Mechanizm Fayet’a-Ilipoulos’a [144]
21. Dwuwymiarowe supersymetryczne modele
21.1 Dwuwymiarowy model z globalna supersymetrią
W niniejszym rozdziale rozpatrujemy możliwe modele supersymetryczne w dwuwymiarowej CP. Robimy to po części dlatego, że takie modele są o wiele prostsze od istniejących analogów w przestrzeniach o wyższym wymiarze i można je wykorzystać dla ilustracji ogólnych własności teorii supersymetrycznych oraz technik obliczeniowych, nie
prowadzących do bardzo złożonych przekształceniom. Podstawowa przyczyna jest jednak taka, że modele takie leżą u podstaw teorii superstrun w tym sensie, że na teorię strun można patrzeć jako na dwuwymiarowe modele „żyjące” na powierzchni świata struny.
Zanim jednak omówimy możliwe modele, zastanowimy się na wyborze oznaczeń i pewnych własnościach
dwuwymiarowej algebry Diraca. Współrzędne dwuwymiarowej przestrzeni oznaczymy jako ξα ( α = 0, 1 ), a indeksy spinowe poprzez duże litery A, B, ... Czytelnik powinien rozpoznać, że oznaczenia te istotnie różnią się od tych, które wykorzystywaliśmy dla wyższych wymiarów. Przyczyna takiego faktu odejścia od takich oznaczeń stanie się jasna, kiedy zapiszemy równania teorii strun. Metrykę wybierzemy w postaci ηαβ = ( −, + ), a macierze Diraca w następujący sposób : γβ = ( iσ1, σ2 ), gdzie σ1 i σ2 – dwie z trzech macierzy Pauliego. W wyniku tego macierze γβ spełniają zależność γβγδ + γδγβ = 2ηβδ.
Macierz γ5 wybierzemy w postaci :
γ5 = −γ0 γ1 = ( 1 0 ) (21.1)
( 0 −1 )
Macierz sprzężenia ładunkowego C, spełnia zależność :
CγβC−1 = −γ~β (21.2)
I przyjmiemy ją równą :
CAB = ( 0 1 ) = −iγ1 (21.3)
( −1 0 )
Zauważmy, ze macierze (Cγ5 ) i ( Cγ5 ) są symetryczne podczas, gdy sama macierz C jest antysymetryczna.
Zdefiniujmy spinor sprzężony diracowsko do spinora χA w postaci χ− = −iχ†γ0. Można również zdefiniować spinory sprzężone o postaci :
χc = Cχ−T , χ−c = C-1χ (21.4)
Widać, ze powtórne zastosowanie wskazanej operacji „sprzężenia” prowadzi jak należało oczekiwać do wejściowego rezultatu. W wielu przypadkach użyteczne będą zależności :
γβγδγβ = 0 , γαβ ≡ ½ [ γα , γβ ] = εαβγ5 (21.5)
gdzie εαβ = ± 1.
Na koniec zapiszemy tożsamości Frieza :
Algebra supersymetrii z jednym superładunkiem QA bez więzów określona jest przez zależności :
Jak również przez zależności z grupy Poincarego.
Można otrzymać wszystkie nieprzywiedlne reprezentacje takiej algebry, tak jak to robiliśmy dla czterowymiarowej supergrupy Poincarego. Dla stanów na powierzchni masy, tak jak i wcześniej, moglibyśmy znaleźć odpowiednie prawa przekształceń supersymetrii oraz inwariantne działania. Podamy wyniki takiej analizy.
Podstawowy model zawiera pola ( A, χA, N ), przy czym wszystkie one są zespolone. Przekształcenia supersymetrii poza powłoką masy mają następującą postać :
δA = ε-χ , δχ = ∂^Aε + Nεc , dN = ε-c∂^χ (21.8) Domknięcie algebry przekształceń, działających na pole A, prowadzi do następującej zależności :
Zależne od N składowe są równe zero, ponieważ macierz CAB jest antysymetryczna, a parametry ε antykomutują.
Inwariantne swobodne działanie ma postać :
A = ½
∫
d2ξ { − | ∂αA |2 − χ-∂^χ + | N |2 } (21.10) Użytecznie będzie teraz zbudować prądy, odpowiadające generatorom Pα , QA oraz generator obrotów chiralnych R.Prądy te dane są poprzez następujące zależności :
Są one zachowane, spełniają również dodatkowe warunki :
θαα = 0 = ( γβjβ )A (21.12)
Wskazane warunki odpowiadają nowym symetriom, a dokładnie symetrii dylatacyjnej i S- symetrii, z którymi związane są odpowiednio prądy : ξβθαβ i ( ξ^jα )A .
Wariując prądy, podane w (21.11) z pomocą znanych przekształceń supersymetrii (21.8), znajdujemy, że tworzą one supermultiplet :
( θαβ , jαA , jα(5) ) (21.13)
o własnościach transformacyjnych :
δθαβ = ¼ ε- γ( α | δ δ→ j | (β) + ¼ j- (α | δ← γδ | β ) ε
( oznaczenia mają następujący sens : wykonujemy symetryzację po indeksach, oprócz tych, które zawarte są między liniami pionowymi )
δjβA = 2( γδθβδε ) + ½ ( ∂^ jβ(5)ε )A , δjβ(5) = ε -jβ + j
-βε (21.14)
Prądy tworzą supermultiplet i jest to nieuchronnym następstwem tego, ze ich własności transformacyjne powinny prowadzić do algebry supersymetrii.
Przykładowo, biorąc do przekształceń : δjαA = { jαA , Q-B } = ( 2γδθαδ + ½ ∂^jα(5)
)AB (21.15) składowe prądu z α =0 i scałkować po ξ1, otrzymamy tak jak oczekiwaliśmy, zależność :
{ QA , Q-B } = 2 (γδ )AB Pδ (21.16)
W analogiczny sposób można otrzymać zależności dla całej algebry. Stąd jest jasne, że w dowolnej teorii supersymetrycznej prąd chiralny, prąd supersymetrii i tensor energii-pędu powinny znajdować się w jednym
supermultiplecie. Taka osobliwość po raz pierwszy została ujawniona w pracy [108]. O zależności między algebrą i jej prądami można poczytać w rozdziale 20.
Czytelnik, sprawdzający równość fermionowych i bozonowych stopni swobody w multiplecie superprądów, znajdzie, ze poza granicami wymiaru 2 multiplet w przypadku ogólnym powinien zawierać jeszcze inne składowe.
Użytecznie jest rozpatrzyć różne więzy, które można nałożyć na spinor χA, posiadający składowe : χ = ( a )
( b )
a) Warunek Majorany χc = χ prowadzi do zależności :
Cχ-T = C( −iχ†γ0 )T = χ (21.17)
Skąd wynika :
a = a* , b = −b* (21.18)
Moglibyśmy wymagać, aby związek ten był spełniony dla generatorów o wymiarze większym od wymiaru algebry supersymetrii i w taki sposób, otrzymać superładunek majoranowski i odpowiadający mu parametr Majorany.
Nieprzywiedlny multiplet takie algebry zawiera ( A, χ, N) gdzie A i N – pola rzeczywiste, χ - spinor Majorany.
Prawa przekształcenia poza powierzchnią masy możemy łatwo wyprowadzić ze wzoru (21.14), w wyniku tego otrzymamy :
δA = ε-χ , δY = ( ∂^A + N )ε , δN = ε-∂^χ (21.19) b) Mamy również drugi wariant : możemy wymagać spełnienia warunku Weyla :
χ = γ5χ (21.20)
To oznacza, Że χ ma postać :
χ = ( a ) (21.21)
( 0 )
Po nałożeniu więzów na superładunek QA jego jedyną niezerową górną składową oznaczymy jako Q.
Odpowiedni parametr supersymetrii powinien mieć składową z przeciwną chiralnością, tak aby wyrażenie ε-Q nie zerowało się, a jego najniższą składową oznaczymy jako ε. Zależności algebry Weyla supersymetrii, otrzymywane w wyniku spełnienia wskazanych więzów w zależnościach (21.7), mają postać :
{ Q, Q* } = iP− , { Q, Q } = 0 , [ Q, Pα ] = 0 (21.22)
Definiując wielkości R± = R0 ± R1 , otrzymujemy równości :
Rα Pα = ½ ( R+ P− + R− P+ ) (21.23)
Przy czym :
γ+ γ− + γ− γ+ = − 4 , γ+2 = γ−2 = 0 (21.24)
Przekształcenia weylowskiej supersymetrii supermultipletu ( A, χ, N ) mają postać :
δA = ε*χ, δχ = i∂_Aε , δN = 0 (21.25)
Zatem nieprzywiedlny multiplet zawiera pola (A, χ).
Zauważmy, że w odróżnieniu od przypadku czterech wymiarów, operator wchodzący do prawej części zależności {Q, Q*} tj. iP_ ogólnie mówiąc nie jest odwracalny. Dlatego nie możemy wymagać, aby multiplet miał równą liczbę fermionowych i bozonowych stopni swobody. Łatwo możemy znaleźć odpowiedni przykład : rozpatrzmy pole ϕ, spełniające warunek ∂_ϕ = 0 i będące pierwszą składową podanego powyżej supermultipletu. Przy przekształceniach supersymetrii spinorowa składową multipletu pozostaje niezmienna, zatem można ją przyjąć równą zero. Dlatego też pole ϕ jest niezmienne przy przekształceniach supersymetrii i samo ono tworzy multiplet; takie multiplety będziemy nazywali singletami. Oczywiście można wymagać spełnienia warunku Weyla w dowolnej przestrzeni z parzystą liczbą wymiarów.
c) Jeszcze jeden wariant polega na jednoczesnym spełnieniu warunku Weyla i Majorany. W tym przypadku spinor posiada tylko górną rzeczywistą składową. Spinor, będący jednocześnie spinorem Majorany i spinorem Weyla, może istnieć tylko w tym przypadku, jeśli wymiar CP jest równy 8n + 2, gdzie n – liczba całkowita. Stwierdzenie to dotyczy tylko przestrzeni z jednoznacznym czasem, dla przestrzeni z różnymi sygnaturami tensora metrycznego takie spinory istnieją dla różnych wymiarów.
Załóżmy, ze mamy spinor Weyla ( tj. χ = γ5χ ); wtedy możemy przepisać warunek Weyla w postaci γ+χ = 0.
Jeśli spinor spełnia równanie Diraca ∂^χ = 0, to znajdziemy :
γ_ ∂+χ = 0 (21.26)
skąd wynika :
∂+χ = 0 (21.27)
Dlatego χ = f( x − t ) i zatem, rozwiązanie opisuje falę, poruszającą się w prawo. W dwóch wymiarach cząstka powinna poruszać się albo w lewo, albo w prawo, a kierunek ruchu jest inwariantem lorentzowskim. Jeśli pole χ należy do supermultipletu, to możemy wnioskować, ze pole A również propaguje się w prawo ( tj. ∂+A = 0 ). W bardziej standardowym języku stwierdzenie takie jest równoważne równaniu :
∂αA = εαβ∂β A (21.28)
Działanie, odpowiadające spinorom można zapisać w postaci :
− ½
∫
d2ξ χ* ∂_ χ (21.29)Jednakże na mocy podanego powyżej równania działanie, odpowiadające skalarom, tożsamościowo zeruje się.
Jest to ogólny problem, dotyczący dowolnego natężenia pola o nieparzystym rzędzie tj. samodualnych. Ogólne rozwiązanie tego problemu nie jest znane, jednakże w dwóch wymiarach przyjęto [177] rozpatrywać działanie z mnożnikiem Lagrange’a λ_ postaci :