rozwiązania

5. Caªkowanie ci¡gów funkcyjnych  rozwi¡zania zada«

‚w. 5.1 lim infn→∞fn(x) ≡ 0, wi¦c R_Rlim infn→∞fn(x)l(dx) = 0.

Z R fn(x)l(dx) =      R [0,1₂]1 l(dx) = 1 2, n−parzyste R [1₂,1]1 l(dx) = 1 2, n−nieparzyste.

St¡d R_Rfn(x)l(dx) = 1₂ oraz lim infn→∞

R

Rfn(x)dx = 1 2.

Przykªad ten potwierdza nierówno±¢ b¦d¡c¡ tre±ci¡ lematu Fatou: Z

lim inf

n→∞ fn(x)l(dx) ≤ lim infn→∞

Z

fn(x)l(dx)

‚w. 5.2 Dla ka»dego ustalonego x ∈ R ci¡g fn(x) jest od pewnego miejsca równy zero,

wi¦c limn→∞fn(x) = 0. A st¡d Z R lim n→∞fn(x)l(dx) = 0. Natomiast R_Rfn(x)l(dx) = n · _n1 = 1, wi¦c lim n→∞ Z R fn(x)dx = 1.

Widzimy wi¦c, »e nie zawsze limn→∞R f (x)l(dx) = R limn→∞f (x)l(dx).

‚w. 5.3 Funkcje podcaªkowe tworz¡ ci¡g rosn¡cy, bowiem dla x > 0 (1 + x)n 1 + (1 + x)n ≤ (1 + x)n+1 1 + (1 + x)n+1 (1 + x)n+ (1 + x)2n+1 ≤ (1 + x)n+1_{+ (1 + x)}2n+1 (1 + x)n ≤ (1 + x)n+1_.

Na mocy twierdzenia Lebesgue'a o zbie»no±ci monotonicznej lim n→∞ Z (0,+∞) (1 + x)n 1 + (1 + x)ne −x_{l(dx) =} Z (0,+∞) lim n→∞ (1 + x)n 1 + (1 + x)ne −x_l(dx) = Z (0,+∞) e−xl(dx) = 1.

‚w. 5.4 Oznaczamy fn(x) = e−|x|(sin x)n.Funkcje podcaªkowe s¡ ograniczone przez funkcj¦

caªkowaln¡ |fn(x)| ≤ e−|x|. fn(x) −→n→∞ 0, l − p.w. Zbie»no±¢ nie zachodzi tylko

w punktach x = π

2 + 2kπ (tzn. gdy sin x = 1, wtedy fn(x) −→n→∞ e

−|x|_{) oraz}

x = −π₂ + 2kπ (tzn. gdy sin x = −1, wtedy ci¡g {fn(x)} nie jest zbie»ny), a zbiór

tych punktów ma miar¦ Lebesgue'a równ¡ zero. Tak wi¦c na mocy twierdzenia Lebesgue'a o zbie»no±ci majoryzowanej

lim n→∞ Z R e−|x|(sin x)nl(dx) = Z R lim n→∞e −|x| (sin x)nl(dx) = 0. ‚w. 5.5 Ci¡g ( _m X n=1 1 4nI[ 1 2n+1, 1 2n](x) ) m

jest rosn¡cy. Korzystaj¡c wi¦c z twierdzenia Lebesgue'a o zbie»no±ci monotonicznej, dostajemy: Z ∞ 0 ∞ X n=1 1 4nI[2n+11 , 1 2n](x)l(dx) = Z ∞ 0 lim m→∞ m X n=1 1 4nI[2n+11 , 1 2n](x)l(dx) = lim m→∞ Z ∞ 0 m X n=1 1 4nI[2n+11 , 1 2n](x)l(dx) = limm→∞ m X n=1 Z ∞ 0 1 4nI[2n+11 , 1 2n](x)l(dx) = ∞ X n=1 1 22nl  1 2n+1, 1 2n  = ∞ X n=1 1 22n · 1 2n+1 = 1 14. ‚w. 5.6 ∞ X k=0 Z [π₄,3₄π] coskx l(dx) = lim n→∞ n X k=0 Z [π₄,3₄π] coskx l(dx) = lim n→∞ Z [π₄,3₄π] n X k=0 coskx l(dx) = Z [π 4, 3 4π] lim n→∞ n X k=0 coskx l(dx) = Z [π 4, 3 4π] ∞ X k=0 coskx l(dx), gdzie korzystamy z twierdzenia Lebesgue'a o zbie»no±ci monotonicznej gdy funkcja podcaªkowa jest nieujemna (tzn. cos x ∈ [0,√2

2 ], x ∈ [ π 4,

π

2]) i z twierdzenia Lebesgue'a

o zbie»no±ci majoryzowanej (dla cos x < 0 mo»emy ograniczy¢ funkcj¦ podcaªkow¡ przez 2). Teraz sumujemy szereg geometryczny i liczymy caªk¦:

Z [π₄,3₄π] ∞ X k=0 coskx l(dx) = Z [π₄,3₄π] l(dx) 1 − cos x = Z [π₄,3₄π] l(dx) 2 sin2 x₂ = 1 tanπ₈ − 1 tan 3π₈ . ‚w. 5.7 Szereg zapisujemy jako caªk¦ wzgl¦dem miary µ = P∞

k=1δk i poniewa» expn−x2 + cosx n o ≤ e−x i Z [1,∞) e−xµ(dx) = ∞ X k=1 e−k = e −1 1 − e−1,

to korzystamy z twierdzenia Lebesgue'a o zbie»no±ci zmajoryzowanej lim n→∞ ∞ X k=1 exp {−k(2 + cos k n)} = n→∞lim Z [1,∞) exp {−x(2 + cosx n)}µ(dx) = Z [1,∞) lim n→∞exp {−x(2 + cos x n)}µ(dx) = Z [1,∞) e−3xµ(dx) = ∞ X k=1 e−3k = e −3 1 − e−3.

‚w. 5.8 Szereg zapisujemy jako caªk¦ wzgl¦dem miary µ = P∞

k=1δk i korzystamy z

twierdzenia Lebesgue'a o zbie»no±ci zmajoryzowanej lim n→∞ ∞ X k=1 1 k2  1 − min(k, n) n  = lim n→∞ Z [1,∞] 1 x2  1 −min(x, n) n  µ(dx) = Z [1,∞] lim n→∞ 1 x2  1 −min(x, n) n  µ(dx) = Z [1,∞] 1 x2µ(dx) = ∞ X k=1 1 k2 = π2 6 .