15 Sformułowanie teorii z globalną supersymetrią w superprzestrzeni
15.3 Podejście geometryczne do (N=1)- supersymetrycznej teorii Yanga-Millsa
Interesujące alternatywne podejście do supersymetrycznej teorii Y-M zostało otrzymane w wyniku skopiowania standardowych metod budowy teorii Y-M [55].
Wprowadzimy superkoneksje Aπi która przekształca się następująco :
( ∂π + Aπ )’ = e+K ( ∂π + Aπ )e−K (15.43)
gdzie K = Ki Ti , Aπ = Tj Ajπ , przy czym macierze Ti przedstawiają sobą generatory grupy G w dowolnej reprezentacji.
W równości (15.43) oraz w dalszych wzorach pochodna ∂π działa na pola, stojące po prawej, tj. po czynniku e-K Dlatego prawą część można przepisać w postaci :
( e+K ( ∂π + Aπ )e−K + ∂π
gdzie w pierwszej składowej ∂π działa tylko w obszarze nawiasów. Zauważmy, że wielkości ∂π , Aπ i K = Ki Ti ,są antyhermitowskie, a zatem Aπi i Ki są rzeczywiste.
Pochodne kowariantne określamy następująco : Dπ = ∂π + Aπi ( Ti )a
b (15.44)
gdzie teraz Ti – są macierzami działającymi na odpowiednie pola.
W szczególności, jeśli mamy superpole ψa ,które przekształca się w następujący sposób :
ψ’a = ( eK )ab ψb (15.45)
to Dπψ - jest gauge- inwariantnym superpolem.
Natężenie pól supersymetrycznej teorii Y-M określimy następująco : Tak jak w przypadku teorii Y-M mamy tożsamości Bianchi , które wynikają z tożsamości :
[ DM , [ DN , DR }} – [ [ DM , DN }, DR } + ( – 1 )RN [ [ DM , DR }, DN } = 0 (15.48) Na koniec otrzymujemy :
INMR = [ − (−1 )( M + N)R DR FMN + TMNS FSR ] − (−1 )NR ( R → N, N → R , M → M w pierwszej składowej ) −
− (−1 )(N+R)M ( M → N, N → R , R → M w pierwszej składowej ) (15.49) Rozpatrzymy teraz do jakich następstw prowadzi obecność chiralnych superpól w podejściu, dla supersymetrycznej teorii Y-M. Pierwotny warunek chiralności DAϕ = 0 powinien być zmieniony po to, aby pozostał on gauge – inwariantny. Jedyne możliwe uogólnienie ma postać DAϕ = 0. Jednakże taki wiąz prowadzi do zależności :
{ DA, DB }ϕ = FABi Tiϕ = 0 (15.50)
,a zatem ponieważ przy θ = 0 ϕ jest dowolne, jesteśmy zmuszeni wnioskować, że spełnione są równości :
FAB = 0 , FA•B• = 0 (15.51)
Z tymi ograniczeniami zgodne są wszystkie inne reprezentacje supersymetrii przy obecności pól Y-M. Takie więzy nazywa się często więzami „zachowującymi reprezentacje”. [56, 57]
My będziemy wykorzystywali również pojęcie „więz standardowy” [56, 57]. Rozpatrując natężenie pola :
FAB• = + DA AB• + DB• AA + { AA , AB• } + 2i(σn )AB• An (15.52) Znajdziemy, że pole An jest dogodniejsze jako koneksja, ponieważ przekształca się ono tak samo jak pierwsze trzy człony w FAB•, brane z odwrotnym znakiem. Przyjmując FAB• = 0, wyrazimy An przez AA i A B• :
An = ¼ i ( + DA AB• + DB• AA – { AA , AB• }) (σn )AB• (15.53) Przypomina to przejście od formalizmu pierwszego rzędu do formalizmu drugiego rzędu w OTW.
Reasumując zapiszemy więzy w postaci :
FAB = FA•B• = FAB• = 0 (15.54) W ramach tego podejścia mamy teraz dwa sposoby dalszych obliczeń. Moglibyψmy po prostu rozwiązać więzy (15.54), lub „rozwiązać tożsamości Bianchi”. Na początku wykorzystamy drugi sposób. Chociaż tożsamości Bianchi – są tylko tożsamościami , jednakże my wymagamy spełnienia podanych powyżej więzów, wtedy to tożsamości te stają się nietrywialne i mogą być wykorzystane w celu otrzymania pewnych następstw takich więzów.
Najlepszym podejściem do rozwiązania tożsamości Bianchi będzie ocena w kolejności wzrastania wymiaru wielkości wchodzących do nich. Z definicji natężenia pól Y-M znajdziemy ich wymiar :
[ Fαβ ] = 1 , [ Fnα ] = 3/2 , [ Fmn ] = 2 (15.55) Jedyna nietrywialna tożsamość Bianchi, posiadająca tylko indeksy fermionowe, ma postać :
IAB•C = 0 = TAB•n = FnC + TCB•n FnA (15.56)
Zauważmy, że :
( FAn )* = − FA•n , ( WA )* = + WA• (15.60)
ponieważ :
[ ( σm )AB• ]* = ( σ
-
m )A•B = ( σm )BA•
Zwróćmy uwagę na to, że WA( WA• ) – jest niezerowym natężeniem pola o najniższym wymiarze.
Dalej rozpatrzymy tożsamość Bianchi :
IABn = DAFBn + DB FAn = 0 (15.61)
Z której wynika :
DAεBC WC• + DB εAC WC• = 0 (15.62)
Mnożąc ostatnią tożsamość przez εBC znajdujemy :
DAWC• = 0 (15.63)
W rzeczywistości te trzy równania całkowicie określają tożsamości Bianchi, ponieważ symetryzacja FAB•C•C po AC i B•C automatycznie daje zerowy wynik.
Tożsamość Bianchi zawierająca IAmn prowadzi do zależności : DAFnm = (i /8) (σn )AC•
DmWC• – (i/8)(σm )AC•
DnWC• (15.69)
W której pochodna spinorowa Fmn może być prosto wyrażona poprzez pochodną czasoprzestrzenną WA•
Analogiczny wynik można otrzymać dla wielkości zespolonej sprzężonej. W istocie (15.69) jest następstwem zależności (15.69), (15.63) i (15.64) i w tym sensie lepiej byłoby rozwiązać tożsamość Bianchi Iamn = 0.
Pozostała tożsamość Bianchi Inmr = 0 – jest standardową tożsamością tego typu, wyrażającą fakt, że Fnm jest rotacja pola An :
Fmn = + ∂Am – ∂mAn + [ An – Am ] (15.70)
Podsumowując, należy zauważyć, że niezerowe natężenia pola FAn , Fnm i wielkości do nich sprzężone można wyrazić przez jedno superpole WA, pole do niego sprzężone WA• oraz ich pochodne spinorowe. Superpole WA spełnia warunki
DBWA• = 0 = DB• WA (15.71)
DAWA – DA• WB• = 0 (15.72)
Jak zobaczymy dalej, inne wyniki analizy tożsamości Bianchi, tj. zależności (15.69) i (15.70) są następstwem takich warunków.
Z powyższych wzorów można otrzymać zestaw pól składowych supersymetrycznej teorii Y-M. Niezależne składowe superpola chiralnego WA( WA• ) w przestrzeni x przy θ = 0są składowymi wyrażeń :
WA , D(BWA) , − ½ DB WB , D2 WA (15.73)
które oznaczymy odpowiednio jako :
λA , FAB , D , ζA (15.74)
Jednakże warunek (15.72) oznacza, że pole D jest rzeczywiste i :
DC (DB WB ) = - ½ εCB D2 WB = - ½ D2 WC = - DC DB• WB• = - 2i D^ DCB• WB• (15.75)
Zatem, przy θ = 0 mamy :
ζC = -4i (D^ )CB•λB• (15.76)
Dalsze obliczenia pokazują, ze natężenie Fmn spełnia standardową tożsamość Bianchi i dlatego może być przy θ = 0 przedstawiona w postaci (15.70), gdzie Fmn związana jest z natężeniami FAB i FA•B• poprzez zależności :
FAB = ¼ (σmn )AB Fmn , FA•B• = ¼ (σmn )A•B• Fmn (15.77) Zatem, ( N=1)-supersymetryczna teoria Y-M zawiera pola λα , Aµ , D.
Ich przekształcenia supersymetrii można znaleźć z pomocą standardowych rozważań korzystając z podanych wcześniej zależności. Przykładowo :
dλB = εA DAWB | θ=0 = DεB + ½ (σmn )AB Fmn εA = DεB + FAB εA (15.78)
Omówimy teraz alternatywne podejście, a dokładniej po prostu rozwiążemy więzy.
To oznacza, że należy rozwiązać równania :
FAB = FA•B• = 0 (15.79)
W tych wyrażeniach pochodne działają prawostronnie, zatem : { DA, DB } = { e−Ω DA eΩ , e−Ω
Aby uzyskać własności transformacyjne pól AA wymagamy spełnienia równości : eΩ’ = eΩ e−K lub eΩ’
= eΩ
e−K (15.81)
Można znaleźć również przekształcenie pola Ω, przy którym pozostają niezmienne pochodne kowariantne, a dokładniej : eΩ’ = eΛ
Należy oczekiwać pojawienia się takiej dodatkowej inwariantności cechowania za każdym razem, kiedy rozwiązywany jest dowolny więz kowariantny.
Przy infinitezymalnym przekształceniu mamy : δΩ = − K + Λ
(15.83)
Można wykorzystać wielkość rzeczywistą Ki po to, aby poprzez odpowiedni wybór cechowania wykluczyć rzeczywista część Ωi. Można to najłatwiej zrobić, definiując K-inwariantną * rzeczywistą wielkość V z pomocą zależności : eV = eΩ e −Ω
(15.84) Jeśli wybierzemy Ki i cechowanie tak, że przy tym pola Ωi będą rzeczywiste, to V = 2Ω ( Ω = − Ω
).
Odpowiednie Λ przekształcenie pola V ma postać : eV’ = eΛ
-eVe−Λ (15.85)
lub dla przekształcenia infinitezymalnego : δV = ( Λ
-
− Λ ) + O( V, Λ, Λ) (15.86)
Do tego wyniku można również dojść eliminując z pomocą cechowania część rzeczywistą Ω i dokonując odpowiedniego przekształcenia kompensującego wielkości K dla każdego przekształcenia Λ( Λ− ), po to, aby zachować wybrane cechowanie.
Jeśli pola składowe superpola V oznaczymy jako ( C, ζ, H, K, Aµ , λ , D ), tak jak to uczyniliśmy w rozdziale 11, to można wykorzystać pole chiralne Λ w celu wyeliminowania z pomocą odpowiedniego wyboru cechowania składowych C, ζ, H, K zachowując przy tym gauge –przekształcone pole Aµ. Wybierając do tego cechowanie Wessa-Zumino, należy dokonać odpowiedniego przekształcenia, aby nie naruszyć tego warunku cechowania. Zatem, pozostają nam ponownie pola składowe w x- przestrzeni Aµ , λ, D.
Często okazuje się użytecznym zredefiniować pola chiralne i pochodne kowariantne.
Dla pól antychiralnych spełnione są przekształcenia : ψ = e−Ω
-
ψWażnym jest zauważyć, że zarówno jak w przypadku bazy chiralnej, przekształcenia pochodnych spinorowych nie są unitarne , a zatem nie posiadają własności rzeczywistości. Jednakże te nowe pola, które często okazują się zadane w reprezentacji chiralnej, bywają użyteczne przy obliczeniach lub budowie działania.
Nowe pochodne zgodne są z definicją : D0N= e+Ω
-DN e−Ω
-
(15.90) Natężenie pola chiralnego można określić w następujący sposób :
[ D0N, D0M} = TNMR D0R+ F0NM (15.91) Obliczenia pola W0Az użyciem pojęcia superpola V możemy przeprowadzić w miarę prosto :
{ D0A, D0A• } = { DA + A0A+ DA• } = TAA• n