15 Sformułowanie teorii z globalną supersymetrią w superprzestrzeni
16. Sformułowanie (N=1)- supergrawitacji w superprzestrzeni
16.3 Analiza więzów w superprzestrzeni
Dla supergrawitacji z więzami mamy dwa warianty dalszego postępowania. Możemy po prostu rozwiązać więzy [76, 77]
lub wykorzystać inną możliwość i przeanalizować następstwa tych więzów, wykorzystując do tego tożsamości Bianchi [78]. Sytuacja ta jest podobna do sytuacji, która istniała w supersymetrycznej teorii Y-M ( zobacz rozdział 15), jednakże w przypadku supergrawitacji wszystko jest bardziej złożone.
Na początku powiemy jak wykorzystać tożsamości Bianchi dla tego, aby wnioskować do jakich następstw prowadzą więzy.
Rozpatrzone w poprzednim podrozdziale więzy ( po raz pierwszy więzy te były rozpatrzone w pracy [79] ) ( standardowe, zachowujące reprezentacje i superkonforemne ) mają postać :
TAB•n − 2i(σn )AB• = TABm = 0 (16.76)
TAmm = TABC = TAB•C• = TAmn (σ
-
mn )B•C• = 0 (16.76)
Tmnr = 0 (16.76)
I analogiczne zależności dla wielkości sprzężonych zespolenie.
Najlepszy sposób analizy tożsamości Bianchi to rozpatrzenie ich w porządku zwiększania się ich wymiaru.
Sposób ten jest szczególnie efektywny, ponieważ pozwala on wykorzystać zależności liniowe do chwili, aż nie napotkamy tożsamości Bianchi o wymiarze 2 ( zobacz dalej ).
Wszystkie tożsamości Bianchi o wymiarze ½ spełnione są automatycznie, oprócz tożsamości IABC•m = 0.
Tożsamość ta ma postać :
0 = − DATBC•m + TABFTFC•m + RABC•m − DC•TABm + TC•AF TFBm + RC•Abm − DBTC•Am +
+ TBC•F TFAm + RBC•Am (16.77)
Krzywizna przyjmuje wartości w przestrzeni reprezentacji grupy Lorentza, dlatego też wszystkie podane powyżej składowe zawierające ją zerują się. Pochodna tensora TBC•n jest również równa zero, ponieważ jest to stały tensor.
Wykorzystując więzy TABm = 0, dochodzimy do tożsamości :
TABC•DD• + TBAC•DD• = 0 (16.78)
I podstawiając ten wynik do (16.79), znajdujemy : TABC•DD• = + ¼ εAB εD•C• TCCD•
Jednakże TAmm jest równoważna składowej TABB•
BB• spełniającej tożsamość : TABB•
BB• = 0 (16.84)
Zatem, TCCD•
AD• = 0 i Tamm = 0.
W istocie składowe skręcenia o wymiarze ½ i 0 są równe zero, za wyjątkiem TAB•n = −2i(σn )AB•, dlatego najniższy wymiar, w którym niezerowe natężenia zawierają człony biliniowe TRSF TFTN jest równa 2. To uprawomocnia wcześniejsze stwierdzenie, dotycząc e nieliniowości w analizie tożsamości Bianchi.
Dla tożsamości Bianchi o wymiarze 1 człony o postaci DT zerują się, a człon T2 jest równy zero, jeśli tylko nie ma on postaci T2i(σn )AB• Przykładowo tożsamość IA•B•mn = 0 oznacza, że :
0 = RA•B•mn + TmA•C ( −2iσn )B•C − TB•nC( −2iσm )CA• (16.85) Mnożąc to wyrażenie przez macierze (σm )CC• i (σn )DD• i przechodząc w ten sposób do indeksów spinorowych, znajdujemy :
RA•B•CC•DD• + 4iTCC•A•D• + εD•B• + 4iTCC•B•D• εD•A• = 0 (16.86) Własności tensora lorentzowskiego RPQmn pozwalają wyrazić go przez RPQAB i RPQA•B•.
Rozpatrzmy tensor :
RPQCC•DD• ≡ RPQmn (σm )CC• (σn )DD• (16.87)
Zauważmy, że symetryzacja po indeksach C i D automatycznie prowadzi do antysymetryzacji po C•i D• Tym niemniej mamy :
(σm )(C | C• (σn ) | D )D• − ( m ↔ n ) = − εC•D• (σmn )CD podczas, gdy :
(σm )C (C•| (σn )D | D• ) − ( m ↔ n ) = εCD(σ
-mn )C•D• (16.88)
zatem, dla tensora krzywizny otrzymujemy : RPQCC•DD• = − ½ εC•D• RPQmn
(σmn )CD + ½εCDRPQmn(σ
-mn )C•D• =
= 2εC•D• RPQCD + 2εCDRPQC•D• (16.89)
Rozłożymy teraz TnA•D na części nieprzywiedlne względem grupy Lorentza :
TCC•A•D = εCD εC•A• i (R*/12) + εCDT(C•D• ) + εC•A• T(CD) + T(CD)(C•A• ) (16.90) Podstawienie zależności (16.89) i (16.90) do (16.85) i pomnożenie przez εC•D•εCD daje :
T(C•A• ) = 0 (16.91)
Symetryzując po indeksach DC i mnożąc εC•A• otrzymujemy :
RD•B•CD + 6iεC•A• T(CD) + 2iT(CD)(D•B•) = 0 (16.92) Skąd wynika T(CD) = 0
Symetryzując po indeksach CD i antysymetryzując po C•D• otrzymujemy :
RA•B•C•D = 0 (16.93)
T(CD)(A•B•) = 0 (16.95) Wtedy tożsamość Bianchi prowadzi do postaci :
RA•B•C•D• = 1/6 ( εD•B• εC•A• + εC•B•εD•A• )R* (16.96) Zatem, otrzymujemy :
TCC•A•D = 1/12 iεCDεC•A• R* (16.97) Analizę taką można przedłużać trzymając się podanej kolejności obliczeń, jest ona jednak nieco długa i uciążliwa.
Podstawowy wynik [78] polega na tym, że wszystkie składowe skręcenia i krzywizny mogą być wyrażone z użyciem pojęć trzech superpól i ich pochodnych spinorowych. Takie superpola to podane powyżej pola R jak również GAB• i W(ABC). Superpola GAB• i WABC wyrażają się przez superskręcenia w następujący sposób :
Takie super pola spełniają następujące więzy :
DA• R* = 0 , DA• W(ABC) = 0 , DB•GAB• = − 1/24 DAR* , DAW(ABC) = −i ( DBD• GCD• + DCD• GBC• ) (16.100) Pole Gn jest polem rzeczywistym :
GAB• = (σn )AB• Gn = (GBA• )*
Jak już mówiliśmy wcześniej, zgodnie z analizą wymiarową działanie prostej supergrawitacji ma postać :
(1/2κ2 )
∫
d8z E (16.101)gdzie E = det EnN
Ponieważ na supergrawitacje nałożono więzy, forma równań ruchu nie jest oczywista. Jednakże można pokazać [80], że z tego działania i więzów w superprzestrzeni (16.76) wynikają równania :
R = GAB• = 0
W następnym rozdziale pokażemy, że rzeczywiście jest to prawdziwa forma równań polowych w tym sensie, że prowadzą one do w x- przestrzeni do równań ruchu (N=1) – supergrawitacji.
Oddziaływanie supergrawitacji z chiralnym polem materii ϕ, spełniające warunek :
DAϕ = 0 (16.102)
Ma postać :
∫
d8z E K(ϕ, ϕ) (16.103)
gdzie K – jest dowolną funkcją, której rozkład ma postać : K(ϕ, ϕ
-
) = ϕϕ- + ...Człony oddziaływania budujemy, wykorzystując gęstość chiralną [80] : E = ¼ D
-
2(E/R* )(16.104) I mają one postać :
∫
d4x d2θ E f(ϕ ) (16.105)gdzie : f – jest analityczną funkcją pola ϕ.
Inwariantność tego działania ustanawiamy w następujący sposób.
Funkcja f jest chiralna, dlatego może ona być zapisana następująco :
f(ϕ) = (D
-
2 − 1/3R* )U (16.106)gdzie : U – dowolne superpole.
Wyrażenie :
− 1/3
∫
d8z EU (16.107)jest inwariantne i można go zapisać w następującej postaci :
−
∫
d8z (E/R* ) D-
2U +∫
d8z (E/R* ) f(ϕ) =∫
d4x d2θ Ef(ϕ) (16.108) Pierwsza składowa zeruje się ponieważ ma postać dywergencji tj. :∫
d8z EDA• VA• = 0 (16.109)Wynika to scałkowaniu przez części i wykorzystaniu więzów, nakładanych na skręcenie ( zobacz końcówka niniejszego podrozdziału ).
Wprowadzenia pól Y-M dokonujemy tak samo jak w przypadku teorii z globalną supersymetrią.
Rozpatrzymy dalej superpole V, którego przekształcenie cechowania ma postać :
eV’ = e Λ
-
eV eΛ (16.110)gdzie : Λ - pole lokalnie chiralne : DA Λ
-
= 0.Kowariantne natężenie pola jest równe :
WA = ( D
-
2 − 1/3 R* ) ( e−VDA eV ) (16.111)Ponieważ pole WA jest polem chiralnym ( DB•WA = 0 ), odpowiednie działanie [80] ma postać :
A = (1/64C2(G) g2 )
∫
d4x d2θ ε Tr WA WA (16.112)Oddziaływanie z materią zadane jest przez funkcjonał :
∫
d4x d2θ ϕ-
eVϕ(16.113) Alternatywnym podejściem do zbudowania teorii supergrawitacji jest rozwiązanie więzów [76]. Jest to jednak bardzo złożona procedura. Po dokonaniu odpowiednich przekształceń cechowania, eliminujących określone superpola, przekonamy się, że wszystkie tetrady i koneksje spinowe mogą być wyrażone przez jedno superpole Hµ.
Jeśli składowe superpola Hµ oznaczymy jako ( Cµ , ζµ , Mµ , Nµ , eµn , ψµα , bµ ), to inwariantność cechowania którą posiada dane superpole, można wykorzystać w celu wykluczenia pól Cµ i ξµ. Pola Mµ i Nµ przekształcają się w następujący sposób :
δMµ = ∂2eµ − ∂µ∂νeν , δNµ = ∂2tµ − ∂µ∂νtν (16.114) co gwarantuje ich pojawienie się w działaniu w postaci ∂µMµ = M’ i ∂νNν = N’.
Pozostałe przekształcenia cechowania reprezentują sobą standardowe przekształcenia pól eµn i ψµα. Szczegółowe omówienie rozszerzenia więzów podano w pracach [6, 76]. Kierując się dalej takim sposobem obliczeń znajdziemy, że więzy prowadzą do pierwotnie minimalnemu sformułowaniu supergrawitacji. Znając rozwiązanie więzów z użyciem Hµ możemy wyrazić działanie, jak również zerowe składowe skręcenia i krzywizny przez Hµ. Zatem, otrzymamy oddzielne składowe skręcenia i krzywizny wyrażane przez eµn , ψµA , M’, N’ i bµ/
W celu znalezienia pól składowych w x- przestrzeni w kontekście „rozwiązania tożsamości Bianchi” należy na początku w tej właśnie przestrzeni zidentyfikować niezależne pola składowe, zawarte w superpolach R, GAB• i WABC = W(ABC) uwzględniając więz (16.100). Wszystkie te niezależne pola można otrzymać, obliczając składowe superpól TmnA i Rmnrs przy θ = 0, nie rozpatrując (θ=0)- składowej R i GAB•
Oznaczmy składowe superpól R i GAB• przy θ = 0 przez M + iN oraz bAB• = (σn )AB• bn.
Wtedy znajdziemy, że TmnA i Rmnrs przy θ = 0 można wyrazić przez Eµn ( θ = 0 ) ≡ eµn (x) i
EµA ( θ = 0 ) ≡ ½ ψµA , a także M, N i bµ. Zatem superpola R, GAB• i WABC, jak również skręcenie i krzywizna zawierają pola składowe eµn , ψµA , M, N i bµ w x- przestrzeni. Szczegóły wyprowadzenia tego stwierdzenia można znaleźć na końcu następnego rozdziału.
Dowiedziemy teraz jednego z wyników, który wykorzystaliśmy wcześniej.
(* od góry – Lemat , dowód *)
Ostatnie wyrażenie zeruje się, ponieważ spełniony jest warunek : Tnrs = 0 , TnAA + TnA•A• = 0