Jawne naruszenia supersymetrii i skończoności

Wyjaśnimy teraz dla dużej klasy skończonych teorii o których mówiliśmy w poprzednim podrozdziale, czy może być zachowana ich skończoność przy dodaniu członów miękko naruszających symetrię.

Pod pojęciem „miękkich” składowych rozumiemy składowe o wymiarze 3 lub mniejszym, będące gauge-inwariantne i zachowujące parzystość. Dołączenie „miękkiej” poprawki do dowolnego grafu obniża stopień jego rozbieżności, jednakże dodatkowe człony naruszają jawnie supersymetrię oraz symetrię wewnętrzną, odpowiedzialnych z skończoność takich teorii. Pokażemy, ze nie wszystkie miękkie składowe zachowują skończoność, a tylko ich określone kombinacje.

Pierwszą ujawnioną miękką składową zachowującą skończoność były (N=1)- supersymetryczne masowe człony w teorii Y-M z N =4 [134]. Ogólna analiza, dająca warunki konieczne i wystarczające skończoności przy dodaniu członu miękkiego do teorii Y-M z N = 4 przedstawiona była w pracy [135], gdzie wykorzystano technikę śladową. Jednakże niektórzy autorzy [136] , wykorzystywali przy analogicznych obliczeniach formalizm stożka świetlnego, niezależnie ujawniając człony, miękko naruszające supersymetrię i zachowujące skończoność teorii Y-M z N = 4.; analiza pól składowych która również doprowadziła do pewnych miękkich poprawek zachowujących skończoność podana jest w pracy [137].

Miękkie składowe postaci ( A2 − B2 ) ujawnione w pracach [135, 136], zostały później znalezione również w pracy [138], gdzie wykorzystano uogólnienie formalizmu stożka świetlnego, przedstawionego w pracy [136].

Analiza warunków koniecznych i wystarczających tego, ze miękka poprawka zachowuje skończoność w klasie teorii z N = 22 podana jest w pracy [128] ; przeprowadzono ją z pomocą techniki śladowej. Niektóre z tych wyników zostały również osiągnięte przy pomocy obliczeń w formalizmie pól składowych [139].

Dalej będziemy wykorzystywali obliczenia podane w pracach [128, 135] i wykorzystamy technikę śladową [140] w celu zbadania rozbieżności powodowanych przez miękkie składowe. Rozpoczniemy od ogólnej ( N= 1)-supersymetrycznej teorii, składającej się z pól Y-M z N = 1, V i multipletu Wessa-Zumino ϕ. Pola składowe multipletu ϕ w x-przestrzeni oznaczymy przez ( A, B, χA , F, G ) ,a pola multipletu Y-M z N = 1 przez (Aµ , λ, D ).

W charakterze przykładu rozpatrzymy dodatek w postaci składowej µ2 ( A2 − B2 ) do działaniu supersymetrycznemu.

Aby wykorzystać formalizm superpolowy, a w szczególności zasady Feynmana dla supergrafów, zapiszemy ten dodatek wprowadzając w superprzestrzeni superpole śladowe – spurowe :

S = µ2θ2 (18.21)

gdzie θ2 = θAθA , µ2 – stała.

Superpole S jest polem chiralnym w tym sensie, że DA^•S = 0, nie jest to jednak superpole skalarne, ponieważ nie przekształca się ono w prawidłowy sposób przy przekształceniach supersymetrii. Dodanie członu µ2 ( A2 − B2 ) powodowane jest dodaniem do działania składowej :

∫

d4x d2θ Sϕ2 + człony hermitowsko sprzężone =

∫

d4x µ2 ( A2 + B2 ) (18.22) Teraz można obliczyć efekty kwantowe wykorzystując zasady Feynmana dla supergrafów, które zastosowaliśmy

powyżej. Mamy tutaj te same propagatory i wierzchołki, co wcześniej oprócz dodatkowego wierzchołka zadanego przez wyrażenie (18.22). Superpole S przedstawia sobą tylko pole zewnętrzne, a dodatkowy wierzchołek posiada tylko jeden czynnik − ¼ D−2, związany z jedną z dwóch linii chiralnych, tak jak to pokazano na rysunku 18.1

Rys. 18.1

Znaczenie czynników D

-

2 polega na tym, aby przyporządkować wierzchołkowi całkowanie po całej

(N=1)-superprzestrzeni. Zatem, twierdzenie o „nierenormalizowalności” jest jeszcze słuszne. Obliczając wymiary, znajdujemy iż wymiar superpola S jest równy 1.Spurony konieczne dla wprowadzenia wszystkich innych możliwych składowych miękko naruszających supersymetrię podano w tabeli 18.1

W tabeli 18.1 µ1, m, n ξ i e – to stałe ; nie podano w niej indeksów grupowych, ale przyjmujemy ich istnienie.

Superpola V konieczne są dla zachowania gauge-inwariantności oraz ważne są dla otrzymania prawidłowych

odpowiedzi przy obliczeniach w superprzestrzeni. Ich wyrażenia składowe dla uproszczenia obliczane są w cechowaniu Wessa-Zumino.

Tabela 18.1

Spurony Dodatek do działania wymiar spurona

(* opis na rysunku + człony hermitowsko sprzężone *)

Wszystkie wymienione dodatki generują nowe wierzchołki, które mogą być wykorzystane dla zbudowania supergafów Feynmana. Przykładowo, wstawka χAχA daje dodatkowe wierzchołki, przedstawione na rysunku 18.2

itd.

Rys. 18.2

Dowolne rozbieżności powodowane przez takie wstawki, spełniają twierdzenie o „nierenormalizowalności”, a zatem będą one miały ogólną postać

:

∫

d4x d2θ S( D2S )r U( D2 D−2U )P f(ϕ, V, Dϕ, ... ) (18.23) gdzie S – superpole chiralne spuronu, S =sθ2 , U – ogólne superpole spuronu, U = uθ2θ

-

2 , f – gauge-inwariantna

funkcja ϕ, V.

Dla szczegółowego wyjaśnienia podanych zagadnień powrócimy do przypadku dodatku o postaci A2 − B2 Indukowana przez taki dodatek rozbieżność ma postać :

∫

d4x d2θ S( D2S )r f(ϕ, V, Dϕ, ... ) (18.24) Ponieważ wymiar superpola S jest równy 1, jedyna możliwa rozbieżność ma postać :

∫

d4x d2θ Sϕ− (18.25) Jednakże składowa ta jest gauge-inwariantna tylko w tym przypadku, kiedy ϕ jest gauge- singletem. Zatem, ponieważ

gauge –singlety nie występują, dodatek A2 − B2 nie prowadzi do nowych typów rozbieżności. Wykorzystując argumentacje Weinberga [156], opartą na dowodzie indukcyjnym, założymy, że dla n pętli nie występują rozbieżności indukowane, wtedy rozbieżności indukowane w n + 1 pętli pojawiają się albo jako rozbieżność całego diagramu, albo jako rozbieżność poddiagramu. Te ostatnie nie występują z założenia, podczas gdy pierwszy typ rozbieżności nie występuje ponieważ nie ma zależnych od S rozbieżności. Dlatego też dochodzimy do następującego wniosku.

Twierdzenie. W dowolnej teorii supersymetrycznej z N = 1 człon A2 − B2 nie prowadzi do dodatkowych rozbieżności, jeśli tylko w teorii nie występują gauge-singlety.

Rozpatrzymy teraz dodatek A2 + B2. Wynikowa indukowana rozbieżność może mieć tylko postać :

∫

d4x d4θ Uϕ

-

_ϕ

+ (

∫

d4x d4θ Uϕ2 + człony sprzężone hermitowsko ) (18.26) Składające się na taką rozbieżność, rozbieżności mają postać A2 + B2 i A2 − B2, jednakże ostatnia różnica jest często wzbroniona w wyniku rozważań związanych z symetrią.

Wstawka χ

-

χ może prowadzić w teorii ogólnej do rozbieżności o postaci :

∫

d4x d4θ [ U(ϕϕ−2 ) + UϕD2ϕ + U(ϕ3) + U( D2D−2U) ϕ

-

_{ϕ + U( D2D−2U )ϕ}

-

2 + człony sprzężone hermitowsko ]

(18.27) Czytelnik może zaznajomić się z rozbieżnościami, wprowadzanymi przez inne dodatki w pracy [135].

Powróćmy teraz do naszego zagadnienia i wyjaśnimy, jakie z miękkich składowych zachowują skończoność (N=2)-teorii z globalną supersymetrią. Przy opisie z użyciem (N=1)-superpolowego formalizmu (N=2)-teorii Y-M z N = 2 teorię taką zestawiają : pole Y-M z N = 1 i jeden multiplet Wessa-Zumino ϕ w reprezentacji dołączonej.

Jednocześnie (N=2)-materia składa się z σ-chiralnych multipletów Xaσ w reprezentacji Rσ i Yaσ w reprezentacji R

-σ

Indeks a parametryzuje elementy przestrzeni reprezentacji Rσ. Działanie dla (N=2)-teorii z globalną supersymetrią, zapisane w takich (N=1)-superpolach, ma postać :

A = Tr

∫

d4x d4θ ( WAWA /64g2 ) +

∫

d4x d4θ [ ϕ

-

_{s (egV )}

st ϕt + X−aσ ( egVσ )ba Xσb + + Yaσ ( e−gV )ab Y−bσ ] + g

∫

_{d4x d2θ ϕs ( R}^σ_s )ab Xbσ Yaσ + człony hermitowsko sprzężone +

+ składowe ustalające cechowanie + dychy (18.28)

W powyższym wyrażeniu ( Vσ )ab = Vs ( Rsσ )ab oraz ( Rsσ )ab – są generatorami grupy G w reprezentacji Rσ. Przykładowo dla reprezentacji dołączonej, generatory Ts mają postać :

( Ts )lk = −fslk (18.29)

gdzie fslk – są stałymi strukturalnymi grupy G.

Przypomnijmy, że takie teorie są skończone wtedy i tylko wtedy, kiedy C2(G ) =

Σ

_{σ T(R}^{σ )}

Z naszych poprzednich rozważań wynika, że dodanie składowej postaci A2 − B2 zachowuje skończoność.

Rozpatrzmy teraz dodanie członu o postaci A2 + B2, który tworzony jest w wyniku obecności składowych :

∫

_{d4x d4θ [ U1 ϕ}

-

_{s ( egV )}

sk ϕk + U2σ X−aσ ( egVσ )ab Xbσ + U3σ Yaσ ( e−gVσ )ab Y−bσ ] (18.30) gdzie superpola spurowe mają postać :

U1 = µ1θ2θ

-

_{2 , U}

iσ = µiσ θ2θ

-

2 , i = 2, 3 (18.31)

Rozbieżność indukowana może mieć tylko następującą ogólną postać :

∫

d4x d4θ U( ϕ−ϕ + X

-X + YY

) (18.32)

ponieważ wykluczone są człony ϕ2 , X2 lub Y2 nie inwariantne względem przekształceń symetrii : ϕ → e2iα ϕ , X → e−iα X , Y → e−iα

Y (18.33) Działanie z N = 2 i wstawka spurowa (18.30) są inwariantne względem przekształceń (18.33).

Rozpatrzmy teraz takie indukowane rozbieżności na poziomie jednopętlowym. Odpowiednie diagramy pokazano na rysunku 18.3

Rys. 18.3

Takie grafy najprościej jest obliczać wykorzystując następujące rozważania.

Rozpatrzmy mianowicie dowolny propagator, zawierający wstawkę U i będący częścią większego grafu ( rys. 18.4).

Rys. 18.4

Wykorzystując zasady Feynmana dla supergrafów możemy obliczyć tą cześć grafu i znaleźć, że daje ona wkład :

∫

_{d4θ2 ( − ¼ D}

-

₂

1) ( − ¼ D22 ) ( δ12 /k2 ) U(2) ( − ¼ D

-

₂

2 ) (δ23 /k2 ) (18.34) do pełnego wyrażenia dla grafu.

Całkując przez części i wykorzystując to, że żadne nieskończone wyrażenie nie może zawierać operatorów D, działających lewostronnie na U, znajdujemy nieskończoną część grafu, która zawiera całkowanie :

Innymi słowy graf z U-wstawką jest równy biegunowi (−U), pomnożonemu przez graf bez U-wstawki.

Analogicznie znajdujemy, że U-wstawka do wierzchołka ϕ

(gV )nϕdaje graf, który jest równy biegunowi (+U ), pomnożonemu przez graf bez U-wstawki.

Dla linii zewnętrznych XX

grafy jednopętlowe pokazano na rysunku 18.5

Rys. 18.5

Wykorzystując podane wcześniej rozważania oraz warunek jednopętlowej skończoności, który przedstawiono poniżej w postaci diagramu z rysunku 18.6, znajdujemy rozbieżność indukowaną, mającą postać :

Rys. 18.6

Zauważmy, ze ostatni graf z wektorową pętlą zeruje się, ponieważ nie zawiera on czterech czynników D. Zatem, grafy z zewnętrznymi liniami XX

nie posiadają rozbieżności w przybliżeniu jednopętlowym, jeśli tylko spełniony jest warunek

U1 + U2σ + U3σ = 0 , ∀σ (18.37)

Grafy z zewnętrznymi liniami Y

-

Y również nie zawierają rozbieżności na skutek symetrii X ↔ Y, U2σ ↔ U3σ

W istocie rozbieżności jednopętlowe nie występują również dla grafów z liniami zewnętrznymi ϕ−ϕ, kiedy spełniony jest warunek (18.37) oraz warunek skończoności dla teorii z N =2 ( jest on podany poniżej ).

Możemy już dokonać pewnych podsumowań - twierdząc, że dodatek A2 + B2 zachowuje skończoność na poziomie jednopętlowym wtedy i tylko wtedy, kiedy słuszne są przekształcenia (12.17). Uogólniając bezpośrednio taki wniosek, można pokazać, że składowa A2 + B2 zachowuje skończoność we wszystkich rzędach teorii zaburzeń, jeśli spełniony jest warunek (18.37). Dowód tego stwierdzenia czytelnik może znaleźć w pracy [128].

Dla teorii Y-M z N =4 mamy tylko jeden typ pól materii z N = 2 w reprezentacji dołączonej. Warunek skończoności przyjmuje postać U1 + U2 + U3 = 0, co jest równoważne równości :

S Tr m2 =

Σ

_mj2 ( −1)2j +1 = 0 j

Jednakże w teoriach z N = 2 w przypadku ogólnym S Tr m2 nie jest równe zero.

Dodanie wszystkich możliwych składowych, miękko naruszających supersymetrie i generowane przez nich rozbieżności jednopętlowych, rozpatrzono w pracy [107].

Poniżej podano schematyczny opis takiej analizy.

Rozbieżności jednopętlowe przedstawiono w tabeli 18.2, gdzie wykorzystano następujące oznaczenia : A, B , χ - fizyczne pola składowe dowolnych pól chiralnych Xaσ , Yaσ , ϕ ; λ - spinor w multiplecie Y-M.

Znakiem V oznaczono pojawienie się rozbieżności.

Tabela 18.2

(* wstawka generowane rozbieżności *)

Rozpatrzmy dodanie wstawki χ−χ , generuje ona rozbieżność A(A2 + B2 ). Jedyny sposób wyeliminowania

rozbieżności jest dodanie odpowiedniej miękkiej składowej A(A2 + B2 ) i wybranie współczynnika stojącego przed nim tak, aby nieskończoności wzajemnie się kasowały. Jeśli to wykonamy, to ujawniamy, że rozbieżności postaci

A2 − B2 automatycznie się skrócą. Pozostająca rozbieżność A2 + B2 nie skraca się, można ją jednak wyeliminować poprzez dodanie odpowiedniej miękkiej składowej A2 + B2. Wynikowy zbiór miękkich wstawek, nie generujących rozbieżności ma postać :

m2 (A2 + B2 ) + mχ−χ + mA(A2 + B2 )

Sprawdzenie współczynników pokazuje, że jest to nic innego jak ( N=1)-supersymetryczny człon masowy, który może być zapisany w postaci :

∫

d2θ d4x Tr ϕ2 + człony hermitowsko sprzężone (18.38)

dla pola ϕ i analogicznie dla pól Xσ i Yσ.

Alternatywny zbiór miękkich wstawek, również nie prowadzących do pojawienia się rozbieżności, otrzymujemy przy dodaniu składowej masowej i gauginio λ−λ. Pojawiająca się rozbieżność A3 − 3AB2 może być wyeliminowana tylko przez dodanie członu o tej samej postaci , tj. A3 − 3AB2 z dokładnie dobranym współczynnikiem.

Rozbieżność A2 − B2 ponownie automatycznie będzie wyeliminowana, zatem pozostaje rozbieżność A2 + B2, którą można skrócić poprzez dodanie odpowiedniej składowej A2 + B2. Wynikowa kombinacja członów ma ogólną postać :

mλ−λ + m2( A2 + B2 ) + m( A3 − 3AB2 ) (18.39)

Chociaż nie jest to człon masowy z N = 1, jest on jednak podobny do niego w tym sensie, że jest on związany ze składową masową (12.30) poprzez zależność O(2)- inwariantności. Dlatego też możemy oczekiwać, że wskazany dodatek zachowuje skończoność.

Supersymetryczne składowe masowe z N = 1 zachowują skończoność we wszystkich rzędach teorii zaburzeń. Wynika to z tego faktu, że składowe postaci

∫

d4x d2θ mϕ2 i analogiczne składowe dla pól X, Y nie mogą być utworzone,

ponieważ byłoby to sprzeczne z twierdzeniem o „nierenormalizowalności”.

Można również nie niepokoić się iż dodatki (N=1)- teorii, podobne do masowych, zachowują skończoność we wszystkich rzędach teorii zaburzeń, ponieważ wiążemy je ze składowymi (N=1)- masowymi przekształcenia O(2)-obrotów.

Dokonajmy teraz podsumowania wyników osiągniętych w niniejszym rozdziale, wymieniając warunki konieczne i wystarczające zachowania skończoności (N=2)- teorii. Miękkie dodatki powinny być wyrażone w postaci następujących liniowych kombinacji :

1) supersymetrycznych składowych masowych z N = 1

2) składowych podobnych do masowych z N = 1 ( tj. mλ

-

_{λ + ... )}

3) dowolnych składowych masowych postaci A2 − B2

4) składowych masowych postaci A2 + B2, jeśli spełniony jest warunek skończoności :

U1 + U2σ + U3σ = 0 , ∀σ (18.40)

Można również rozpatrywać czy zachowują skończoność miękkie składowe teorii z N =1, dla których skończoność w przybliżeniu dwupętlowym została pokazana w pracach [100, 101]

Wykorzystując argumenty, analogiczne do tych jakie tutaj przedstawiliśmy dla przypadku N =2, znajdujemy iż z wymienionych powyżej składowych składowe pierwszego, trzeciego i czwartego typu zachowują skończoność w przybliżeniu dwupętlowym [100], a zupełnie niedawno pokazano, ze składowe trzeciego typu zachowują skończoność w przybliżeniu jednopętlowym [157].

Realistyczne modele z miękko naruszoną (N=2)- supersymetrią rozpatrzono w pracy [158].

W dokumencie Wprowadzenie do supersymetrii i supergrawitacji P. West (Stron 116-122)