Modelowanie skal semantycznych

Dla każdej z zaproponowanych w punkcie 4.5.1 skal semantycznych należy podać znaczenie matematyczne, czyli określić dla jakich wartości wejściowych przyjmuje ona dane wartości wyjściowe.

Założono przy tym, że wartości wejściowe czynników będą pochodzić z badania ankietowego i będą z zakresu od 0 (brak, niemożliwe itp.) do 10 (osiągnięte, maksymalne, bardzo duże itp.). Wiadomo również, że wartości wyjściowe zgodnie z nauką o logice muszą zawierać się w przedziale od 0 do 1. Biorąc powyższe pod uwagę modelowanie skal semantycznych można podzielić na 3 zadania. Zadanie pierwsze polega na wybraniu kształtu funkcji przejścia, który z jednej strony najlepiej oddaje modelowane zjawiska, a z drugiej strony jest najprostszy z możliwych. Zadanie drugie polega na doborze odpowiedniej ilości funkcji w taki sposób, by najlepiej odpowiadały potrzebom modelu matematycznego. Wreszcie zadanie trzecie polega na zamodelowaniu wszystkich funkcji, czyli na podaniu ich charakterystycznych punktów załamań i przegięć w taki sposób, by model był możliwie najbardziej czytelny.

W środowisku obliczeniowym Matlab dostępnych jest 11 wbudowanych rodzajów funkcji przejścia opartych na 4 rodzajach funkcji podstawowych: funkcji odcinkowo liniowej, funkcji rozkładu Gaussa, funkcji sinusoidalnej oraz funkcji wielomianowej.

Funkcje odcinkowo liniowe obejmują: funkcje trójkątne (nazwane w środowisku Matlab „trimf”) oraz funkcje trapezowe („trapmf”). Do opisu funkcji trójkątnych wystarczy podanie 3 punktów, podczas gdy funkcje trapezowe wymagają podania 4 punktów. Ogólny kształt tych funkcji wraz z odpowiadającym im opisem przedstawia Rysunek 17.

Funkcja rozkładu Gaussa służy do wymodelowania w środowisku Matlab 3 funkcji: rozkładu prostego Gaussa (nazywanej w środowisku Matlab: „gaussmf”), dwustronnego rozkładu Gaussa („gauss2mf”), oraz tzw. dzwonu Gaussa („gbellmf”). Funkcje rozkładu prostego Gaussa oraz dzwonu Gaussa są funkcjami symetrycznymi i do ich opisu wystarczy podanie 3 punktów. Z kolei rozkład dwustronny Gaussa, który jest złożeniem dwóch funkcji rozkładu prostego Gaussa, kształtem podobny jest do funkcji trapezowej i wymaga podania 4-ech punktów. Ogólne kształty tych funkcji przedstawia Rysunek 18 poniżej:

Rysunek 17. Funkcje przejścia na bazie funkcji odcinkowo liniowych

Rysunek 18. Funkcje przejścia na bazie funkcji rozkładu Gaussa

Funkcja sinusoidalna w środowisku Matlab posłużyła do wyprowadzenia 3 następnych funkcji: tzw.

pojedynczej funkcji sinusoidalnej („sigmf”), podwójnej funkcji sinusoidalnej („dsigmf”) oraz złożonej funkcji sinusoidalnych, będącej produktem dwóch funkcji pojedynczych („psigmf”). Pojedyncza funkcja sinusoidalna jest funkcją niesymetryczną, która może być otwarta w prawo lub w lewo, a do jej opisu wystarczy podanie 2 punktów. Podwójna i złożona funkcja sinusoidalna wymaga podania 4 punktów i w zależności od przeznaczenia może być symetryczna lub niesymetryczna (Rysunek 19)

Na podstawie funkcji wielomianowych wymodelowano w środowisku Matlab 3 ostatnie funkcje: w kształcie litery z („zmf”), s („smf”) oraz pi („pimf”) nazwane od kształtu jaki przyjmują. Funkcje z i s podobnie jak pojedyncza funkcja sinusoidalna wymaga podania 2 punktów do opisania jej przebiegu, podczas gdy funkcja pi, podobnie jak podwójne lub złożone funkcje sinusoidalne wymagają podania 4 punktów (Rysunek 20).

Rysunek 20. Funkcje przejścia na bazie funkcji wielomianowych.

Spośród dostępnych w środowisku Matlab 11 kształtów funkcji przejścia, niewątpliwie najprostszymi funkcjami są funkcje trójkątne i trapezowe. Biorąc pod uwagę fakt, że nie są znane dokładne przebiegi funkcji opisujących poszczególne skale semantyczne nie wydaje się, by istniało jakiekolwiek poparte danymi uzasadnienie do zastosowania bardziej skomplikowanych funkcji nieliniowych. Wręcz przeciwnie. Ponieważ zaproponowane skale semantyczne posiadają 3, 4 lub 5 stopni, konieczne do ich opisu jest zastosowanie odpowiednio 3, 4 lub 5 funkcji przejścia. Po drugie, dane wejściowe z założenia pochodzące z badania ankietowego wyskalowanego od 0 do 10 posiadają rozdzielczość zaledwie 11 punktów. Złożenie obu tych przesłanek powoduje, że finezja dokładnego modelowania zmiany wartości funkcji przejścia z 0 na 1 funkcjami nieliniowymi zostanie zagubiona pomiędzy głównymi wartościami skali danych wejściowych.

Biorąc powyższe pod uwagę, do dalszego modelowania posłużą funkcje oparte na bazie funkcji odcinkowo prostych.

Z uwagi na fakt, że celem działania modelu ma być wskazanie 1 z 5 strategii, można założyć, że funkcja przejścia odpowiedzialna za konkretną wartość semantyczną pojedynczego czynnika (np.: wartość

Rysunek 19. Funkcje przejścia na bazie funkcji sinusoidalnych

Koncepcja metody i model decyzyjny

„Dobra” czynnika „Jakość produktu”), która sprzyja konkretnej strategii, dla pozostałych strategii powinna dawać wartość zerową. Innymi słowy można założyć, że funkcje przejścia będą funkcjami zamkniętymi z prawej i z lewej strony. To rodzi kolejne bardzo ważne założenie, które można nazwać umownie „postulatem równouprawnienia wartości czynnika”. Wszystkie funkcje przejścia modelujące poszczególne wartości semantyczne danej n-stopniowej skali semantycznej powinny być sobie równe w sensie pola powierzchni ograniczonego tymi funkcjami. To zagwarantuje, że model sam z siebie nie będzie preferował żadnej ze strategii.

Postulat równouprawnienia wartości czynnika nałożony na konieczność modelowania Funkcji Dodatkowych nakłada kolejne bardzo konkretne wymagania na kształt i rozkład poszczególnych funkcji przejścia. Funkcje te muszą się sumować w taki sposób, by pole powierzchni ograniczonej sumą Funkcji Głównych nie było większe niż suma pól powierzchni ograniczonych Funkcjami Głównymi. W tym celu, po pierwsze Funkcje Główne muszą być symetryczne względem osi przechodzącej przez ich ekstremum, albo inaczej: wartości bezwzględne współczynników rosnących i malejących odcinków danej Funkcji Głównej muszą być sobie równe. Po drugie, rozkład ekstremów Funkcji Głównych na skali danych wejściowych musi być równomierny oraz odcinek malejący Funkcji Głównej musi się przeciąć z odcinkiem rosnącym następnej Funkcji Głównej dokładnie w punkcie Y=0.5.

Wreszcie, przeglądając zbiorczą tabelę skal semantycznych widać, że realizacji wybranej strategii mogą sprzyjać 2 lub nawet 3 wartości semantyczne jednego czynnika. Na przykład czynnik „spełnienie wymagań prawnych” wyskalowany w 4-ro stopniowej skali (Osiągnięte, Łatwe, Trudne, Niemożliwe) sprzyja strategii innowacyjnej wartościami Łatwe oraz Trudne. Taka sytuacja, z technicznego punktu widzenia, a więc z powodu technicznych ograniczeń środowiska obliczeniowego Matlab, wymaga zamodelowania funkcji dodatkowej będącej sumą funkcji głównych tworzących skalę semantyczną. Obok funkcji „Łatwe” oraz funkcji „Trudne” musi powstać funkcja „Łatwe – Trudne”. Przyjmijmy więc umownie, że daną skalę semantyczną modeluje n Funkcji Głównych odpowiadających jej stopniom skali, oraz m Funkcji Dodatkowych będących sumami poszczególnych Funkcji Głównych.

Biorąc pod uwagę powyższe otrzymano następujące założenia konstrukcyjne dotyczące kształtu funkcji przejścia:

1. Modelowanie powinno odbywać się w oparciu o funkcje odcinkowo proste (trójkątne dla Funkcji Głównych, trapezowe dla Funkcji Dodatkowych);

2. Funkcje przejścia powinny być obustronnie zamknięte;

3. Funkcje przejścia powinny spełniać „postulat równouprawnienia wartości czynnika” (pola powierzchni ograniczone funkcjami są sobie równe w obrębie danej skali semantycznej);

4. Bezwzględne wartości współczynników kierunkowych odcinków rosnących i malejących Funkcji Głównych powinny być równe;

5. Rozkład ekstremów Funkcji Głównych na skali danych wejściowych powinien być równomierny;

6. Przecięcie odcinka malejącego Funkcji Głównej z odcinkiem rosnącym następnej Funkcji Głównej powinno być w punkcie Y = 0,5.

7. Pole powierzchni Funkcji Dodatkowych powinno być równe sumie pól powierzchni Funkcji Głównych.

Biorąc pod uwagę rozdzielczość danych wejściowych dodatkowo założono, że modelowanie funkcji przejścia powinno być wykonane z dokładnością do liczb całkowitych. Wobec powyższego oraz wymagań konstrukcyjnych zaproponowano 3 układy Funkcji Głównych odpowiednio dla skali semantycznych o 3, 4 lub 5 stopniach skali (Rysunek 21).

Układ C) stosowany zarówno dla 5-cio stopniowych skal semantycznych jak i dla wyjścia wskazującego 1 z 5 strategii składa się z 5 Funkcji Głównych G1, G2, G3, G4, G5 zamodelowanych za pomocą funkcji trójkątnych z ekstremami wartości w punktach odpowiednio (1,1), (3,1), (5,1), (7,1) oraz (9,1). Punkty przecięć poszczególnych Funkcji Głównych wypadają dokładnie dla wartości wyjściowych Y=0,5. Układ ten dzieli przedział 0-10 na 5 równych odcinków o szerokości x=2, w których dominuje 1 Funkcja Główna.

Układ A) stosowany dla 3 stopniowych skal semantycznych posiada konstrukcję bardzo zbliżoną do układu C) z tym, że podział jest nie na 5 odcinków a na 3. Od razu widać, że nie jest to idealny układ. Przy

zachowaniu symetryczności poszczególnych funkcji oraz ich przecięć w połowie wartości wyjściowych pola powierzchni ograniczonych Funkcjami Głównymi nie są sobie równe i dominującą rolę odgrywa funkcja G2.

Niemniej Funkcje Dodatkowe są już sobie równe. Warto jeszcze spojrzeć na nałożenie układu A) na układ C), które jest o tyle istotne, że układ C) jest stosowany również na wyjściu. Jak widać, czynnik wyskalowany w 3 stopniowej skali semantycznej sprzyjać będzie strategiom opisanym przez Funkcje Główne wyjścia G1, G3, oraz G5. Dla pozostałych strategii opisanych funkcjami G2 i G4 skala ta będzie sprzyjać tylko poprzez Funkcje Dodatkowe. Można też założyć, że skala ta preferować będzie strategię opisaną funkcją G3 ze względu na największe pole powierzchni funkcji G2 w układzie A).

Układ B) zbudowano w oparciu o funkcje trapezowe, dzięki czemu możliwe stało się zachowanie wymaganej symetryczności funkcji, równomierności rozkładu ich ekstremów oraz równość pól powierzchni dla skal semantycznych wykorzystujących 4 stopnie skale. Patrząc na wpływ na wyjście opisane układem C) łatwo zauważyć, że najsłabiej ta skala oddziałuje na strategię opisaną funkcją wyjścia G3, co może równoważyć preferencyjny wpływ układu A) na tą strategię.

Jak już wcześniej wspomniano Funkcje Dodatkowe są złożeniem dwóch lub większej ilości Funkcji Głównych i z tego powodu modelowane są w oparciu o funkcje trapezowe. Rysunek 22 przedstawia dwie Funkcje Dodatkowe D21 oraz D23. Pierwsza z nich jest złożeniem Funkcji Głównych G1 i G2, zaś druga Funkcji Głównych G3 oraz G4. Należy zauważyć, że oprócz Funkcji Dodatkowych będących sumą dwóch Funkcji Głównych, w prezentowanym poniżej układzie występują również Funkcje Dodatkowe D31 oraz D32 będące złożeniem Funkcji Głównych odpowiednio G1, G2, G3 oraz G2, G3, G4. Wreszcie istnieje Funkcja Dodatkowa G41 będąca złożeniem wszystkich czterech Funkcji Głównych.

Rysunek 21. Układy Funkcji Głównych

Koncepcja metody i model decyzyjny

Wykorzystanie funkcji trapezowych do modelowania Funkcji Dodatkowych niesie za sobą jedno ograniczenie. Nie jest możliwe za ich pomocą złożenie „skrajnych” Funkcji Głównych np.: G1 i G3 lub G1 i G4. Zapisanie takiego układu w postaci pojedynczej funkcji wymaga zdefiniowania od początku funkcji przejścia. Jest to jak najbardziej możliwe w środowisku Matlab, ale omawiany model nie wymaga takiego działania.

Biorąc powyższe pod uwagę łatwo zauważyć, że do zamodelowania dowolnej skali n-stopniowej wymagane jest m funkcji:

= ( − )

gdzie:

m – ilość funkcji przejścia

n – ilość stopni skali semantycznej

Innymi słowy, skala 3 stopniowa wymaga w sumie 6 funkcji, w tym są 3 Funkcje Główne i 3 Funkcje Dodatkowe. Skala 4 stopniowa wymaga w sumie 10 funkcji (4 Funkcji Głównych i 6 Funkcji Dodatkowych). Wreszcie skala 5 stopniowa wymaga już 15 funkcji (5 Funkcji Głównych i 10 Funkcji Dodatkowych).

Tabela 9 prezentuje zestawienie punktów charakterystycznych wszystkich Funkcji Głównych oraz wszystkich Funkcji Dodatkowych tworzących układy funkcji dla skal semantycznych o 3-ech, 4-ech oraz 5-ciu stopniach.

Skala 3 stopniowa Skala 4 stopniowa Skala 5 stopniowa Definicje funkcji Definicje funkcji Definicje funkcji 1 G1 [-3, 1, 5] [-2, 0, 1, 3] [-1, 1, 3]

2 G2 [ 1, 5, 9] [ 1, 3, 4, 6] [ 1, 3, 5]

3 G3 [ 5, 9,13] [ 4, 6, 7, 9] [ 3, 5, 7]

4 G4 F.Pusta [ 7, 9,10,12] [ 5, 7, 9]

5 G5 F.Pusta F.Pusta [ 7, 9,11]

6 D21 [-3, 1, 5, 9] [-2, 0, 4, 6] [-1, 1, 3, 5]

7 D22 [ 1, 5, 9,13] [ 1, 3, 7, 9] [ 1, 3, 5, 7]

8 D23 F.Pusta [ 4, 6,10,12] [ 3, 5, 7, 9]

9 D24 F.Pusta F.Pusta [ 5, 7, 9,11]

10 D31 [-3, 1, 9,13] [-2, 0, 7, 9] [-1, 1, 5, 7]

11 D32 F.Pusta [ 1, 3,10,12] [ 1, 3, 7, 9]

12 D33 F.Pusta F.Pusta [ 3, 5, 9,11]

13 D41 F.Pusta [-2, 0,10,12] [-1, 1, 7, 9]

14 D42 F.Pusta F.Pusta [ 1, 3, 9,11]

15 D51 F.Pusta F.Pusta [-1, 1, 9,11]

L.p Nazwa Funkcji

Tabela 9. Zestawienie funkcji przejścia

Rysunek 22. Funkcje Dodatkowe na 4-ro stopniowym układzie Funkcji Głównych

gdzie:

GY – oznaczenie Funkcji Głównej: G – Funkcja Główna, Y – numer funkcji, przy czym Y = <1,3> dla skali semantycznej trzy stopniowej, Y = <1,4> dla skali semantycznej czterostopniowej, Y = <1,5> dla skali semantycznej pięciostopniowej;

DXY – oznaczenie funkcji dodatkowej; D – funkcja dodatkowa, X – liczba funkcji głównych, z których zbudowana jest funkcja dodatkowa, Y – numer funkcji głównej od której zaczyna się funkcja dodatkowa.

W zestawieniu wszystkich funkcji przejścia pojawia się Funkcja Pusta, która dopełnia układy funkcji przejścia skali 3 i 4 stopniowej do układu funkcji skali 5 stopniowej. Takie dopełnienie jest o tyle wygodne, że pozwala zachować stałą pozycję danej funkcji (np.: D31) w przekroju wszystkich skal semantycznych, co ułatwia późniejsze sprawdzanie poprawności definicji reguł wnioskowania.

Funkcja Pusta może być zdefiniowana dowolnie, ale w taki sposób aby nie brała udział w przetwarzaniu. Wobec powyższego można ustalić następujące 2 wymagania:

1. Niech Funkcja Pusta będzie zdefiniowana tak samo, dla wszystkich swoich wystąpień, co ograniczy ilość różnych funkcji w układzie.

2. Niech Funkcja Pusta będzie zdefiniowana poza zakresem przetwarzania danych, co zagwarantuje, że nawet w przypadku pomyłkowego uwzględnienia jej w przetwarzaniu, zwrócone wyniki nie zakłócą działania modelu. Innymi słowy, dla wartości danych wejściowych z zakresu 0-10 wartość Funkcji Pustej musi być równa 0.

W zgodzie z powyższymi wymaganiami jest nieskończenie wiele definicji o wartościach wszystkich punktów albo poniżej zera, albo powyżej 10, np.: [-9,-8,-7], [-3,-2,-1], [11,12,13], [17,18,19] itd. Do dalszego modelowania przyjęto, że Funkcja Pusta będzie zdefiniowana jako [-9,-8,-7].

Po podstawieniu definicji Funkcji Pustej do zestawienia funkcji przejścia otrzymano Tabela 10.

S k a la 3 s t o p n i o w a S k a la 4 s t o p n io w a S k a la 5 s t o p n io w a D e f in ic j e f u n k c ji D e f i n i c je f u n k c j i D e f in ic je f u n k c ji 1 G 1 [ - 3 , 1 , 5 ] [ - 2 , 0 , 1 , 3 ] [ - 1 , 1 , 3 ] 2 G 2 [ 1 , 5 , 9 ] [ 1 , 3 , 4 , 6 ] [ 1 , 3 , 5 ] 3 G 3 [ 5 , 9 , 1 3 ] [ 4 , 6 , 7 , 9 ] [ 3 , 5 , 7 ] 4 G 4 [ - 9 , - 8 , - 7 ] [ 7 , 9 , 1 0 , 1 2 ] [ 5 , 7 , 9 ] 5 G 5 [ - 9 , - 8 , - 7 ] [ - 9 , - 8 , - 7 ] [ 7 , 9 , 1 1 ] 6 D 2 1 [ - 3 , 1 , 5 , 9 ] [ - 2 , 0 , 4 , 6 ] [ - 1 , 1 , 3 , 5 ] 7 D 2 2 [ 1 , 5 , 9 , 1 3 ] [ 1 , 3 , 7 , 9 ] [ 1 , 3 , 5 , 7 ] 8 D 2 3 [ - 9 , - 8 , - 7 ] [ 4 , 6 , 1 0 , 1 2 ] [ 3 , 5 , 7 , 9 ] 9 D 2 4 [ - 9 , - 8 , - 7 ] [ - 9 , - 8 , - 7 ] [ 5 , 7 , 9 , 1 1 ] 1 0 D 3 1 [ - 3 , 1 , 9 , 1 3 ] [ - 2 , 0 , 7 , 9 ] [ - 1 , 1 , 5 , 7 ] 1 1 D 3 2 [ - 9 , - 8 , - 7 ] [ 1 , 3 , 1 0 , 1 2 ] [ 1 , 3 , 7 , 9 ] 1 2 D 3 3 [ - 9 , - 8 , - 7 ] [ - 9 , - 8 , - 7 ] [ 3 , 5 , 9 , 1 1 ] 1 3 D 4 1 [ - 9 , - 8 , - 7 ] [ - 2 , 0 , 1 0 , 1 2 ] [ - 1 , 1 , 7 , 9 ] 1 4 D 4 2 [ - 9 , - 8 , - 7 ] [ - 9 , - 8 , - 7 ] [ 1 , 3 , 9 , 1 1 ] 1 5 D 5 1 [ - 9 , - 8 , - 7 ] [ - 9 , - 8 , - 7 ] [ - 1 , 1 , 9 , 1 1 ] L . p N a z w a F u n k c ji

Tabela 10. Zestawienie funkcji przejścia z podstawieniem Funkcji Pustej

Koncepcja metody i model decyzyjny