Ogólna analiza

Powstanie i rozwój algebry prądów w teoriach supersymetrycznych datuje się od artykułu Ferrary i Zumino [159], którzy to obliczyli superprąd, tensor energii-pędu i prąd chiralny w modelu Wessa –Zumino. Pokazali oni, że prądy należą do jednego supermultipletu. W niniejszym rozdziale chcemy rozpatrzyć możliwe struktury ( tj. supermultiplety ), do których wchodzą multiplety prądów teorii supersymetrycznych. Rozpoczniemy od zbadania prądów w teoriach superkonforemnych, a następnie wyjaśnimy, w jaki sposób pojawiają się anomalie superkonforemne różnych prądów.

Takie podejście jest uzasadnione, ponieważ prądy superkonforemne oraz budowa ich multipletu, jak się dalej przekonamy jest jednoznaczna. Chociaż struktura prądów w Poincare- supersymetrycznych teoriach nie jest jednoznaczna, może być ona znaleziona we wszystkich znanych przypadkach na drodze dodania do prądów superkonforemnych odpowiednich multipletów superkonforemnych anomalii.

Możliwe struktury multipletu prądów możemy otrzymać nie odwołując się do poszczególnych modeli, a wymagając aby prądy i ich przekształcenia prowadziły do prawidłowej algebrze tj. do algebry supersymetrii. Podane powyżej omówienie prądów jest zbieżne z analizą podaną w pracy [160].

Dowolnej ciągłej symetrii działania odpowiada prąd zachowany jµk , który generuje w odpowiedni sposób ładunek :

Qk =

∫

_{d3x j0k} (20.1)

Jeśli przekształcenia symetrii tworzą algebrę zamkniętą, to słuszna jest zależność :

[ Qk , Ql ] = fklm Qm (20.2)

Wariacja prądu przy przekształceniu symetrii może być zapisana w postaci :

δjµl = [ Qk , jµl ] (20.3)

Podstawiając µ = 0 i całkując znajdujemy :

∫

_{d3x δj0k =}

∫

d3x [ Qk , j0l ] = [ Qk , Ql ] = fklm Qm =

∫

d3x fklm j0m (20.4) Oczywiście, że równania te nakładają ograniczenia na wariacje δjµl.

W przypadku grupy symetrii wewnętrznej mamy po jednym prądzie dla każdego generatora, a ponieważ przekształcenia prądów nie zawierają pochodnych CP, to znak całki można opuścić i jednoznaczne rozwiązanie równania ma postać :

δj0k = fklm jµm (20.5)

Zatem, prądy należą do reprezentacji dołączonej grupy symetrii wewnętrznej.

Dla ilustracji bardziej złożonych aspektów teorii, które mogą zachodzić dla grup CP, rozpatrzymy grupę Poincarego z generatorami Pµ i Jρκ Prąd, odpowiadający generatorowi Pµ przedstawiają sobą symetryczny tensor energii-pędu θµν. Przekształcenie θµν przy translacjach ma postać δθµν = ∂ρθµν. Wykorzystując tą zależność, znajdujemy :

[ Pµ , Pν ] =

∫

d3x [ Pµ , θ0ν ] =

∫

d3x ∂µθ0ν =

∫

_{d3x ∂0θ0ν = −}

∫

_{d3x ∂iθ}ⁱ_ν = 0 (20.6) Ze względu na obroty lorentzowskie Jµν tensor energii-pędu drugiego rzędu tj. przekształca się on następująco :

δJρκθµν = − ( xρ∂κ− xκ∂ρ ) θµν − [ + ( ηρνθµκ − ηκνθµρ ) + ( µ ↔ ν

) ]

(20.7) Wariacja ta pozwala wyprowadzić zależność :

[ Pµ , Jρκ ] = ηµρPκ− µµκPρ (20.8)

Rozpatrzmy prąd, odpowiadający generatorowi Jρκ. W rzeczywistości jest to moment tensora θµν , tj. :

Lρµν = −xνθµρ + κµθρν (20.9) Moment jest zachowany na mocy własności symetrii θµν. Z wariacji θµν przy obrotach lorentzowskich możemy

wyprowadzić ostateczną zależność komutacyjną dla generatorów grupy Poincarego :

[ Jµν , Jρκ ] = ( ηµρJνκ + ... ) (20.10)

Rozpatrzymy teraz przypadek, kiedy tensor θµν jest nie tylko symetryczny, ale ma również zerowy ślad θµµ = 0.

Teraz mamy nowe prądy zachowane dµ = xνθνµ i Kµν = 2xνxλθλµ − x2θµν.

Prądy te prowadzą do nowych ładunków D i Kµ. Wykorzystując wariacje θµν możemy obliczyć komutatory nowych generatorów D, Kµ z generatorami Pρ , Jρκ Zauważmy, że θµµ = 0 – jest jedynym warunkiem algebraicznym, które nałożyliśmy na θµµ.

Przykładowo znajdujemy :

[ D, Pν ] =

∫

d3x [ xκθκ0, Pν ] = +

∫

d3x xκ∂νθκ0 = −

∫

d3x θκ0 = − Pν (20.11) a dla innych komutatorów mamy :

[ D, Pρµ ] = 0 , [ Kµ , Pρκ ] = ηµρKκ − ηµκKρ , [ Kµ , Pν ] = −2 ηµνD + 2Jνµ (20.12) Pozostaje znaleźć komutatory [ D, Kν ] i [ Kµ , Kν ]. Wykorzystując lorentzowską inwariantność, jak również tożsamość Jakobiego dla poszukiwanych komutatorów z generatorami Jµν, wnioskujemy, że :

[ D , Kν ] = aKν + bPν , [ Kµ , Kν ] = c Jµν (20.13) gdzie a, b, c – stałe.

Wykorzystując tożsamość Jakobiego dla ( D, K, P ), znajdujemy, że a = + 1, a z tożsamości Jakobiego dla (D, J, K ) otrzymujemy b = 0, c = 0 , zatem mamy :

[ D , Kν ] = Kν , [ Kµ , Kν ] = 0 (20.14) Zatem, otrzymujemy grupę z generatorami Pν , Jρκ, D, Kµ, która oczywiście jest konforemna.

Zatem, teoria z θµµ = 0 spełnia symetrię konforemną.

Można postępować również w odwrotnym kierunku. Wychodząc z grupy konforemnej o generatorach Pµ , Jµν, D , Kρ i ich zależności komutacyjnych, można zadać pytanie – jakiej postaci prądy tworzą taką algebrę ?

Łatwo otrzymać, że generatorowi translacji Pµ ,odpowiada prąd θµν, który jest symetrycznym i bezśladowym tensorem, a pozostałym generatorom odpowiadają prądy, które mogą być wyrażone przez θµν z pomocą podanych powyżej równań. Wynik ten oparty jest na następujących rozważaniach :

Prądy generujące takie ładunki powinny : a) należeć do reprezentacji grupy konforemnej

b) posiadać własności transformacyjne, prowadzące do prawidłowej algebry w tym sensie, jakim omawialiśmy wcześniej.

Reprezentacje grupy konforemnej są znane. W szczególności, mogą być one zbudowane na podstawie teorii reprezentacji indukowanych. W tym przypadku wykorzystujemy przestrzeń ilorazową o postaci :

grupa konforemna / ( Pν , D, Kρ )

Przestrzeń taka jest czterowymiarowa i zawiera dobrze znane przekształcenia grupy Poincarego przestrzeni Minkowskiego. Wychodząc z dowolnej reprezentacji wielkości Jµν , D, Kρ możemy zbudować reprezentacje całej grupy.

Podamy teraz prostą metodę otrzymania wyników działania generatorów na pola należące do takich reprezentacji indukowanych [161]. Działając na pola w początku współrzędnych, generatory ( Jµν, D , Kρ ) tworzą reprezentacje grupy. Przyjmujemy, ze działania takich generatorów mają postać :

Jµνϕ(0) = Σµν ϕ(0) , Dϕ(0) = ∆ϕ(0) , Kµϕ(0) = kµϕ(0) (20.15) Gdzie Σµν - macierzowe reprezentacje generatorów Jµν ,odpowiadające spinom rozpatrywanych pól ; ϕ ,

∆ - waga skalowa.

Z równości [ Jµν , D ] = 0 wynika :

[ ∆ , Σ ] = 0 (20.16)

jeśli Σ - jest reprezentacją ciągłą, z lematu Schura powinniśmy wnioskować, że ∆ - jest czynnikiem liczbowym.

Tensor kµ zwykle nie jest spotykany w zastosowaniach, jednakże zachowamy go dla pełności wykładu. Pole w dowolnym punkcie x dane jest wzorem :

ϕ(x) = exp( xµ Pµ ) ϕ(0)

Działanie dowolnego generatora S przyjmuje teraz postać :

Może ono być obliczone z pomocą tylko grupowych zależności komutacyjnych i zależności (20.15).

Przykładowo dla generatora dylatacji mamy :

Dla generatora Kρ znajdujemy :

Kµ ϕ(0) = ( 2xµ xν∂ν − x2∂µ )ϕ − xµ∆ϕ − 2xνΣµνϕ + kµϕ (20.19) Obroty lorentzowskie przyjmują standardową postać :

Stosując to podejście do θµν i wybierając odpowiednią macierz lorentzowską Σµν , znajdujemy :

Gdzie ∆ - waga skalowa tensora θµν.

Opuściliśmy składowe zawierające kµ, zgodnie z uwagą poczynioną wcześniej.

Uwzględniając prawo zachowania ∂µθµν = 0 otrzymujemy :

½ ( 2∆ − 8 ) ( θρν − θνρ ) + ½ ( θρν − θνρ ) − 2ηρνθµµ = 0 (20.21) Wybierając wagę skalową ∆ tensora θµν równą − 4, otrzymujemy zależności :

θρν − θνρ = 0 = θµµ (20.22)

Teraz pozostaje jedynie pokazać, że prądy odpowiadające Jµν , D i Kρ są odpowiednimi momentami tensora θµν. W tym celu rozpatrzmy komutator Pν i Kρ :

Całkując przez części i wykorzystując zachowanie tensora θµν znajdujemy :

[ Pν , Kρ ] = + 2ηνρ D − 2Jνρ (20.24)

gdzie generatorom Jρν i D odpowiadają prądy, które są momentami tensora θµν i są zdefiniowane przez równania przedstawione wcześniej. Prąd odpowiadający generatorowi Kρ można otrzymać rozpatrując komutator [ Jµν , Kρ ].

Zatem, dochodzimy do wyniku, którego oczekiwaliśmy : generatorowi Pµ odpowiada prąd θµν, reprezentujący sobą symetryczny zachowany tensor, wszystkim pozostałym generatorom D, Kρ i Jµν odpowiadają odpowiednie momenty tensora θµν.

Zatem, struktura prądów dla grup CP jest bardziej złożona niż w przypadku grupy symetrii wewnętrznej, dla których mamy po jednej jednym niezależnym prądzie dla każdego generatora.

Mając na uwadze podane powyżej rozważania, rozpatrzymy grupę ( N=1)- supersymetrii o generatorach Pµ , Qα i R to odpowiednio tensor θµν ( symetryczny ), jµα i jµ(5). Podobnie jak i wcześniej generatorowi Jµν odpowiada prąd, będący momentem tensora θµν (20.9).

Rozpatrzmy teraz zależność :

{ Qα , Qβ } = +2( γνC )αβPν (20.25)

Przepiszemy go w następującej postaci :

∫

d3x { Qα , j0β } = 2( γνC )αβ

∫

_{d3x θ0ν} (20.26)

tak, że wariacja j0β powinna mieć postać :

δεα jµβ = 2( γνC )αβθµν + ∂ρRµραβ (20.27)

gdzie Rµραβ = −Rρµαβ

Ostatnia składowa przy µ = 0 po scałkowaniu po zmiennej

∫

d3x powinna być równa zero, ponieważ nie daje ona wkładu do zależności (20.26).

Nie jest oczywistym, że powinna ona mieć właśnie taką postać jak w (20.27), jednakże standardowo jest tak dla wielkości, które prowadzą do ładunków zachowanych.

Analogicznie z zależności :

[ Qα , R ] = i ( γ5 )αβQβ (20.28)

wynika :

δεα jµ(5) = i ( γ5 )αβjµβ + ∂νRµνα (20.29)

gdzie Rµνα = −Rνµα

Zatem, otrzymaliśmy że prądy jµ(5) , jµα i θµν powinny należeć do supermultipletu.

Tak jak i wcześniej, rozpatrzymy teraz przypadek, kiedy niektóre z prądów spełniają więzy algebraiczne. Rozpatrzmy przykład, kiedy :

θµµ = 0 , ( γµjµ )α = 0 (20.30)

W rzeczywistości jest to jedyny możliwy więz algebraiczny. Podobnie jak i wcześniej mamy nowe prądy zachowane dµ i Kνµ , a oprócz tego :

Sµα = ( x^jµ )α (20.31)

Odpowiednimi ładunkami zachowanymi są : D, Kν i Sα.

Prądy tworzące tą nową algebrę, powinny należeć do jej reprezentacji, w szczególności do reprezentacji podalgebry superalgebry Poincarego.

Rozpatrzmy teraz prądy, które omawialiśmy powyżej :

θµν , Jµα , jµ(5) (20.32)

spełniające więzy (20.30), jak również ich momenty.

Podstawiając liczbę stopni swobody dla każdego z takich prądów, znajdujemy wartości odpowiednio 5, 8 i 3.

Takie przemieszanie fermionowych i bozonowych stopni swobody prowadzi do wniosku, ze taka rodzina prądów tworzy supermultiplet, w którym nie ma innych składowych. Zapisując najogólniejsze przekształcenia liniowe, dobierając odpowiednie wymiary i wymagając aby tworzyły one prawidłową algebrę, otrzymamy :

gdzie : a1,2, 3 – stałe.

Podane przekształcenia w istocie łączą wszystkie prądy, jeśli a1 = +1 , a2 = ½ , a3 = −1.

Zgodnie z definicją prądy te prowadza do zależności { Q , Q } ~ P , { Q, R } ~ Q, można jednakże przekonać się w słuszności pozostałych zależności superalgebry Poincarego, np. :

[ Pµ , Qα ] =

∫

_{d3x δθ0µ} (20.34)

Wykorzystując znane przekształcenia prądów należących do supergrupy Poincarego, jak również tożsamości Jakobiego, zbudujemy w analogiczny sposób wszystkie (anty) komutatory generatorów. Możemy to wykonać zauważając, że : [ Q , Kµ ] =

∫

_{d3x ( 2xµxνδQθν0 − x2 δQθµ0}

)

(20.35) Podstawiając znalezione wcześniej wyrażenie dla δQθµν do (20.35), otrzymujemy :

[ Q , Kµ ] = − γµS (20.36)

gdzie Sα - podany wcześniej moment prądu jµα.

Wykorzystując tożsamości Jakobiego, z zależności algebry konforemnej, superalgebry Poincarego i przekształceń (20.33) można wyprowadzić pełną superkonforemną algebrę zależności komutacyjnych. Zatem, znajdujemy, że generatory :

Pµ , Qα , R, Jµν , Sα , D , Kµ (20.37)

Spełniają (N=1) –superkonforemną algebrę, podaną w rozdziale 2. Zatem, pokazaliśmy, że teoria z więzami postaci (20.30) dla tensora energii-pędu i superprądu superkonforemnego –inwariantu.

Dalej przekonaliśmy się, że prądy [159] :

( jµα , θµν , jµ(5) ) (20.38)

i odpowiadające im momenty należą do supermultipletu, który zgodnie z (20.33) są nieprzywiedlne.

Podobnie jak dla grupy Poincarego, taką procedurę obliczeń można odwrócić. W istocie, wychodząc z algebry superkonforemnej z N =1 można pokazać przy nadzwyczaj ogólnych założeniach, że wspomniany wcześniej multiplet superkonforemnych prądów jest określony jednoznacznie. Dowód tego stwierdzenia oparty jest na tym fakcie, że prądy powinny należeć do reprezentacji grupy superkonforemnej, jak również do generującej jej algebry.

Rozpatrzmy teraz teorię z supersymetrią Poincarego z N =1, ale nie inwariantną względem pełnej grupy superkonforemnej. W szczególności, teoria może być inwariantna względem dylatacji (θµµ ≠ 0 ), może być S – supersymetryczna ( γµ jµ ≠ 0 ) lub R- inwariantna ( ∂µ jµ(5) ≠ 0 ) lub może być nie inwariantna względem dowolnej kombinacji takich symetrii. Osłabiając więzy, nakładane na prądy superkonforemnej teorii , naruszamy równowagę między bozonami i fermionami w multiplecie, dlatego należy dodać dodatkowe stopnie swobody. W wyniku tego znajdujemy supermultiplet prądów, który składa się z multipletu prądów superkonforemnych i multipletu anomalii, oznaczanych odpowiednio A i B.

Przekształcenia supersymetrii takich multipletów powinny być takie, że przy B = 0 można było ustanowić prawa przekształcenia prądów superkonforemnych tj. :

δA = Aε + Bε , δB = Bε (20.39)

Rozpatrzmy przypadek, kiedy θµµ ≠ 0 , γµjµ ≠ 0 , ∂µ jµ(5) ≠ 0.

Dla ustanowienia równowagi pomiędzy fermionami i bozonami wymagane są jeszcze dwa bozonowe stopnie swobody.

Minimalnie możliwy multiplet anomalii przedstawia sobą supermultiplet chiralny P, Q , χα , F, G przy czym :

F = 2θµµ , χα = ( γµjµ )α , G = −3∂µjµ(5) (20.40) a P i Q – nowe wielkości o wymiarze 3.

Nowy multiplet prądów można utworzyć, dodając anomalie do przekształceń prądów w najogólniejszy sposób zgodnie z wymaganiem analizy wymiarowej i liniowością i tak, aby przekształcenia te generowały ( N=1)- superalgebrę

Poincarego. Przykładowo :

δjµ(5) = iε-γ5jµ + iaεγ5 γµ γ • j itd. (20.41)

Pojawiające się stałe mogą być określone z wymagania rozszerzonego multipletu prądów lub prościej z wymogu aby multiplet anomalii być chiralny. Przykładowo, znajdujemy :

δ( ∂µjµ(5) )= δ( G/−3) = iaε-γ5 ∂^γ • j = − 1/3iε-γ5 ∂^χ (20.42) zatem a = − 1/3

Otrzymane przekształcenia mają postać [159] :

Rozpatrzmy teraz przypadek, kiedy :

θµµ ≠ 0 , ( γµjµ )α ≠ 0 (20.44) ale R- inwariantność jest zachowana ( tj. ∂µjµ(5) = 0 ).

W tej sytuacji wymagane są trzy bozonowe stopnie swobody dla ustanowienia równowagi pomiędzy fermionami i bozonami. Minimalna możliwość wyboru to liniowy multiplet anomalii

( ζ, C, tµν ), gdzie ∂νtµν = 0, przy czym przyjmiemy, że C = ½ θµµ i ζα = ( γµjµ )α.

Czytelnik powinien pamiętać, że multiplet liniowy zawiera pola ( c, aµν , χα ) w x- przestrzeni, gdzie pole aµν = −aνµ spełnia przekształcenie cechowania o postaci δaµν = ∂µΛν − ∂νΛµ.

Tzw. multiplet liniowy anomalii zawiera pola ( ξα ,d , tµν ), tµν = − tνµ , które są dualne do zbioru pól ( c, aµν , χα ) w tym sensie, że działanie :

∫

d4x ( cd + χ-αξα + aµν tµν )

jest supersymetryczne. Zauważmy, że zgodnie z gauge-inwariantnością pola aµν mamy ∂νtµν = 0.

Ostatecznie multiplet prądów jµ(5) , jµα , θµν , tµν ma następujące własności transformacyjne [160, 162] :

W rzeczywistości istnieją inne drogi osiągnięcia wskazanej równowagi fermionów i bozonów z pomocą znacznie większych multipletów anomalii.

Rozpatrzmy teraz sformułowanie podanych powyżej multipletów superprądów w superprzestrzeni. Prądy

superkonforemne ( jµ(5) , jµα , θµν ) mają w charakterze swojej najniższej składowej prąd chiralny jAA^• (5) ,który utożsamiamy z ( θ= 0)- składową rzeczywistego superprądu JAA^•. Więzom ( γµjµ )α = 0 odpowiada w superprzestrzeni więz :

DA^• JAA^• = 0 (20.46)

Czytelnik może sprawdzić, że innych więzów w superprzestrzeni nie wymagamy i superprąd JAA^• zawiera tylko prądy superkonforemne poddane odpowiednim więzom.

Zatem, dla prądów mających superkonforemne anomalie, powinna być spełniona nie równość :

DA^• JAA^• ≠ 0 (20.44)

Dla multipletu chiralnego multipletu anomalii mieliśmy zależność ( γµjµ )A = χA. Utożsamiając χA ze spinorem w chiralnym supermultiplecie S ( tj. DA^• = S ), znajdujemy :

DA^• JAA^• = DAS (20.48)

Multiplet liniowy anomalii zgodnie z analogicznymi rozważaniami, powinien być określony przez wyrażenie :

DA^• JAA^• = LA (20.49)

Gdzie DB^• LA = 0 i DALA = DA^• LA^•

Czytelnik oczywiście, poznaje superpole LA, ponieważ ma ono ten sam skład pól w x-przestrzeni, co natężenie maxwellowskiego superpola WA spełniającego te same więzy. Więzy te można rozwiązać z pomocą zależności LA = D-2 DAT, gdzie T – superpole bez więzów.

W charakterze ćwiczenia użytecznym jest pokazanie, że R- inwariantność działania jest zachowana :

Rozważania przeprowadzone w niniejszym podrozdziale mogłyby być bardziej jasne, jeśli wyszlibyśmy z prądów należących do ogólnego supermultipletu, którego pierwszą składową jest prąd chiralny. Jeśli następną składową jest ζµα , to można wymagać, aby wyrażenie jµα = ζµα − c( γµγνζν)α , gdzie c – stała było splotem, a zatem było zachowane. Jako następstwo tego warunku zachowania otrzymujemy anomalie chiralną i liniową, jak również inne możliwe anomalie. Rozpatrzone tutaj metody mogą być uogólnione w celu znajdowania prądów w teoriach z rozszerzoną supersymetrią. Konforemny superprąd [163] dla teorii z N =2 jest rzeczywistym superpolem J o wymiarze 2,

spełniającym warunek :

Dik J = 0 (20.51)

Konforemne superprądy dla teorii z N = 3 i 4 podane są w pracy [164]. Można tutaj również pokazać, że dla N ≤ 4 takie superkonforemne prądy są jedyne.

Otrzymaliśmy zatem superkonforemne prądy, możemy teraz tak jak w przypadku N = 1, obliczyć anomalie.

W dokumencie Wprowadzenie do supersymetrii i supergrawitacji P. West (Stron 130-136)