Procedura analizy czynnikowej

Kolejność obliczeń w procedurze analizy czynnikowej jest następująca: 1. Wyznaczenie wyjściowej macierzy współczynników korelacji,

2. Oszacowanie zasobu zmienności wspólnej poszczególnych zmiennych (wyznaczenie zredukowanej macierzy korelacji),

3. Normalizacja zmiennych wyjściowych,

4. Wybór metody estymacji modelu analizy czynnikowej,

5. Wyodrębnianie czynników oraz ich wag (ładunków czynnikowych), 6. Redukcja wymiaru,

7. Rotacja,

8. Interpretacja wyróżnionych układów cech (czynników), 9. Konstrukcja skal porównawczych rozwiązania czynnikowego.

121 Ze względu na istotność wyżej wymienionych punktów procedurę analizy czynnikowej można podzielić na 2 zasadnicze etapy: wyodrębnienie czynników i ich rotacja oraz interpretacja wyróżnionych układów cech, tworzących owe czynniki [Czyżewski 1976, s. 32-33]. Etap pierwszy rozpoczyna się od zebrania pomiarów pewnej ilości zmiennych (cech) charakteryzujących badane jednostki.

Następnie oblicza się wszystkie możliwe współzależności między wynikami pomiarów, poprzez utworzenie macierzy korelacji, eliminując przy tym zmienne wykazujące minimalne związki z pozostałymi. Zmienne poddane zostają normalizacji przy użyciu wzoru na standaryzację:

=

"( ) ⁽⁴⁾

Gdzie:

%̅ jest średnią arytmetyczną wartości zmiennej x,

S(x) jest odchyleniem standardowym zmiennej x.

Po przekształceniu zmiennych na język statystyczny kolejnym krokiem jest wybór wariantu modelu czynnikowego. Rozwiązanie analizy czynnikowej polega na wyznaczeniu układu czynników wspólnych Fj dla ∈ {1,2,3, … , }, co jest równoznaczne z określeniem dla

każdego czynnika Fj odpowiadającego mu wektora (a1j, …, apj). Można tego dokonać wykorzystując jedną z podstawowych metod estymacji, do których należą między innymi opracowana przez H. Hotellinga w 1933 roku metoda głównych składowych, stworzona przez H. Harmana w 1960 roku metoda głównego czynnika, będąca dziełem N. Lawleya z 1940 roku metoda największej wiarygodności oraz sprecyzowana przez L. Thurstone’a w 1931 roku metoda centroidalna. Należy mieć na uwadze, że wybór każdej z tych metod jest zawsze obciążony pewną dozą arbitralności. Niemniej jednak największe uznanie matematyków ze względu na jednoznaczność wyników zdobyła metoda głównych składowych (nie bez powodu domyślna metoda analizy czynnikowej w programie Statistica), która rozbija całkowitą zmienność układu obserwacji na część wyjaśnianą przez czynniki wspólne, nieuwzględniając istnienia czynnika specyficznego, związanego tylko z jedną określoną zmienną. Jej podstawy sformułował K. Pearson, a alternatywną procedurę wprowadzając algorytm iteracyjny rozwinął H. Hotelling [Czyżewski 1976, s. 31-32]. Schemat postępowania w ramach metody składowych głównych zakłada konieczność wyznaczenia zredukowanej macierzy korelacji eliminując czynnik swoisty z rozważań poprzez estymację zasobu zmienności wspólnej danej cechy. Metoda iteracji polega na dokonaniu arbitralnego wyboru n liczb, traktowanych jako zerowe

122 przybliżenie rozwiązania układu, które przekształca wielokrotnie przy zastosowaniu obserwowanych korelacji w pierwsze, drugie,…, k-te przybliżenie rozwiązania. Gdy różnica między wartościami pierwiastków otrzymanych z dwóch kolejnych przybliżeń jest dowolnie mała, proces iteracji jest zbieżny (tzn. liczba przybliżeń potrzebnych do określenia z zadaną dokładnością pierwiastków układu jest niewielka) i można przerwać obliczenie dalszych przybliżeń, a ostatnie przyjąć za rozwiązanie równania [Czyż 1967, s. 154-157]. Wobec powyższych rozważań zdecydowano o wykorzystaniu w niniejszej pracy modelu składowych głównych, przyjmującego postać:

= + +. . . + (5)

Gdzie:

- całkowity zasób zmienności cechy „i” (i = 1, 2, …, n),

- waga czynnika w zasobie zmienności danej cechy „i: (F=1, 2, …,m)[Czyżewski 1976, s. 29 – 30].

Bardzo istotnym zagadnieniem jest określenie udziału każdego czynnika w zasobie zmienności danej cechy, ukazane przez wartości ładunków czynnikowych, będące wagami czynnika Fm w kolejnych zmiennych. Przedstawia się je za pomocą współczynnika korelacji między zmienną a czynnikiem. Każdy kolejny czynnik wyjaśnia coraz mniejszą część zmienności początkowych zmiennych. W związku z tym któryś z kolei czynnik będzie określał już tylko znikomą część zmienności. Należy zatem dokonać redukcji czynników, stosując w dalszych rozważaniach tylko najważniejsze. Można tego dokonać stosując trzy podstawowe kryteria redukcji:

• kryterium wystarczającej proporcji , mówiące o tym, że stopień wyjaśnionej wariancji oryginalnych zmiennych musi wynosić co najmniej 75%,

• kryterium Kaisera, w myśl którego eliminuje się czynniki o wartościach własnych mniejszych od jedności,

• wykres osypiska, polegający na wyznaczeniu na wykresie liniowym kolejnych wartości własnych oraz rezygnacji z czynników na prawo od punktu, w którym występuje łagodny spadek wartości własnych.

Wybór odpowiedniego kryterium leży w gestii badacza, dlatego też decyzja ta jest obarczona subiektywizmem i wpływa na rezultaty analizy.

Omawiając istotę analizy czynnikowej nie można zapomnieć o problemie rotacji czynników. Niektórzy teoretycy (np. Bobiński i Zagórski [1969], Czyż [1971], Czyżewski

123 [1976], Fergusson i Takane [1997], Morrison [1990] czy Harman [1967]) analizy czynnikowej uważają, że nie można poprzestać na pierwszym „surowym” zbiorze ładunków czynnikowych, lecz należy stosować proces rotacji celem odnalezienia takiej pozycji układu odniesienia, która daje najbardziej symptomatyczne wyniki. Uzyskane rozwiązanie czynnikowe określa wielowymiarową przestrzeń wyznaczoną przez m osi reprezentujących poszczególne czynniki. J. Bobiński i K. Zagórski [1969, s. 91] twierdzą, że „układ wektorów zmiennych przestrzeni jest elementem stałym – kąty zawarte między wektorami są zdeterminowane przez macierz korelacji, jednak rzuty tej stałej konfiguracji na różnie ulokowane układy odniesienia (czyli zbiory wag czynnikowych) mogą być wzajemnie przekształcone i są w tym sensie równoważne pod warunkiem, że nie przesunie się początku układu współrzędnych, lecz tylko dokona się obrotu układu odniesienia wokół tego punktu.” Operacja obrotu osi współrzędnych w analizie czynnikowej nosi nazwę rotacji. Należy zatem wnioskować, że obracając układ odniesienia można odnaleźć nieskończenie wiele rozwiązań, jednak ustalenie najwłaściwszego jest jednym z najtrudniejszych problemów tej metody. Celem powinno być poszukiwanie czynników, odpowiadających pewnym istotnym elementom, o których posiadamy już wiedzę opartą na innych podstawach i o których z największym prawdopodobieństwem można przypuszczać, że ukazują jakieś realne relacje działające w naturze. Zwolennicy procesu rotacji uważają, że tylko jedna pozycja układu odniesienia odpowiada rzeczywistym czynnikom, a wszystkie możliwe pozostałe są jej matematycznymi przekształceniami [Czyżewski 1976, s. 32]. Powszechny jest, zaprezentowany przez L. L. Thurstone’a w 1933 roku, pogląd, iż w przypadku rotacji zasadą postępowania jest dążenie do tak zwanej prostej struktury [Thurstone 1934]. Oznacza to, że każda zmienna powinna mieć możliwie najprostszą zawartość czynnikową, czyli dominujący ładunek danego czynnika. Miarą danego czynnika stają się zatem tylko niektóre spośród analizowanych zmiennych. Określenie prostej struktury jest kluczowe przy interpretacji uzyskanych czynników. Dokonuje się go graficznie lub analitycznie za pomocą metod: Varimax, Quartimax, Biquartimax lub Equamax w wariantach surowym lub znormalizowanym. Należy jednak zaznaczyć, że nie ma dotychczas zgodności poglądów na temat konieczności stosowania rotacji w procedurze analizy czynnikowej [Czyż 1971, s. 32-33]. R. B. Cattell [1952, s. 66] uznaje, że większość analityków stoi na stanowisku, iż żadna z metod wyodrębniania czynników nie daje takich efektów, które mogłyby bez zastosowania procesu rotacji zostać uznane za ostateczne. Niektórzy (np. R.J. Wherry (1959) i B. J. L. Berry (1967)) natomiast decydują o pominięciu tego przekształcenia, co skutkuje znacznym uproszczeniem procedury matematycznej.

124 Model czynnikowy stanowi układ skonkretyzowanych zależności liniowych pomiędzy zmiennymi empirycznymi i czynnikami wspólnymi, które traktować należy jako zmienne ukryte, bezpośrednio nieobserwowalne, zwane również zmiennymi fikcyjnymi lub teoretycznymi. Należy więc on do klasy struktur ukrytych, a jego wartość poznawcza zależy od właściwego doboru zmiennych i ich pojęciowej identyfikacji. Interpretacja powstałych czynników jest uważana za najważniejszą część procedury analizy czynnikowej, posiadającą decydujące znaczenie dla odpowiedniego poznania rzeczywistości [Czyżewski 1976, s. 33]. W części tej trudno o metodyczny wzorzec postępowania. Wyznacza ją konstrukcja teoretyczna i pojęciowa, którą badacz uważa za najwłaściwszą, przez co cechuje się znacznym subiektywizmem. Zasady interpretacji budzą wiele wątpliwości, a za sprawą faktu, że oparte są na arbitralnych założeniach, nie prowadzą do konkretyzacji czynników w dostatecznie ścisły sposób. Można zbadać naturę czynników za pomocą macierzy korelacji, jednak najczęściej dokonuje się analizy względnego udziału cech wyjściowych tworzących dany czynnik. Najważniejsza dla opisu danego czynnika staje się wówczas zmienna, której udział jest największy. Jeśli czynnik posiada dodatnie ładunki odnoszące się do wszystkich cech, można go interpretować jako średnią wyjściowych zmiennych. Czynnik bipolarny, a więc dodatnio skorelowany z jakimiś zmiennymi zbioru oraz ujemnie z pozostałymi, natomiast interpretowany w kategoriach cech wyjściowych może wyrażać jednocześnie właściwość o zarówno dodatnim, jak i ujemnym natężeniu [Czyż 1971, s. 33].