Podstawy cyfrowej analizy sygnałów

Diagnostyka

i monitoring maszyn

część III

Podstawy cyfrowej

analizy sygnałów

Zadaniem układu akwizycji sygnałów pomiarowych jest

zbieranie sygnałów i przetwarzanie ich na postać cyfrową.

Najczęściej w układach pomiarowych stosuje się przetwarzanie napięcie-cyfra. Czasami, gdy mierzona wielkość związana jest z czasem (np. pomiar odcinka czasu, częstotliwości, okresu) stosowane jest przetwarzanie czas-cyfra.

W strukturze konfiguracyjnej podstawowych układów

przeznaczonych do akwizycji sygnałów pomiarowych

znajdują się przeważanie następujące bloki:

a) przełączniki kanałów

b) bloki formowania wstępnego oraz obróbki i normalizacji sygnału wejściowego

(przeważnie analogowego)(kondycjonowanie sygnału = wzmacniacze, filtry dolnoprzepustowe)

c) układy próbkująco-pamietające d) przetwornik analogowo-cyfrowy

Układy akwizycji sygnałów pomiarowych

Podstawowe konfiguracje układu akwizycji sygnałów pomiarowych:

MUX

-przełącznik kanałów

A/A

-układ formujący (zadaniem tego układu jest wstępna obróbka i normalizacja sygnału wejściowego = kondycjonowanie sygnału [np.: wzmacniacze, filtry dolnoprzepustowe, itp..]

S&H

- układ próbkująco-pamiętający

A/C

- układ analogowo-cyfrowy (konwersja sygnału na kod cyfrowy)

……….……..

.……….……...

………..………….

……….…………..

……….……...

………..…….

………..….

………..….

……….……..

.……….……...

………..………….

……….…………..

……….……...

………..…….

………..….

………..….

……….……..

.……….……...

………..………….

……….…………..

……….……...

………..…….

………..….

………..….

Blok S&H – zasada działania układu próbkująco-pamiętającego

Bloki S&H służą do pobrania próbki napięcia wejściowego i zapamiętania jej na określony czas

Wybrane aspekty procesu przetwarzania analogowo-cyfrowego sygnałów:

Proces próbkowania

(kwantyzacji w dziedzinie

czasu) polega na pobieraniu

jego wartości w wybranych

chwilach czasu, zwykle co

pewien zadany, stały krok

czasowy ∆t.

Pobieranie danej próbki sygnału dokonywane jest w skończonym przedziale czasu

∆t

i, zwanym czasem apertury, a nie dokładnie w czasie ti.

W praktyce dążymy do tego, aby funkcja próbkująca realizowała jak najdokładniej oddziaływanie dystrybucji delta-Diraca (ma to znaczenie z uwagi na błąd apertury – zwanego błędem szczeliny).

W szczególności ważne, aby czas apertury ∆tibył dużo mniejszy od czasu próbkowania ∆t.

Wybrane aspekty procesu przetwarzania analogowo-cyfrowego

sygnałów-multipleksowanie

W przypadku gdy próbkowaniu poddanych jest jednocześnie kilka sygnałów, konieczne jest

multipleksowanie sygnałów z podziałem czasu (rys a– z zastosowaniem układu próbkująco-pamiętającego) W przypadku gdy nie zostanie zastosowany układ próbkująco pamiętający (rys b), powstaną tzw. błędy zukosowania. Spowodowane jest to opóźnieniem czasowym występującym pomiędzy próbkami pobieranymi z różnych kanałów, chociaż sama analiza sygnałów prowadzona jest przy założeniu, że wszystkie próbki były pobrane jednocześnie.

Wybrane aspekty procesu przetwarzania analogowo-cyfrowego

sygnałów-częstotliwość próbkowania ≥

częstotliwość Nyquista

Twierdzenie o próbkowaniu: Jeżeli analizowany sygnał należy do pasma częstotliwości [0, fm], to minimalny czas zapisu Tz, umożliwiający jego odtworzenie z wartości dyskretnych musi spełniać warunek

Tz

≥ 1/(2 f

_m

)

{kryterium Rayleigha}.

Z twierdzenie o próbkowaniu wynika zależność pomiędzy

maksymalną częstotliwością występująca w sygnale f

_m

a czasem

próbkowania w postaci

1/(2

∆t)

≥

f

m.

Jeżeli przyjąć czas próbkowania za znany, to wynikająca z tej

nierówności częstotliwość graniczna

f

N

= 1/(2∆t)

nazywana jest

częstotliwością Nyquista.

Jest to najwyższa częstotliwość sygnału,

którą można analizować przy zadanym czasie próbkowania ∆t.

Dla składowej o częstotliwości fNna jeden okres przypadają dwie próbki (a dla każdej

częstotliwości poniżej częstotliwości Nyqusta więcej niż dwie próbki). Powoduje to, że jakościowy przebieg funkcji sinus, to znaczy zmiana znaku w trakcie okresu, zostaje uwzględniony w dyskretnej postaci sygnału (w granicznym przypadku jako dwa punkty o wartościach przeciwnego znaku).

……….……..

.……….……...

………..………….

……….…………..

……….……...

………..…….

………..….

………..….

……….……..

.……….……...

………..………….

……….…………..

……….……...

………..…….

………..….

………..….

……….……..

.……….……...

………..………….

……….…………..

……….……...

………..…….

………..….

………..….

Wybrane aspekty procesu przetwarzania analogowo-cyfrowego

sygnałów-efekt aliasingu

– efekt przesuwania składowych o częstotliwościach

powyżej częstotliwości Nyquista w zakres poniżej jej wartości

Jeżeli częstotliwość próbkowania fpjest mniejsza od częstotliwości Nyquista, to ten sam zbiór próbek może opisywać różne przebiegi czasowe. Reprezentacja sygnału rzeczywistego staje się wówczas niejednoznaczna.

Składowe sygnału o częstotliwości większej niż częstotliwość Nyquista występują wtedy w jego widmie częstotliwościowym jako składowe o częstotliwości równej różnicy pomiędzy częstotliwością rzeczywistą i częstotliwością próbkowania.

1. Pierwsza z nich polega na wybraniu tak małego odstępu czasowego pomiędzy próbkami, aby spełniony był warunek

f

_p

=1/

∆t

≥

2f

_N, tzn. aby odwrotność tego przedziału czasowego była większa od podwojonej maksymalnej częstotliwości zawartej w analizowanym sygnale. Oczywiście należy przy tym pamiętać, ze przyjęcie zbyt małego odstępu czasowego prowadzi do zbędnego nadmiaru danych nie wnoszących żadnych dodatkowych informacji o przebiegu. W praktyce przyjmuje się najczęściej jako najwłaściwszą częstotliwość próbkowania wartość, która jest 2,5 do 4 razy większa od najwyższej częstotliwości zawartej w badanym sygnale.

2. Druga metoda eliminacji efektu przesunięcia składowych o wysokich

częstotliwościach do zakresu niskich częstotliwości polega na przepuszczeniu

sygnału przed jego próbkowaniem przez filtr dolnoprzepustowy

(antyaliasingowy), dzięki czemu usunięte zostają z przebiegu wszystkie składowe o częstotliwościach leżących powyżej interesującej nas częstotliwości maksymalnej. Zastosowanie filtru zmniejsza ponadto niekorzystny wpływ na zdyskretyzowane dane składowych szumowych o wyższych częstotliwościach, które przy braku filtracji mogłyby być uważane za składowe szumowe należące do rozpatrywanego pasma częstotliwości.

Wybrane aspekty procesu przetwarzania analogowo-cyfrowego

sygnałów-efekt aliasingu

– (cd)

W celu wyeliminowania wspomnianego wyżej, niekorzystnego efektu aliasingu

(przemieszczania się składowych o wysokich częstotliwościach do niższego zakresu częstotliwości) stosuje się w praktyce jedną z dwóch następujących metod:

Wybrane aspekty procesu przetwarzania analogowo-cyfrowego

sygnałów-dobór czasu próbkowania

∆t

⇔

proces kwantowania

Wpływ czasu próbkowania na

dokładność odtworzenia sygnału.

Błąd kwantowania ∆q wyraża się zależnością:

∆q = x

_g

(t) – x(t)

Drugi etap przekształcania przebiegu polega na jego kwantowaniu w skali amplitudy. Proces ten jest podobny do procesu próbkowania z tym, ze zamiast równych przedziałów czasowych przyjmuje się dla przedziału równe przedziały (skoki) amplitudy. Istota kwantowania polega na przyporządkowywaniu kolejnym próbkom przebiegu określonych wartości poziomów, zwanych poziomami kwantowania. Podobnie jak w przebiegu próbkowania również i w odniesieniu do kwantowania istnieje tzw. twierdzenie o kwantowaniu, z którego wynika, że jeżeli dynamika sygnału wejściowego rozciąga się na kilka przedziałów to można wówczas odtworzyć właściwości statystyczne sygnału.

……….……..

.……….……...

………..………….

……….…………..

……….……...

………..…….

………..….

………..….

……….……..

.……….……...

………..………….

……….…………..

……….……...

………..…….

………..….

………..….

……….……..

.……….……...

………..………….

……….…………..

……….……...

………..…….

………..….

………..….

Wybrane aspekty procesu przetwarzania analogowo-cyfrowego sygnałów:

W procesie kwantowania wartość każdej próbki sygnału musi być wyrażona za pomocą pewnej liczby cyfr, najczęściej w systemie dwójkowym (liczby bitów) przyporządkowanej określonemu poziomowi kwantowania. Ponieważ jednak sygnał analogowy może przyjmować nieskończoną liczbę poziomów, podczas gdy w praktyce mamy do dyspozycji określony zbiór poziomów, tak wiec w wyniku kwantowania otrzymuje się przybliżoną postać sygnału, obarczoną pewnym błędem kwantowania. Dokładność tego przybliżenia zależy od liczby poziomów kwantowania, będących do dyspozycji. Stosowane najczęściej kwantyzatory, tzn. urządzenia służące do podziału sygnału wejściowego na ograniczoną liczbę poziomów dzielą ten sygnał na zakres od

64

do

65536

poziomów, co odpowiada liczbie

6

do

16

bitów.

proces kwantowania

Wybrane aspekty procesu przetwarzania analogowo-cyfrowego sygnałów:

rozdzielczość i zakres przetwornika A/C

Rozdzielczość przetwornika analogowo-cyfrowego jest to liczba stanów wyjściowych wyrażona w bitach. Czym większa rozdzielczość, tym zakres przetwarzania podzielony jest na więcej poziomów.

Liczba stanów wyjściowych wynosi

2

n_{, gdzie njest liczbą bitów. Stosowane w kartach}

pomiarowych przetworniki analogowo-cyfrowe posiadają zwykle rozdzielczość od 12do 16

bitów. Przetwornik 12-bitowydzieli zakres pomiarowy na

2

12 =

₄₀₉₆

_{poziomów (słowa}

kodowe od 000000000000 do 111111111111).

Zakres przetwornikaokreśla minimalne i maksymalne napięcie, jakie może być przetworzone. Karty pomiarowe dają zwykle możliwość wyboru zakresu, np.: -5...+5V (bipolarne),-10..+10V,

0...+10V (unipolarne). Zmianę zakresu wykonuje się przełączając przełączniki lub zwory na karcie, lub w nowszych typach kart posługując się programem.

Od zakresu i rozdzielczości zależy przedział kwantowania, tzn. różnica między dwoma sąsiednimi poziomami progowymi. Dla przetwornika 12-bitowego na zakresie 0...+10V lub -5...+5V przedział kwantowania wynosi 10[V]/ 212_{=2,44[mV], a na zakresie 0..5V lub -2,5..+2,5V wynosi 5[V]/ 2}12

=1,22[mV].Z zakresu kwantowania wynika błąd kwantowania, którego wartość bezwzględna jest nie większa niż połowa przedziału kwantowania. Zakres powinien być tak dobrany, by zmiany mierzonej wielkości nie były większe od zakresu, ale z drugiej strony, ze względu na błąd kwantowania [powinien być możliwie mały. Wybór zakresu zależy też od tego, czy mierzymy sygnał unipolarny (np. 0...+5B) czy bipolarny (np. -5...+5V).

Wybrane aspekty procesu przetwarzania analogowo-cyfrowego sygnałów:

błędy przetwornika A/C

Błędy przetwornika A/C można podzielić na trzy grupy:

a)

błędy przesunięcia zera

(odpowiada wartości sygnału na wejściu przy zerowym sygnale wyjściowym)

b)

błędy skalowania (wzmocnienia)

(odpowiada nachyleniu charakterystyki rzeczywistej względem idealnej)

c)

błędy nieliniowości

(określa się jako maksymalną różnicę między charakterystyką rzeczywistą i idealną, przy założeniu że błędy przesunięcia i skalowania są równe zero)

……….……..

.……….……...

………..………….

……….…………..

……….……...

………..…….

………..….

………..….

……….……..

.……….……...

………..………….

……….…………..

……….……...

………..…….

………..….

………..….

……….……..

.……….……...

………..………….

……….…………..

……….……...

………..…….

………..….

………..….

Wybrane aspekty procesu przetwarzania analogowo-cyfrowego sygnałów:

Analiza Fouriera

Sygnały pomiarowe analizowane są zwykle w dziedzinie czasu lub w dziedzinie częstotliwości. W przypadkach, gdy sygnał składa się z wielu składowych o różnych częstotliwościach, użyteczniejszą jest analiza w dziedzinie częstotliwości.

Do przejścia z funkcji czasu na funkcję częstotliwości można wykorzystać przekształcenie Fouriera.

Przekształcenie Fouriera opiera się na założeniu, że każdy sygnał w dziedzinie czasu można przedstawić jako sumę szeregu sygnałów o różnych częstotliwościach(szereg Fouriera):

)]

cos(

)

cos(

[

2

1

)

(

1

t

n

B

t

n

A

A

t

x

_{n o n o} n o

+

⋅

⋅

⋅

+

⋅

⋅

⋅

⋅

=

Σ

∞ =

ω

ω

Innymi słowy - można udowodnić, że:

dowolny, nieskończenie długi w czasie sygnał można rozłożyć na szereg

nieskończenie długich w czasie sygnałów składowych sinusoidalnych o

określonych amplitudach, częstotliwościach i fazach.

Oczywiście można udowodnić odwrotną relację, iż:

dowolny sygnał można zsyntetyzować ze składowych sinusoidalnych o odpowiednich amplitudach, częstotliwościach i fazach.

Współczynniki składowych harmonicznych wyznacza się dokonując przekształcenia funkcji czasu w funkcję częstotliwości (transformacja Fouriera) zgodnie z zależnością:

dt

e

t

x

f

X

j ft

∫

+∞ ∞ − −

⋅

=

₍

₎

2π

)

(

W przypadku, gdy wykorzystywane są sygnały dyskretne, dla ciągu x(kTs) złożonego z N

próbek odległych między sobą o okres próbkowania Ts, transformata Fouriera ma

postać:

gdzie: n=0,1,2,...N-1; f_s=1/T_s N – całkowita liczba próbek.

N nk j N k s s

_x

_kT

_dt

_e

N

nf

X

1 2 / 0

)

(

− π − =

⋅

=













_∑

Wybrane aspekty procesu przetwarzania analogowo-cyfrowego sygnałów:

Analiza Fouriera

(cd)

Zatem transformata Fouriera jest równaniem, które pozwala wyznaczyć wspomniane parametry dla dowolnego sygnału na podstawie jego przebiegu czasowego.

Klasyczna transformata Fouriera opiera się na przekształceniu całkowym ciągłego sygnału (analogowego).

Sygnały dyskretne(spróbkowane) przeprowadza się z dziedziny czasu do dziedziny częstotliwości za pomocą tzw. dyskretnej transformaty Fouriera, w której operacje całkowania są zastąpione operacjami sumowania.

gdzie x(t) – analizowany sygnał w reprezentacji czasu; a X(f) – transformata Fouriera sygnału x(t)

Transformata Fouriera jest zawsze zespolona, stąd zawiera dwa rodzaje informacji: amplitudę oraz fazę.

Wybrane aspekty procesu przetwarzania analogowo-cyfrowego sygnałów:

Transformata Fouriera

DFT

Dyskretna transformata Fouriera

DFT

(Discrete Fourier Transform) transformuje

N

punktowy ciąg dyskretny w dziedzinie czasu:

(

)

(

s

)

s

s

s

x

x

T

x

T

x

N

T

kT

x

(

)

=

(

0

),

(

),

(

2

),...,

−

1

Na Npunktowy ciąg dyskretny w dziedzinie częstotliwości:













−

























=













N

f

N

X

N

f

X

N

f

X

X

N

nf

X

s

₍

₀

_),

s

_,

2

s

_,....,

(

1

)

s

W latach sześćdziesiątych pojawił się algorytm szybkiej transformaty Fouriera FFT. W stosunku do dyskretnej transformaty Fouriera DFT, szybka transformataFFTjest algorytmem umożliwiającym znaczne zmniejszenie liczby wykonywanych działań arytmetycznych, a więc skrócenie czasu obliczeń. Realizuje się to poprzez podział ciągu N próbek na krótsze ciągi, dla których obliczana jest dysktertna transformata. Liczba próbek, dla których obliczana jest FFT, powinna być potęgą liczby 2. Do dokonania

DFT

należy wykonać N2_{mnożeń, w przypadku}

_FFT

_{tylko NLog2N.}

……….……..

.……….……...

………..………….

……….…………..

……….……...

………..…….

………..….

………..….

……….……..

.……….……...

………..………….

……….…………..

……….……...

………..…….

………..….

………..….

……….……..

.……….……...

………..………….

……….…………..

……….……...

………..…….

………..….

………..….

Wybrane aspekty procesu przetwarzania analogowo-cyfrowego sygnałów:

Okno wycinające

Dla obliczenia transformaty Fouriera konieczne jest ograniczenie długości ciągu

x

(kT

s

),

które jest realizowane przez wycinanie. Wycinanie to powoduje zniekształcenie widma, zwane przenikaniem, ponieważ powoduje przenikanie części mocy z obszarów o oryginalnej częstotliwości do obszarów sąsiednich.

W przypadku, gdy próbkowany sygnał jest okresowy, błąd związany z przenikaniem zależy od tego, czy wycięte próbki zawierają całkowitą liczbę okresów. Jeżeli liczba wyciętych okresów nie jest całkowita, błąd przenikania powoduje znaczne złagodzenie ostrych przejść w dziedzinie częstotliwości.

A – sygnał oryginalny B – wycięty ciąg próbek C – sygnał przyjęty w obliczeniach D – obliczone widmo

Wybrane aspekty procesu przetwarzania analogowo-cyfrowego sygnałów:

Okno wygładzające

Zmniejszenie przenikania widma można uzyskać przez zastosowanie

okna wygładzającego. Znanych jest wiele różnych okien, różniących

się charakterystyką. Wybór okna zależy od konkretnego

zastosowania, np.. Okno prostokątne, nadaje się do przebiegów

nieustalonych, okno Hanninga do sygnałów ciągłych.

Wpływ okna

wygładzającego na postać widma:

A – sygnał oryginalny B – wycięty ciąg próbek C – funkcja okna D – zmodyfikowany kształt sygnału

E – widmo obliczone bez okna wygładzającego

F – prawdziwe widmo G – widmo obliczone z oknem wygładzającym

Proces filtracji sygnału związany jest przede wszystkim z

procedurą usuwania

zakłóceń

. Występujące w rzeczywistych sygnałach zakłócenia można podzielić na dwie zasadnicze klasy:

zakłócenia cykliczne

(mające charakter wąskopasmowy) oraz

zakłócenia niecykliczne

(o charakterze szerokopasmowym). Usuniecie tego typu zakłóceń na drodze cyfrowego przetwarzania sygnałów pomiarowych wymaga zastosowania takiego filtru „cyfrowego”, który wytnie z badanego sygnału składową o ściśle określonej częstotliwości (np. filtr wąskopasmowy – zakłócenie częstotliwością 50Hz – wpływ źródła sieciowego zasilania).

Zarówno filtry analogowe, jak i cyfrowe dzieli się ze względu na kształt ich charakterystyki częstotliwościowej na cztery podstawowe klasy:

dolnoprzepustowe

;

górnoprzepustowe

,

środkowoprzepustowe

oraz środkowozaporowe.

Zakres częstotliwości przepuszczanych przez filtr nazywamy jego

pasmem przenoszenia

, natomiast zakres częstotliwości blokowanych

przez filtr – jego

pasmem zaporowym

. W praktycznych realizacjach filtrów pomiędzy pasmem przenoszenia i pasmem zaporowym znajduje się pasmo przejściowe. Przy doborze lub w procesie projektowania filtrów dla większości przypadków, dążymy aby filtry charakteryzowały się jak największym tłumieniem w paśmie zaporowym przy jednocześnie minimalnej szerokości pasma przejściowego oraz minimalizacji falowania w paśmie przenoszenia i paśmie zaporowym. Idealny filtr powinien posiadać stałe wzmocnienie równe 1 w paśmie przenoszenia, stałe wzmocnienie równe 0 w paśmie zaporowym oraz szerokość pasma przejściowego równa 0 Hz.

Wybrane aspekty procesu przetwarzania analogowo-cyfrowego sygnałów:

Filtracja sygnałów

……….……..

.……….……...

………..………….

……….…………..

……….……...

………..…….

………..….

………..….

……….……..

.……….……...

………..………….

……….…………..

……….……...

………..…….

………..….

………..….

……….……..

.……….……...

………..………….

……….…………..

……….……...

………..…….

………..….

………..….