznaczmy przez ω kąt między tymi wektorami. Krzywizną krzywej w punkcie P nazywamy granicę :
k = lim | ω/ h | h →0
Rys. 3.2 Geometryczna interpretacja krzywizny krzywej Zgodne z powyższą definicją mamy :
n (s) = r.. (s)/ |r.. (s)| ale k = |r.. (s)| oraz t. (s) = r.. (s) zatem :
t. (s)= k(s) n(s) (3.2) Wektory : t (s) = r. (s) i n (s) tworzą tzw. bazę Freneta krzywej (gładkiej ) płaskiej
Rys. 3.3 Baza Freneta krzywej określona na krzywej płaskiej Ponieważ t. = k n i b = t × n mamy zatem:
b. = t. × n + t × n. = t × n. (3.3) Wektor b. jest kolinearny (tj. współliniowy) do wektora n, zatem istnieje taka liczba χ = χ(s) taka, że :
b. = - χn (3.4)
Liczbę χ nazywamy „skręceniem” krzywej
Skręcenie krzywej sparametryzowanej naturalnie dane jest zależnością : χ = [r’(s) • r’’(s) • r’’’(s)] / | r’’(s) |2
Skręcenie krzywej odniesione do dowolnego parametru jest dana następująco : χ = [r’(t) • r’’(t) • r’’’(t)] / [ r’(t) × r’’(t) ]2
Geometryczna interpretacja skręcenia jest następująca : na krzywej gładkiej wybieramy dwa punkty P(s) i M(s + h) oraz wektory binormalne b(s) i b(s + h). Oznaczmy kąt γ miedzy tymi wektorami. Granicę : χ = lim | γ /h |
Twierdzenie 2.1 Dla dowolnej krzywej gładkiej spełnione są zależności : t. = k n
n. = - k t + χb (3.5) b. = - χn
Zwane wzorami Freneta dla krzywej w przestrzeni (lub wzorami Serreta-Freneta)
Twierdzenie 3.3 Krzywa w przestrzeni jest krzywą płaską (tj. leży na jednej niezmiennej płaszczyźnie) kiedy jej skręcenie jest równe zeru dla całego przedziału jej zmienności
Przykład 3.1 Obliczmy krzywiznę i skręcenie krzywej śrubowej (zobacz rysunek 2.2 ) Z przykładu 1.2 mamy : u = s / sqrt( a2 + b2 ) , i ostatecznie : x = a cos [s / sqrt( a2 + b2 )] ;
Zatem – krzywizna i skręcenie krzywej śrubowej są stałe.
Ogólnie możemy powiedzieć, że krzywizna mierzy w jakim stopniu krzywa różni się od linii prostej, a skręcenie – jak bardzo krzywa różni się od krzywej płaskiej. Z twierdzenia 3.1 wynika, że jeżeli k = 0 to i χ = 0
Wzory Freneta możemy zapisać również w postaci macierzowej : [ dt /ds ] [ 0 , χ , 0 ] [ t ]
[dn /ds ] = [ -χ, 0 , k ] [ n ] [db /ds ] [ 0 , -k, 0 ] [ b ]
Oznaczmy wektor : g = kt + χ b zwany wektorem Darboux. Długość tego wektora tj. wielkość :
| g | = sqrt( χ2 + k2 ) nazywamy „krzywizną całkowitą krzywej”
Definicja 3.4 Punkt M krzywej L w którym χ = 0 nazywamy „punktem spłaszczenia” krzywej Definicja 3.5 Równania : χ = χ(s) ; k =k(s) nazywamy równaniami naturalnymi danej krzywej L.
Równania naturalne określają krzywą w sposób zupełny. Dwie krzywe o tych samych równaniach naturalnych mogą różnić się jedynie o pewien stały wektor translacji.
Twierdzenie 3.3 Dla dowolnych ciągłych funkcji χ = χ(s) ; k =k(s) istnieje dokładnie jedna (z dokładnością do obrotów i przesunięć) krzywa o przedstawieniu parametrycznym r(s), taka ,że spełnione są równania postaci (3.4)
Możemy zatem wyrazić każdy wektor związany z tą krzywą jako kombinację liniową wektorów wprowadzonej bazy, w szczególności możemy dokonać rozkładu wektorów: dt /ds , dn /ds , db /ds
IV. Rząd styczności krzywych płaskich. Okrąg ściśle styczny do krzywej płaskiej
Definicja 4.1 Mówimy, że dwie krzywe płaskie : y = y(x) ; Y= Y(x)mają w punkcie x0 styczność rzędu k, jeżeli w tym punkcie wartość funkcji y(x) i Y(x) i ich wszystkich pochodnych aż do rzędu k, są odpowiednio sobie równe tj. :
y(x0 ) = Y(x0) ; y’(x0 ) = Y’ (x0 ), …, y’(k) = Y’(k) (x0)
Gdy k = 1 mówimy, że krzywe są styczne w punkcie równości ich pochodnych, gdy k = 2 mówimy, że krzywe są ściśle styczne ( lub, że są oskulacyjne)
Definicja 4.2 Okręgiem ściśle stycznym do krzywej w danym punkcie nazywamy okrąg mający z tą krzywą w tym punkcie styczność co najmniej rzędu 2.
Rys. 4.1 Okrąg ściśle styczny, o promieniu R =1/k(P0), do krzywej γ w punkcie P0
V. Ewoluta i ewolwenta krzywej
Definicja 5.1Ewolutą (rozwiniętą ) nazywamy zbiór środków krzywizny krzywej L
Definicja 5.2 Jeśli krzywa L jest ewolutą krzywej K, to krzywą K nazywamy ewolentą (rozwijajacą ) krzywej L.
Rys. 5.1 Ewoluta elipsy i paraboli
VI. Zastosowania fizyczne
Określiliśmy już pojęcia :
prędkości chwilowej : v = dr/dt (wektor); szybkości (prędkość skalarna ) v = |v|
przyspieszenia : a = dv/dt = d2r/dt (wektor)
drogi przebytej przez punkt materialny poruszający się zgodnie z krzywą o równaniu zadanym wektorofunkcją postaci : r = r(t) w czasie od t1 do t2 :
t2
s =
∫
| r’(t)| dt ( zatem droga jest funkcją czasu : s = s(t) ) t1Wektor prędkości v jest wektorem stycznym do toru (krzywej).Wektor przyspieszenia a nie jest na ogół styczny do toru. Rozważmy krzywą daną równaniem naturalnym :
r = r(s (t)) mamy zatem dr/dt = (dr/ds ) (ds/dt) = t (ds/dt)
Czyli wektor prędkości możemy przedstawić jako kombinacje liniową wektora stycznego t, a zatem : v = αt gdzie α - pewien skalar.
α = ds/dt
Ponieważ ds = | r’(t)| dt to : v = tv
Dla wektora przyspieszenia mamy :
a = dv/dt = d/dt(t (ds/dt) ) =d/dt(t v) = v (dt /dt )+ t (dv/dt)
(Uwaga ! nie należy mylić wektora stycznego do krzywej t oraz parametru skalarnego zwanego
„czasem fizycznym” t )
Pochodną dt/dt możemy wyrazić poprzez szybkość : dt /dt = (dt /ds ) (ds/dt) = v (dt /ds )
Zatem
a = v2 (dt /ds) + t (dv/dt) ale dt/ds ≡ t. = k n czyli : a = v2k n + t (dv/dt) lub a = (v2/ ρ) n + (dv/dt) t
To znaczy, że wektor przyspieszenia ma dwie składowe : składową styczną (zwaną również składową tangencjalną ) określoną przez wektor styczny t , równą :
at = (dv/dt) t
i składową normalną określona przez wektor normalny do toru n, równą : an = (v2/ ρ) n
Przyspieszenie o kierunku prostopadłym do kierunku ruchu nazywane jest przyspieszeniem dośrodkowym, ma ono kierunek ku środkowi O (chwilowemu) krzywizny toru punktu materialnego.
Czyli : a = at + an
Rys. 6.1 Rozkład wektora przyspieszenia na składowe
| a | = sqrt[ (at )2 + (an )2 ]
Definicja 6.1 Ruch w którym an = 0 jest ruchem prostoliniowym Definicja 6.2 Ruch w którym at = 0 jest ruchem jednostajnym
Definicja 6.3 Ruch w którym an = 0 i at = 0 jest ruchem jednostajnym i prostoliniowym
Jak widać składowa normalna przyspieszenia zależy od wartości bezwzględnej prędkości i od krzywizny toru , składowa styczna zależy tylko od zmiany wartości bezwzględnej prędkości.
Twierdzenie 6.1Wektor przyspieszenia a leży na płaszczyźnie wyznaczonej przez wektory n i t – jest to tzw.
płaszczyzna ściśle styczna.
Dla ruchu jednostajnego mamy : at = 0 zatem a = an = (v2/ ρ) n (dv/dt) t = 0 tj. dv/dt = 0 zatem v = const.
lub
| r’(t)| =const
czyli ruch jednostajny jest to ruch zachodzący ze stałą szybkością i przyspieszenie skierowane jest zawsze ku środkowi krzywizny
ds/dt ≡ v = const , czyli
s =
∫
v dt = v t + stała całkowania, która jest droga początkowa, oznaczana jako s0 . Zatem w ruchu jednostajnym droga jest liniową funkcją czasu.Dla ruchu prostoliniowego mamy : an = 0 zatem a = at = (dv/dt ) t
zatem przyspieszenie ma zawsze kierunek stycznej do krzywej.
v2k n = 0 czyli k = 0
czyli ruch prostoliniowy to jak sama nazwa wskazuje ruch którego torem jest linia prosta.
Wektor przyspieszenia ma kierunek wektora prędkości. (tj. kierunek wektora t ) s =
∫
v(t) dt tj. droga zależy od postaci funkcji prędkości.Dla ruchu jednostajnego i prostoliniowego mamy a = 0, ruch odbywa się po prostej zatem możemy tak dobrać układ współrzędnych aby prosta ta pokrywała się z osią (wybrana np. osią OX ) współrzędnych, a za parametr naturalny (lub dowolny) możemy przyjąć wartość współrzędnej np. x.
v = ds/dt = dx/dt ; a = dv/dt =d2x/dt2 po scałkowaniu mamy : x = vt + x0 ,
v = at + v0 , s = ½at2 + vt + x0 (dla ruchu prostoliniowego jednostajnie przyspieszonego a ≠ 0 ) Są to oczywiście doskonale znane (ze szkoły ) wzory.
Innym szczególnie ważnym ruchem jest ruch jednostajny o stałym przyspieszeniu dośrodkowym v2k n = const zatem k =const a zatem jest to ruch po okręgu .
a = v2/ρ gdzie ρ - promień okręgu
Zgodnie z drugim prawem Newtona mamy :
F = ma (przyspieszenie jest proporcjonalne do działającej siły i ma kierunek działającej siły) F = m (d2r/dt ) = m(v2/ ρ) n + m(dv/dt) t
Zwykle zakłada się że : F = F(r, dr/dt, t) tj. siła jest funkcja wektora wodzącego, jego pierwszej pochodnej (prędkości) i czasu.
Rozpatrzmy szczególny przypadek (istotny z punktu widzenia fizyki teoretycznej ) – sił centralnych.
Definicja 6.4 Siłą centralną (środkową) nazywamy siłę której wektor kierunkowy ma zawsze kierunek przeciwny (z powodów praktycznych rozważamy siłę odpychającą ) do wektora wodzącego punktu materialnego poddanego działaniu tej siły. A punkt zaczepienia tej siły pokrywa się z punktem zaczepienia wektora wodzącego
Rys. 6.2 Siła centralna F (o środku w początku układu współrzędnych) działająca na punkt materialny P Dla siły centralnej mamy :
F = λ(r) r gdzie λ(r ) – pewna funkcja skalarna zależna od wektora wodzącego λ(r )r = m (d2r/dt )
Można udowodnić, że ruch cząstki (cząstek) materialnej w polu siły (sił ) centralnej jest ruchem płaskim.
Aby tego dowieść wystarczy pokazać, że iloczyn wektorowy : r × dr/dt jest wektorem stałym.
W tym celu zróżniczkujmy po czasie, zależność r × dr/dt :
d/dt[ r × dr/dt ] = dr/dt × dr/dt + r × dr2 /dt2 = r × a = r × F/m = r ×λr /m = λ/m [r × r ] = 0 Zatem :
d/dt[ r × dr/dt ] = 0 czyli [ r × dr/dt ] = const
Twierdzenie 6.2 Jeśli tor punktu materialnego znajdującego się w stałym polu sił, jest krzywą płaską to wszystkie siły są zaczepione w jednym i tym samym punkcie lub są równoległe do stałego (w czasie )wektora
Powierzchnie w przestrzeni E3.
VII. Funkcja wektorowa dwu zmiennych rzeczywistych
Funkcja wektorowa może być zależna nie tylko od jednego parametru skalarnego, może również zależeć od dwóch trzech lub więcej parametrów. Niech :
r = r (u, v) – będzie wektorofunkcją dwóch zmiennych rzeczywistych r = r (u, v) = [ x(u, v) ; y(u, v) ; z(u, v) ] = x(u, v)i + y(u, v)j + z(u, v)k
Pochodną cząstkową funkcji wektorowej r = r (u, v) względem zmiennej u w punkcie (u0 , v0 ) nazywamy granicę :
∂r /∂u = lim [r (u0 + h, v0 ) − r (u0, v0 )] / h h → 0
Podobnie definiujemy pochodną cząstkową funkcji wektorowej r = r (u, v) względem zmiennej v w punkcie (u0 , v0 ) :
∂r /∂v = lim [r (u0, v0 + h ) − r (u0, v0 )] / h h → 0
Stosuje się następujące oznaczenia :
∂r /∂u ≡ ru ≡ ∂u r = [ (∂x/∂u), (∂y/∂u), (∂z/∂u )]
Możemy również określić pochodne wyższych rzędów oraz pochodne mieszane :
∂/∂u (∂r /∂u ) ≡ ∂2r /∂2u ≡ ruu ≡ ∂uu r = [(∂2x /∂2u ), (∂2y /∂2u ), (∂2z /∂2u )]
∂/∂v (∂r /∂u ) ≡ ∂2r /∂u∂v ≡ ruv ≡ ∂uv r = [(∂2x /∂u∂v ), (∂2y /∂u∂v ), (∂2z /∂u∂v )]
Analogiczne wzory możemy wprowadzić dla zmiennej v.