Dodatek A Wyjaśnienie wybranych oznaczeń

gdzie wykorzystaliśmy fermionową sumą statystyczną.

Na tym kończymy omówienie otwartej struny bozonowej. Podana powyżej systematyczna konstrukcja swobodnej gauge-inwariantnej teorii może być stosunkowo łatwo przeniesiony na inne przypadki. Przy tym na początku znajdujemy skończony zbiór, następnie uogólniamy go na zbiór nieskończony, a dalej na zbiór uniwersalny. Zbiór ten zapisujemy w dogodnej postaci wykorzystując dodatkowe współrzędne. Podliczenie stanów prowadzimy tą samą metodą co wcześniej.

Zamknięta bozonowa i otwarta bozonowa struna są budowane tą samą metoda co otwarta struna bozonowa. Omówienie swobodnych gauge-kowariantnych teorii takich strun czytelnik może znaleźć w wykładach autora, wygłoszonych w Trieście (1986 ) oraz w podanych tam odsyłaczach do literatury. Wykłady te zawierają również omówienie gauge-kowariantnych teorii strun oddziałujących.

*************************************************************************************************

Dodatek A Wyjaśnienie wybranych oznaczeń.

Wykorzystane przez nas oznaczenia wzięto z książki [5]. Oczywiście pozostają one tylko oznaczeniami i jeden system oznaczeń nie jest w istocie lepszy niż inny. Jednakże niektóre oznaczenia upraszczają obliczenia, a zatem zmniejszają prawdopodobieństwo pomyłek algebraicznych. Omówimy teraz oznaczenia, wybrane przez nas ze względu na ich prostotę.

Metryka w przestrzeni Minkowskiego określona jest przez tensor ηmn = ( −, + , + , + ).

Tensor całkowicie antysymetryczny ε jest równy :

ε0123 = −ε0123 = + 1 (A.1)

Rozróżniamy indeksy dla płaskiej i zakrzywionej przestrzeni. Spinory mogą mieć 2 i 4 składowe. Jeśli rozpatrujemy jednocześnie obiekty z wektorowymi i spinorowymi indeksami, to takie indeksy nazywamy superindeksami. W podanej poniżej tabeli usystematyzowano takie oznaczenia.

Przestrzeń Wektor 2-składnikowy 4- składnikowy Superindeksy spinor spinor

płaska zakrzywiona

Superindeksy zawężamy w kierunku “północno-zachodnim” ( lewy górny z prawym dolnym ). Przykładowo

Takie zawężenia mogą być przepisane z użyciem spinorów 2- składnikowych i wektorów w następujący sposób :

Symbol ( −1 )M jest równy +1 przy M = m i jest równy −1 przy M = A lun M = A^•

Dwuskładnikowe spinory χA , ζA^• należą do reprezentacji ( ½ , 0 ) i ( 0, ½ ) grupy Lorentza.

Ich indeksy można podnieść i opuścić z pomocą inwariantnych tensorów :

εAB = εAB = − εA^•B^• = − εA^•B^• , ε12 = + 1 (A.4) Zauważmy, że εCB εAB = − εAB εCB = δAC

Przyczyna pojawienia się znaku minus stanie się jasna, kiedy będziemy wymagali, aby spełniona była powyżej sformułowana zasada „północno-zachodniego” zawężania cztero- i dwu- składnikowych obiektów.

Dla podniesienia i opuszczenia indeksów spinorowych wykorzystujemy te same zasady, co dla superindeksów.

Zatem :

W wyniku θA θA = − θA θA ≡ θ2 – jest inwariantem lorentzowskim, analogicznie otrzymujemy +θA^•θA^• = − θA^• θA^•≡ θ

-

₂

Zatem otrzymujemy :

θAθB = − ½ εAB θ2 (A.6)

Macierze ( σm )AB = ( 1, σ )AB , gdzie σ - macierz Pauliego :

są tensorami , inwariantnymi względem przekształceń grupy Lorentza. Opuszczając indeksy macierzy ( σm )AB^• znajdujemy :

( σm )AB^• = + ( σ

-

_{m )}

B^•A gdzie ( σ-m )B^•A = ( −1, + σ )B^•A

Zauważmy, że σm = ( −1, σ ) i σ

-

m = ( + 1 , +σ ).

Obie macierze σm i σ

-

m posiadają te same składowe przestrzenne σ. Jest to naturalne przy naszym wyborze metryki ( −, + , +, + ) i prowadzi do zależności pomiędzy σm i σ

-

m, nie zawierającego znaku minus.

Macierze te spełniają następujące zależności :

gdzie

Zwróćmy uwagę na to, że macierze σmn i σ

-

mn z dwoma górnymi i dwoma dolnymi indeksami są symetryczne.

Podamy jeszcze kilka użytecznych tożsamości :

Aby ustanowić odpowiedniość między cztero- i dwu- składowymi spinorami, rozpatrzmy teraz spinory czteroskładnikowe.

Reprezentacja dogodna dla przejścia do spinorów dwuskładnikowych ma postać :

Zdefiniujmy również macierz :

Spinor nazywamy majoranowskim, jeśli spinor do niego sprzężony majoranowsko jest równy spinorowi sprzężonemu diracowsko.

Majoranowsko sprzężonym ze względu na czteroskładnikowy spinor będzie z definicji spinor o postaci : χ

-M = χTC lub ( χ

-M )α = χβCβα (A.12)

Spinor sprzężony diracowsko zdefiniowany jest następująco : χ

-D = χ†( iγ 0 ) lub ( χ

-D )α = ( χβ )* ( iγ0 )βα (A.13)

Zatem spinor Majorany spełnia tożsamość :

χTC = χ†γ 0i lub χβ Cβα = ( χβ )* ( iγ0 )βα (A.14) Czterowymiarowa macierz sprzężenia ładunkowego Cαβ jest antysymetryczna, a macierz Cγm jest symetryczna tj. :

CT = −C , Cγm C −1 = − (γm )T (A.15)

We wskazanej powyżej reprezentacji mamy :

Teraz mamy wszystko to co potrzeba, aby ustanowić związek między dwu- i cztero- składnikowymi spinorami.

Rozłóżmy czteroskładnikowy spinor na dwa spinory dwuskładnikowe :

Zatem, spinory dwuskładnikowe związane są z czteroskładnikowymi poprzez zależności :

gdzie χA, ζA^• oznaczają tylko dwie pierwsze i dwie ostatnie składowe spinora χα. Macierz sprzężenia ładunkowego ma postać :

Warunek Majorany χ

-M = χ

-D przyjmuje postać:

( χA )* = ζA^• , ( χA )* = − ζA^• (A.20)

gdzie zgodnie z zasadą zawężania „północno-zachodniego” :

χA = χB εAB , ζA^• = εA^•B^•ζB^• (A.21)

W wyniku tego spinor Majorany może być przedstawiony w postaci :

gdzie zgodnie z definicją (χA )* = χ

-A^• , dlatego ( χA )* = −χ

-

_A• Kreseczka górna oznacza, że spinor χ

-A^• został otrzymany ze spinora χA za pomocą sprzężenia zespolonego.

W tekście podstawowym często opuszczamy kreseczkę górną dla uproszczenia oznaczeń.

Omówimy teraz transformacyjne własności dwu- i cztero- składnikowych spinorów pod działaniem przekształceń grupy Lorentza.

Unormujemy generatory grupy Lorentza ze względu na ich działanie na wektor kowariantny :

Zatem, zależności komutacyjne dla generatorów Jmn mają postać :

[ Jmn , Jpq ] = ηnp Jmq + 3 składowe (A.25)

W reprezentacji czteroskładnikowych spinorów generatory te dane są przez wyrażenie :

Jmn = ½ γmn , γmn = ½ ( γm γn − γn γm ) (A.26)

Zatem, czteroskładnikowe spinory przekształcają się pod działaniem przekształceń Lorentza w następujący sposób :

Wykorzystując następującą reprezentacje γ-macierzy :

zapiszemy zasady przekształcenia dwuskładnikowego spinora χα = ( χA , χA^• ) w postaci :

Ostatni wzór wynika z zależności λBχB = − λBχB.

Zauważmy, ze z przyczyn, które omawialiśmy powyżej, opuszczamy kreseczkę nad χA^•. Ponieważ macierz σmn jest symetryczna po indeksach spinorowych, otrzymujemy :

Podamy teraz definicje sprzężenia zespolonego (*). Dla funkcji zależnych od współrzędnych przestrzeni, symbol (*) oznacza standardowe sprzężenie zespolone, dlatego :

[ (∂/∂xµ ) f(x) ]* = (∂/∂xµ ) f*(x) (A.32)

Jednakże dla skalarów utworzonych z dwóch zmiennych antykomutujących :

S = θA εAB θB (A.33)

Wymagamy, aby ich wielkości sprzężone - zespolenie i hermitowsko, pokrywały się. Jeśli zmienne θ są macierzami, to sprzężenie hermitowskie oznacza :

S† = (θB )† (εAB )* (θA )† = θB^• (εAB )* θA^• (A.34)

Po to aby spełniona była równość S* = S† wymagamy zmiany porządku następowania macierzy θ przy sprzężeniu (*) Przykładowo :

( θAθB )* = θB^• θB^• , ( θAθBθC )* = − θC^•θB^•θA^• (A.35) ponieważ ( θA )* = − θA^• ( kreseczkę opuszczamy ). Zatem, ( θAθA )* = θA^•θA^•

Zdefiniujemy dalej pochodne po zmiennych antykomutujących, a dokładniej lewe pochodne :

∂/∂θA θB = δAB , ∂/∂θA^•θB^• = δA^•B^• Stąd otrzymujemy :

∂/∂θAθB = δBA , ∂/∂θA^•θB^• = δB^•A^•

Teraz można zdefiniować pochodna zespolenie sprzężoną, wymagając aby spełnione były równości :

w wyniku tego otrzymujemy :

Wzory te pokazują, że pochodne spinorowe skalarów, złożonych ze zmiennych antykomutujących, tworzą spinory Majorany.

Przy sprzężeniu zespolonym pochodnych należy zmienić porządek następowania pochodnych, tak jak i macierzy θ.

Czytelnik może się przekonać, ze podane powyżej definicje mogą być zastosowane dla dowolnych funkcji zmiennych θ ,nie tylko liniowych po θ.

Teraz podamy definicje skręcenia i krzywizny. Na początku zdefiniujemy pochodną kowariantną :

DM = EMΛ ( ∂Λ + ½ ΩΛmn Jmn ) (A.39)

gdzie EMΛ - macierz odwrotna supertetrady, ΩΛmn – koneksja spinowa, Jmn – generatory lorentzowskie.

Tensory skręcenia i krzywizny zadane są przez zależność :

[ DM , DN ] = TMNR DR + ½ RMNmn Jmn (A.40)

Jawne rachunki pokazują, że :

Koneksja spinowa o wartościach w przestrzeni grupy Lorentza posiada następującą strukturę :

Macierz (σmn )AB określona jest zgodnie z zasadami (A.5 ):

(σmn )AB = (σmn )C

D εCA εBD

Przyczyna pojawienia się znaku minus w (A.42) jest taka, że (σmn )AB χB = − (σmn )AB χB.

Użytecznie będzie określić krzywiznę ½ RMNPQ o wartościach w przestrzeni reprezentacji grupy Lorentza w następujący sposób :

,

Teraz omówimy własności rzeczywistości EMπ i wielkości do nich odwrotnych EπM. Ponieważ dzMEMπ można rozpatrywać jako przekształcenie od układu inercjalnego ( przestrzeń płaska ) do przestrzeni zakrzywionej, to

wymagamy aby współrzędne płaskie i krzywoliniowe miały jednakowe własności rzeczywistości ze względu na operacje (*), a dokładnie :

Z tożsamości dzπ = dzMEMπ możemy wyprowadzić następujące własności rzeczywistości :

Zasady te możemy łatwo zrozumieć : po sprzężeniu ( EAΛ )* tetrada jest równa EΛ*

A* , a komutacja Λ* i A* prowadzi do ostatecznego wyniku.

Teraz można otrzymać własności rzeczywistości tensora skręcenia w superprzestrzeni, ponieważ znamy zachowanie wielkości EMΛ i ∂Λ przy sprzężeniu zespolonym. Przykładowo :

( TABC )* = ( EAΛ∂ΛEBπ EπC + ... )* (A.46)

Najprościej będzie w charakterze Λ i π wybrać pola bozonowe; w tym przypadku :

Zatem ( TABC )* = TA^•B^•C^•

Wszystkie wyprowadzone zasady można zapisać krótko w postaci następującego wzoru :

( TMNP )* = (−1)p(m+n) + mn + p TM*N*P* (A.48)

gdzie znak ostateczny w prawej części pojawia się w wyniku zamiany miejscami indeksów P* i N*M*, M* i N*, jak również znaku minus w tożsamości (θA )* = −θA^•.

Prosta zasada mnemotechniczna polega na tym, aby w charakterze TMNP w przypadku szczególnym wybrać wyrażenie ZMZNZP a dalej wykorzystać zasady dla (ZM )*.

Dalej podamy jeszcze dwa przykłady : ( TABm)* = −TA^•B^•m , ( TAmB

)* = −TA^•mB^• (A.49)

Aby określić własności rzeczywistości krzywizny, konieczne jest na początku ustanowienie tej własności dla koneksji.

Wymagamy, aby obie składowe prawej części równości : DM = EMΛ∂Λ + ½ EMΛΩΛmn Jmn

posiadały jednakowe własności względem operacji sprzężenia zespolonego.

Na początku zbadamy jak zachowuje się koneksja ΩΛmn przy sprzężeniu zespolonym.

Przykładowo, wybierając dowolny wektor rzeczywisty vk i wykorzystując zależność :

znajdujemy, że wielkość ( Dm vk )* powinna być równa ( Dmvk ).

Stąd otrzymujemy :

( ΩΛkl )* = ΩΛ^•kl (A.51)

gdzie zgodnie z definicją Λ^• = ( m, A, A ) jeśli Λ = ( m , A, A^• ).

Następnie określimy własności rzeczywistości koneksji ΩΛPQ. A ponieważ generatory lorentzowskie spełniają tożsamości :

( Zauważmy, że znak minus, pojawiający się w wyniku sprzężenia zespolonego macierzy σmn , kompensowany jest przez taki sam znak który istnieje w definicji wielkości ΩΛPQ )

Z tego wyniku wynikają własności rzeczywistości krzywizny. Ponieważ :

gdzie wykorzystaliśmy tożsamość ( ∂/∂Λ )* = ∂/∂Λ^•.

Ponieważ dzΛ i dzm powinny posiadać jednakowe własności przy sprzężeniu zespolonym, krzywizna przekształca się przy takim sprzężeniu następująco :

( RMNPQ )* = (−1)MN RM^•N^•P^•Q^• (A.56)

Aby zilustrować podane powyżej rozważania, rozpatrzymy wariacje supertetrady (reperu ).

Z własności transformacyjnych supertetrady przy przekształceniach ogólnie kowariantnych :

Wnioskujemy stąd, że :

Dlatego, przyjmując

TAB^•m = −2i(σm )AB^• = TB^•Am , z zależności :

Znajdujemy :

Czytelnik może sprawdzić, że wariacja tetrady eµm w istocie jest rzeczywista.

Wykorzystaliśmy tutaj ten fakt, że jedyna niezerowa składowa skręcenia TAB^•m jest TB^•Am ( zobacz rozdział 11 ).

W formalizmie czteroskładnikowym odpowiada to :

Tαβm = 2( Cγm )αβ i δeµm = 2ε-γmψµ (A.61)

Należy być ostrożnym przy przejściu od formalizmu dwuskładnikowego do czteroskładnikowego, ponieważ dwuskładnikowe zawężenie ma postać :

podczas zawężenia czteroskładnikowe spinorów mają postać :

Wyniki dwu- i cztero- składnikowego zawężania są zgodne, ponieważ :

Przegląd przyjętych oznaczeń następującym zapisem zależności komutacyjnych (N=1)- supersymetrii Poincarego :

W dwuskładnikowym układzie oznaczeń mamy zależności :

Jak również inne, pozostawiające niezmienionymi wszystkie zależności.

Teraz pokażemy, jak zależności tej algebry realizują się w modelu Wessa-Zumino.

Z wariacji δA = ε

-QA, gdzie Q – pewne abstrakcyjne generatory, otrzymamy : [ δ1, δ2 ]A = [ ε

-1Q , ε

-2Q ]A (A.67)

Z drugiej strony, ponieważ δA = ε

-

χ i δχ = γµ ∂µAε, otrzymamy : [ δ1, δ2 ]A = ε

-2δ1χ − ( 1 ↔ 2 ) ε

-2γµε1∂µA (A.68)

Uwzględniając, że PmA = ∂mA znajdujemy :

Zatem, abstrakcyjne generatory spełniają zależność :

{Qβ, Qδ } = −2 (γµ C−1)βδ Pµ (A.70)

zgodnie ze wzorem (A.65)

*************************************************************************************************

Pochodna kowariantna : Ða λi = ∂a λi − g sijk Aaj λk

Literatura.

************************************************************************************************

W dokumencie Wprowadzenie do supersymetrii i supergrawitacji P. West (Stron 163-177)