Uogólnienia funkcji o zmiennych rozdzielonych i ich własności

Pełen tekst

(1)Zeszyty Naukowe nr 780. Uniwersytetu Ekonomicznego w Krakowie. 2008. Tadeusz Stanisz Katedra Ekonomii Stosowanej. Uogólnienia funkcji o zmiennych rozdzielonych i ich własności 1. Wprowadzenie Przedłożone opracowanie poświęcone jest omówieniu własności funkcji o zmiennych rozdzielonych. Niech będą dane funkcje: f: A = A1x … xAn → B,. Szukamy funkcji:. F: A = A1x … xAn → B. pi: Ai → Ai. spełniających w zbiorze A równanie:. (i = 1, … , n). f(x1, …, xn) = F[p1(x1), …, pn(xn)].. (1). f(x1, …, xn) = p1(x1) ⊕ … ⊕ pn(xn). (2). F(μ1, …, μn) = μ1 ⊕ … ⊕ μn,. Mówimy wtedy, że funkcja f jest uogólnioną funkcją o zmiennych rozdzielonych (przy ustalonej funkcji F). Równanie (1) jest uogólnieniem równania: rozważanego przez autora w wielu pracach, a w szczególności w [Stanisz 1969, 1997]. Tu (B, ⊕) jest grupą przemienną, a funkcje pi: Ai → B (i = 1, …, n) są szukane. W szczególnym przypadku, gdy funkcja F: A → B ma postać: równanie (1) sprowadza się do równania (2)..

(2) Tadeusz Stanisz. 6. W punkcie 2 przypominamy własności funkcji f spełniających równanie (2) – funkcji o zmiennych rozdzielonych w sensie klasycznym. W punkcie 3 wprowadzamy uogólnione funkcje o zmiennych rozdzielonych, a wiec funkcje spełniające równanie (1). Następnie podajemy własności tych funkcji uzyskane przez prof. J. Matkowskiego. Natomiast w punkcie 4 podajemy dalsze własności tych funkcji uzyskane przez autora. W niniejszym artykule w odniesieniu do funkcji o zmiennych rozdzielonych stosowany jest zamiennie termin: funkcja separowana. 2. Funkcje o zmiennych rozdzielonych w sensie klasycznym Przypomnijmy definicję i własności funkcji separowalnych względem zespołu zmiennych w sensie klasycznym (por. [Stanisz 1969, 1977]). Niech f będzie funkcją postaci:. f: A = A1x … xAn → B,. (3). gdzie A1, …, A n są dowolnymi zbiorami niepustymi (B, ⊕) – jest grupą przemienną. Definicja 1. Mówimy, że funkcja f postaci (3) jest separowalna w zbiorze A względem zespołu zmiennych x1, …, xn, jeżeli istnieją funkcje:. pi: Ai → B. takie że w zbiorze A zachodzi równość:. (i = 1, …, n), df. (4) n. f(x1, …, xn) = p1(x1) ⊕ … ⊕ pn(xn) = ∑ pi ( xi ). i =1. (5). Związek (5) można traktować jako równanie funkcyjne, w którym dana jest funkcja (3), a szukane są funkcje (4). Funkcje p1, …, pn nie są wyznaczone jednoznacznie przez funkcję f. Prawdziwe są lematy. Lemat 1. Jeżeli funkcje p1, …, pn spełniają w zbiorze A równość (5), to również funkcje r1, …, rn określone wzorami: ri(xi) = pi(xi) ⊕ ci,. ri: Ai → B. (i = 1, …, n),. gdzie c1, …, cn są dowolnymi elementami zbioru B, takimi że:. c1 ⊕ … ⊕ cn = 0,. spełniają w zbiorze A równość (5), 0 jest elementem neutralnym działania ⊕.. (6).

(3) Uogólnienia funkcji o zmiennych rozdzielonych…. 7. Lemat 2. Jeżeli dla funkcji f separowalnej w zbiorze A względem zespołu zmiennych x 1, …, x n w myśl definicji 1 oprócz funkcji (4) istnieją funkcje si: Ai → B (i = 1, …, n), spełniające warunki (5), to istnieją ci ∈ B (i = 1, …, n), takie że c1 ⊕ … ⊕ cn = 0 i w zbiorach Ai zachodzi równość:. si(xi) = pi(xi) ⊕ ci. (i = 1, …, n).. (7). Z lematów 1 i 2 wynika, że funkcje pi, …, pn można wyznaczyć jednoznacznie, wprowadzając odpowiednie warunki początkowe. W tym celu ustalamy dowolnie punkt: o. o. Po = ( x1 , L, x n ) ∈ A. b1 ⊕ … ⊕ bn = f ( x 1 , …, x n ). . i obierzmy dowolnie b1 ∈ B, …, bn ∈ B, takie że: o. (8) o. (9). Istnieje dokładnie jeden ciąg funkcji:. (p1(x1), …, pn(xn)),. którego wyrazy spełniają w zbiorze A równanie (5) i warunki: o. pi ( x i ) = bi. (i = 1, …, n).. (10). Podstawowe znaczenie w teorii funkcji o zmiennych rozdzielonych (separowalnych) ma następujące kryterium separowalności. Twierdzenie 1. Warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, by funkcja f postaci (3) była separowalna w zbiorze A w myśl definicji 1 jest, aby istniał punkt (8), taki że w zbiorze A spełniona jest równość:. n. o. o. o. o. o. o. f(x1, …,xxn) = ∑ f ( x1 , L, x i −1 , xi x i +1 , L, x n ) − (n − 1) f ( x1 , L, x n ). i =1. (11). Wniosek 1. Jeżeli funkcja f postaci (3) jest separowalna w zbiorze A w myśl definicji 1, to warunek (11) jest spełniony nie tylko dla pewnego punktu Po ∈ A i dla każdego punktu P ∈ A, ale też dla każdych dwóch punktów Po ∈ A, P ∈ A, gdzie P = (x1, …, xn). Funkcje p1, …, pn można wyznaczyć na dwa sposoby: przez podstawianie oraz przez różniczkowanie i całkowanie równania (5): o. o. o. o. pi ( xi ) = f ( x 1 , …, xi −1 , xi , x i +1 , …, xn ) + ci , o. o. (12). gdzie Po = ( x 1 , …, xn ) jest dowolnym elementem zbioru A, ci ∈ B dla i = 1, …, n oraz c1 ⊕ … ⊕ cn = 0..

(4) Tadeusz Stanisz. 8. Załóżmy teraz, że A jest iloczynem kartezjańskim otwartych przedziałów liczbowych, tj.. A = (a1, b1) x … x (an, bn) oraz B = R, ⊕ jest dodawaniem w R.. Ponadto załóżmy, że funkcja f ma ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w zbiorze A. Wówczas z równania (5) wynika równość:. pi ( xi ) = � f x' i(x1, …, xn) dxi. (i = 1, …, n). . Rozważmy teraz ciąg funkcji:. f m: A = A1x … xAn → B. m ∈ N. (13) (14). separowalnych w zbiorze A w myśl definicji 1, tzn. takich, dla których istnieją funkcje pim: An → B (i = 1, …, n), takie że dla każdego punktu P ∈ A i dla każdego m ∈ N jest:. f m(x1, …, xn) = p1m (x1) ⊕ … ⊕ pnm (xn). Załóżmy, że (B, +) jest grupą topologiczną. Jeżeli ciągi funkcji:. ( pim (xi)). (i = 1, …, n). (15). są zbieżne odpowiednio w zbiorach Ai, to ciąg (14) jest zbieżny w zbiorze A i funkcja graniczna:. def. f(x1, …, xn) = lim (f m(x1, …, xn)) m→∞. (16). jest separowalna w zbiorze A w myśl definicji 1, tzn. w zbiorze A zachodzi równość: f(x1, …, xn) = p1(x1) ⊕ … ⊕ pn(xn). gdzie:. def. pi ( xi ) = lim ( pim ( xi )) m→∞. (i = 1, …, n). . Jeżeli ciąg funkcji (14) jest zbieżny w zbiorze A, to ciągi (15) nie muszą być zbieżne odpowiednio w zbiorach Ai. Jednakże prawdziwe jest twierdzenie.. Twierdzenie 2. Jeżeli (B, ⊕) jest przemienną grupą topologiczną i ciąg (15) funkcji separowalnych w zbiorze A w myśl definicji 1 jest zbieżny w tym zbiorze, to funkcja graniczna (16) jest również separowalna w zbiorze A w myśl definicji 1..

(5) Uogólnienia funkcji o zmiennych rozdzielonych…. 9. 3. Uogólnione funkcje o zmiennych rozdzielonych W 1977 r. Z. Moszner zaproponował uogólnienie równania (5) na równanie1:. w którym. f(x1, …, xn) = F[p1(x1), …, pn(xn)], f: A → B,. (17). A = A1x … xAn. F: A → B. (18). są danymi funkcjami, a szukanymi są funkcje:. pi: Ai → Ai. (i = 1, …, n).. (19). W szczególnym przypadku, gdy funkcja F jest postaci:. F(μ1, …, μn) = μ1 ⊕ … ⊕ μn,. gdzie (B, ⊕) jest grupą, równanie (17) sprowadza się do równania (5).. (20). Równanie (17) może być sprzeczne, gdy f(A) ∩ F(A) = ∅, np. równanie x12 + x22 = −2 x1 + x2 . Dlatego wprowadzamy założenie, obowiązujące do końca pracy2. o o o o Z: Istnieją punkty Po = ( x1 , … , x n ) ∈ A, Qo ( p1 , … , p n ) ∈ A, takie że:. o. o. o. (21). Wprowadźmy teraz funkcje:. określone wzorami. Fi: Ai → B def. f i: Ai → B. o. o. (i = 1, …, n). o. o. Fi ( pi ) = F ( p1 , … , p i −1 , pi , p i +1 , … , p n ). o. f ( x1 , … , x n ) = F ( p1 , … , pn ).. def. o. o. o. o. fi ( xi ) = f ( x1 , … , x i −1 , xi , x i +1 , … , x n ). (22). pi ∈ Ai. xi ∈ Ai. (i = 1, …, n).. Udowodnimy teraz twierdzenie będące odpowiednikiem twierdzenia 1. Twierdzenie 3. Załóżmy, że spełnione są założenia (21):. f i(Ai) ⊂ Fi(Ai). pi ( x i ) = pi. (i = 1, …, n).. Fi jest odwracalna w zbiorze Ai (i = 1, …, n). Jeżeli istnieją funkcje (19), takie że: o. o. (i = 1, …, n). (23) (24). (25). 1. Podane uogólnienie zostało zaproponowane autorowi niniejszego artykułu przez prof. Z. Mosz-. 2. Wyniki niepublikowanych badań prof. J. Matkowskiego udostępnione autorowi artykułu.. nera..

(6) Tadeusz Stanisz. 10. i spełniające równanie (17), to funkcje te określone są wzorami: def. pi ( xi ) = Fi −1[ f i ( xi )]. (i = 1, …, n).. (26). Ponadto funkcje pi dane wzorami (26) spełniają równanie (17) wtedy i tylko wtedy, gdy w zbiorze A zachodzi równość:. F{ F1−1 [f 1(x1)], …, Fn −1[f n(xn)]} = f(x1, …, xn).. (27). Dowód. Podstawmy w równaniu (17): o. o. o. o. x1 = x1 , …, xi −1 = x i−1 , xi = xi , xi +1 = x i+1 , …, xn = x n . Otrzymujemy związek: o. o. o. o. o. f ( x1 , …, x i −1 , xi , x i +1 , …, x n ) = o. o. o. = F[ p1 ( x1 ), …, pi −1 ( x i −1 ), pi ( xi ), pi +1 ( x i +1 ), …, pn ( xn )], który wobec definicji funkcji f i (i = 1, …, n), wzoru (25) i definicji funkcji Fi (i = 1, …, n) przyjmuje postać: f i(xi) = Fi[pi(xi)]. (i = 1, …, n),. skąd wobec założeń (23) i (24) otrzymujemy związek: pi(xi) = Fi −1 [f i(xi)]. (i = 1, …, n),. tj. związek (26). Przechodząc teraz do dowodu drugiej części twierdzenia załóżmy najpierw, że w zbiorze A zachodzi równość (27). Wówczas funkcje pi określone wzorami (26) spełniają równanie (17). Załóżmy teraz, że istnieją funkcje pi (i = 1, …, n) spełniające równanie (17). Wówczas z pierwszej części dowodu wynika, że funkcje te są określone wzorami (26). Zatem równość (27) jest spełniona. Dowód twierdzenia 2 jest zakończony. Podamy teraz przykład wskazujący na istotność założenia (23). Przykład 1. Niech n = 2. Rozważmy równanie: πxy x + y = 2 sin x ∈ R, y ∈ R. 2 πxy . Wówczas F(x, y) = x + y, f(x, y) = 2 sin 2 Mamy F(1, 1) = 2 = f(1, 1), więc warunek (21) jest spełniony..

(7) Uogólnienia funkcji o zmiennych rozdzielonych…. Dalej. F1(t) = t + 1, f1 (t ) = 2 sin. Zatem. πt , 2. F2 = 1 + t f2 (t ) = 2 sin. 11. πt . 2. πt πt − 1, p2 (t ) = 2 sin − 1. 2 2 Jednakże równość (17) nie jest spełniona, ponieważ: p1 (t ) = 2 sin. 2 sin. πx πy πxy − 1 + 2 sin − 1 ≠ 2 sin . 2 2 2. Funkcje p1, …, pn można wyznaczyć, rozwiązując układ równań różniczkowych pierwszego rzędu. Rozważmy tu szczególny przypadek, gdy n = 2, A = (a, b) x(c, d), B = R, zaś ⊕ jest dodawaniem w R. Różniczkując odpowiednio względem x1, x2 równanie: F[p1(x1), p2(x2)] = f(x1, x2),. otrzymujemy układ równań różniczkowych:. Fx'1[p1(x1), p2(x2)] · p1' (x1) = fx'1(x1, x2). Fx'2[p1(x1), p2(x2)] · p2' (x2) = fx'2(x1, x2).. (28). Uwaga. W szczególnym przypadku, gdy n = 2, F(μ1, μn) = μ1 + μn, układ równań (17) sprowadza się do układu równań (13). 4. Dalsze własności uogólnionych funkcji o zmiennych rozdzielonych Podamy teraz i udowodnimy dalsze własności uogólnionych funkcji o zmiennych rozdzielonych.. Twierdzenie 4. Załóżmy, że spełnione są założenia (21), (23) i (24) oraz istnieją funkcje pi: Ai → B, ri: Ai → B (i = 1, …, n) spełniające równanie (17) oraz warunki: o. o. o. pi xi = ri xi = p i. (i = 1, …, n),. to funkcje pi oraz ri są identyczne w zbiorze Ai (i = 1, …, n), tj.. dla każdego xi ∈ Ai (i = 1, …, n).. pi' ( xi ) = ri ( xi ) . (29).

(8) Tadeusz Stanisz. 12. Dowód. Korzystając z twierdzenia 3 oraz ze wzorów (26), otrzymujemy równości (29). Podamy teraz kryterium różniczkowe separowalności uogólnionej. Załóżmy, że A jest iloczynem kartezjańskim otwartych przedziałów liczbowych, tj.. A = (a1, b1)x … x(an, bn). (30). Ponadto załóżmy, że funkcje f i i F mają ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w zbiorze A oraz że funkcje pi mają ciągłe pochodne pierwszego rzędu w zbiorze Ai = (ai, bi) (i = 1, …, n). Wreszcie załóżmy, że spełnione są założenia (21) i (24).. Twierdzenie 5. Warunkiem koniecznym i dostatecznym, aby funkcja f była uogólnioną funkcją separowaną w zbiorze (30) jest, aby w tym zbiorze spełniony był układ równań:. Fx'i [ p1 ( x1 ), …, pn ( xn )] ⋅ pi' ( xi ) = fx'i ( x1 , …, xn ).. (31). F[p1(x1), …, pn(xn)] = f(x1, …, xn) + qi(x1, …, xi – 1, xi + 1, …, xn),. (32). Dowód. Jeżeli funkcje p1(x1), …, pn(xn) spełniają równanie (17), to przez obustronne różniczkowanie tego równania względem xi otrzymujemy warunki (31). Załóżmy teraz, że spełnione są równania (31). Całkując obie strony tego równania względem zmiennej xi w zbiorze Ai (i = 1, …, n), otrzymujemy równanie: gdzie:. jest dowolną funkcją.. qi: A1x … xAi – 1 xAi – 1 x … xAn → B. (i = 1,…, n). Z warunku (32) wynika, że:. q1(x2, …, xn) = q2(x1, x3, …, xn) = … = qn(x1, x2, …, xn – 1). (33). Udowodnimy teraz, że funkcja q1 jest stała, skąd wynika, że funkcje q2, …, qn też są stałe. W tym celu ustalmy dowolnie i ∈ {2, …, n}. Podstawiając do równania (33) o. o. o. o. o. x1 = x1 , x2 = x2 , …, xi − 1 = x i −1 , xi + 1 = x i + 1 , …, xn = xn , otrzymujemy. o. o. o. o. o. o. o. o. q1 ( x 2 , …, x i − 1 , xi , x i + 1 , …, x n ) = = q2 ( x1 , …, x i − 1 , xi , x i + 1 , …, x n ) = ….

(9) Uogólnienia funkcji o zmiennych rozdzielonych… o. o. 13. o. o. = qi ( x1 , …, x i − 1 , xi , x i + 1 , …, x n ) = … o. o. o. o. = qn ( x1 , …, x i − 1 , xi , x i + 1 , …, x n − 1 ). Stąd w szczególności wynika równość: o. o. o. o. o. o. o. o. q1 ( x 2 , …, x i − 1 , xi , x i + 1 , …, x n ) = qi ( x1 , …, x i − 1 , x i + 1 , …, x n ). Prawa strona ostatniej równości nie zależy od xi, więc lewa jej strona też nie zależy od xi. Zatem funkcja q1 jest stała względem zmiennej xi, gdyż punkt o. o. o. o. o. ( x1 , x 2 , …, x i − 1 , xi, xi + 1 , x i + 1 , …, x n ) był dowolny.. Tak więc funkcja q1 jest stała względem argumentu xi, gdzie i ∈ {2, …, n}. Wspomniana stała wynosi 0 wobec założeń (21) i (24).. Literatura Stanisz T. [1969], Functions with Separated Variables, Prace Matematyczne, Zeszyty Naukowe UJ, nr 13. Stanisz T. [1977], Funkcje o zmiennych rozdzielonych i możliwości ich zastosowania w analizie ekonomicznej, AE w Krakowie, Zeszyty Naukowe, Seria specjalna: Monografie nr 35, Kraków. The Generalisation of Functions of Separated Variables and Their Properties Assume that A1, A 2, …, An (n ∈ {1, 2, …}) are not empty sets, A = A1 × A 2 × … × An and (B, ⊕) is the commutative group. It is said that function. f: A → B (1) is separable if functions pi: Ai → B (i = 1, …, n}) exist, and in which f satisfies the functional equality:. f(x1, x2, …, xn) = p1(x1) ⊕ p2(x2) ⊕ … ⊕ pn(xn).. (2). f(x1, …, xn) = F(p1(x1), …, pn(xn)),. (3). In this paper, the generalised definition of functions of separated variables is presented. The idea requires us to replace the classical condition (2) with this equation:. where function F: A → B is given and functions pi: Ai → Ai (i = 1, …, n) are unknown. The paper will also formulate properties of generalised functions of separated variables..

(10)