rozwiązania

6. Ró»niczkowanie pod znakiem caªki  rozwi¡zania

‚w. 6.1 1. Sprawdzamy zaªo»enia twierdzenia o ró»niczkowaniu pod znakiem calki (dla |t| < M):

a) funkcja f(t, x) przy ustalonym t jest caªkowalna na przedziale [1, 2], bo jest na nim ci¡gªa,

b) przy ustalonym x istnieje pochodna funkcji f(t, x) po t i jest równa x1/3_{exp tx}4/3_,

c) pochodna jest ograniczona przez funkcj¦ caªkowaln¡, niezale»n¡ od t: majo-ranta ma posta¢ x1/3_{exp(M x}4/3_).

Na mocy twierdzenia o ró»niczkowaniu pod znakiem caªki szukana pochodna ma posta¢ Z 2 1 x1/3exp(tx4/3)dx = 3(exp(2 3 √ 2t) − exp(t)) 4t .

2. Sprawdzamy zaªo»enia twierdzenia o ró»niczkowaniu pod znakiem calki:

a) funkcja f(t, x) przy ustalonym t jest caªkowalna na przedziale [1, 2], bo jest na nim ci¡gªa,

b) przy ustalonym x istnieje pochodna funkcji f(t, x) po t i jest równa −2πx2_sin(2πtx3₎,

c) pochodna jest ograniczona przez funkcj¦ caªkowaln¡, niezale»n¡ od t: majo-ranta ma posta¢ 2πx2_.

Na mocy twierdzenia o ró»niczkowaniu pod znakiem caªki szukana pochodna ma posta¢

−2π Z 2

1

x2sin(2πtx3)dx = cos(16πt) − cos(2πt)

3t ,

3. Sprawdzamy zaªo»enia twierdzenia o ró»niczkowaniu pod znakiem calki (dla |t| < M):

a) funkcja f(t, x) przy ustalonym t jest caªkowalna R+, bowiem

Z R+ f (t, x) dµ(x) = ∞ X k=0 exp(tk) k! = exp(e t_),

(w zwi¡zku z tym nie trzeba korzysta¢ z twierdzenia, tylko mo»na od razu obliczy¢ pochodn¡ funkcji exp(et_)),

b) przy ustalonym x istnieje pochodna funkcji f(t, x) po t i jest równa x exp(tx), c) pochodna jest ograniczona przez funkcj¦ caªkowaln¡, niezale»n¡ od t: majo-ranta ma posta¢ x exp(xM).

Na mocy twierdzenia o ró»niczkowaniu pod znakiem caªki szukana pochodna ma posta¢ ∞ X k=1 k exp(kt)/k! = exp(t) ∞ X k=0

exp(kt)/k! = exp(t + exp(t)).

‚w. 6.2 Ustalmy M > 0 i zauwa»my, »e     ∂k ∂tk exp(tx)     =xkexp(tx)≤ |x|kexp(M |x|) =: g_k(x)

dla |t| ≤ M. Poniewa» µ koncentruje si¦ na przedziale ograniczonym [a, b], mamy Z

gkdµ ≤ (max(|a|, |b|))kexp(M max(|a|, |b|)) < ∞.

Korzystaj¡c z twierdzenia o ró»niczkowaniu pod znakiem caªki, otrzymujemy ∂k ∂tk Z exp(tx)µ(dx) = Z xkexp(tx)µ(dx). Jest jasne, »e

Z

xkµ(dx) < (max(|a|, |b|))kµ([a, b]).