Pola na powierzchni masy

Dowolna teoria supergrawitacji na powierzchni masy, tj. kiedy pola spełniają równania ruchu, może być zbudowana tylko na podstawie znanej liczby stanów cząstek o danym spinie na powierzchni masy. Taką teorię można otrzymać, zapisując w x- przestrzeni liniowe równania ruchu dla swobodnych od duchów pól, jednoznacznie odpowiadających każdemu ze stanów na powierzchni masy , a następnie uwzględniając oddziaływanie z pomocą metody Noether ( zobacz rozdział 9 ). Jest to jednak długa procedura. Wynik możemy uzyskać prościej za pomocą sformułowania w

superprzestrzeni wykorzystując analizę wymiarową i oczywiście równowagę stanów z określonymi spinami na powierzchni masy. Zilustrujemy taki porządek działania dla (N=1) – supergrawitacji.

Stany na powierzchni masy przedstawimy za pomocą pól hµν( hµν = hνµ ) i ψµα , których przekształcenie cechowania ma postać :

δhµν = ∂µξν + ∂νξµ , δψµα = ∂µηα (16.115)

Opuściliśmy człony nieliniowe, ponieważ ważna jest teraz tylko ogólna struktura. Geometryczny wymiar pola hµν jest zerowa, a pole ψµα ma wymiar ½. Gauge-kowariantne obiekty o niższym wymiarze mają postać :

∂ψ i ∂∂h (16.116)

ich wymiary są równe odpowiednio 3/2 i 2.

Rozpatrzmy teraz superskręcenie i superkrzywiznę ; takie superpola przy θ = 0 powinny odpowiadać wielkościom kowariantnym w x-przestrzeni. Jeśli nie ma takich wielkości, to odpowiedni tensor powinien zerować się przy θ = 0, a zatem we wszystkich rzędach po θn. Jedynymi tensorami o zerowym wymiarze są TABn^• i TAB^•n.

Wielkości kowariantne o zerowym wymiarze nie występują, oprócz stałego tensora ( σn )AB^•. Zatem, należy przyjąć, że

TABn = 0 , TAB^•n = c(σn )AB^• (16.117)

gdzie : c – stała.

Wybieramy c ≠ 0, aby otrzymać zgodność z teorią wykorzystującą sformułowanie globalnej superprzestrzeni.

Z rzeczywistości tensora TAB^•n wynika, ze c – jest stałą urojoną, a z warunku normalizacji znajdujemy : c = −2i Ponieważ w x- przestrzeni nie występują kowariantne tensory o wymiarze ½ i 1 to mamy :

TAB^•C^• = TABC = TAmn = 0 (16.118)

Tak by nie było, jeśli istniałaby niezależna koneksja spinowa wµrs ponieważ przy tym wielkość ∂e + w + ... powinna być kowariantna. Jeśli koneksja wµrs nie jest wielkością niezależną, to może być ona wyrażona przez eµn i ψµα w taki sposób, aby podana powyżej wielkość kowariantna o wymiarze 1 zerowała się. Zatem, dla zależnej koneksji spinowej tj.

w formalizmie drugiego rzędu mamy :

TnAB^• = TnAB = RABmn = 0 = RAB^•mn (16.119)

Innymi słowy, wszystkie składowe skręcenia i krzywizny o wymiarze 0, ½ , 1 za wyjątkiem TAB^•n = −2i (σn )AB^• są równe zero.

Porównując ten zbiór więzów z więzami supergrawitacji poza powierzchnią masy, podanymi w podrozdziale 16.2 lub dalej w tym podrozdziale, widzimy że dodatkowe więzy mają postać TnAB = TnAB^•

= 0 = RABAB Z użyciem pojęć superpól R, W(ABC) i GAB^• jest to równoważne równości :

R = GAB^• = 0

Tensory o wymiarze 3/2 mogą zawierać przy θ = 0 wyrażenie ∂ψ ze spinem 3/2, dlatego nie wszystkie one są równe zero. Jedynymi niezerowymi tensorami są TmnA , RArmn i Rstmn oraz oczywiście TAB^•n = −2i (σn )AB^• Jednakże jak teraz pokażemy, podanych powyżej więzów (16.117) − (16.119) jest wystarczająco dużo dla pełnego określenia teorii. Pierwsza nietrywialna tożsamość Bianchi o wymiarze 3/2 ma postać :

InBD^•C^• = − DnTBD^•C^• + TnBF TFD^•C^• + RnBD^•C^• + DD^• TnBC^•− TD^•nF TFBC^•− RD^•nBC^•−

− DBTD^•nC^• + TBD^•F TFnC^• + RBD^•nC^• = 0 (16.120)

Wykorzystując podane powyżej warunki, można ją uprościć sprowadzając ją do postaci :

−2i (σm )BD^• TmnC^• − RnBD^•C^• = 0 (16.121) Zawężanie po indeksach D^• i C^• prowadzi do równania :

(σm )BD^• TmnD^• = 0 (16.122)

Jak pokażemy dalej, jest to nic innego jak równania Rarity – Schwingera.

Równanie dla pola o spinie 2 powinno mieć wymiar 2 i zawierać się w tożsamości Bianchi : IBmnA = − DBTmnA + TBmF TFnA + RBmnA − DnTBmA + TnBF TFmA + RnBmA −

− RnBmA − DmTnBA + TmnF TFBA + RmnBA = 0 (16.123)

Wykorzystanie więzów prowadzi do zależności :

− DBTmnA + RmnBA = 0 (16.124)

Mnożąc ostatnią zależność przez macierz (σn )B^•A znajdujemy :

(σn )AB^• DBTmnA = 0 = RmnBA (σm )B^•A (16.125)

Wykorzystując to, że RmnBA = − ½ Rmnpq (σpq )BA , otrzymujemy równanie : Rmn − ½ ηmnR = 0

Lub

Rmn = 0 , gdzie Rmn = Rmsns (12.126)

Teraz pokażemy, że są to równania pól o spinie 3/2 i 2. Składowe superpól Eµn i EµA przy θ = 0 oznaczymy w następujący sposób :

Eµn (θ= 0) = eµn , EµA (θ=0) = ½ ψµA (16.127)

Na danym etapie obliczeń wyrażenia te służą po prostu jako określenie pól eµn i ψµA. Wykorzystując gauge- inwariantność, można wykluczyć (θ=0)- składowe superpola EAn dokonując odpowiednich przekształceń ogólnie kowariantnych. Ponieważ :

δEAn (θ=0 ) = ξπ∂π EAn | θ=0 + ∂Aξπ Eπn | θ=0 = ... + ∂Aξµeµn + ... (16.128) oczywiście możemy wybrać ∂Aξµ , tak że EAn = 0.

Analogicznie można wybrać :

EA^•B^• = δA^•B^• , EAB = δAB , EAB^• = 0 (16.129) W wyniku tego otrzymujemy :

Koneksje spinową Ωπmn przy θ = 0 określimy w następujący sposób :

Ωµmn (θ=0) = wµmn (16.131)

Wspomagając się przekształceniem Lorentza, otrzymujemy :

Ωαmn (θ=0 ) = 0 (16.132)

Podstawiając θ =0, znajdujemy :

Wykorzystaliśmy tutaj równości :

ΩµνA^• = EνNwµNA^• = ½ψνB^• wµB^•A^• (16.135)

Skręcenie ze wszystkimi indeksami przestrzeni stycznej można wyrazić przez TµνA^• z pomocą zależności :

TµνA^•(θ=0 ) = EµN(θ=0) EνM (θ=0 )TNMA^•(θ=0) (−1)NM = eµn eνm TnmA^• (θ=0) (16.136) gdzie wykorzystaliśmy więzy TBnA^•

= TB^•CA^• = 0. Zatem :

0 = (σm )AB^• TmnB^•(θ=0) = − ½ (σm )AB^• emµ enνψµνB^• (16.137) i my poznajemy równanie Rarity-Schwingera.

Aby wyprowadzenie równań pola o spinie 2 i 3/2 był ściśle konsekwentny, należy pokazać, że wµmn jest koneksją spinową, wyrażoną prze eµn i ψµA. W rzeczywistości wynika to z warunku Tmnr = 0.

Zauważmy, że :

Tµνr (θ=0) = − ∂µ eνr + wµνr − ( µ ↔ ν ) (16.138) Z drugiej strony mamy :

Dlatego znajdujemy równanie :

wµnm − eνn − ∂νeµm − ( µ ↔ ν ) = + ½ iψνB^• (σm )AB^•ψµ A − ( µ ↔ ν ) (16.40) które można rozwiązać otrzymując prawidłowe wyrażenie dla wµnm.

Z równaniem dla pola o spinie 2 należy postąpić w analogiczny sposób :

Rµνmn (θ=0) = ∂µwνmn + wµmr wνrn − ( µ ↔ ν ) (16.141)

Jednakże mamy :

Pole RApmn można znaleźć z tożsamości Bianchi :

0 = IAnrs = − DATnrs + TAnF TFrs + RAnrs − DrTAns + TrAF TFns + RrAns −

− DnTrAs + TnrF TFAs + RnrAs (16.143) Wykorzystując więzy znajdujemy :

RAnrs + RrAns = +2iTnrB^• (σs )AB^• (16.144)

Z (16.137) wynika równanie :

RAnrs + RrAns = −i(σs )AB^• enµ erνψµνB^• (16.145)

Mnożąc zależność (16.142) przez emν , otrzymujemy :

emν Rµνmn (θ=0) ≡ Rµn = eµp Rpmnm + ½ (ψµA RAmmn + ψµB^•

RA^•m mn ) (16.146) Wtedy równanie (16.145) daje :

eµp Rpmmn = Rµn − ½ [ i ψµA (σm )AB^• emλ enτψλτB^•+ człony sprzężone hermitowsko ] (16.147) Przy tym równanie (16.126) ( Rmn = 0) staje się równaniem (N=1)- supergrawitacji dla pola o spinie 2, które stoi po lewej stronie (16.147).

Na pierwszy wzgląd wydaje się, że zagadnienie dalekie jest od ukończenie, ponieważ należy jeszcze przeanalizować wszystkie pozostałe tożsamości Bianchi i dowieść, że nie prowadzą one do sprzeczności. Można jednakże pokazać, że pozostałe tożsamości Bianchi są spełnione tożsamościowo [70,81].

Metodą tę można wykorzystać w celu zbudowania dowolnej teorii supergrawitacji na powierzchni masy. Jedyną nowa okolicznością jest pojawienie się pól skalarnych dla przypadku N ≥ 4. Na szczęśnie pola te zawsze pojawiają się w przestrzeni ilorazowej, którą można przedstawić w postaci :

Grupa G / grupa H

To oznacza, że realizuje się na niej algebra supersymetrii o elementach Pµn i Qµi , gdzie : e−ξT ∂µ ξT = Pµn Kn + Qµi Hi

( Hi – generatory grupy H , Ki – pozostałe generatory )

Ponieważ wymiary Pµn i Qµi są równe 1, cały czas istnieje możliwość wychodząc z analizy wymiarowej znalezienia wystarczającej liczby więzów.

Ostatnim zastosowaniem tej metody było zbudowanie (N=2, D =10)- chiralnej supergrawitacji [81].

Szereg innych prac w których wykorzystano tę metodę można znaleźć w spisie literatury pracy [82].