Gauge-kowariantna teoria na dolnych poziomach

Teraz znajdziemy działanie z użyciem pola ψ, które nie będziemy dopełniać więzami (22.28), ale posiadające gauge-inwariantność, pozwalającą uzyskać wspomniane więzy jako wybór cechowania przy wyprowadzaniu równań ruchu.

Zatem, oczekujemy obecności inwariantności względem nieskończonego zbioru przekształceń cechowania.

Osiągniemy to przechodząc krok po kroku, kolejno osłabiając więzy nakładane na pole ψ.

Na pierwszym poziomie takiej konstrukcji odrzucimy warunek L1ψ = 0, ale zachowamy więzy :

L2ψ = L12ψ = L3ψ = L2L1ψ ... = 0 (22.48)

Rozpatrzmy przekształcenie cechowania ψ :

δψ = L−1Λ1 (22.49)

odpowiadający więzom (22.48) nakładanym na ψ. Przy tym Λ1 spełnia warunki :

L1Λ1 = L2Λ1 = 0 = ... (22.50)

Wykorzystując wyrażenie (22.42) dla L−1, znajdujemy iż taka inwariantność zawiera gauge-przekształcenie postaci : δAµ1

= ∂µΛ1(x) – przekształcenie abelowe, charakterystyczne dla zlinearyzowanej teorii Y-M.

Inwariantne względem przekształcenia δψ = L−1Λ1 działanie dane jest przez wyrażenie :

½ ( ψ, ( L0 − 1 − ½ L−1L1 )ψ ) (22.51)

a równanie ruchu ma postać :

( L0 − 1 − ½ L−1L1 )ψ = 0 (22.52)

Równanie to prawidłowo odtwarza zlinearyzowane równanie Y-M, tj. ∂2Aµ−∂µ∂νAµ = 0.

Jawne sprawdzenie inwariantności z uwzględnieniem tego faktu, że L1Λ1 = 0 daje :

( L0 − 1 − ½ L−1L1 ) L−1 Λ1 = ( L0 L−1− L−1 − L−1L0 ) Λ1 = 0 (22.53) Równanie (22.52) było jak się wydaje znane niektórym uczonym w czasie rozkwitu początkowego etapu teorii strun, a niedawno zostało ono ponownie odkryte [188]

Projektor P pola strunowego na stany fizyczne, spełniające równania (22.28) został zbudowany w pracy [189].

Posiada on własność PL−n = 0 i w niższym rzędzie dany jest on przez wyrażenie :

P = 1 − ½ L−1(1/L0 ) L1 + ... (22.54)

Zauważmy, ze na tym poziomie równanie ruchu ma postać :

( L0 − 1 )Pψ = 0 (22.56)

Zostało wysunięte przypuszczenie, że jest to prawidłowe równanie polowej teorii strun dla wszystkich poziomów, co też potwierdziło się poprzez fakt pokrywania się tego równania dla spinu 1 na pierwszym poziomie konstrukcji.

Jednakże obliczony formalnie projektor P dla wszystkich poziomów prowadził do jawnej nielokalności równania (22.55) już na drugim poziomie, a nielokalność wzrastała wraz ze zwiększaniem poziomu.

Dalsze wątpliwości budziło to, ze P można zbudować dla CP dowolnego wymiaru, tj. wymiar D = 26 nie był

wyróżniony. Najprostszym sposobem pokazania, że równanie (22.55) nie jest prawidłowym uogólnienie równania ruchu jest rozpatrzenie pierwszego poziomu zamkniętej zorientowanej struny bozonowej. Na tym poziomie kowariantne stopnie swobody opisywane są przez jedno symetryczne pole hµν. Z warunków Virasoro (22.28) wynika, że pole takie spełnia warunki :

∂2 hµν = 0 , ∂µ hµν = 0 (22.56)

Z równań tych widać, ze na danym poziomie struna zamknięta zawiera tylko spin 2 i spin 0. Uogólnienie równania (22.55) dla tego poziomu ma postać :

∂2Rµρ Rνλ hρλ = 0 (22.57)

gdzie :

Rµρ = ( δµρ − ∂µ ∂ρ /∂2 ) (22.58)

Czytelnik zapewne od razu zauważył, ze jest to nielokalne równanie, które nie dopuszcza sformułowania

hamiltonowskiego. Przejście do dowolnego równania za pośrednictwem pomnożenia przez ∂2 prowadzi do pojawienia się dodatkowych stanów.

W istocie wiadomo, że [190] gauge- i lorentzowsko inwariantnego lokalnego działania, zbudowanego tylko z hµν które opisywałoby zarówno spin 2 jak i spin 0, nie ma. Jedyny sposób osiągnięcia takiego celu polega na wprowadzeniu dodatkowego pola skalarnego, opisującego spin 0. W wyniku tego pojawia się znane działanie Einstein + bezmasowe pole skalarne. Jak zobaczymy dalej, w odróżnieniu od spinu 1 pierwszy poziom struny zamkniętej ilustruje ogólną sytuacje – mianowicie, lokalne sformułowanie teorii, w sposób naturalny wymaga dodatkowych pól, co właśnie zamierzamy zademonstrować. Tylko bowiem dla spinów 0, 1 i ½ pomnożenie przez ∂2

prowadzi do lokalnych równań pola. Z wyższymi spinami należy postępować inaczej i zależność między ich projektorami i równaniami pola jest bardziej złożona.

Sprawdzimy teraz czy dodatkowe pola są potrzebne na drugim poziomie otwartej struny bozonowej [191]

Dla przeliczenia liczby stanów na tym poziomie należałoby sprawdzić dla takiego poziomu więzy Virasoro. Jednakże posiadają one na powierzchni masy gauge-inwariantność, którą należy określić zanim rozpoczniemy opisywanie stanów fizycznych. Jest to jasne właściwie już dla pierwszego poziomu, kiedy takimi warunkami były :

∂2A1µ = 0 i ∂µA1µ = 0

Jak dobrze wiadomo, na powierzchni masy istnieje dodatkowa inwariantność δAµ = ∂µΛ , gdzie ∂2Λ = 0, która pozwala dokonać redukcji do dwóch stanów w miejsce trzech. Metodą szybciej prowadzącą do odpowiedzi jest wykorzystanie tego faktu, ze w cechowaniu stożka świetlnego więzy możemy rozwiązać i na powierzchni masy mamy tylko stany odpowiadające oscylatorom αi

n , i = 1, 2, ... , 24

W tym przypadku dla ψ otrzymujemy następujący rozkład :

Na pierwszym poziomie mamy ( D − 2 ) stanów, odpowiadających (D − 2) stanom, które zawarte są w wektorowej reprezentacji grupy SO(D− 2) – małej grupy cząstek bezmasowych w wymiarze D. Ponieważ cząstki masywne powinny należeć do reprezentacji małej grupy SO(D −1), to pokazuje to iż stała uporządkowania normalnego w (22.28) jest wybrana poprawnie. Dowolny inny wybór naruszałby lorentzowską inwariantność w wymiarze D, ponieważ ( D− 2) stanów nie może realizować reprezentacji SO(D − 1).

Na drugim poziomie otrzymamy :

½ ( D − 2) ( D − 1) + ( D – 2) = ½ D( D − 1 ) − 1 (22.60) stanów na powierzchni masy. Można je utożsamić tylko z reprezentacją grupy SO(D − 1), zadawanej przez symetryczny

bezśladowy tensor drugiego rzędu. Taki tensor będziemy nazywali „czysty spin 2”. Na powierzchni masy opisywany jest on przez pole hµν = hνµ spełniającym równania :

∂µhµν = hµµ = ( ∂2 − m2 ) hµν = 0 (22.61)

Odpowiedni projektor jest dobrze znany [194]. Zawiera on składowe o postaci ∂µ∂λ∂ρ∂σ / ( ∂2 )2 a zatem, mnożenie przez ∂2 nie prowadzi do lokalnych równań pola. Nie istnieje zatem sposób opisania lorentzowsko-kowariantnie masywnych cząstek o spinie 2 z użyciem pól hµν = hνµ z warunkiem hµν = 0. Poprawne równania ruchu wymagają wprowadzenia dodatkowego pola ϕ mają postać :

Taki układ równań prowadzi do wymaganego wyniku :

0 = ∂µhµν = hµµ = ( ∂2 − m2 ) hµν (22.63)

Podane równania ilustrują ogólną metodę [192] wprowadzenia dodatkowych pól w celu opisania rozprzestrzeniania się pól wyższych spinów. Na drugim poziomie można wyeliminować cechowanie, pozostawiając jedno bezśladowe pole hνµ . Zatem, aby odtworzyć równania masywnego pola o spinie 2, wymagane jest jedno dodatkowe pole ϕ, pole to jest dolną składową dodatkowego pola strunowego χ(2)[ xµ(σ) ] :

χ(2)[ xµ(σ) ] = { ϕ(x) + ... } < xµ(σ) | 0 > (22.64) Znajdziemy teraz gauge-kowariantne działanie na następnym poziomie. Wychodząc z funkcjonału działania (22.51) i osłabiając więzy (22.48) pierwszego poziomu, wymagamy, aby ψ i χ(2) spełniały warunki :

Najogólniejsze wyrażenie odpowiedniego rzędu ma postać :

Pojawienie się we wzorach (22.66), (22.67) jednego i tego samego czynnika β wynika z wymogu, aby równania ruchu były konsekwencją zasady działania. Alternatywna droga zbudowania gauge-inwariantności polega na narzuceniu wymagania, aby działanie L1 w (22.66) dawało zero przy spełnieniu warunku (22.67). Wykorzystując ten fakt i uwzględniając więzy (22.65) otrzymamy :

Aby wykluczyć ψ na mocy (22.67) konieczne jest spełnienie równości γ = β. W wyniku tego otrzymujemy :

Zatem a = 8 , b = 4 + 9β. W analogiczny sposób, działając operatorem L2 dochodzimy do wniosku, że β = 1, a równania ruchu mają postać :

Taki układ równań w istocie jest inwariantny względem przekształceń cechowania :

Należy podkreślić, że równania (22.70) są inwariantne względem przekształceń z Λ2 tylko przy wymiarze D = 26.

Nie jest wykluczone, że dalsze dołączenie dodatkowych pól może osłabić taki warunek.

Odpowiednie działanie ma postać [191] :

co kończy analizę drugiego poziomu.

Zanim zbudujemy działanie dla wszystkich rzędów, użytecznie będzie przepisać wynik dla drugiego poziomu w

formalizmie pierwszego rzędu. Dopełniając składowe z L1ψ i L2ψ do pełnych kwadratów, możemy przepisać (22.73) w postaci :

gdzie wykorzystaliśmy ten fakt, że dla tego poziomu L1χ(2) = 0. Wprowadzimy teraz pola wspomagające ϕ(1) i ϕ(2) i przepiszemy funkcjonał działania w następującej postaci :

Tym samym kończymy analizę drugiego poziomu. Odpowiednie konstrukcje aż do szóstego poziomu podano w pracy [191].