Zbiór uniwersalny - Gauge-kowariantne sformułowanie struny

Mechanizm Fayet’a-Ilipoulos’a [144]

22. Gauge-kowariantne sformułowanie struny

22.7 Zbiór uniwersalny

Zbiór uniwersalny został zbudowany w pracy [196] za pomocą metody, którą przedstawimy w niniejszym podrozdziale.

Został on również znaleziony niezależnie w pracy [197] poprzez uogólnienie gauge-inwariantnej teorii prac [195, 198].

Dla dalszego wykładu użytecznie będzie rozszerzyć CP wprowadzając współrzędne antykomutujące. Rozszerzona CP sparametryzowana jest przez współrzędne xµ(σ) , c(σ), c

-

(σ), gdzie xµ(σ) – są standardowymi współrzędnymi bozonowymi ; µ = 1, ... , 26 , c(σ) , c

-(σ) – współrzędne fermionowe.

Wymagamy, aby spełnione były warunki brzegowe :

∂σxµ(σ) = ∂σc(σ) = c

-

_{σ) = 0}

(22.89) przy σ = 0 i σ = π.

Taka 28- wymiarowa CP w sposób naturalny pojawia się przy BRST-kwantowaniu działania Nambu dla struny [199].

Pola odpowiadające duchom c(σ) i c-(σ) należy wprowadzić przy ustalaniu dwuwymiarowej symetrii reparametryzacyjnej powierzchni świata struny.

Przypominamy czytelnikowi, że mamy zamiar zbudować gauge-inwariantną kwantową teorię strun bez wykorzystywania BRST-formalizmu. Formalizm ten otrzymujemy poprzez niestandardową metodę ustalenia cechowania i wprowadzenia odpowiednich pól duchów.

Okazuje się, że wiele metod pojawiających się w pierwszym kwantowaniu teorii strun, posiada swoje analogi w gauge-inwariantnej drugiej kwantyzacji kwantowej teorii.

Dla xµ(σ) mamy standardowy rozkład Fouriera, a dla c(σ) i c-(σ) rozkłady odpowiadające wybranym warunkom brzegowym, mają postać :

Analogicznie do pola xµ(σ) wprowadzamy dla pól c(σ), c

-

(σ) fermionowe operatory kreacji i anihilacji :

Jeśli chodzi o standardowy iloczyn skalarny to mamy :

β-(σ) = β-(σ)† , β(σ)† = β(σ) (22.92)

Zauważmy, że w odróżnieniu od δ/δxµ(σ) nie dodaliśmy czynników i dla warunku hermitowskości, ponieważ mamy do czynienia z wielkościami antykomutującymi :

( δ/δc(σ) )† = δ/ δc(σ) (22.93)

Zatem : β

-n† = β

-−n , βn† = β−n (22.94) i w szczególności :

β -0† = β

-0 , β0† = β0 (22.95)

Oczywiście, ze takie oscylatory fermionowe spełniają zależności antykomutacyjne :

Zdefiniujmy teraz próżnie ze względu na takie oscylatory. Możemy przyjąć, że : βn | > = β

-n | > , -n ≥ 1 (22.97)

analogicznie do standardowego przypadku oscylatorów bozonowych αµn.

Jednakże zdefiniowanie działania modów zerowych na próżnie wymaga większej ostrożności [199].

Próżnie | + > możemy zdefiniować przez zależność :

β0 | + > = 0 (22.98)

wtedy działając na nią operatorem β

-0 otrzymamy nową próżnię : β

-0 | + > = | − > (22.99)

ponieważ β

-n2 = 0, to znajdujemy, że β

-0 | − > = 0. Zależności { β0 , β

-0 } = 1, wynika, że β0 | − > = | + >

Zauważmy, że :

< + | + > = < − | β0β0 | − > = 0 (22.100) i analogicznie < − | − > = 0.

Jednakże słuszne są zależności :

< + | − > = < − | β0β0 | + > = < − | + > (22.101) i wnioskujemy, ze < + | − > = 1.

Próżnie | − > będziemy przyjmowali jako nieparzystą, a zatem próżnie | + > - jako parzystą, ponieważ β0 – jest operatorem nieparzystym ( fermionowym ).

Rozpatrzmy teraz najogólniejszy funkcjonał χ pól xµ(σ), c(σ), c-(σ).

W bazie oscylatorowej może on być zapisany w postaci :

Tak wyglądają funkcjonały strunowe, pojawiające się w kowariantnej polowej teorii strun. Zmienne duchowe, jak się przekonamy, opisują poprawnie dodatkowe pola. Jest to analogiczne do wykorzystywania superprzestrzeni w teoriach supersymetrycznych, gdzie pozwala ono systematycznie opisać pola składowe supermultipletu.

Zauważmy, że ψn1...nbm1...ma = ψ[ n1...nb][ m1... ma ] i jeśli a + b – jest liczbą nieparzystą, to ψab jest polem antykomutującym. Ponieważ chcemy opisać gauge-inwariantną polową teorię struny, a nie BRST-inwariantną teorię, zawierającą pola duchów, to wymagamy, aby funkcjonał χ podlegał pewnemu więzowi. Zauważmy, że rozpatrzony powyżej zbiór uniwersalny zawiera pola ψkk , ϕk+1

k Będą one wchodziły do funkcjonału | χ >, jeśli będą spełniały więz

gdzie N – operator stojący w równaniu (22.103).

Przyjmiemy, że takie równanie jest spełnione. Zauważmy, że dzięki fermionowej naturze próżni, jeśli | χ > jest parzyste, to pola składowe ψkk , ϕk+1

k są parzyste. Skrajnie użytecznym operatorem jest ładunek Virasoro, który budujemy następująco.

Generatory Virasoro Ln w teorii klasycznej spełniają następującą algebrę : { Ln , Lm } = −i (n − m ) Ln+m = −i fmnp Lp

Odpowiedni BRST- ładunek jest równy : ∞ ∞

Q’ =

Σ

_β−n Ln − ½

Σ

^β

^-

p fmnp β−n β−m (22.104)

n=−∞ n, m, p = −∞

Konstrukcje tego typu zastosowaną do kwantowego hamiltonianu, można znaleźć w pracy [200].

Podane powyżej wyrażenie nie jest w pełni określone do tej pory, aż nie dokonamy w nim uporządkowania normalnego, po tym można znaleźć stałą uporządkowania normalnego. Zatem, rozpatrzmy wyrażenie :

Zauważmy, że przestawiając wielkości antykomutujące przy uporządkowaniu normalnym, powinniśmy wprowadzić znak minus, np. :

: βn β

-−m := − β

-−m βn , przy n, m ≥ 1 (22.106)

Bezpośrednio z definicji wydawaćby się mogło, że możemy łatwo dowieść, że Q2 = 0.

Jednakże poprawnie określony operator Q posiada własność Q2 = 0 tylko przy warunku D = 26 i przy a = 1 [199].

Operator Q można zapisać na różne sposoby, które będziemy potrzebowali dalej : Q = β0 K − 2β

-0 M + d + D (22.107)

gdzie operatory K, M , D nie zawierają modów zerowych tj. β0 i β

-0.

Znajdujemy iż :

Zauważmy, że D = d† i spełniają one zależności

Z takich zależności wynika :

Q2 = { d, D } − 2MK = 0 (22.111)

Q | χ > = [ −2Mϕ + ( d + D)ψ ] | − > + [ −Kψ + ( d + D )ϕ ] | + > (22.113) gdzie operatory K, M, d, D teraz określane są ich działaniem na ψn1...nbm1...ma :

gdzie :

a b

m =

Σ

mi ,

Σ

ni i=1 i=1

Takie definicje różnią się od podanych w literaturze o pewne trywialne czynniki. Różnica w znakach dla stanu parzystego i nieparzystego | χ > wynika z różnicy parzystości liczby permutacji, koniecznych dla tego, aby operatory modów zerowych działały bezpośrednio na próżnie.

Przykładowo :

Teraz jest zrozumiałe, że takie operatory są szczególnie odpowiednie dla omówienia równań ruchu (22.88) w przypadku zbioru nieskończonego. Równania te mogą być przepisane w postaci :

gdzie ψ11 = { ξmn : n, m = 1, 2, ... , ∞ }, a przekształcenia cechowania mają postać :

δψ00 = DΛ01 , δϕ01 = −KΛ01 , δψ11 = dΛ01 (22.116)

Teraz łatwo dowieść inwariantności równań (22.115) względem przekształceń cechowania (22.116). Uogólnienie na przypadek zbioru uniwersalnego jest oczywiste.

Ogólne równania mają postać [196, 197] :

podczas, gdy przekształcenia cechowania możemy przedstawić w postaci :

gdzie Ω - parametry nowego przekształcenia symetrii.

Pewne ślady takiej symetrii można znaleźć w przypadku nieskończonego zbioru, chociaż dzięki przekształceniom kompensującym przejawiają się one w bardzo złożonej formie.

Pełne wykorzystanie podanego powyżej formalizmu daje skrajnie prosty opis zbioru uniwersalnego. Zanim przejdziemy do tego zagadnienia, powrócimy na pewien czas do cząstki punktowej [187].

Mamy tutaj tylko jeden więz :

Q = β0 ( −∂2 + m2 ) (22.119)

Ponieważ klasyczna algebra więzów ( względem nawiasów Poissona ) jest abelowa. Dobrze znane działanie Kleina-Gordona może być zapisane w postaci :

∫

d4x ψ( −∂2 + m2 )ψ = < χ | Q | χ > (22.120)

gdzie | χ > = ψ | − > + ϕ | + > - najogólniejszy funkcjonał od xµ , c, c-. Oczywiście, że Q2 = 0, dlatego działanie jest inwariantne względem przekształcenia :

δ | χ > = Q | Λ > (22.121)

W zapisie zwartym mamy :

δψ = 0 , δϕ = ( −∂2 + m2 )Λ (22.122)

gdzie | Λ > = Λ | − > + Ω | + > i symetria jest trywialnie realizowana.

Powróćmy teraz do teorii strun, gdzie działanie w przypadku zbioru uniwersalnego ma postać [196, 197] :

½ < χ | Q | χ > (22.123)

z przekształceniem cechowania :

δ | χ > = Q | Λ > (22.124)

Przypomnijmy, że wielkość | χ > spełnia więz algebraiczny N | χ > = 0, skąd z uwzględnieniem zależności [ ϕ, N ] = − N otrzymujemy więz :

( N + 1 ) | Λ > = 0 (22.125)

który spełnia funkcjonał | Λ > = Λ | − > + Ω | + > zawiera następujące funkcjonały od xµ(σ) :

Λkk+1 , Ωkk+2 dla wszystkich k (22.126)

Działanie może być wyrażone w postaci funkcjonalnej :

funkcjonalna postać Q ma postać

:

gdzie z = exp( −iσ ).

Zauważmy, że χ i Q są nieparzyste, nieparzysta jest również miara :

dzięki temu faktowi, ze współrzędna c(σ) ma o jeden mod zerowy więcej niż c-(σ).

Równanie ruchu ma postać :

Q | χ > = 0 (22.129)

Z uwzględnieniem (22.112) może ono być zapisane poprzez współczynniki ψkk , ϕkk+1 w postaci :

Kψ + dϕ + Dϕ = 0 , dψ + Dψ + 2Mϕ = 0 (22.130)

Przekształcenie zapisane z użyciem pól składowych Λkk+1 , Ωkk+2 ma postać :

δψ = ( d + D )Λ − 2MΩ , δϕ = − KΛ + ( d + D )Ω (22.131) Jest ono oczywiście równoważne przekształceniu (22.118), w którym jawnie wskazano strukturę indeksów.

Działanie < χ | Q | χ > w zapisie komponentowym przyjmuje następującą postać :

½ ( ψ, Kψ ) + ( ψ , dϕ ) + ( Dϕ , ψ ) + ( ϕ, Mϕ ) (22.132)

Przy wyprowadzaniu tego wyniku przyjęliśmy do wiadomości próżniowe własności (22.98) i (22.99) i wykorzystaliśmy to, ze ( ψ, dϕ ) = ( Dψ, ϕ ) dla dowolnych ψ i ϕ.

Zauważmy, że przekształcenie | Λ > = Q | Λ’ > nie zmienia | χ > i jest tzw. ukrytą inwariantnością. To automatycznie prowadzi do pojawienia się „duchów dla duchów”, ponieważ człon, ustalający cechowanie, powinien zawierać tylko

| χ >, zatem odpowiednie działanie dla duchów jest nieuchronnie inwariantne ze względu na takie przekształcenia. Dalej omówimy właśnie to zagadnienie.

W odróżnieniu od zbiorów skończonego i nieskończonego można pokazać bezpośrednio, że zbiór uniwersalny prowadzi do poprawnej odpowiedzi dla liczby stanów na powierzchni masy.

W dokumencie Wprowadzenie do supersymetrii i supergrawitacji P. West (Stron 157-161)