Problem hierarchii cechowania [147, 148]

Na początku rozpatrzymy teorię z pędem odcięcia Λ. Wszystkie wielkości w takiej teorii, włączając w to parametry ( masy, stale sprzężenia itp. ) są funkcjami, które można wyrazić poprzez Λ. Jeśli teoria jest renormalizowalna, to przy dążeniu Λ do nieskończoności człony rozbieżne mogą być „pochłonięte” przez parametry teorii w wyniku procesu renormalizacji. Z analizy wymiarowej wynika, że poprawki do stałych oddziaływania i funkcji falowej mogą być rozbieżne tylko jako ln(Λ ). To samo jest słuszne dla mas fermionów ; w wyniku przekształceń chiralnych poprawki do mas fermionów powinny być proporcjonalne do samych tych mas. W teorii ogólnej nie ma symetrii odwracających rozbieżności mas cząstek skalarnych i są one rozbieżne, ogólnie mówiąc, jak Λ2.

Przykłady grafów jednopętlowych, mających ten typ rozbieżności, pokazano na rysunku 19.1, gdzie odpowiednio linią przerywaną, falistą i ciągłą oznaczono propagatory – skalarny, wektorowy i fermionowy.

Rys. 19.1

Obliczenie takich diagramów prowadzi do wyniku :

µ2(Λ ) = µ02 + Λ2 ( c1λ + c2g2 + ... ) (19.29)

Rozpatrzmy teraz teorię z dwoma parametrami obcięcia Λ1, Λ2 , gdzie Λ1 >> Λ2 i Λ2 ~ 0.

Masy otrzymane z takimi różnymi parametrami obcięcia, związane są zależnością :

µ2(Λ1 ) ~ µ2 (Λ2 ~ 0 ) + Λ12 ( c1λ + c2g2 + ... ) (19.30) Z zależności tej wynika, że masy skalarne, obliczone z uwzględnieniem i bez uwzględnienia wpływów efektów

wysokich energii, różnią się o wielkość ~ Λ2 ( w teoriach wielkiej unifikacji naturalnie jest przyjąć Λ2 ~ 1026 [GeV] 2 ) Wielkość µ2(Λ2 ~ 0) powinna być rzędu skali energii oddziaływań słabych, jeśli za naruszenie symetrii

SU(2) × U(1) → U(1) odpowiedzialne jest pole Higgsa. Dlatego też konieczne jest bardzo dokładne „dostrojenie”

µ2(Λ1 ), tak aby prawie całkowicie skompensować człon Λ2.

Konieczność dokładnego „dostrojenia” parametrów mikroskopowych teorii, aby odtworzyć świat makroskopowy, jakkolwiek by nie patrzeć jest nieco nienaturalne.

Jest to techniczny problem hierarchii cechowania. Głębsze zagadnienie polega na tym dlaczego w przyrodzie powinny istnieć takie niewspółwymiarowe skale. Jak przekonamy się dalej, supersymetria może rozwiązać ten problem.

Przedstawione powyżej rozumowanie można sformułować inaczej, bez wykorzystania być może niefizycznych

parametrów obcięcia Λ. Rozpatrzmy zmianę masy ∆m2 w obszarze wysokich energii. Chociaż ten efekt jest tłumiony w wyniku działania parametru Λ-2, ∆µ2 posiada następującą postać :

∆µ2 = Λ2 (∆m2 / Λ2 ) ∆m2 (19.31)

Zatem na poprawki ∆µ2 istotnie wpływa zachowanie teorii przy wysokich energiach. Innymi słowy, problem polega na tym, że dla danej teorii nie występuje systematyczna teoria zaburzeń. Mówiąc inaczej, jeśli wielkość µ2(0) jest mała w przybliżeniu klasycznym, to poprawki jednopętlowe do niej są duże.

Oczywiście standardowo dążymy z parametrem obcięcia Λ do nieskończoności i eliminujemy każdy związek z tym parametrem dla wielkości obserwowanych, renormując teorię. Tym niemniej, jak się obecnie przekonamy, podane powyżej rozważania zachowują ważność. Dla określoności rozpatrzymy grupę SU(5) i przyjmiemy, że Σ - jest reprezentacją 24 , H – reprezentacją 5 tej grupy. W przybliżeniu drzewiastym < Σ > = Mx/g.

Jednopętlowe działanie efektywne zawiera składowe λH-Σ2H, odpowiadające grafowi pokazanemu na rysunku 19.2

Rys. 19.2

Przyjmując pędy zewnętrznych H- linii równe odpowiednio µ2 i Mx2 znajdujemy :

λ(µ2 ) ~ λ(Mx2 ) + (g4 /16π2 ) ln(Mx2 /µ2 ) (19.32) Indukowana H-masa jest równa λ< Σ >2

Nawet jeśli wielkość λ(µ2 ) jest bardzo mała w przybliżeniu drzewiastym, jest ona rzędu g4 w przybliżeniu

jednopętlowym, dlatego jeśli nie dostroimy bardzo dokładnie wielkości λ(Mx2 ), to indukowana masa Higgsa będzie niedopuszczalnie wielka.

W teoriach supersymetrycznych skalary wchodzą do jednego supermultipletu ze spinorami. Ponieważ grafy

odpowiadające spinorom, dają tylko rozbieżności logarytmiczne, to wkłady odpowiadające skalarom, powinny również prowadzić do rozbieżności logarytmicznych lub słabszych. Powodowane jest to tym, że grafy z rozbieżnościami kwadratowymi, często skracają się z dodatkowymi grafami.

W podanym powyżej przykładzie niwelują się wzajemnie grafy pokazane na rysunku 19.3

W tym przypadku znajdujemy : λ(µ2 ) ~ λ (Mx2 ) ln( µ2 / Mx2 )

Rys. 19.3

Teoretyczną przyczyną takiego skrócenia są dobrze znane własności renormalizacyjne teorii supersymetrycznych.

W szczególności, superpotencjał nie jest renormalizowalny, a zatem renormalizację mas i stałych oddziaływania powinny równoważyć odpowiednie renormalizację pól chiralnych, które są tylko logarytmiczne.

Oczywiście, mówiąc ogólnie, nie oczekujemy, że takie własności pozostaną słuszne i dla energii dużo mniejszych od skali na której naruszona jest dowolna supersymetria. Związane jest to z tym, że podane powyżej grafy nie będą

wzajemnie się redukowały i dadzą w wyniku wkłady proporcjonalne do skali naruszenia supersymetrii. Jednakże chcemy zachować możliwość rozwiązania technicznego problemu hierarchii cechowania przy naruszeniu supersymetrii.

To nakłada pewne ograniczenia zarówno na skalę jak i na możliwe sposoby naruszenia supersymetrii.

W pierwszym przybliżeniu masa Higgsa jest równa 102 [GeV] i oczekujemy, ze wkład pochodzący od poprawek promienistych będzie rzędu g2 Ms , gdzie Ms – skala naruszenia supersymetrii.

Dla stabilizacji wartości masy Higgsa koniecznym jest przyjęcie Ms ~ 103 [GeV] dla teorii z g2 ~ 10−1

Jednakże taka uproszczona analiza może okazać się niesłuszna, jeśli sektor teorii, który narusza supersymetrię, jest izolowany od sektora modelu standardowego za pomocą specjalnego mechanizmu.

Teraz dokładniej rozpatrzymy jak skala naruszenia supersymetrii jest określana, wychodząc z wymogu rozwiązania technicznego problemu hierarchii cechowania.

Jeśli naruszenie supersymetrii prowadzi do rozczepienia mas superpartnerów ∆m ( tj. bozonu cechowania i gauginio ), propaguje się po pętli w podanym powyżej diagramie, to indukowana masa Higgsa ma postać :

[ g2 /(4π)2 ] ∆m (19.33)

Podobny wynik jest słuszny, jeśli mamy rozczepienie w supermultiplecie chiralnym, związane z polem Higgsa i oddziaływaniem Yukawy. Odpowiednie grafy pokazano na rysunku 19.4

Rys. 19.4

Ponieważ wartość masy Higgsa nie przekracza 1 [TeV], to znajdujemy :

∆m ≤ 1 [TeV] [ (4π)2 / g2 ] (19.34)

Dlatego jeśli ∆m oznacza efektywną skalę naruszenia supersymetrii, to oczekujemy że ∆m ~ mW , tak aby uniknąć konieczności nienaturalnego dokładnego dostrojenia stałych teorii.

Tym niemniej supersymetria powinna być naruszona w pewnym sektorze teorii na poziomie klasycznym. Dla dowolnego supermultipletu chiralnego z niezerowymi średnimi próżniowymi < F > znajdujemy odpowiadający mu wkład do rozczepienia mas pól cechowania, pojawiający się z supergrafu pokazanego na rysunku 19.5

Wkład ten ma postać :

g2 < F >2 / M2 = g2 MS2 / M2 (19.35)

Rys. 19.5

Zgodnie z naszym tokiem postępowania takie rozczepienie mas nie może być zbyt wielkie. Istnieją dwa sposoby obejścia wskazanej trudności – albo wybierzemy masę M bardzo dużą ( ~ Mx ) [142], albo nie pozwolimy multipletowi

chiralnemu oddziaływać z polami cechowania [143]. To wszystko prowadzi do wniosku, że jeśli skala naruszenie supersymetrii jest duża, to sektor naruszający supersymetrię powinien być izolowany od obserwowanego sektora teorii [149].