Podstawowe pojęcia homotopii

Teoria homotopii „bada” przestrzenie topologiczne z tym, że przekształcenia ciągłe zastępujemy przez klasy równoważności takich przekształceń, zwanych klasami homotopii. Przekształcenia f, g należące do jednej klasy homotopii nazywają się przekształceniami homotopijnymi.

Definicja 2.1 Dwa odwzorowania ciągłe przestrzeni topologicznych f, g : X → Y nazywamy homotopijnymi, co zapisujemy jako f ≅ g, jeżeli istnieje homotopia h pomiędzy nimi, tj. odwzorowanie ciągłe h : X × [ 0, 1 ] → Y takie, że

h( x, 0) = f(x) i h(x, 1 ) = g(x) dla każdego x ∈ X. Przekształcenie h nazywamy przy tym homotopią między f i g.

Poglądowo homotopię możemy przedstawić następująco. Potraktujmy odcinek [ 0, 1 ] jako przedział czasowy, w chwili t homotopia h ma postać f i zmieniając się z upływem czasu przybiera w chwili t = 1 postać g. Inaczej mówiąc homotopia h jest ciągłą deformacją f w g.

Rys. 2.1 Homotopia h jako ciągła deformacja odwzorowań ciągłych.

Definicja 2.2 Drogą w przestrzeni topologicznej X, łączącą punkty x0 , x1 nazywamy odwzorowanie odcinka liczb rzeczywistych np. [ 0, 1 ] w przestrzeni X, przy którym początek odcinka przechodzi w x0 ,a koniec w x1.

Definicja 2.3 Drogę dla której x0 = x1nazywamy pętlą.

Przestrzeń topologiczną M w której wszystkie punkty mogą być połączone pewną określoną droga nazywamy przestrzenią łukowo spójną. Przestrzeń topologiczna może być spójna ale nie musi być łukowo spójna, jeżeli jednak jest ona łukowo spójna to jest ona spójna w sensie standardowego określenia spójności.

Poprzez homotopię możemy rozumieć również ciągłe odwzorowanie drogi o ustalonych końcach. W procesie odkształcania droga może przecinać sama siebie i przechodzić kilka razy przez te same punkty przestrzeni X.

Jeżeli drogi h1, h2 są takie, że jedna może być przedeformowana jedna w druga, to mówimy, że takie drogi są homotopijne między sobą. Można pokazać, że drogi określone w kole i mające wspólne końce są zawsze homotopijne między sobą.

W pierścieniu nie każde dwie drogi o wspólnych końcach są homotopijne między sobą. ( rys. 2.3 )

„Ważnym sprawdzianem budowy przestrzeni jest, to że drogi łączące dwa punkty przestrzeni dają się z

zachowaniem końców zdeformować homotopijne jedna do drugiej. Niemożliwość tego rodzaju deformacji świadczy o pewnym odstępstwie od prawidłowej budowy, jaka maja np. pełne przestrzenie euklidesowe i ich podprzestrzenie wypukłe, w których tego rodzaju deformacje dają się przeprowadzić”. [2 str. 164 ]

Przeszkodą braku homotopii jest zazwyczaj brak jednospójności przestrzeni, tj. wycięcie z niej punktu, prostej lub płaszczyzny.

Rys. 2.2 Homotopia drogi o ustalonych końcach.

Rys. 2.3 W pierścieniu mogą występować drogi nie homotopijne między sobą.

Rys. 2.4 Schematyczne przedstawienie różnych możliwych dróg w przestrzeni X. ( ostatni rysunek ilustruje drogę zerową )

Drogi i pętle są obiektami skierowanymi tj. ważny jest dla nich nie tylko zbiór po którym biegnie droga (przestrzeń ) ,ale również jej parametryzacja. Droga (pętla ) ujemna może być zdefiniowana jako droga w której zamieniono punkt początkowy z końcowym.

Przykład określenia drogi odwrotnej.

Drogę odwrotną α-1(t) do drogi α(t) zaczepionej w punkcie x ∈ X, możemy zdefiniować następująco : α-1(t) = α(1 − t ) , 0 ≤ t ≤ 1

Definicja 2.4 Niech będą dane dwie drogi h1, h2 określone na odcinku I = [ 0,1 ] ∈ X, o wspólnym początku x0 i końcu x1. Drogi te nazwiemy równoważnymi ( co zapisujemy h1 ≅ h2 ) jeżeli istnieje homotopia H : I × I → X taka, że :

H(s, 0 ) = h1(s) i H(s, 1 ) = h2(s) oraz

H(0, t ) = x0 i H(1, t ) = x1 dla każdego s, t ( parametryzacja dróg ) Można pokazać, że relacja ≅ jest równoważnością.

Dodawanie dróg. Drogi można ze sobą łączyć ( dodawać dwie drogi ). Jeśli h1jest droga od x0 do x1, a h2 jest droga od

x1 do x2 to droga h1+ h2 jest droga łączącą punkty x0 i x2.

Twierdzenie 2.1 Jeśli h1 ≅ h2 i h’1 ≅ h’2 to h1 + h2 ≅ h’1 + h’2. [2 od str. 165 ]

Definicja 2.5 Przestrzeń topologiczną X nazywamy ściągalną, jeżeli jest ona homotopijnie równoważna z

przestrzenią jednopunktowa. ( innymi słowy wszystkie pętle określone w tej przestrzeni można ściągnąć do punktu )

Iloczyn dróg. Niech droga k rozpoczyna się w tym samym punkcie, w którym kończy się inna droga h. Drogę otrzymana w ten sposób, że najpierw przechodzimy po drodze h , a potem po drodze k, nazywamy iloczynem dróg h i k.

Mnożyć można tylko takie drogi dla których koniec pierwszej stanowi początek drugiej.

Przykład określenia iloczynu dwóch dróg :

Niech będą dane dwie pętle zaczepione w punkcie x : α(t), β(t) iloczyn takich pętli możemy określić następującą zależnością :

γ = α * β = { α(2t) 0 ≤ t ≤ ½

Klasy homotopii. Wszystkie drogi równoważne miedzy sobą możemy zakwalifikować do jednej klasy. Przykładowo wszystkie drogi określone na kole należą do jednej ( jedynej ) klasy homotopii. W pierścieniu dwie drogi mogą nie być równoważne – przykładowo jedna z nich może nie obiegać znajdującego się w pierścieniu otworu ( mówimy wtedy , że może ona być ściągnięta do punktu ), a druga obiega otwór i nie można jej ściągnąć do punktu.

Rys. 2.5 W pierścieniu mogą występować drogi nie równoważne między sobą.

Zbiór klas homotopii oznaczymy przez F(X). Jeżeli rozpatrywać będziemy pętle, to okaże się, że zbiór F(X) posiada strukturę grupową ( jest grupa ze względu na mnożenie klas homotopii ).

Jednością tej grupy jest klasa wszystkich tych pętli, które mogą być ściągnięte do punktu. Odwrotnością nazywamy pętle o odwrotnej parametryzacji ( tj. obiegamy pętle w kierunku przeciwnym )

Tak określoną grupę nazywamy „grupą podstawową (fundamentalną ) przestrzeni X”. Grupa ta może być grupą abelową lub nieabelową.

Można dowieść, że grupa podstawowa pod względem swojej struktury algebraicznej jest niezmiennikiem topologicznym rozpatrywanej przestrzeni X. Jeżeli grupy podstawowe dwóch przestrzeni nie są izomorficzne, to przestrzenie te nie są homeomorficzne.

Przykłady.

1) Grupa podstawowa koła jest grupą trywialną i składa się tylko z jednego elementu.

2) Grupa podstawowa sfery n-wymiarowej jest grupą trywialną i składa się tylko z jednego elementu.

3) Grupa podstawowa okręgu nie jest trywialna, jest ona izomorficzna z addytywną grupą wszystkich liczb całkowitych.

Definicja 2.6 Przestrzenie, których grupa podstawowa jest trywialna, nazywają się przestrzeniami jednospójnymi.

Inaczej mówiąc przestrzeń jednospójna to przestrzeń, w której każda pętle można ściągnąć do punktu.

[ 1 od str. 86 ]

Twierdzenie 2.2 Sfery n-wymiarowe n ≥ 2 są jednospójne.

Strukturę grupową posiada również zbiór klas homotopii F(X), pętli zaczepionych w pewnym punkcie x ∈ X ze względu na ich dodawanie. Zbiór taki oznaczamy jako π1(X, x ). Elementem neutralnym jest pętla zerowa.

Ogólnie przez oznaczenie πn (X, x0 ) rozumiemy n-tą grupę homotopii pary złożonej z X – przestrzeni topologicznej ,x0 – punktu bazowego wybranego w przestrzeni X.

Twierdzenie 2.3 π1 (S1 ) ≅ Z ( grupa podstawowa okręgu jest izomorficzna z grupą liczb całkowitych, zwróćmy uwagę, że pętla jest homeomorficzna z okręgiem. Zamiast okręgu lub sfery możemy rozważać dowolne figury homeomorficzne ze sobą np. zamiast okręgu kwadrat, zamiast sfery - kostkę )

Grupę π1 (S1 ) nazywamy grupą podstawową przestrzeni X. Jest to bowiem jeden z najbardziej podstawowych niezmienników topologicznych.

Hurewicz dowiódł, że πn (Sn ) jest również grupą.

Twierdzenie 2.4 Dla każdego n > 1 grupa πn (X, x0 ) jest abelowa.

Twierdzenie 2.5 Jeżeli przestrzeń topologiczna X jest łukowo spójna, x, y ∈ X to grupy : π1 (X, x ) i π1 (X, y ) są izomorficzne.

Innymi słowy w przestrzeniach łukowo spójnych ( zatem i spójnych ) grupy podstawowe związane z pętlami zaczepionymi w różnych punktach tej przestrzeni są równoważne ( a relacją ich równoważności jest izomorfizm )

Twierdzenie 2.6 Jeżeli przestrzenie X, Y są przestrzeniami topologicznymi łukowo spójnymi, należącymi do tej samej klasy homotopii to : π1( X, x ) ≅ π1( Y, y ).

Twierdzenie 2.7 Niech T2 = S1 × S1 będzie torusem. Wtedy π1 (T2 ) ≅ π1 (S1 ) ⊕ π1 (S1 ) ≅ Z ⊕ Z Dla n-wymiarowego torusa : Tn = S1 × ... × S1 π1 (Tn ) ≅ Z ⊕ .... ⊕ Z

Twierdzenie 2.8 Niech X = S1 × R będzie cylindrem. Wtedy π1 (X ) ≅ Z

„Zatem, grupa fundamentalna daje możliwość przejścia od topologii do algebry. Dla takiego przejścia charakterystyczne są następujące własności.

i) każdej przestrzeni topologicznej z punktem wyróżnionym ) przyporządkowujemy pewną grupę ( w danym przypadku jest to grupa topologiczna ).

ii) każdemu odwzorowaniu ciągłemu , przestrzeni topologicznych przyporządkowujemy pewien ( w danym przypadku indukowany ) homomorfizm grup.

iii) złożeniu odwzorowań ciągłych przyporządkowujemy złożenie homomorfizmów indukowanych.

iv) odwzorowaniu tożsamościowemu odpowiada homomorfizm tożsamościowy.

Opisana procedura przejścia od topologii do algebry daje nam dobry przykład, pokazujący co to takiego topologia algebraiczna. Zamieniamy topologię na algebrę, a następnie wykorzystujemy wiedze dotycząca algebry, aby dowiedzie się więcej o topologii. Oczywiście, jeśli grupy fundamentalne dwóch przestrzeni są izomorficzne, to nie oznacza to, że same te przestrzenie są homeomorficzne. Jeśli jednak grupy fundamentalne takich przestrzeni nie są izomorficzne, to na pewno przestrzeni te nie są homeomorficzne.

Uwaga. Wymienione powyżej własności i)- iv) są przykładem pojęcia funktora. Zatem, grupa fundamentalna jest to funktor z topologii ( jako zbiór przestrzeni topologicznych z wyróżnionymi punktami i określonymi

odwzorowaniami ciągłymi, przeprowadzającymi taki wyróżniony punkt w inny punkt wyróżniony ) w algebrę ( jako zbiór grup i ich homomorfizmów )” [ cytat z 10 str. 150]

Twierdzenie 2.9 Jeżeli przestrzeń jest ściągalna to jego grupa fundamentalna jest grupą trywialną.

Za pomocą grupy fundamentalnej możemy nadać nowy sens pojęciu jednospójności, mianowicie :

Definicja 2.7 Przestrzeń topologiczną X nazywamy jednospójną, jeśli jest ona łukowo spójna i π(X, x) = { 1 }, dla pewnego x ∈ X.

Twierdzenie 2.10 Przestrzeń ściągalna jest jednospójna. ( twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe ) Twierdzenie 2.11 Niech X, Y – będą dwiema przestrzeniami topologicznymi, liniowo spójnymi. Grupa fundamentalna iloczynu X × Y jest izomorficzna iloczynowi grup fundamentalnych X i Y.

Tabela 2.1 Pewne użyteczne grupy homotopii.

III. Literatura.

1) „Zarys podstawowych pojęć topologii” -- W. G. Bołtianski, W. A. Jefremowicz ; PZWS 1965

2) „Wykłady z topologii. Topologia przestrzeni euklidesowych” -- J. Mioduszewski ; UŚ Katowice 1994 3) „Topologia” -- K. Janiich ; WN-PWN 1998

4) „Wstęp do topologii” -- H. Patkowska ; PWN 1979 5) „Wstęp do teorii mnogości i topologii” -- K. Kuratowski ; PWN 1980 ( Dodatek „Elementy topologii algebraicznej” R. Engelking )

6) „Atlas matematyki” -- F. Reinhardt, H. Soeder ; Prószyński i S-ka 2005 7) „Wykłady z topologii algebraicznej” -- M. J. Greenberg ; PWN 1980 8) „Wprowadzenie do topologii” -- R. Duda ; PWN 1986 tom II Topologia algebraiczna Topologia rozmaitości

9) „Topologia algebraiczna” -- E. Spanier ; PWN 1972

10) „A first course in topology” -- C. Kosniowski ; Cambridge 1980 tłumaczenie rosyjskie Moskwa Mir 1983

11) „Algebraic topology. An introduction” -- W. S. Massey ; Yale 1971 tłumaczenie rosyjskie Moskwa 1977

12) „Wwiedenie w topologiju” -- Ju. G. Borisowicz, N. M. Bliznjakow, Ja. A. Izraileiwcz

Moskwa 1980 13) „Geometry, topology and physics” -- M. Nakahara ; IOP 1990

14) “Cosmic topology” -- M. Lachieze-Rey, J. P. Luminet

Physics reports 254 1995

15) „Klasyczne pola cechowania – Teorie bozonowe” -- W. A. Rubakow 2005 ( tłumaczenie własne, rozdział 8 )

16) „Topology and geometry for physicists” -- Ch. Nash, S. Sen ; Academic Press 1987 17) “The mathematical foundations of gauge theories” -- K. B. Marathe, G. Martucci ; North-Holland 18) “Topology now” -- R. Messer, P. Straffin

19) “The role of topology in classical and quantum physics” -- G. Morandi ; Springer-Verlag 1992 20) “Kurs gomotopiczeskoj topologii” -- A. T Fomenko, D. W. Fuks ; Nauka 1989 21) „Gauge Theory and the Topology of Four-Manifolds -- editors R. Friedman, J. W. Morgan American Mathematical Society 1998