12.4 (N= 4)- teoria Yanga-Millsa
13. Lokalny rachunek tensorowy i oddziaływanie supergrawitacji z polami materii
14.1 Elementarne wprowadzenie do (N=1)-superprzestrzeni
W niniejszym podrozdziale podamy teorio-grupowe wyprowadzenie superprzestrzeni i jej własności. Rozpatrzymy również elementarne wprowadzenie do (N =1)-superprzestrzeni przeznaczone dla czytelnika, który chciałby wykorzystać superprzestrzeń w swojej pracy, ale nie chce zagłębiać się z koncepcje konieczne dla otrzymania jej jako przestrzeni ilorazowej.
Superprzestrzeń przedstawia sobą 8-mio wymiarową rozmaitość, parametryzowaną przez współrzędne xµ , θα , spełniające następujące zależności :
xµ xν – xνxµ = 0 , xµθα – θαxµ = 0 , θαθβ + θβθα = 0
tj. θα – są antykomutującymi współrzędnymi będącymi spinorami Majorany θα = Cαθ-β Przekształcenia supersymetrii i translacji zadane są na takiej rozmaitości następująco : x’µ = xµ – ε-γµ θ + aµ , θ’α = θα+ εα
gdzie : εα - jest antykomutującym spinorem Majorany.
Przekształcenia Lorentza i translacje mają postać :
x’µ = xµ – ωµν xν + aµ , θ’α = θα – ωµν ¼ (γµν )αβθβ
Teraz przekonamy się, że przekształcenia supersymetrii rzeczywiście zadają reprezentacje algebry supersymetrii i prowadzą w wyniku tego do translacji odpowiedniej wielkości.
Dokonując kolejno dwóch superprzekształceń o parametrach ε2 i ε1 , otrzymujemy : x12 = x1+ ε
-1γµ ( θ + ε2 ) , θ12α = θα + ε1α+ ε2α
Zamieniając miejscami człony, zaznaczone indeksami 1 i 2 znajdujemy jak należało oczekiwać : x12 – x21= −2ε
-1γµ ε2 , θ12 – θ21 = 0
Superpola ϕ(xµ , θα ) są funkcjami zadanymi na superprzestrzeni. Ich składniki można znaleźć za pomocą rozkładu Taylora względem potęg θα :
W takim rozkładzie składowe proporcjonalne do θαθβθγθδθε nie występują, ponieważ są one wielkościami 5-cio indeksowymi antysymetrycznymi względem wszystkich indeksów. Składowe biliniowe po θα postaci ½ θαθβ Nαβ można przepisać rozkładając Nαβ w układzie zupełnym :
Nαβ = ( C−1 )αβK – ( γ5 C−1)αβ H + ( γµγ5 C−1 )αβ Aµ
Zatem, ϕ(xµ , θα ) zawierają pola składowe ( C, ζα , H, K, Aµ , λα , D ).
Mnożąc dwa superpola ϕ1, ϕ2 otrzymujemy trzecie superpole : ϕ3 = ϕ1ϕ 2 = C1C2 + θ
(C1ζ2α + C2ζ1α ) + ...
zawierające pola składowe postaci ( C1C2 , C1ζ2α + C2ζ1α , ... )
Zdefiniujemy teraz skalarne superpole jako pole, inwariantne względem przekształceń supersymetrii : ϕ’(x’ , θ’ ) = ϕ(x, θ)
Dal wariacji superpola mamy :
δϕ = ϕ(x’, θ’ ) – ϕ(x, θ) = ϕ( xµ – ε-γµθ , θ + ε ) – ϕ(x, θ) = + ε-Qϕ Zatem,, superładunek Qα przyjmuje postać
:
Qα = ∂/∂θα – (γµθ ) ∂µ
Przekształcenia pól składowych rozpatrujemy w następnym podrozdziale, ponieważ odpowiadają im reprezentacje, określane przez inne generatory superalgebry Poincarego.
W celu zbudowania działania należy na początku znaleźć pochodne kowariantne.
Nie bacząc na to, że operator ∂m = Pm komutuje z superładunkiem [ Qα, Pm ] = 0, pochodna spinorowa ∂/∂θ-α nie
Można się o tym przekonać pokazując, że antykomutator superładunku Qα i tej właśnie pochodnej zeruje się, tj. : { Qα , Dβ } = 0
Czytelnik nie zainteresowany dokładnymi wywodami, może od razu przejść do wzorów (14.40) następnego podrozdziału.
14.2 (N=1)-superprzestrzeń.
Formalizm ogólny. Wszystkie własności superprzestrzeni można systematycznie otrzymać, rozpatrując ją jako przestrzeń ilorazową. Wyłożymy teraz krótko ten formalizm.
Niech dana będzie dowolna grupa G i jej podgrupa H. Możemy teraz zdefiniować pewien stosunek (relacje ) równoważności między dwoma elementami g1i g ∈ G :
g1 ~ g2 jeśli tylko g2−1g1 ∈ H
Stosunek ten jest taki, że przy połączeniu elementów równoważnych należących do G w jedną klasę, grupa G rozbija się na nieprzecinające się klasy. Zbiór takich klas jest właśnie przestrzenią ilorazową, którą oznaczamy jako G/H.
Daną przestrzeń ilorazową można parametryzować wybierając dowolny element w każdej warstwie jako reprezentanta danej klasy. Działanie grupy G na przestrzeni ilorazowej zadane jest przez naturalne działanie G na wybranego reprezentanta. Innymi słowy, jeśli g ∈G, to wynik jego działania na warstwę, reprezentowaną przez element g1 jest warstwą, zawierającą element gg1. Łatwo możemy się przekonać, że działanie to nie zależy od wybranego reprezentanta.
Przestrzeń ilorazowa G/H może być sparametryzowana przez współrzędne ξπ ( π = 1, ... , dim G – dim H ), tak więc jej elementy mogą być zapisane w postaci L(ξπ ). W charakterze jednej z takich parametryzacji wykorzystuje się
odwzorowanie wykładnicze. Dowolny element grupy można przedstawić w następującej postaci : g = exp(ξnKn ) exp(wiHi )
gdzie : Hi – generatory podgrupy H, Kn – pozostałe generatory.
Dogodną parametryzację przestrzeni ilorazowej otrzymujemy przy wi = 0.
Zbudowawszy przestrzeń ilorazową G/H naturalnym jest rozpatrzyć na niej pewne obiekty geometryczne, takie jak tetrady, koneksje spinorowe itp. Jest pożądane, aby takie obiekty odzwierciedlały symetrię przestrzeni ilorazowej.
Inwariantne tetrady eiπ i koneksje spinorowe wiπ w przypadku reduktywnych przestrzeni ilorazowych określone są wzorem :
L−1(ξ ) ∂πL(ξ ) = eπnKn + wπiHi Pochodna kowariantna ma postać : DN = eNπ ( ∂π + wπiTi )
gdzie : Ti – generatory grupy H, odpowiadające polom, na które one działają.
Bardziej szczegółowy opis danych zagadnień można znaleźć w pracy [6].
Dla uproszczenia rozpoczniemy od (N=1)- supergrupy Poincarego, oznaczanej jako SP i zbudujemy przestrzeń ilorazową SP/L, gdzie L – jest grupą Lorentza.
Ogólny element grupy DP można zapisać w postaci : g0 = exp{ aµPµ + εAQA + εA•
QA• } exp{ ½ wmnJmn } (14.1)
Przestrzeń ilorazowa SP/L nazywana (N=1)- superprzestrzenią, sparametryzowana jest poprzez współrzędne ( xµ, θA, θA• ) = zπ, gdzie punkt zπ odpowiada elementowi grupy :
exp( zπKπ ) = exp{ xµPµ + θAQA + θA•
QA• } (14.2)
gdzie Kπ = ( Pµ , QA , QA• )
Pod działaniem elementu grupy g0 (14.1) punkt o współrzędnej zπ przekształca się w punkt z’π, gdzie z’π określony jest przez równość :
g0 exp( zπKπ ) = exp( z’πKπ ) exp( ½ w’mnJmn ) (14.3)
W niższym rzędzie rozkładu po aµ, wmn i εα znajdujemy :
Przy tym wykorzystaliśmy zależność :
zatem :
Dla uproszczenia oznaczeń w większości kolejnych równań będziemy pisali indeksy dla przestrzeni zakrzywionej θA W postaci θA. Ponieważ QA i Pµ komutują, przekształcenia te przedstawiają sobą przekształcenia supersymetrii we wszystkich rzędach względem εA. Obliczając komutator dwóch przekształceń supersymetrii, znajdujemy, że takie przekształcenia w istocie realizują reprezentacje (N=1)- supergrupy Poincarego.
Przykładowo, w przypadku dwóch przekształceń supersymetrii otrzymujemy :
Z drugiej strony działając dwoma kolejnymi przekształceniami na exp(zK ), a dokładnie : g1 [g2 exp(zK )] = exp( z12K )
znajdujemy :
Porównując składowe postaci ε1ε2 i odejmując składową z przestawionymi indeksami 1 i 2, otrzymujemy zależność :
{ QA• , QB } = − 2i(σm )A•B Pm (14.9)
Rozpatrzymy teraz funkcje (superpola ), określone na (N=1)- superprzestrzeni.
Skalarne superpole określone jest przez równanie :
ϕ’(z’ ) = ϕ(z) (14.10)
Dla zgodności ze standardową metodą obliczania komutatorów, stosowaną w supersymetrii ( którą krótko rozpatrzymy dalej ), przyjmiemy pasywną interpretacje działania przekształceń grupy, a dokładnie :
U(g) ϕ(z) = ϕ( τ(g)z ) (14.11)
Gdzie : τ(g )z = z’
Dla pasywnej interpretacji przekształceń znajdujemy :
δϕ = ϕ(z + δz ) – ϕ(z) = + δgN fNπ∂π ϕ(z) = + δgNXNϕ(z ) (14.12) gdzie dla elementu małej grupy δgN punkt zπ odwzorowuje się w punkt z’π + δgN fNπ
Dlatego infinitezymalne operatory ( wektory Killinga ), odpowiadające przekształceniu supersymetrii w superprzestrzeni, mają postać :
XN = fNπ∂π = ( łm, łA, łA• , łmn ) (14.13)
Literka ł (* l *) oznacza konkretną realizacje generatorów Pm , QA , QA• , Jmn z użyciem operatorów różniczkowych Rozpatrując przekształcenia (14.5), otrzymujemy :
Przyjmiemy następujące zasady różniczkowania po zmiennych antykomutujących ( zobacz Dodatek ) :
∂/∂θA θB = δAB , ∂/∂θA• θB• = δA•B• (14.16) Pochodna ∂/∂θA powinna antykomutować ze zmiennymi θ; np. :
∂/∂θA ( θB θC ) = δAB θC – θBδAB (14.17) Własności operatora ∂/∂θA przy sprzężeniu zespolonym podano w dodatku.
Operatory (14.14), (14.15) spełniają zależności określonej algebry :
Zależności te są zgodne z wymaganiem reprezentacji algebry przez operatory infinitezymalne. Przy obliczaniu
komutatora dwóch przekształceń, działających na superpole ϕ(z), należy zauważyć, ze musimy dokonać wariacji δ1 po wariacji δ2 Zgodnie z definicją przekształcenie supersymetrii ma postać :
δϕ = (εAłA + εA• łA• )ϕ
a działanie dwóch takich przekształceń można zapisać, wykorzystując zależności (14.18), w następującej postaci :
Przy drugim wariancie obliczeń wykorzystamy algebrę supersymetrii :
Wzory te pokrywają się ponieważ dla małych am mamy :
δam ϕ = [ U(exp(amPm ) – 1 ]ϕ = amłmϕ = am∂mϕ (14.21) Możemy jednak rozpatrywać ogólniejszą przestrzeń reprezentacji, niż superpola skalarne, przypisując superpolu indeksy, odpowiadające reprezentacji grupy Lorentza, do której ono należy. Dla superpola ϕp otrzymujemy :
U(g) ϕp(z ) = Dpq [ exp(- wmnJm½ ) ϕq( τ(g)z ) (14.22)
gdzie : g – określone jest przez wzór (14.1), Dpq – macierz, odpowiadająca reprezentacji, parametryzowanej przez indeks q.
Ponieważ generatory (N=1)- supersymetrii same tworzą reprezentacje grupy Lorentza, podgrupa obrotów w (14.22) nie zależy od z. Spinorowe superpole przekształca się w następujący sposób :
U(g) ϕA(z ) = [ exp( − ¼ wmn σmn )]A
B ϕB (τ(g)z ) (14.23)
Działanie infinitezymalnych generatorów na ϕp ma taką samą postać co wcześniej, jednakże operator łmn na skutek obrotu lorentzowskiego przybiera dodatkowych składowych; np.
Superpole ϕ(xµ , θA, θA• ) możemy rozłożyć w szereg Taylora, względem potęg θA i θA• ; przy tym współczynniki rozkładu będą funkcjami xµ :
Szereg ten ucinamy na składowej, proporcjonalnej do (θA )2 ( θB• )2 , ponieważ θAθBθC = 0.
Jeśli superpole jest skalarne, to można znaleźć superprzekształcenia pól składowych. Przypominając sobie przekształcenie (14.12) otrzymujemy :
Porównując współczynniki przy θ, θ2 itd. , otrzymujemy :
Użytecznym będzie również znalezienie zasady przekształcenia skalarnego supermultipletu w 4-składnikowej postaci.
Wykorzystując wprowadzone w dodatku oznaczenia i redefiniując niektóre pola w celu uzyskania większej zgodności z oznaczeniami stosownymi w literaturze, znajdujemy :
Na kluczowym etapie obliczeń sprawdzamy zamkniętość algebry przekształceń, działających na pola w x- przestrzeni :
co jest zgodne z (14.19) i (14.20) przy θ = 0.
Oczywiście, mogliśmy wykorzystać aktywną interpretacje działania przekształceń grupy, ale wtedy wymagana byłaby inna interpretacja komutacji. W tym przypadku znaleźlibyśmy przykładowo, że :
δC = − ( εAχA + εA•εA• )
i komutator przekształceń powinien być obliczany bez zmiany porządku wariacji δ1 i δ2.
Przy takim podejściu należy na początku przekształcić multiplet , tj. : (C, χ, ... ) → ( C – ε2AχA – ε2A•χA• , ... )
a następnie , obliczając komutator podstawiamy ten nowy multiplet do prawa przekształcenia, odpowiadającego wariacji δ1 tj. :
Wynik rzeczywiście jest zgodny ze wzorem (14.31).
Repery, koneksje i pochodne kowariantne.
Repery i koneksje można otrzymać ze standardowych zależności :
Wynik ten możemy łatwo otrzymać, jeśli wykorzystamy następujący wzór :
e−A deA = ( e−A – 1 / −A ) ∧ dA = dA – ½ A ∧ dA + ...
gdzie 1 ∧ dA = dA , A ∧ dA = [ A, dA ] , A2 ∧ dA = [ A, [A, dA] ] itd.
Ponieważ [Q, P ] = 0, szereg ten urywa się po drugim członie.
Zatem otrzymujemy :
a koneksje wπ mn zerują się. W postaci macierzowej wynik ten przyjmuje postać :
Macierz odwrotna określona jest na superprzestrzeni poprzez zależność :
EΛM EMπ = δΛπ lub EMΛ EΛN = δMN (14.36)
i może być zapisana w następującej postaci :
Wykorzystując taki reper oraz koneksje spinową, możemy zbudować pochodną kowariantną.
Ma ona postać :
Pochodne kowariantne spełniają następujące zależności :
Są one całkowicie analogiczne – za wyjątkiem ogólnego znaku – do zależności algebry operatorów lA , lA• które określone są poprzez zależności (14.18).
Czytelnik może sprawdzić, że zbudowana w taki sposób pochodna kowariantna spełnia pewne funkcje, których nie oczekiwaliśmy. Jawne obliczenia pokazują, że :
[ DA , ln ] = { DA , QB } = { DA , QB• } = 0 , [ DA , lmn ] = 0 (14.41) Skręcenie i krzywiznę w (N=1)- superprzestrzeni, odpowiadające reperowi i koneksji spinowej (14.35), można znaleźć z zależności :
[ DM , DN ] = TMNR DR + ½ RMNmn Jmn (14.42) To oznacza, że :
RMNrs = 0 (14.43) i wszystkie składowe skręcenia są równe zero, za wyjątkiem :
TAA•m
= − 2i(σm )AA• (14.44)
Zatem, (N=1)- superprzestrzeń jest rozmaitością bez krzywizny, ale ze skręceniem zatem zgodnie z definicją nie jest ona rozmaitością Riemanna. Stąd wynika, że dowolna teoria z lokalną supersymetrią, oparta na riemannowskiej
superrozmaitości nie może zawierać jako granicznego, przypadku teorii z globalną superprzestrzenią.
Ważna własność przekształcenia współrzędnych polega na tym, że nie tworzą one nieprzywiedlnej reprezentacji grupy supersymetrii. Przykładowo każde z superpól :
DAϕ , DA•ϕ , ∂mϕ (14.45)
Przekształca się w siebie , a zatem ( jak zobaczymy dalej ), może być wykorzystywane w celu znajdowania więzów kowariantnych na ϕ.
Pochodne kowariantne można zastosować dla wyprowadzenia praw przekształcenia pól składowych w x- przestrzeni.
Przekształcenie supersymetrii niższej składowej C = ϕ |θ = 0 :
δϕ | θ=0 = δC = [ ( εAlA + εA•lA• )ϕ ] | θ=0 = [ ( εADA + εA•DA• )ϕ ] | θ=0 (14.46) Równość ta jest słuszna, ponieważ przy θ = 0 działania pochodnej DA i ładunku QA na superpole pokrywają się.
Wyższe składowe superpola w wyniku wykorzystania pochodnej kowariantnej mogą stać się niższymi składowymi drugiego superpola. Rozpatrzmy następujące superpola :
ϕ, DAϕ , DA•ϕ , − ½ DADAϕ , − ½ DA•DA•ϕ , ½ [ DB• , DA ]ϕ , ... (14.47) Ich składowe przy θ = 0 są odpowiednio równe :
C, χA , χA• , f , k , AAB• , … (14.48)
Przekształcenia supersymetrii podanych składowych pól można znaleźć z pomocą pochodnej kowariantnej, wykorzystując tylko zależności (14.40) :
itd.
Przy wyprowadzeniu tych przekształceń uwzględniliśmy fakt, że : DCθA | θ=0 = εCBDBθA | θ=0 = − δC
A (14.52)
Skalarne superpole ϕ(z) zawiera pola o spinach 0, ½ i 1. Jednakże najprostszy supersymetryczny model Wessa-Zumino nie zawiera pola o spinie 1. W celu wyeliminowania tej trudności, należy znaleźć podmultiplety skalarnego
supermultipletu, które przy przekształceniach supersymetrii przekształcają się w siebie i nie spełniają równań ruchu.
Takie multiplety można otrzymać, nakładając na ϕ warunki za pomocą pochodnej kowariantnej. Więz kowariantny niższego wymiaru ma postać :
DA•ϕ = 0 (14.53)
Zauważmy, ze wymiary kanoniczne pochodnych kowariantnych w współrzędnych są równe : dim [ DA ] = dim [ dθ ] = ½ , dim [ θ ] = − ½
a wymiary pochodnych są równe : dim [ ∂µ ] = dim[ χµ−1
] = 1
Z pomocą podanej wcześniej metody można otrzymać w x- przestrzeni pola składowe oraz prawa ich przekształceń.
Pola składowe mają postać :
z = ϕ | θ=0 , χA = DAϕ | θ=0 , f = − ½ DADAϕ | θ=0 (14.45) Jest jasne, że w x- przestrzeni nie ma innych składowych, następujących po polu f.
Zastosowanie pochodnej DB• prowadzi do pochodnych czaso -przestrzennych podanych powyżej pól. Prawa przekształcenia mają następującą postać :
gdzie wykorzystano ten fakt, że DADBDC = 0.
Zasady te w 4- składnikowych oznaczeniach przyjmują postać :
δA = ε-χ , δB = iε-γ5χ , δχ = [ F + iγ5G + ∂^ (A + iγ5B )]ε (14.58)
δF= ε-∂^χ , δG = iε-γ5∂^χ (14.59)
gdzie :
f = F + iG , z = − ½ ( A + iB) , χa = ( χA ) (14.60) ( (χA )* )
Czytelnik być może poznaje w tych wyrażeniach reprezentacje, którą wykorzystaliśmy dla zbudowania modelu Wessa-Zumino. Taki zbiór pól będziemy nazywali multipletem chiralnym lub multipletem Wessa-Zumino.
Wybierając odpowiednią bazę, można znaleźć zestaw pól wskazanego multipletu, nie zmieniający się po nałożeniu więzów (14.53).
Rozpatrzmy nowe współrzędne [67] :
Wykorzystując wzory z dodatku, można się przekonać, że yµ nie jest współrzędną rzeczywistą. W nowych współrzędnych więzy (14.53) przyjmują postać :
∂/∂ζB•ϕ(y, ζA• , ζB• ) = 0 (14.63)
To świadczy o niezależności ϕ od ζA•, dlatego superpole powinno być zapisane w postaci :
Ostatnia równość otrzymana jest po zamianie zmiennej zgodnie ze wzorem (14.61) i rozłożeniu w szereg Taylora, tj.
f(x + a ) = exp(aµ∂µ )f(x).
Dodatkowy więz :
DAϕ = 0 (14.65)
Jako dodatek do więzów (14.53) ( ostatnie równanie faktycznie wynika z (14.53) po dokonaniu operacji sprzężenia zespolonego, jeśli ϕ - jest polem rzeczywistym )prowadzi do zależności :
{ DA , DB• }ϕ = − 2i(σµ )AB•∂µϕ = 0 lub
∂µϕ = 0 (14.66)
Równanie to oznacza, że wszystkie pola składowe superpola ϕ są stałe.
Z praw przekształcenia składowych wynika, że jedyne odpowiednie superpole zawiera pola :
C = const. , χα = f = k = Aµ = λα = D = 0 (14.67)
Następujący po warunku (14.53) więz o minimalnym wymiarze, który nakładamy na ϕ, ma postać :
DADA = 0 (14.68)
Jednakże w tym przypadku można również wymagać, aby pole ϕ było rzeczywiste i dlatego DA•DA•ϕ = 0 W wyniku tego otrzymamy składowe superpola :
Oczywiste, że pochodne spinorowe wyższych rzędów prowadza tylko do pól składowych w x- przestrzeni, które są pochodnymi czaso- przestrzennymi podanych powyżej pól. Prawa przekształcenia mają postać :
Działając operatorem DADB• na równanie (14.68), otrzymamy :
∂µAµ = 0 (14.71)
W oznaczeniach 4-ro składowych te prawa przekształceń zapisujemy z użyciem pól (14.30) w następujący sposób : δC = iε-γ5ζ , δζ = ( − iγ5∂^C + A^ ) , δAµ = − ε
-σµν∂νζ (14.72)
Ten multiplet nazywa się liniowym; w rzeczywistości prowadzi on do algebraicznego sformułowania modelu Wessa-Zumino [47].
Drugiego więzu o wymiarze 1 :
½ [ DA , DB• ] ϕ = 0 (14.73)
nie można wykorzystać dla określenia nowego superpola.
Okazuje się, że dla wyboru Aµ = 0 w (14.72) i (14.29) wymagana jest stałość superpola ( C = const. pozostałe składowe są równe zero ).
Wyjaśnimy czy można wymagać aby superpole ϕ, określone przez wyrażenie (14.25) spełniało więz o wymiarze 3/2 tj. :
DB• DADA ϕ = 0 (14.74)
Taki więz prowadzi do równości zero składowej λ’ w (14.30). Odpowiedni zestaw składowych superpola określony jest przez wzory (14.29) i ma następującą postać :
( C, ζ, H, K, Aµ , λ’ = 0 , D’ = 0 ) (14.75)
przy czym : ∂µ Aν – ∂ν Aµ = 0, tj. Aµ = ∂µA.
Oczywiście jest to nic innego jak multiplet Wessa-Zumino.
Na koniec, możemy rozpatrzyć multiplet, który rozpoczyna się od pola λ’. W tym celu rozpatrzymy nie więz, a szczególną postać superpola :
WA = DA D−2ϕ (14.76)
gdzie superpole ϕ jest rzeczywiste i : D−2 = DA•DA•
Taki multiplet zawiera tylko pola :
( fµν = ∂µAν – ∂νAµ , λ’, D’ ) (14.77) i nie zawiera multipletu (14.75). Taki multiplet nazywamy multipletem Yanga-Millsa.
Wszystkie poprzednie rozważania można również prowadzić dla superpól, wyposażonych w indeksy lorentzowskie.
Jednakże indeksy te nie wnoszą istotnych zmian, ponieważ przekształcają się one z pomocą wielkości nie będących funkcjami na superprzestrzeni.
Całkowanie w superprzestrzeni i δ-funkcje.
Zanim zbudujemy inwariantny rachunek całkowy, należy rozwiązać problem jak całkować po zmiennych antykomutujących. W przypadku jednej zmiennej antykomutującej θ przyjmiemy [52] :
∫
dθ = 0 ,∫
dθ θ = 1 (14.78)Nie wskazano granic całkowania, jednakże zakładamy, że nie są one istotne. Jest to jedyne możliwe określenie, inwariantne względem przesunięcia θ → θ + ε. Dlatego całkowanie jest identyczne z różniczkowaniem.
Dla dowolnej funkcji f(θ) = a + θb mamy :
∫
dθ f(θ) = b = ∂/∂θ f(θ) (14.79)Jest to bardzo prymitywne określenie całkowania, jednakże nie prowadzi ono do topologicznie interesujących wyników.
Definicję tą możemy bezpośrednio uogólnić na przypadek całkowania po wielu zmiennych antykomutujących. I tak dla dwóch zmiennych θ1 , θ2 otrzymujemy :
∫
dθ1dθ2 θ1θ2 = 1 podczas gdy :∫
dθ1dθ2 θ1 = 0 itd. (14.80)Teraz zbudujemy inwariantne całkowanie na przestrzeni ilorazowej SP/L, wykorzystując syperwyznacznik reperu.
Wykorzystując wzór (14.35) i definicją superwyznacznika, znajdujemy :
det EπM = 1 (14.81)
gdzie :
∂A = ∂/∂θA , ∂A• = ∂/∂θA•
Pod znakiem całki względem czaso przestrzeni pochodne ∂A i ∂A• możemy zamienić na odpowiednio DA i DA•.
Zatem, wykorzystując podane powyżej określenie całkowania, otrzymujemy równości :
∫
d4x d4θ DAϕ =∫
d4x d4θ QAϕ =∫
d4x d4θ ∂Aϕ = 0 (14.85) oraz analogiczne wzory dla DA•Całkowanie przez części prowadzimy następująco :
∫
d4x d4θ ( DAϕ1 )ϕ2 = −∫
d4x d4θ ϕ1DAϕ2 (14.86)To pozwala budować wyrażenia inwariantne względem przekształceń supersymetrii.
W przypadku superpola skalarnego inwariant ma postać
:
∫
d4x d2θ d2θ-ϕ =∫
d4x ( D2D-2/16 )ϕ = ¼∫
D(x ) d4θ (14.87) Inwariantność tej całki można pokazać inaczej.Zauważmy, że D(x) – jest polem o wyższym wymiarze, a ponieważ wymiar parametru przekształcenia supersymetrii ε jest równa – ½ , superwariacja D(x), która jest liniowa, powinna być dywergencją przestrzenno- czasową.
Dla superpola chiralnego ( DA•ϕ = 0 )
∫
d4x d4θ ϕ = 0 tym niemniej, całkując po przestrzeni superprzestrzeni, znajdujemy następujący inwariant :{
∫
d4x d2θ ϕ + sprzężenie hermitowskie } =∫
d4θ ½ ( f + f* ) (14.88) Całkę chiralną można zapisać jako całkę po całej superprzestrzeni, jeśli wykorzystamy zależność :D-2D2ϕ = + 16∂2ϕ (14.89)
W takim przypadku mamy :
Wzór ten można otrzymać inaczej, jeśli dla więzu DA•ϕ = 0 rozwiązanie :
ϕ = − ¼ D-2U (14.91)
Przy tym znajdujemy :
∫
d4x d2θϕ =∫
d4x d4θ U (14.92)Analogicznie ze standardową x-przestrzenią można określić δ- funkcje w θ- przestrzeni. Powracając do przypadku jednowymiarowej antykomutującej zmiennej θ, zdefiniujemy δ( θ – θ’ ) w następujący sposób :
∫
dθ f(θ) δ( θ – θ’ ) = f(θ’ ) (14.93)dla dowolnej funkcji f.
W szczególności otrzymujemy :
∫
dθ δ( θ – θ’ ) = 1 = ∂/∂θ δ( θ – θ’ ) (14.94)Ponieważ zmienna θ zgodnie z definicją antykomutująca δ - funkcja jest niczym innym jak :
δ( θ – θ’ ) = θ – θ’ (14.95)
W przypadku (N=1) – superprzestrzeni zdefiniujemy δ4( θ1 – θ2 ) ≡ δ12 z pomocą zależności :
∫
dθ1 f(θ1) δ( θ1 – θ2 ) = f(θ2 ) (14.96)która jest słuszna dla dowolnej funkcji f.
W szczególności oznacza to, że :
∫
d4θ1 δ4( θ1 – θ2 ) = 1 = ( ∂12 ∂-12 /16 ) δ4( θ1 – θ2 ) (14.97)
Pod znakiem całki względem czasoprzestrzeni możemy wykorzystać wzór : D12 D
-12 δ12 = + 16 (14.98)
Przedstawimy funkcje δ przez następujące wyrażenie : δ12 = 4( θ1 – θ2 )2 ( θ
-1 – θ
-2 )2 (14.99)
Podamy teraz pewne własności δ-funkcji, użyteczne przy obliczeniach z pomocą zasad Feynmana dla supergrafów :
Wzory te możemy łatwo otrzymać, wykorzystując jawną postać δ-funkcji (14.99).
Teraz można zdefiniować całkowanie funkcjonalne po superpolach. Dla superpola skalarnego ϕ mamy :
δϕ(x’ θ’ )/δ(x, θ) = δ4( x – x’ ) δ4( θ – θ’ ) = δ8( z – z ‘ ) (14.102) a zatem :
δ/δϕ(x, θ)
∫
f(ϕ) d8z = ∂/∂ϕ f( ϕ (x, θ)) (14.103) Użytecznie będzie również zdefiniowanie pochodnej funkcjonalnej względem pól chiralnych. Powinna być ona taka. aby spełniony był warunek DA•ϕ = 0 , tj. :DA• (δϕ(x’, θ’ )/ δϕ(x, θ) ) = 0 (14.104)
Dlatego tez przyjmiemy następującą definicję pochodnej :
δϕ(x’, θ’ )/δϕ(x, θ) = − ¼ D2 δ4( x – x’ ) δ4( θ – θ’ ) (14.105) W wyniku czego znajdujemy :
Superprzestrzeń rozszerzona – formalizm ogólny.
Zbudujemy teraz przestrzeń ilorazową – superprzestrzeń rozszerzoną : rozszerzona supergrupa Poincarego/ grupa Lorentza.
Przypomnijmy na początek zależności komutacyjne algebry rozszerzonej supersymetrii, podane w rozdziale 2.
Wraz z komutatorami grupy Poincarego mamy następujące zależności :
przy czym ładunki centralne Ze wybrane są jako rzeczywiste. Rzeczywistość składowych koneksji Ωe wynika z majoranowskiej własności generatora Q. Ogólny element grupy ma postać :
g = exp{ aµ Pµ + εA
i QAi + εA•i QA•i + weZe + ½ wmnJmn } (14.112) a elementy przestrzeni ilorazowej parametryzowane są przez elementy grupy o postaci :
exp( zπKπ ) = exp{ xµ Pµ + θA
i QAi + θA•i QA•i + zeZe } (14.113) Zatem, parametry przestrzeni ilorazowej są następujące :
zπ = ( xµ , θA
i , θA•i , ze )
Pod działaniem elementu grupy g punkt przestrzeni ilorazowej zπ przechodzi w punkt o współrzędnej z’π, przy czym : g exp( zπKπ ) = exp( z’πKπ ) (14.114) Porównując obie części równości (14.114) znajdujemy zmianę współrzędnych przy przekształceniu supersymetrii :
podczas gdy działaniu tylko ładunku centralnego odpowiada przekształcenie : ze → z’e + we
a współrzędne x, θ pozostają bez zmiany.
Superpola skalarne w rozszerzonej superprzestrzeni mają postać : ϕ(z’ ) ≡ ϕ(z ) = ϕ(xµ , θA
j , θA•j , ze ) (14.116)
a działanie grupy supersymetrii określone jest w następujący sposób :
U(g ) ϕ(z ) = ϕ(z’ ) (14.117)
Infinitezymalne generatory algebry supersymetrii określane są z zależności :
δgNfNΛ∂Λϕ = δgNXNϕ (14.118)
gdzie dla elementu małej grupy δgN otrzymamy :
z’π ≡ zπ + δgNfNπ (14.119)
Infinitezymalne operatory mają postać
:
Współczynniki rozkładu dowolnego superpola w szereg Taylora względem potęg ze , θA
i , θB•j zależy tylko od xµ Tym nie mniej istnieje nieskończony zbiór takich pól w x- przestrzeni, ponieważ ze są współrzędnymi bozonowymi i rozkład względem nich w przypadku ogólnym nie urywa się na skończonej liczbie członów.
Rozkład względem zmiennej θ urywa się na składowej, zawierającej ( θA
i )4 ( θB•j )4. Rozkład taki ma postać :
Aby uniknąć nieskończonego szeregu pól składowych w x- przestrzeni, będziemy prowadzili obliczenia z pomocą pochodnych kowariantnych.
Supertetrada i koneksja spinowa określone są przez zależność :
Proste obliczenia prowadzą do następujących wyników :
-Tetrada odwrotna ma następujące niezerowe składowe :
Zatem, pochodna kowariantna dana jest przez wyrażenie :
DM = ( EMπ ( ∂π + ½ Ωπmn Jmn ) ) (14.126)
co jest równe :
DM = ( DM , DAi , DB•j , De )
Gdzie
Pochodne kowariantne komutują z superładunkami QAi i QB•j i ze wszystkimi generatorami grupy supersymetrii spełniają one również zależności :
[ Dz , dowolna pochodna ] = 0
Teraz możemy zastosować pochodne kowariantne w celu znalezienia więzów kowariantnych nakładanych na superpole.
Wymagamy spełnienia równania więzu :
Dzϕ = ∂/∂ze ϕ = 0 (14.129)
To znaczy, że superpole nie zależy od ze , a zatem nie zawiera nieskończonego zbioru pól składowych w x- przestrzeni.
Więz o niższym wymiarze, który można wykorzystać, ma postać :
DA•i ϕ = 0 (14.130)
Prowadzi on do zależności :
{ DA•i , DB•j }ϕ = 2iεA•B• (Ωe )ij Deϕ = 0 (14.131)
lub innymi słowy Deϕ = 0. W tym przypadku :
∂/∂zeϕ = 0 (14.132)
a zatem, ϕ nie zależy od ze. Składowe superpola ϕ w x- przestrzeni można łatwiej wydzielić z pomocą pochodnych kowariantnych; składowe superpól :
ϕ , DAi , DAi DBj ϕ , DAi DBj DCk ϕ , DAi DBj DCk DDm ϕ , ... (14.133) przy θ = 0 są odpowiednio równe :
z, χAi , CABij , λABCijk , dABCDijkm , ... (14.134)
Ich własności transformacyjne można otrzymać przy pomocy zależności algebry pochodnych D. Podane powyżej tensory posiadają różne własności symetrii. Przykładowo CABij = − CBAji ,co wynika z zależności komutacyjnych algebry pochodnych kowariantnych.
W przypadku ogólnym można rozpatrywać superpola o indeksach lorentzowskich oraz indeksach symetrii wewnętrznej :
ϕij... ;AB... ; A•B•... (14.135)
Ich własności transformacyjne są oczywiste.
Przy budowaniu przestrzeni ilorazowej rozszerzonej superprzestrzeni można byłoby dodać do grupy izotropii ładunki centralne. Jednakże prowadzi to do tych samych wyników na skutek abelowości ( komutatywności ) takich generatorów.
Jeśli jednak włączymy je do grupy izotropii, to dla superpól pojawią się dodatkowe indeksy, odpowiadające ładunkom centralnym. Równoważność tych dwóch sformułowań możemy ustanowić za pomocą przekształcenia Fouriera tj. :
Jeśli jednak włączymy je do grupy izotropii, to dla superpól pojawią się dodatkowe indeksy, odpowiadające ładunkom centralnym. Równoważność tych dwóch sformułowań możemy ustanowić za pomocą przekształcenia Fouriera tj. :