Typy homotopijne kompleksów niezwartych i punkty stałe ich niezwartych odwzorowań

(1)

U

NIWERSYTET

M

IKOŁAJA

K

OPERNIKA

W

YDZIAŁ

M

ATEMATYKI I

I

NFORMATYKI

Michał Jerzy Kukieła

Typy homotopijne kompleksów

niezwartych i punkty stałe ich

niezwartych odwzorowa´

n

Promotor:

prof. dr hab. Marek Golasi ´nski

(2)

(3)

(4)

(5)

Spis tre´

sci

Podzi˛ekowania vii

Wst˛ep ix

1. Wiadomo´sci wst˛epne 1

1.1. Ró ˙zne oznaczenia i uwagi . . . 1

1.2. Matematyka dyskretna . . . 2

1.2.1. Grafy . . . 2

1.2.2. Cz˛e´sciowe porz ˛adki i kraty . . . 3

1.3. Topologia ogólna . . . 7

1.4. Topologia algebraiczna . . . 9

1.4.1. CW kompleksy . . . 11

1.4.2. Kompleksy symplicjalne . . . 13

1.4.3. Lematy o typie homotopijnym . . . 18

1.4.4. Prosty typ homotopijny . . . 20

1.5. Topologia w niesko ´nczono´sci . . . 21

1.5.1. Wła´sciwy typ homotopijny . . . 21

1.5.2. Zbiór ko ´nców . . . 22

1.5.3. Uzwarcenie Freudenthala . . . 23

1.5.4. Oswojono´s´c . . . 24

1.5.5. Homologie lokalnie sko ´nczone i homologie w niesko ´nczo-no´sci . . . 26

1.6. Teoria punktów stałych . . . 29

1.6.1. Klasyczna i uogólniona liczba Lefschetza . . . 29

1.6.2. Indeks punktów stałych . . . 32

1.6.3. Punkty stałe w cz˛e´sciowych porz ˛adkach i kompleksach symplicjalnych . . . 33

(6)

CZ ˛E ´S ´C I: TYPY HOMOTOPIJNE

2. Mocny typ homotopijny 39

2.1. Topologia ogólna przestrzeni Aleksandrowa . . . 41

2.1.1. Zwi ˛azek z cz˛e´sciowymi porz ˛adkami . . . 42

2.1.2. Spójno´s´c, zwarto´s´c, przestrzenie funkcyjne . . . 43

2.2. Typy homotopijne przestrzeni Aleksandrowa . . . 45

2.2.1. Twierdzenia McCorda i Stonga . . . 45

2.2.2. Rdzenie i rozbieralno´s´c przestrzeni Aleksandrowa . . . 48

2.2.3. Korozbieralno´s´c przestrzeni Aleksandrowa . . . 52

2.2.4. Klasyfikacja typów homotopijnych przestrzeni Aleksan-drowa bez promieni . . . 57

2.2.5. Wnioski z twierdzenia klasyfikacyjnego . . . 60

2.2.6. H-przestrzenie i ko-H-przestrzenie Aleksandrowa bez pro-mieni . . . 62

2.2.7. Słabsze formy rozbieralno´sci przestrzeni Aleksandrowa . . . 64

2.3. Rozbieralno´s´c i mocny typ homotopijny kompleksów symplicjalnych 67 2.3.1. (Ko)rozbieralno´s´c kompleksów symplicjalnych . . . 67

2.3.2. Mocny typ homotopijny kompleksów symplicjalnych . . . . 72

2.3.3. Słabsze formy rozbieralno´sci kompleksów symplicjalnych . 79 3. Dyskretna teoria Morse’a 83 3.1. Klasyczne teorie Morse’a: gładka oraz dyskretna . . . 86

3.1.1. Gładka teoria Morse’a . . . 86

3.1.2. Dyskretna teoria Morse’a dla sko ´nczonych CW kompleksów 88 3.1.3. Algebraiczne spojrzenie na dyskretn ˛a teori˛e Morse’a . . . 90

3.1.4. Porównanie . . . 92

3.2. Niesko ´nczone skojarzenia Morse’a i promienie . . . 94

3.3. Odwracanie promieni . . . 97

3.4. Topologiczna wersja dyskretnej teorii Morse’a . . . 105

3.4.1. Porz ˛adki h-regularne i dopuszczalne . . . 105

3.4.2. Główne twierdzenie dyskretnej teorii Morse’a dla niesko ´n-czonych skojarze ´n . . . 107

3.5. Algebraiczna wersja dyskretnej teorii Morse’a . . . 111

3.6. Kompleksy∞-zgniatalne . . . 114

3.6.1. Podstawowe obserwacje dotycz ˛ace∞-zgniatalno´sci . . . 114

3.6.2. (Ko)rozbieralno´s´c implikuje∞-zgniatalno´s´c . . . 116

3.6.3. Kraty bez dopełnie ´n . . . 120

3.7. Dyskretna teoria Morse’a a topologia w niesko ´nczono´sci . . . 124

3.7.1. Kołnierzyki do wewn ˛atrz . . . 124

3.7.2. Kołnierzyki na zewn ˛atrz . . . 125

3.8. Skojarzenia Morse’a a dyskretne funkcje Morse’a . . . 128

3.8.1. Przegl ˛ad literatury . . . 128

(7)

SPIS TRE´SCI v

CZ ˛E ´S ´C II: PUNKTY STAŁE

4. Punkty i ko ´nce stałe odwzorowa ´n przestrzeni lokalnie zwartych 135

4.1. Ogólne obserwacje . . . 137

4.1.1. Ko ´nce stałe . . . 137

4.1.2. Zbiory przestawiaj ˛ace ko ´nce . . . 138

4.1.3. Brak ko ´nców stałych a indeks punktów stałych . . . 139

4.1.4. Brak ko ´nców stałych a liczba Lefschetza . . . 141

4.1.5. Własno´s´c punktu lub ko ´nca stałego . . . 142

4.2. Twierdzenia o punkcie lub ko ´ncu stałym dla ANR-ów o „dobrych” własno´sciach w niesko ´nczono´sci . . . 144

4.2.1. Ko ´nce oswojone do wewn ˛atrz . . . 144

4.2.2. Potulno´s´c w niesko ´nczono´sci . . . 145

4.2.3. Ko ´nce oswojone na zewn ˛atrz . . . 147

4.3. Kombinatoryczne twierdzenia o punkcie lub ko ´ncu stałym . . . 150

4.3.1. Definicje . . . 151

4.3.2. Odległo´s´c w cz˛e´sciowym porz ˛adku . . . 152

4.3.3. Kombinatoryczne twierdzenie typu Lefschetza o punkcie lub ko ´ncu stałym . . . 154

4.3.4. (Ko)rozbieralno´sć a własno´sć punktu lub ko ńca stałego . . . 158

4.3.5. Własno´s´c punktu lub ko ´nca stałego i produkty . . . 163

5. Punkty stałe odwzorowa ´n przestrzeni bez promieni 169 5.1. Istnienie punktu stałego odwzorowania przestrzeni bez promieni . 172 5.1.1. Znane wyniki . . . 172

5.1.2. Kompleksy∞-zgniatalne i uogólnienie twierdzenia Baclaw-skiego o punkcie stałym . . . 173

5.2. Struktura zbioru punktów stałych w przestrzeniach bez promieni . 182 5.2.1. Rozbieralno´s´c zbioru punktów stałych działania grupy . . . 182

5.2.2. Rozbieralno´s´c zbioru punktów stałych odwzorowania . . . . 185

5.2.3. Zgniatalno´s´c a struktura zbioru punktów stałych odwzoro-wania . . . 189

Spis problemów otwartych 195

Bibliografia 199

Spis oznacze ´n 213

(8)

(9)

Podzi˛

ekowania

Chciałbym podzi˛ekować Bogu za to, ˙ze ˙zyj˛e, za Jego Miło´sć i opiek˛e nade mn ˛a i ´swiatem, za wszystko i wszystkich wokół. Dzi˛ekuj˛e mojej mamie El ˙zbiecie oraz mojemu zmarłemu niedawno tacie Bronisławowi za to, ˙ze jestem, oraz za to, jaki dzi˛eki ich miło´sci, trosce i trudowi jestem. Mojej ˙zonie Natalii dzi˛ekuj˛e gor ˛aco za wytrwanie ze mn ˛a w ró ˙znorakich trudno´sciach oraz jej stał ˛a miło´sć, wierno´sć i uczciwo´sć; dzi˛ekuj˛e równie ˙z za cierpliwo´sć do mnie jej licznej rodzinie i mojemu kochanemu rodze ństwu.

Dzi˛ekuj˛e mojemu promotorowi, prof. dr. hab. Markowi Golasi ´nskiemu, za sprawowanie nie zawsze łatwej opieki naukowej nad moj ˛a osob ˛a, liczne uwagi, komentarze, wskazówki i rozmowy, dotycz ˛ace nie tylko matematyki. Jestem równie ˙z wdzi˛eczny Zbigniewowi Błaszczykowi oraz Jakubowi Kiszkielowi za wspóln ˛a prac˛e na seminarium doktoranckim. Dzi˛ekuj˛e prof. dr. hab. Marianowi Mrozkowi za opiek˛e naukow ˛a podczas półrocznego sta ˙zu na Uniwersytecie Ja-giello ´nskim.

Nie sposób wymienić z nazwiska wszystkich przyjaciół, członków rodziny, nauczycieli, kolegów i znajomych, a tak ˙ze osób nieznajomych, dzi˛eki którym ta rozprawa mogła powstać, wobec czego nie b˛ed˛e próbował tego robić. Z ró ˙znych wzgl˛edów pragn˛e jednak uczynić wyj ˛atek dla dr. Adama Hajduka, prof. dr. hab. Stanisława Kasjana oraz mojego opiekuna w czasie studiów magisterskich, dr. hab. Dariusza Miklaszewskiego.

Nie do przecenienia jest rola pa ´n pracuj ˛acych w administracji oraz w biblio-tece naszego Wydziału, jak równie ˙z osób, które czuwaj ˛a nad tym, aby mógł on sprawnie funkcjonowa´c, w tym oczywi´scie byłych i obecnych władz Wydziału. Dzi˛ekuj˛e im za stworzenie tak przyjaznego ´srodowiska pracy.

Przyjemno´sci ˛a była dla mnie współpraca z profesorami Berndem Schröderem oraz Aleksandrem Rutkowskim, wyniki której nie zostały wprawdzie zawarte w rozprawie, ale która po´srednio wpłyn˛eła na jej kształt. Profesorowi Kenne-thowi Baclawskiemu dzi˛ekuj˛e za udost˛epnienie notatek [15] oraz pozwolenie na zamieszczenie w rozprawie uogólnie ´n jego niepublikowanych wyników.

Dzi˛ekuj˛e K. Adiprasito, B. Benedettiemu, B. Hughesowi, L. Górniewiczowi, V. Okhezinowi, D. Osajdzie, A. Ranickiemu, K. Rykaczewskiemu, jak równie ˙z uczestnikom internetowych forów dyskusyjnych MathOverflow, Mathematics

(10)

Stack Exchange oraz TEX – LA_{TEX Stack Exchange, spo´sród których chciałbym}

wy-mieni´c H. Brandsma, N. Diepeveen, S. Melikhova, V. Nanda, D. Panova, N. Stric-klanda, C. Westerlanda, E. Wofseya oraz R. Woodroofe’a, za odpowiedzi na py-tania zwi ˛azane (w ró ˙znym stopniu) z tre´sci ˛a i form ˛a rozprawy.

Jestem wdzi˛eczny za mo ˙zliwo´s´c uczestnictwa w trakcie studiów doktoranc-kich w kilku konferencjach naukowych ich organizatorom oraz instytucjom fi-nansuj ˛acym moje wyjazdy. Szczególnie cenny był dla mnie udział w szkole let-niej Discrete Morse Theory and Commutative Algebra, która odbyła si˛e w 2012 roku w Instytucie Mittag-Lefflera w Szwecji.

Wreszcie, podzi˛ekowania składam organizatorom ´Srodowiskowych Studiów Doktoranckich z Nauk Matematycznych oraz podatnikom, dzi˛eki którym otrzy-mywałem poka´zne stypendium.

(11)

Wst˛

ep

Pocz ˛atki topologii algebraicznej s ˛a nierozerwalnie zwi ˛azane z poj˛eciem kom-pleksu symplicjalnego. Oddaje to u ˙zywana niegdy´s w odniesieniu do tej dzie-dziny nazwa „topologia kombinatoryczna”: badanie topologicznych własno´sci przestrzeni, które mo ˙zna przedstawić jako geometryczn ˛a realizacj˛e kompleksu symplicjalnego sprowadza si˛e bowiem w du ˙zej mierze do rozwa ˙za ń o charakte-rze geometryczno-kombinatorycznym, dotycz ˛acych zale ˙zno´sci pomi˛edzy sym-pleksami tego kompleksu. Z upływem czasu wi˛ekszego znaczenia zacz˛eły nabie-rać metody algebraiczne (por. [65], [112]).

W ostatnich latach kombinatoryczne aspekty topologii algebraicznej ponow-nie przyci ˛agaj ˛a uwag˛e. Cz˛e´sciowo wynika to zapewne z faktu, ˙ze coraz wi˛ek-sz ˛a rol˛e w badaniach z zakresu topologii, a zwłaszcza w jej dziedzinach ta-kich jak stosowana topologia algebraiczna, topologia obliczeniowa oraz cyfrowa (zob. [69, 117, 122, 195, 238]), odgrywaj ˛a komputery. Z natury przetwarzaj ˛a one dane o charakterze dyskretnym. Z drugiej strony wydaje si˛e, ˙ze matematyka dys-kretna staje si˛e coraz bardziej szanowan ˛a dziedzin ˛a. Topologia algebraiczna znaj-duje w niej pi˛ekne zastosowania (np. [40, 116, 124, 146]); tu równie ˙z jej kombina-toryczne oblicze daje o sobie zna´c w bardzo naturalny sposób.

Badanie przestrzeni topologicznych za pomoc ˛a ich triangulacji napotyka jed-nak wiele problemów. Jeden z nich wynika ze stosunkowo du ˙zej liczby symplek-sów, z których zbudowane s ˛a triangulacje nawet prostych przestrzeni. Problem ten stanowił jedn ˛a z motywacji dla wprowadzania innych sposobów opisu topo-logii, w tym na przykład poj˛ecia CW kompleksu. Z drugiej strony najłatwiejsz ˛a do uzyskania struktur ˛a opisuj ˛ac ˛a dan ˛a przestrze ń okazuje si˛e być cz˛esto kom-pleks symplicjalny (lub inny komkom-pleks wielo´scienny, np. kostkowy). Wynika st ˛ad konieczno´sć opracowania technik, które pozwalaj ˛a ten opis upro´scić, przy zacho-waniu przynajmniej typu homotopijnego rozwa ˙zanej przestrzeni.

Jedn ˛a ze słu ˙z ˛acych temu metod jest dyskretna teoria Morse’a, wprowadzona w latach 90-tych ubiegłego wieku przez Formana [81] i wzorowana na klasycz-nej, maj ˛acej gł˛ebokie konsekwencje, gładkiej teorii Morse’a. Główny wynik teorii Formana [81, Corollary 3.5] pozwala znale´z´c CW kompleks homotopijnie rów-nowa ˙zny danemu CW kompleksowi, zbudowany z tzw. komórek krytycznych

(12)

dyskretnej funkcji Morse’a zadanej na zbiorze komórek wyj´sciowego CW kom-pleksu.

Forman korzysta z poj˛ecia elementarnego zgniecenia, zaczerpni˛etego z teo-rii prostej homotopii [61]. Elementarne zgniecenie regularnego CW kompleksu (tzn. takiego, ˙ze funkcje charakterystyczne wszystkich jego komórek s ˛a ho-meomorfizmami) polega na usuni˛eciu z niego dwóch komórek: maksymalnej (w sensie relacji bycia ´scian ˛a) oraz jej ´sciany kowymiaru 1, nie b˛ed ˛acej ´scian ˛a ˙zadnej innej komórki. Otrzymany w ten sposób podkompleks jest retraktem de-formacyjnym wyj´sciowego.

Obok elementarnych zgniece ´n znane s ˛a ró ˙zne kombinatoryczne techniki po-zwalaj ˛ace na sprowadzenie kompleksu symplicjalnego b ˛ad´z CW kompleksu do kompleksu homotopijnie mu równowa ˙znego [116, 124]. Nale ˙zy do nich poj˛ecie rozbierania (ang. dismantling) kompleksów symplicjalnych. Nazwa ta, w odnie-sieniu do kompleksów symplicjalnych, nie jest standardowa; np. Barmak i Mi-nian [31] pisz ˛a o mocnych zgnieceniach (ang. strong collapses). Autor s ˛adzi jed-nak, ˙ze maj ˛ace dług ˛a tradycj˛e słowo „rozbieralno´s´c”, opisuj ˛ace własno´sci gra-fów oraz zbiorów cz˛e´sciowo uporz ˛adkowanych ´sci´sle zwi ˛azane z rozbieralno´sci ˛a kompleksów symplicjalnych, jest bardziej odpowiednie.

Bliski zwi ˛azek zbiorów cz˛e´sciowo uporz ˛adkowanych (lub cz˛e´sciowych po-rz ˛adków; terminów tych u ˙zywamy zamiennie) z kompleksami symplicjalnymi odgrywa znaczn ˛a rol˛e równie ˙z w innych fragmentach topologii kombinatorycz-nej. Dla ka ˙zdego cz˛e´sciowego porz ˛adku P istnieje kompleks symplicjalnyK(P), którego sympleksami s ˛a sko ´nczone, niepuste ła ´ncuchy w P. Z drugiej strony dla kompleksu symplicjalnego K przezP (K)oznaczamy zbiór jego sympleksów uporz ˛adkowany przez inkluzj˛e. Przyporz ˛adkowania te s ˛a funktorialne.

Na zbiorze cz˛e´sciowo uporz ˛adkowanym mo ˙zna zada´c spełniaj ˛ac ˛a aksjomat oddzielania T0 topologi˛e, przyjmuj ˛ac, ˙ze jego podzbiór jest otwarty, o ile wraz

z ka ˙zdym jego elementem nale ˙z ˛a do niego wszystkie elementy od niego mniejsze [4]. Otrzymana w ten sposób przestrze ń topologiczna ma t˛e własno´sć, ˙ze przekrój dowolnej rodziny jej otwartych podzbiorów jest zbiorem otwartym. Przestrzenie spełniaj ˛ace ten warunek (na przykład wszystkie sko ńczone przestrzenie topolo-giczne) nazywamy przestrzeniami Aleksandrowa. Opisane przyporz ˛adkowanie wyznacza izomorfizm mi˛edzy kategori ˛a zbiorów cz˛e´sciowo uporz ˛adkowanych a kategori ˛a T0przestrzeni Aleksandrowa.

Jak udowodnił McCord [153], realizacja geometryczna dowolnego kompleksu symplicjalnego K jest słabo homotopijnie równowa ˙zna zbiorowi cz˛e´sciowo upo-rz ˛adkowanemu P (K) (traktowanemu jako przestrze ´n Aleksandrowa). Odwrot-nie, dla ka ˙zdego cz˛e´sciowego porz ˛adku P realizacja geometryczna kompleksu

(13)

WST ˛EP xi

Mniej wi˛ecej w tym samym czasie, co wyniki McCorda [153], ukazała si˛e publikacja Stonga [221], w której podał on „klasyfikacj˛e” typów homotopij-nych sko ´nczohomotopij-nych przestrzeni topologiczhomotopij-nych (znacz ˛aco ró ˙znych od ich sła-bych typów homotopijnych), wykorzystuj ˛ac w tym celu wspomniane wy ˙zej po-j˛ecie rozbieralno´sci. W ˛atek ten podj˛eto w ostatnich latach w licznych pracach (np. [6, 25, 28–31, 149–152]).

Wiele twierdze ń topologii algebraicznej znalazło zastosowania w teorii punk-tów stałych ci ˛agłych odwzorowa ń. Nie inaczej jest w przypadku wymienionych wy ˙zej metod topologii kombinatorycznej, z t ˛a ró ˙znic ˛a, ˙ze naturalne jest badanie przy ich u ˙zyciu punktów stałych odwzorowa ń obiektów dyskretnych, jak zbiory cz˛e´sciowo uporz ˛adkowane, grafy czy kompleksy symplicjalne.

Przykładowo, zbiór cz˛e´sciowo uporz ˛adkowany ma własno´sć punkt stałego wtedy i tylko wtedy, gdy ma j ˛a podzbiór, do którego jest on rozbieralny [189]. Zbiór punktów stałych zachowuj ˛acego porz ˛adek odwzorowania sko ńczonego, rozbieralnego do punktu zbioru cz˛e´sciowo uporz ˛adkowanego w siebie jest roz-bieralny do punktu [66]. Je ˙zeli grupa działa na sko ńczonym, rozroz-bieralnym do punktu zbiorze cz˛e´sciowo uporz ˛adkowanym, to zbiór punktów stałych tego działania jest rozbieralny do punktu; mo ˙zna st ˛ad wywnioskować, ˙ze je´sli grupa działa (przez automorfizmy symplicjalne) na sko ńczonym, rozbieralnym do punktu kompleksie symplicjalnym, to zbiór punktów stałych działania induko-wanego na jego realizacji geometrycznej jest ´sci ˛agalny [31, 108].

Na zwi ˛azek dyskretnej teorii Morse’a z teori ˛a punktów stałych wskazuje opu-blikowany w 2012 przez Baclawskiego [17] kombinatoryczny dowód faktu, ˙ze ka ˙zde odwzorowanie symplicjalne sko ńczonego, zgniatalnego kompleksu sym-plicjalnego w siebie ma sympleks stały. Oczywi´scie wynik ten mo ˙zna otrzymać jako wniosek z twierdzenia Lefschetza o punkcie stałym; interesuj ˛aca jest jed-nak metoda dowodu zastosowana przez Baclawskiego. Stanowi on fragment kombinatorycznego dowodu twierdzenia o własno´sci punktu stałego sko ńczo-nych, ´sci˛etych krat bez dopełnie ń, poszukiwanego od czasu udowodnienia tego faktu przy pomocy do´sć zaawansowanych metod algebraicznych [16,18] w latach 70-ych.

Choć topologia algebraiczna oraz kombinatoryczna daj ˛a mo ˙zliwo´sć bada-nia przestrzeni niezwartych, wi˛ekszo´sć wy ˙zej wymienionych wyników dotyczy obiektów zwartych (b ˛ad´z, w kombinatorycznym uj˛eciu, sko ńczonych).

Cel niniejszej rozprawy jest trojaki. Po pierwsze, jest nim przybli ˙zenie Czy-telnikowi aktualnego stanu wiedzy na temat wspomnianych wy ˙zej metod oraz wyników. Po drugie, uogólnienie tych wyników na obiekty niezwarte (nie-sko ńczone). Po trzecie, zasugerowanie mo ˙zliwych kierunków dalszych bada ń, zwłaszcza dotycz ˛acych „punktów stałych w niesko ńczono´sci” oraz własno´sci wielo´scianów bez promieni i cz˛e´sciowych porz ˛adków bez promieni.

Z punktu widzenia matematyki dyskretnej i topologii stosowanej, uogólnie-nia metod topologii kombinatorycznej na niezwarte przestrzenie mog ˛a wyda-wa´c si˛e mało wa ˙zne, gdy ˙z obiekty, którymi dziedziny te si˛e zajmuj ˛a, s ˛a z reguły zwarte (sko ´nczone). Z drugiej strony, niezwarta topologia algebraiczna znajduje

(14)

zastosowania np. przy badaniu zwartych rozmaito´sci czy w geometrycznej teo-rii grup [90, 95, 111]. Autor pozwala sobie wyrazi´c nadziej˛e, ˙ze wyniki rozprawy oraz badania w wyznaczonych przez ni ˛a kierunkach mog ˛a si˛e okaza´c przydatne w tych (lub innych) dziedzinach.

Zanim przyst ˛apimy do omówienia wyników rozprawy, po´swi˛ećmy chwil˛e obiektom, których one dotycz ˛a. Zauwa ˙zmy, ˙ze spójny wielo´scian mo ˙ze nie być zwarty z dwóch „powodów”: albo zawiera domkni˛ety podzbiór homeomor-ficzny z półprost ˛a [0,∞), zwany promieniem (zwarto´sć jest zaburzona „global-nie”), albo istnieje jego element, który nie ma zwartego otoczenia (czyli wielo-´scian ten nie jest lokalnie zwarty). Z kombinatorycznego punktu widzenia pierw-szy z tych warunków jest równowa ˙zny istnieniu niesko ńczonej ´scie ˙zki prostej w 1-wymiarowym szkielecie triangulacji tego wielo´scianu, za´s drugi istnieniu wierzchołka tego szkieletu nale ˙z ˛acego do niesko ńczenie wielu kraw˛edzi. Natu-ralne jest rozwa ˙zanie klas tych wielo´scianów, dla których zachodzi co najwy ˙zej jeden z wymienionych „powodów”: s ˛a to wielo´sciany lokalnie zwarte oraz wielo-´sciany bez promieni. (Cz˛e´sć wspóln ˛a tych dwóch klas tworz ˛a przestrzenie b˛ed ˛ace sumami rozł ˛acznymi zwartych wielo´scianów.)

Lokalnie zwarte wielo´sciany stanowi ˛a klas˛e do´sć dobrze znan ˛a i cz˛esto po-jawiaj ˛ac ˛a si˛e w literaturze. Mniej uwagi po´swi˛ecano dot ˛ad wielo´scianom bez promieni; zazwyczaj wyst˛epuj ˛a one w roli kontrprzykładów (choć istnieje spora liczba publikacji dotycz ˛acych grafów bez promieni). Niniejsz ˛a rozpraw ˛a zapeł-niamy w pewnym stopniu t˛e luk˛e. Oba warunki: lokalna zwarto´sć (lokalna sko ń-czono´sć) oraz brak promieni (w sensie ci ˛agłym oraz dyskretnym), przewijaj ˛a si˛e przez cał ˛a rozpraw˛e.

O

MÓWIENIE STRUKTURY I WYNIKÓW ROZPRAWY

Rozprawa składa si˛e z pi˛eciu rozdziałów. Pierwszy z nich zawiera wiado-mo´sci wst˛epne. Kolejne cztery podzielone s ˛a na dwie cz˛e´sci: rozdziały 2 oraz 3 po´swi˛econe s ˛a typowi homotopijnemu niezwartych kompleksów symplicjal-nych i CW kompleksów, oraz niesko ńczosymplicjal-nych przestrzeni Aleksandrowa; na-tomiast rozdziały 4 oraz 5 dotycz ˛a punktów stałych niezwartych odwzorowa ń przestrzeni tego typu. W ko ńcowej cz˛e´sci rozprawy zebrane zostały problemy otwarte; znajduj ˛a si˛e tam równie ˙z bibliografia (wspólna dla cało´sci rozprawy) oraz spisy terminów i oznacze ń.

Rozdział 2 opiera si˛e w pewnym stopniu na pracy magisterskiej [129] oraz publikacji [130] autora. Rozdział 3 jest znacz ˛aco udoskonalon ˛a i rozszerzon ˛a wersj ˛a artykułu autora [133]. Cz˛e´s´c wyników rozdziału 4 naszkicowana została w pracy semestralnej [131]. Niektóre spo´sród rezultatów uzyskanych w rozdzia-łach 2, 4 oraz 5 stanowi ˛a przedmiot planowanych publikacji.

(15)

WST ˛EP xiii

Rozdział 1: Wiadomo´sci wst˛epne

Rozdział 1 zawiera poj˛ecia wst˛epne z zakresu matematyki dyskretnej, topo-logii ogólnej, algebraicznej oraz tzw. topotopo-logii w niesko ńczono´sci, a tak ˙ze teorii punktów stałych. Wiele uwagi po´swi˛ecamy zbiorom cz˛e´sciowo uporz ˛ adkowa-nym, kompleksom symplicjalnym oraz wi ˛a ˙z ˛acym je funktorom P, K; lematom o typie homotopijnym przestrzeni powstałych przez sklejenia (zwłaszcza dokle-janie komórek); funktorowi zbioru ko ńców E; uzwarceniu Freudenthala; homolo-giom lokalnie sko ńczonym oraz homolohomolo-giom w niesko ńczono´sci; poj˛eciom prze-strzeni oswojonej do wewn ˛atrz (oswojonej na zewn ˛atrz) oraz przestrzeni z koł-nierzykiem do wewn ˛atrz (z kołnierzykiem na zewn ˛atrz); uogólnionej liczbie Le-fschetza Λ (okre´slonej przy u˙zyciu ´sladu Leraya dla tzw. dopuszczalnych, ci ˛a-głych odwzorowa ń przestrzeni, których homologie nie musz ˛a być sko ńczonego typu); indeksowi punktów stałych Ind.

Rozdział 2: Mocny typ homotopijny

W rozdziale 2 rozszerzamy podan ˛a przez Stonga [221] „klasyfikacj˛e” typów homotopijnych sko ´nczonych przestrzeni topologicznych na klas˛e przestrzeni Aleksandrowa bez promieni. Korzystamy przy tym z poj˛ecia rozbieralno´sci (w uj˛eciu Schrödera [202]). Wiele spo´sród wyników rozdziału jest wykorzysty-wanych w dalszej cz˛e´sci rozprawy.

Jak wspominali´smy, dowolnemu cz˛e´sciowemu porz ˛adkowi (P,6) mo ˙zemy przyporz ˛adkowa´c pewn ˛a przestrze ´n topologiczn ˛a Aleksandrowa(P, τ); otwart ˛a baz˛e topologii tej przestrzeni stanowi rodzina

{q ∈ P : q6 p} : p∈ P .

Przyporz ˛adkowanie to jest funktorialne (funkcje zachowuj ˛ace porz ˛adek s ˛a ci ˛ a-głe wzgl˛edem wyznaczonych przez porz ˛adek topologii Aleksandrowa) i jest izo-morfizmem mi˛edzy kategori ˛a cz˛e´sciowych porz ˛adków a kategori ˛a T0przestrzeni

Aleksandrowa. Wobec tego T0 przestrzenie Aleksandrowa oraz cz˛e´sciowe

po-rz ˛adki uto ˙zsamiamy ze sob ˛a.

Element p ∈ P cz˛e´sciowego porz ˛adku P nazywamy nieredukowalnym, je ˙zeli zbiór{q ∈ P : q> p}ma element najmniejszy b ˛ad´z zbiór{q ∈ P : q< p}ma ele-ment najwi˛ekszy; istnieje wówczas mocna retrakcja deformacyjna P→ Pr {p}.

Je´sli zbiór P jest sko ńczony oraz mo ˙zna znale´zć sko ńczony ci ˛ag P=P0⊇ P1 ⊇. . . ⊇Pn

o tej własno´sci, ˙ze dla ka ˙zdego 0 < i 6 n istnieje punkt nieredukowalny pi ∈ Pi

taki, ˙ze Pi =Pi−1r {pi}, to mówimy, ˙ze P jest rozbieralny do Pn. Cz˛e´sciowy porz ˛

a-dek nie zawieraj ˛acy punktów nieredukowalnych nazywamy rdzeniem. Oczywi-´scie ka ˙zdy sko ´nczony cz˛e´sciowy porz ˛adek jest rozbieralny do swojego podzbioru b˛ed ˛acego rdzeniem. Stong [221, Theorem 4] wykazał, ˙ze sko ´nczone przestrzenie

(16)

topologiczne P, Q s ˛a homotopijnie równowa ˙zne wtedy i tylko wtedy, gdy ich rdzenie s ˛a homeomorficzne.

Poj˛ecie rozbieralno´sci oraz jego odpowiedniki w innych kategoriach (np. gra-fów czy kompleksów symplicjalnych) maj ˛a liczne zastosowania w wielu gał˛e-ziach matematyki (np. logice [135], algebrze uniwersalnej [136, 137], teorii gier [166], zagadnieniach kolorowania grafów [59], teorii w˛ezłów [184], geometrycz-nej teorii grup [57, 108], teorii procesów stochastycznych i fizyce statystycz-nej [47, 68]). Znane s ˛a równie ˙z jego odpowiedniki dla niesko ńczonych cz˛e´scio-wych porz ˛adków; korzystamy z jednego z tych uogólnie ń [202]. Symbolem P && Q oznaczamy fakt, ˙ze cz˛e´sciowy porz ˛adek P jest C-rozbieralny do swo-jego podzbioru Q, tzn. istnieje pozasko ńczony ci ˛ag rφ,φ+1: Pφ →Pφ+1

φ<α

moc-nych retrakcji deformacyjmoc-nych o pewmoc-nych dodatkowych własno´sciach i taki, ˙ze P0 =P oraz Pα =Q.

Mówimy, ˙ze przestrze ´n Aleksandrowa jest bez promieni, je ˙zeli stowarzyszony z ni ˛a cz˛e´sciowy porz ˛adek jest bez promieni, tzn. nie istnieje ró ˙znowarto´sciowy ci ˛ag jego elementów, którego ka ˙zde dwa kolejne wyrazy s ˛a porównywalne. Po-ni ˙zsze twierdzePo-nie stanowi główny wyPo-nik rozdziału, uogólPo-niaj ˛acy twierdzenie Stonga [221, Theorem 4]; cz˛e´sciowy wynik tego typu stanowił temat publika-cji autora [129] oraz jego pracy magisterskiej [130]. (Twierdzenia dowodzimy w mocniejszej ni ˙z nast˛epuj ˛aca, ekwiwariantnej wersji; dla prostoty w poni ˙zszym sformułowaniu pomin˛elismy działanie grupy.)

Twierdzenie (2.2.21). Je´sli X, Y s ˛a przestrzeniami Aleksandrowa bez promieni, to istniej ˛a rdzenie XC, YC b˛ed ˛ace ich mocnymi retraktami deformacyjnymi i takie, ˙ze X && XC oraz Y && YC. Przestrze ´n X jest homotopijnie równowa˙zna przestrzeni Y wtedy i tylko wtedy, gdy rdzenie XC, YC s ˛a homeomorficzne.

Interesuj ˛acym wnioskiem z rozwa ˙za ´n rozdziału jest nast˛epuj ˛acy wynik, doty-cz ˛acy nieistnienia nietrywialnych H-przestrzeni oraz ko-H-przestrzeni Aleksan-drowa bez promieni. Uogólnia on twierdzenia Helmstutlera i Vaughna [107, The-orem 8] oraz Stonga [221, Section 5].

Stwierdzenie (2.2.25, 2.2.26). Niech (X, p) b˛edzie przestrzeni ˛a Aleksandrowa bez promieni, z punktem wyró˙znionym p ∈ X. Je˙zeli istnieje ci ˛agłe odwzorowanie

µ : X×X →X takie, ˙ze (X, p, µ) jest H-przestrzeni ˛a, b ˛ad´z ci ˛agłe odwzorowanie η: X →X∨X takie, ˙ze(X, p, η) jest ko-H-przestrzeni ˛a, to przestrze ´n X jest ´sci ˛agalna

do punktu p.

Wprowadzamy w pewnym sensie dualne do rozbieralno´sci poj˛ecie korozbie-ralno´sci. O ile C-rozbieralno´s´c przestrzeni P do jej podprzestrzeni Q intuicyjnie oznacza usuwanie kolejno pewnych elementów z P, a ˙z otrzyma si˛e Q, o tyle

C-korozbieralno´s´c P z Q, oznaczana przez Q %% P, polega na dodawaniu do Q elementów, a ˙z do uzyskania zbioru P. Godny uwagi wydaje si˛e nast˛epuj ˛acy wynik.

Twierdzenie (2.2.11). Je˙zeli X jest przestrzeni ˛a Aleksandrowa bez promieni oraz A ⊆X, to X && A wtedy i tylko wtedy, gdy A %%X.

(17)

WST ˛EP xv

Poj˛ecia C-rozbieralno´sci oraz C-korozbieralno´sci przenosimy na kompleksy symplicjalne. Definiujemy przy ich u ˙zyciu, wzoruj ˛ac si˛e na definicji pro-stego typu homotopijnego, mocny typ homotopijny kompleksu symplicjalnego oraz przedstawiamy bliskie zwi ˛azki symplicjalnej i teorioporz ˛adkowej wersji (ko)rozbieralno´sci. W szczególno´sci otrzymujemy symplicjalny odpowiednik cy-towanego wy ˙zej twierdzenia 2.2.21, tj. „klasyfikacj˛e” mocnych typów homotopij-nych kompleksów symplicjalhomotopij-nych bez promieni. Inspiracj ˛a dla tego fragmentu rozdziału były podobne wyniki podane w przypadku sko ´nczonym przez Bar-maka i Miniana [31].

Rozdział 3: Dyskretna teoria Morse’a

Rozdział 3 po´swi˛econy jest dyskretnej teorii Morse’a na obiektach niezwar-tych. Rozwa ˙zania prowadzimy korzystaj ˛ac z poj˛ecia skojarzenia Morse’a, wpro-wadzonego przez Chariego [55], które stanowi dyskretyzacj˛e poj˛ecia gradiento-wego pola wektorogradiento-wego. Przypomnijmy zatem jego definicj˛e.

Skojarzeniem w grafie skierowanym nazywamy ka ˙zd ˛a tak ˛a rodzin˛e jego w˛edzi, ˙ze ˙zaden wierzchołek tego grafu nie jest elementem dwóch ró ˙znych kra-w˛edzi nale ˙z ˛acych do tej rodziny. Skojarzenie M w grafie skierowanym D nazy-wamy acyklicznym, je ˙zeli graf skierowany utworzony z D przez zmian˛e orientacji kraw˛edzi nale ˙z ˛acych do M nie zawiera cykli. Niech X b˛edzie regularnym CW kompleksem. PrzezH(X)oznaczmy graf skierowany, którego wierzchołkami s ˛a komórki CW kompleksu X, za´s kraw˛edziami takie pary(τ, σ)komórek, ˙ze σ jest

´scian ˛a τ kowymiaru 1. Acykliczne skojarzenie M w grafie H(X)nazywamy sko-jarzeniem Morse’a na CW kompleksie X. Mówimy, ˙ze komórka CW kompleksu X jest krytyczna wzgl˛edem skojarzenia Morse’a M, je´sli nie nale ˙zy do ˙zadnej kra-w˛edzi tego skojarzenia. Dla ka ˙zdej liczby i ∈ N przez CM

i (X) oznaczamy zbiór

i-wymiarowych komórek krytycznych CW kompleksu X wzgl˛edem skojarzenia M, za´s przez c_iM(X)moc tego zbioru.

Je´sli X jest zwartym, regularnym CW kompleksem, za´s M jest skojarzeniem Morse’a na X, to istnieje CW kompleks XM, którego i-wymiarowe komórki s ˛a,

dla ka ˙zdej liczby i ∈ N, we wzajemnie jednoznacznej odpowiednio´sci z

elemen-tami zbioru CM

i (X). Wynik ten, uzyskany przez Formana [81, Corollary 3.5],

na-zywamy głównym twierdzeniem dyskretnej teorii Morse’a. Oznaczmy i-t ˛a liczb˛e Bettiego CW kompleksu X przez βi(X). Z głównego twierdzenia dyskretnej

teo-rii Morse’a wynikaj ˛a poni ˙zsze dyskretne nierówno´sci Morse’a [81, Corollaries 3.6, 3.7], prawdziwe dla ka ˙zdej liczby naturalnej n:

n

∑

i=0 (−1)n−ic_iM(X) > n

∑

i=0 (−1)n−iβi(X), (1) c_nM(X) > βn(X). (2)

(18)

Ponadto charakterystyka Eulera CW kompleksu X wyra ˙za si˛e wzorem: χ(X) = dim(X)

∑

i=0 (−1)icM_i (X). (3)

Wyniki te s ˛a dyskretnymi odpowiednikami twierdze ´n klasycznej, gładkiej teorii Morse’a (por. [155]). Podobnie jak gładki pierwowzór, dyskretna teoria Morse’a znalazła liczne zastosowania, np. w kombinatoryce [116], topologii ob-liczeniowej [104, 195], algebrze przemiennej [114], analizie obrazów [191], fizyce [71], teorii grup [74]. Pod pewnymi wzgl˛edami jej mo ˙zliwo´sci s ˛a porównywalne, a nawet wi˛eksze ni ˙z teorii gładkiej [33, 89].

Główne twierdzenie rozdziału 3 uogólnia powy ˙zsze wyniki Formana na nie-zwarte CW kompleksy. Zanim je sformułujemy, przypomnijmy kilka definicji.

Je ˙zeli X jest regularnym CW kompleksem, za´s M skojarzeniem Morse’a na X, to przez H_M(X) oznaczamy graf powstały z H(X) przez zmian˛e orientacji kraw˛edzi nale ˙z ˛acych do M. Ci ˛ag(σi)i∈N komórek kompleksu X nazywamy

pro-mieniem malej ˛acym [13] wHM(X), je ˙zeli dla ka ˙zdej liczby i ∈N para(σi, σi+1)jest

kraw˛edzi ˛a grafuHM(X). Mówimy, ˙ze dwa promienie malej ˛ace (σi)i∈N, (τi)i∈N

s ˛a równowa˙zne [13], o ile istniej ˛a m, n ∈ N takie, ˙ze σ_m+i = τn+i dla ka ˙zdej

liczby naturalnej i. Mo ˙zna wykaza´c, ˙ze je´sli(σi)i∈N jest promieniem malej ˛acym,

to istnieje liczba d ∈ N, zwana wymiarem promienia (σi)i∈N, o tej własno´sci, ˙ze dim(σi) ∈ {d, d+1} dla wszystkich odpowiednio du ˙zych i ∈ N.

Oczywi-´scie równowa ˙zne promienie maj ˛a ten sam wymiar. Dla ka ˙zdej liczby i∈N niech RM

i (X)oznacza zbiór klas równowa ˙zno´sci promieni malej ˛acych wymiaru i, za´s

r_iM(X)moc tego zbioru.

Twierdzenie(3.4.9). Niech X b˛edzie regularnym CW kompleksem z zadanym skojarze-niem Morse’a M takim, ˙ze rodzina klas równowa˙zno´sci promieni malej ˛acych wHM(X)

jest sko ´nczona. Wówczas CW kompleks X jest homotopijnie równowa˙zny CW komplek-sowi XMo tej własno´sci, ˙ze dla ka˙zdej liczby naturalnej n zbiór n-wymiarowych komórek

CW kompleksu XMjest równoliczny ze zbioremCnM(X) ∪ RnM(X).

Przy zało ˙zeniu o braku promieni malej ˛acych w H_M(X) analogiczny wynik uzyskany został (o czym autor rozprawy dowiedział si˛e stosunkowo pó´zno) przez Orlika i Welkera [170, Theorem 4.2.14], którzy ponadto (kosztem dodat-kowych zało ˙ze ´n o skojarzeniu Morse’a) nie wymagaj ˛a regularno´sci CW kom-pleksu X. Podobne twierdzenie, dotycz ˛ace zbiorów symplicjalnych, zawiera rów-nie ˙z praca Browna [48, Proposition 1], który stosuje je do upraszczania struk-tury przestrzeni klasyfikuj ˛acych grup i monoidów. Zało ˙zenia sformułowanego wy ˙zej twierdzenia dopuszczaj ˛a istnienie promieni malej ˛acych; jest ono w tym sensie ogólniejsze ni ˙z wyniki Browna oraz Orlika i Welkera. Ponadto wersja twierdzenia dowiedziona w rozdziale 3 dotyczy nie tylko CW kompleksów (jak w powy ˙zszym sformułowaniu), ale tak ˙ze wprowadzonych przez Miniana [157] h-regularnych cz˛e´sciowych porz ˛adków.

(19)

WST ˛EP xvii

Jako wniosek otrzymujemy dyskretne nierówno´sci Morse’a, uogólniaj ˛ace (1), (2), (3) oraz wyniki, które uzyskali Ayala, Férnandez i Vilches [9, Theorem 3.8], [11, Theorem 3.1]).

Stwierdzenie (3.4.10). Niech X b˛edzie regularnym CW kompleksem z zadanym sko-jarzeniem Morse’a M takim, ˙ze rodzina klas równowa˙zno´sci promieni malej ˛acych wHM(X)jest sko ´nczona. Dla ka˙zdej liczby naturalnej n maj ˛a miejsce nierówno´sci:

cMn (X) +rnM(X) > βn(X) oraz n

∑

i=0 (−1)n−icM_i (X) +r_iM(X)> n

∑

i=0 (−1)n−iβi(X),

o ile ci(M) +ri(M) < ∞ dla wszystkich i 6n. Ponadto, je˙zeli c_iM(X) +r_iM(X) < ∞

dla wszystkich i ∈ N oraz liczby te s ˛a niezerowe jedynie dla sko´nczenie wielu indeksów

i ∈N, to charakterystyka Eulera CW kompleksu X wyra˙za si˛e wzorem

χ(X) =

∞

∑

i=0

(−1)ic_iM(X) +r_iM(X).

Głównego twierdzenia dyskretnej teorii Morse’a dowodzimy równie ˙z w wer-sji algebraicznej, dotycz ˛acej kompleksów ła ´ncuchowych. Korzystamy przy tym z wyników Jöllenbecka [114], które w niewielkim stopniu uogólniamy.

Mówimy, ˙ze regularny CW kompleks X jest ∞-zgniatalny do podkompleksu Y, o ile istnieje skojarzenie Morse’a na X, komórki krytyczne wzgl˛edem któ-rego tworz ˛a ten podkompleks, i takie, ˙ze H_M(X) nie zawiera promieni ma-lej ˛acych. Podkompleks Y jest wówczas mocnym retraktem deformacyjnym X. (Dla zwartych, regularnych CW kompleksów ∞-zgniatalno´s´c pokrywa si˛e z klasycznym poj˛eciem zgniatalno´sci [61].) Podajemy zwi ˛azki ∞-zgniatalno´sci z (ko)rozbieralno´sci ˛a kompleksów symplicjalnych oraz cz˛e´sciowych porz ˛adków, które nast˛epnie wykorzystujemy w dowodzie twierdzenia uogólniaj ˛acego niepu-blikowany wynik Baclawskiego [15] dotycz ˛acy typu homotopijnego kompleksu symplicjalnego stowarzyszonego ze ´sci˛et ˛a (tzn. pozbawion ˛a elementu najwi˛ek-szego 1L oraz najmniejszego 0L) krat ˛a L bez dopełnie ´n (czyli tak ˛a, ˙ze dla pewnego

elementu x nie istnieje element y o tej własno´sci, i ˙z x∨y = 1L oraz x∧y = 0L).

Twierdzenia tego typu maj ˛a dług ˛a i interesuj ˛ac ˛a histori˛e (por. [16, 17, 19, 39, 41, 63, 125]).

Twierdzenie(3.6.12). Je˙zeli L jest krat ˛a z zerem i jedynk ˛a, bez dopełnie ´n, to kompleks symplicjalnyK(Lr {1L, 0L})jest∞-zgniatalny do punktu (a zatem jego realizacja

geo-metryczna jest ´sci ˛agalna).

Stosujemy dyskretn ˛a teori˛e Morse’a do opisu własno´sci topologii w niesko ´n-czono´sci spójnego, lokalnie zwartego, regularnego CW kompleksu. Do sformu-łowania udowodnionych stwierdze ´n potrzebne jest poj˛ecie promienia rosn ˛acego. Je´sli M jest skojarzeniem Morse’a na regularnym CW kompleksie X, to promie-niem rosn ˛acym [13] w HM(X) nazywamy taki ci ˛ag (σi)i∈N komórek CW

(20)

Stwierdzenie (3.7.1, 3.7.5). Niech X b˛edzie spójnym, lokalnie zwartym, regularnym CW kompleksem z zadanym dyskretnym skojarzeniem Morse’a M takim, ˙ze zbiór komó-rek krytycznych jest sko ´nczony. Je˙zeli H_M(X) nie zawiera promieni malej ˛acych (pro-mieni rosn ˛acych), to CW kompleks X ma kołnierzyk do wewn ˛atrz (kołnierzyk na ze-wn ˛atrz).

W ko ´ncowej cz˛e´sci rozdziału podajemy opis skojarze ´n Morse’a w terminach (uogólnionych) dyskretnych funkcji Morse’a.

Rozdział 4: Punkty i ko ´nce stałe odwzorowa ´n przestrzeni lokalnie

zwar-tych

Rozdział 4 rozpoczyna drug ˛a cz˛e´sć rozprawy, po´swi˛econ ˛a punktom sta-łym. Dla zrozumienia jego wyników nieodzowne jest przyswojenie sobie poj˛e-cia ko ńca lokalnie zwartej przestrzeni topologicznej X. Załó ˙zmy, ˙ze X jest spój-nym, lokalnie zwartym ANR-em (tzn. absolutnym retraktem otoczeniowym ze wzgl˛edu na przestrzenie metryczne). Ko ńcem [154] przestrzeni X nazywamy funkcj˛e

ε: {C ⊆X : C jest zwarty} → 2Xr {∅}

tak ˛a, ˙ze dla wszystkich zbiorów zwartych C, D⊆ X spełnione s ˛a warunki: — zbiór ε(C)jest składow ˛a spójno´sci przestrzeni XrC;

— je ˙zeli D⊆C, to ε(C) ⊆ ε(D).

Zbiór wszystkich ko ńców przestrzeni X oznaczamy symbolem E(X). (Dla przy-kładu, zbiór E(R) jest dwuelementowy, zbiór E(R2) jednoelementowy, za´s E(X) = ∅ dla ka˙zdej zwartej przestrzeni X.) Końce intuicyjnie uto˙zsamiać mo˙zna

z „kierunkami zbie ˙zno´sci do niesko ´nczono´sci” w przestrzeni X. Mówimy, ˙ze ci ˛ a-głe odwzorowanie f : X → Y jest wła´sciwe, je ˙zeli f−1(C) jest zbiorem zwartym dla ka ˙zdego zwartego podzbioru C ⊆ Y. Odwzorowanie takie indukuje funk-cj˛e E(f): E(X) → E(Y). Je ˙zeli f : X → X jest wła´sciwym odwzorowaniem, to punkt stały funkcji E(f): E(X) → E(X)nazywamy ko ´ncem stałym odwzorowania f . Rozdział 4 po´swi˛econy jest twierdzeniom, które przy pewnych zało ˙zeniach o wła´sciwej funkcji f : X → X gwarantuj ˛a, ˙ze ma ona punkt stały lub koniec stały.

Analogiczne zagadnienie dla homomorfizmów lokalnie sko ńczonych grafów rozwa ˙zał Halin [96]; w przypadku funkcji ci ˛agłych zbli ˙zone pomysły naszkico-wane zostały w artykule Weinbergera [231]. Autor nie wie o innych pracach do-tykaj ˛acych problemu istnienia punktu lub ko ńca stałego wła´sciwego odwzoro-wania ci ˛agłego. Istnieje natomiast spora liczba publikacji dotycz ˛acych ko ńców stałych działa ń grup (zob. np. [98, 158]).

Dowodz ˛ac twierdzenia o punkcie lub ko ńcu stałym wygodnie jest zało ˙zyć, ˙ze odwzorowanie f : X → X nie ma ko ńców stałych i przy tym zało ˙zeniu wykazy-wać istnienie punktu stałego. Tak te ˙z czynimy. Nast˛epuj ˛ace twierdzenia nale ˙z ˛a do głównych wyników rozdziału.

(21)

WST ˛EP xix

Twierdzenie(4.2.1). Niech X b˛edzie oswojonym do wewn ˛atrz, lokalnie zwartym, spój-nym ANR-em, za´s f : X → X wła´sciwym odwzorowaniem. Je˙zeli przekształcenie f nie ma ko ´nców stałych, to jest ono dopuszczalne (tzn. liczba Λ(f) jest dobrze okre´slona) orazΛ(f) =Ind(f)(w szczególno´sci, je´sliΛ(f) 6=0, to f ma punkt stały).

Twierdzenie(4.2.11). Niech X b˛edzie oswojonym na zewn ˛atrz, lokalnie zwartym, spój-nym ANR-em, za´s f : X → X wła´sciwym odwzorowaniem. Je˙zeli przekształcenie f jest dopuszczalne, nie ma ko ´nców stałych orazΛ(f) 6=0, to f ma punkt stały.

Twierdzenie(4.3.9, 4.3.10). Niech K b˛edzie lokalnie sko ´nczonym kompleksem sympli-cjalnym, za´s ϕ : K →K odwzorowaniem symplicjalnym, którego realizacja geometryczna

|φ|: |K| → |K|jest wła´sciwa. Je´sli przekształcenie|φ|jest dopuszczalne i nie ma ko ´nców

stałych, to zachodzi równo´s´c uogólnionej liczby Lefschetza, indeksu punktów stałych oraz charakterystyki Eulera zbioru punktów stałych:Λ(|ϕ|) =Ind(|ϕ|) = χ(Fix(|φ|)).

Definiujemy koniec lokalnie sko ńczonego cz˛e´sciowego porz ˛adku. Podobnie jak w przypadku ci ˛agłym wła´sciwe (tzn. takie, ˙ze przeciwobraz zbioru sko ń-czonego jest sko ńczony) odwzorowanie zachowuj ˛ace porz ˛adek mi˛edzy lokal-nie sko ńczonymi cz˛e´sciowymi porz ˛adkami indukuje przekształcenie zbiorów ich ko ńców. Mówimy, ˙ze cz˛e´sciowy porz ˛adek ma własno´sć punktu lub ko ńca stałego, o ile ka ˙zde jego wła´sciwe, zachowuj ˛ace porz ˛adek przekształcenie w siebie ma punkt stały lub koniec stały. Wi ˛a ˙zemy t˛e własno´sć z wprowadzonymi w rozdziale 2 poj˛eciami rozbieralno´sci oraz korozbieralno´sci, otrzymuj ˛ac nast˛epuj ˛acy wynik (oraz jego symplicjalny odpowiednik), którego sko ńczona wersja [204, Theorem 4.2.5] pełni wa ˙zn ˛a rol˛e w teorii punktów stałych odwzorowa ń zachowuj ˛acych porz ˛adek.

Twierdzenie (4.3.17, 4.3.20). Niech P, Q b˛ed ˛a lokalnie sko ńczonymi cz˛e´sciowymi po-rz ˛adkami. Je˙zeli P&&Q, to P ma własno´sć punktu lub ko ńca stałego wtedy i tylko wtedy, gdy Q ma t˛e własno´sć. Je˙zeli Q %%P oraz Q ma własno´sć punktu stałego, to P ma wła-sno´sć punktu lub ko ńca stałego.

Nawi ˛azujemy równie ˙z do postawionego przez Kuratowskiego [134] pro-blemu dotycz ˛acego zachowywania własno´sci punktu stałego przez operacj˛e ilo-czynu kartezja ´nskiego przestrzeni topologicznych. Przypomnijmy, ˙ze jego roz-wi ˛azanie jest negatywne nawet w przypadku, gdy jedna z rozwa ˙zanych prze-strzeni jest zwartym wielo´scianem, za´s druga odcinkiem jednostkowym [51]. Po-zytywna jest natomiast odpowied´z na analogiczne pytanie dotycz ˛ace sko ´nczo-nych cz˛e´sciowych porz ˛adków [192]. Uogólniamy ten wynik, dowodz ˛ac nast˛epu-j ˛acego faktu.

Stwierdzenie (4.3.25). Je´sli P, X s ˛a spójnymi, lokalnie sko ńczonymi cz˛e´sciowymi po-rz ˛adkami maj ˛acymi własno´sć punktu lub ko ńca stałego, to cz˛e´sciowy porz ˛adek P×X równie˙z ma t˛e własno´sć.

(22)

Rozdział 5: Punkty stałe odwzorowa ´n przestrzeni bez promieni

Ostatni rozdział rozprawy po´swi˛econy jest twierdzeniom o niepusto´sci oraz strukturze zbioru punktów stałych odwzorowania symplicjalnego kompleksu symplicjalnego bez promieni w siebie (oraz zachowuj ˛acego porz ˛adek odwzoro-wania cz˛e´sciowego porz ˛adku bez promieni w siebie). Badamy równie ˙z zbiory punktów stałych działa ´n grup na kompleksach symplicjalnych i cz˛e´sciowych po-rz ˛adkach bez promieni.

S ˛a znane liczne twierdzenia o istnieniu podzbioru niezmienniczego homo-morfizmu grafu bez promieni w siebie [73, 97, 165, 174–177, 180–183, 200]. Zdecy-dowanie mniej uwagi zyskał ci ˛agły wariant tego problemu, cho´c i tu uzyskano pewne wyniki: Okhezin [168] udowodnił mi˛edzy innymi, ˙ze ka ˙zde ci ˛agłe, ho-motopijne z funkcj ˛a stałej odwzorowanie wielo´scianu bez promieni w siebie ma punkt stały, a tak ˙ze, ˙ze ´sci ˛agalny wielo´scian ma własno´s´c punktu stałego wtedy i tylko wtedy, gdy jest przestrzeni ˛a bez promieni.

Wpisuj ˛ac si˛e w ten nurt bada ´n, dowodzimy, ˙ze opublikowane niedawno twierdzenie Baclawskiego [17, Theorem 32], dotycz ˛ace istnienia sympleksu sta-łego odwzorowania symplicjalnego sko ´nczonego, zgniatalnego do punktu kom-pleksu symplicjalnego w siebie, pozostaje prawdziwe dla ∞-zgniatalnych do punktu kompleksów symplicjalnych bez promieni.

Twierdzenie (5.1.5). Je˙zeli K jest ∞-zgniatalnym do punktu kompleksem symplicjal-nym bez promieni, to dla ka˙zdego odwzorowania symplicjalnego ϕ : K→K istnieje sym-pleks σ komsym-pleksu K taki, ˙ze ϕ(σ) =σ.

Samo twierdzenie jest prostym wnioskiem ze wspomnianego wcze´sniej wy-niku Okhezina; zamieszczamy je w rozprawie ze wzgl˛edu na dowód, który jest „czysto kombinatoryczny”, tzn. nie korzysta z argumentów topologicznych czy algebraicznych. (Nie ró ˙zni si˛e on mocno od dowodu Baclawskiego [17] sko ´nczo-nej wersji twierdzenia.)

Jako wniosek z powy ˙zszego twierdzenia oraz wyników rozdziału 3 otrzy-mujemy nast˛epuj ˛ace twierdzenie, daj ˛ace cz˛e´sciow ˛a odpowied´z na pytanie po-stawione przez Björnera [39, s. 98].

Twierdzenie(5.1.11). Je˙zeli L jest krat ˛a z zerem i jedynk ˛a, bez dopełnie ´n i bez promieni, to cz˛e´sciowy porz ˛adek Lr {1L, 0L}ma własno´s´c punktu stałego.

Oprócz dowodów sko ńczonych wersji wymienionych wy ˙zej twierdze ń praca Baclawskiego zawiera nast˛epuj ˛ac ˛a hipotez˛e [17, Conjecture 34]: je´sli P jest sko ń-czonym cz˛e´sciowym porz ˛adkiem o tej własno´sci, ˙ze kompleks symplicjalny K(P) jest zgniatalny do punktu, za´s f : P → P jest zachowuj ˛acym porz ˛adek odwzorowaniem, to kompleks symplicjalny K(Fix(f)) (gdzie Fix(f) oznacza zbiór punktów stałych funkcji f ) równie˙z jest zgniatalny do punktu. Przy pomocy wyników uzyskanych przez Adiprasito i Benedettiego [3] oraz Olivera [169] wykazujemy, ˙ze hipoteza ta jest fałszywa: kompleksK(Fix(f))nie musi być nawet spójny. Uzyskujemy jed-nak równie ˙z, w oparciu o prace Segeva [206,207], nast˛epuj ˛acy rezultat, dotycz ˛acy cz˛e´sciowej prawdziwo´sci hipotezy Baclawskiego w niskich wymiarach.

(23)

WST ˛EP xxi

Stwierdzenie (5.2.20). Niech P b˛edzie sko ´nczonym cz˛e´sciowym porz ˛adkiem, za´s f : P → P zachowuj ˛acym porz ˛adek odwzorowaniem. Załó˙zmy, ˙ze kompleks K(P) jest zgniatalny. Wówczas:

— je˙zeli dim(K(P)) 62, to kompleks symplicjalnyK(Fix(f))jest zgniatalny; — je˙zeli dim(K(P)) =3, to kompleks symplicjalnyK(Fix(f))jest acykliczny.

Wnioskujemy st ˛ad, ˙ze je´sli K jest sko ´nczonym, zgniatalnym kompleksem sym-plicjalnym wymiaru co najwy˙zej 2, to zbiór punktów stałych realizacji geometrycz-nej dowolnego odwzorowania symplicjalnego K w siebie jest ´sci ˛agalny; je´sli natomiast dim(K) =3, to zbiór ten jest acykliczny.

W teorii cz˛e´sciowych porz ˛adków znanych jest kilka twierdze ń dotycz ˛acych struktury zbioru punktów stałych (por. [18, 66, 202]). Zazwyczaj dotycz ˛a one jed-nak sko ńczonych zbiorów uporz ˛adkowanych (jednym z wyj ˛atków jest twierdze-nie Tarskiego [223] o zupełnych kratach). Jak wspominali´smy, wiadomo na przy-kład, ˙ze zbiór punktów stałych zachowuj ˛acego porz ˛adek odwzorowania sko ń-czonego, rozbieralnego do punktu cz˛e´sciowego porz ˛adku w siebie jest rozbie-ralny do punktu [66]. O uogólnienia tego wyniku na niesko ńczone cz˛e´sciowe porz ˛adki pytał Schröder [204, s. 136]. Poni ˙zsze twierdzenie, daj ˛ace cz˛e´sciow ˛a od-powied´z na jego pytanie, jest jednym z najwa ˙zniejszych wyników rozdziału.

Twierdzenie (5.2.6). Niech P b˛edzie cz˛e´sciowym porz ˛adkiem bez promieni, za´s f : P→ P zachowuj ˛acym porz ˛adek odwzorowaniem. Je˙zeli P && ∗, to Fix(f) && ∗.

Jako wniosek otrzymujemy symplicjalny odpowiednik powy ˙zszego twier-dzenia: je˙zeli K jest kompleksem symplicjalnym, ϕ : K → K jest odwzorowaniem sym-plicjalnym oraz K && ∗, to zbiór Fix(|ϕ|) punktów stałych realizacji geometrycznej

tego odwzorowania jest ´sci ˛agalny.

Wspominali´smy równie ˙z, ˙ze podobny wynik jest znany dla działa ń grup na sko ńczonych kompleksach symplicjalnych: je ˙zeli grupaΓ działa na skończonym, rozbieralnym do punktu kompleksie symplicjalnym K, to zbiór punktów stałych działania indukowanego na realizacji geometrycznej K jest ´sci ˛agalny [31, 108]. (Kontrastuje to z twierdzeniami dotycz ˛acymi działa ń grup na sko ńczonych kom-pleksach symplicjalnych o ´sci ˛agalnej realizacji geometrycznej: znane s ˛a nawet ta-kie działania bez punktów stałych [80]; badanie struktury zbioru punktów sta-łych działania grupy na sko ńczonym i acyklicznym, ´sci ˛agalnym czy zgniatalnym kompleksie symplicjalnym ma dług ˛a tradycj˛e i stanowi ´zródło wielu interesuj ˛ a-cych problemów [169, 206, 207, 216]).

Wykazujemy, ˙ze sko ńczono´sć kompleksu K mo ˙zna zast ˛apić brakiem pro-mieni: je˙zeli grupaΓ działa na kompleksie symplicjalnym bez promieni K oraz K && ∗, to zbiór punktów stałych działania indukowanego na realizacji geometrycznej tego kom-pleksu jest ´sci ˛agalny. Podobnie jak wy ˙zej fakt ten uzyskujemy jako wniosek z po-dobnego wyniku dotycz ˛acego cz˛e´sciowych porz ˛adków.

Stwierdzenie(5.2.1). Je´sli P jest cz˛e´sciowym porz ˛adkiem bez promieni, z zadanym dzia-łaniem grupyΓ oraz P&& ∗, to PΓ && ∗.

(24)

C

O DALEJ

?

Rozprawa nie wyczerpuje tematu „niezwartej topologii kombinatorycznej”; wskazuje natomiast mo ˙zliwy kierunek dalszych bada ń. Cz˛e´sć nie zrealizowa-nych w niej pomysłów uj˛eta została w formie stawiazrealizowa-nych w poszczególzrealizowa-nych roz-działach problemów otwartych; dla wygody Czytelnika zostały one dodatkowo zebrane pod koniec rozprawy. Niektóre odnale´zć mo ˙zna „mi˛edzy wierszami”. Kilka lu´znych my´sli przedstawiamy w poni ˙zszych akapitach. Poniek ˛ad dotycz ˛a one „braków” rozprawy; jednak to wła´snie braki i niedopowiedzenia cz˛esto sta-nowi ˛a motywacj˛e do dalszych poszukiwa ń.

W rozdziale 2, w przypadku wielu lematów dotycz ˛acych zwi ˛azków (ko)rozbieralno´sci cz˛e´sciowych porz ˛adków z (ko)rozbieralno´sci ˛a kompleksów symplicjalnych mo ˙zna postawić pytanie o prawdziwo´sć stwierdze ń do nich od-wrotnych. Warto byłoby wiedzieć, które z implikacji mo ˙zna odwrócić (być mo ˙ze przy wzmocnionych zało ˙zeniach), a tam, gdzie nie jest to mo ˙zliwe, wskazać kontrprzykłady.

Autor nie jest przekonany, ˙ze przyj˛eta w rozdziale 2 definicja mocnego typu homotopijnego niesko ´nczonego kompleksu symplicjalnego jest „t ˛a wła´sciw ˛a”. Ch˛etnie poznałby argumenty pozwalaj ˛ace rozstrzygn ˛a´c ten dylemat.

Cz˛e´sć rozdziału 3 po´swi˛econa jest zwi ˛azkom dyskretnej teorii Morse’a z topo-logi ˛a w niesko ńczono´sci lokalnie sko ńczonego kompleksu symplicjalnego. Cie-kawe byłoby opisanie homologii w niesko ńczono´sci oraz homologii lokalnie sko ńczonych przy u ˙zyciu dyskretnej teorii Morse’a (problem ten sformułował równie ˙z, w li´scie do autora rozprawy, ale niezale ˙znie od niego, Vilches [226]).

Pewien niedosyt autor odczuwa w zwi ˛azku z niewielk ˛a liczb ˛a przykładów zastosowa ń opisanych w rozprawie metod; odczucie to dotyczy zwłaszcza roz-działu 4. Znalezienie nietrywialnego wykorzystania dla jego wyników byłoby bardzo mile widziane. Odno´snie metod rozdziału 3 autor jest przekonany, ˙ze mo ˙zna zastosować je przy badaniu metrycznych kompleksów symplicjalnych w podobny sposób, jak zostało to uczynione w przypadku sko ńczonym w pracy Adiprasito i Benedettiego [2] (zob. te ˙z [23]).

Autor ma przeczucie, ˙ze przedstawione w rozdziale 4 twierdzenia o punkcie lub ko ńcu stałym wła´sciwych odwzorowa ń lokalnie zwartych ANR-ów powinny mieć wspólne uogólnienie.

Szanse powodzenia wydaje si˛e mieć próba poł ˛aczenia wyników rozdziału 4 oraz pracy Okhezina [168]. Autor jest zdania, ˙ze mo ˙zna zdefiniować klas˛e kom-pleksów symplicjalnych „lokalnie bez promieni”, których ograniczone (w od-powiednim sensie) podzbiory nie zawieraj ˛a promieni, a nast˛epnie udowodnić twierdzenie o istnieniu punktu lub ko ńca stałego przy zało ˙zeniu, ˙ze K jest kom-pleksem symplicjalnym „lokalnie bez promieni” o ´sci ˛agalnej realizacji geome-trycznej, spełniaj ˛acym odpowiednik warunku oswojono´sci do wewn ˛atrz, za´s f : |K| → |K| jest ci ˛agłym odwzorowaniem o tej własno´sci, ˙ze zbiór f−1(A) jest bez promieni dla ka ˙zdego podzbioru A ⊆ |K|bez promieni.

(25)

WST ˛EP xxiii

Jedn ˛a z intencji przy´swiecaj ˛acych autorowi przy pisaniu rozprawy było wzbudzenie u Czytelnika zainteresowania wielo´scianami oraz cz˛e´sciowymi po-rz ˛adkami bez promieni. Wydaje si˛e, ˙ze obiekty te, choć s ˛a praktycznie nieobecne w literaturze, maj ˛a wiele „dobrych” własno´sci i mog ˛a stanowić ciekawy temat bada ń.

Podobno [236] William Dwyer porównał kiedy´s prac˛e matematyka do przy-gotowywania obiadu dla grona przyjaciół. Autor ma nadziej˛e, ˙ze sporz ˛adzony przez niego posiłek oka ˙ze si˛e jadalny, i chocia ˙z obj˛eto´sciowo jest do´s´c obfity, nie stanie si˛e dla Czytelnika przyczyn ˛a niestrawno´sci.

(26)

(27)

R

OZDZIAŁ

1 Wiadomo´

sci wst˛

epne

W niniejszym rozdziale zgromadzone zostały definicje, twierdzenia i lematy przydatne w dalszej cz˛e´sci rozprawy. Cz˛e´s´c spo´sród nich jest zupełnie standar-dowa; przy pozostałych podajemy odsyłacze do bibliografii b ˛ad´z dowody.

Nale ˙zy zaznaczy´c, ˙ze wyniki podane w tym rozdziale wraz z dowodami s ˛a prawdopodobnie dobrze znane (by´c mo ˙ze z wyj ˛atkiem lematu 1.4.10, stwierdze-nia 1.4.11 oraz lematu 1.6.4) i nie stanowi ˛a oryginalnego wkładu autora, a jedynie ´swiadcz ˛a o jego trudno´sciach w dotarciu do odpowiednich ´zródeł.

1.1. R

Ó ˙ZNE OZNACZENIA I UWAGI

Definiowane poj˛ecia zapisujemy tekstem pochyłym. Przez wytłuszczenie wy-ró ˙zniamy obowi ˛azuj ˛ace w wi˛ekszym fragmencie rozprawy zało ˙zenia i oznacze-nia.

Zakładamy, ˙ze Czytelnik ma podstawow ˛a wiedz˛e z zakresu algebry, teorii mnogo´sci, topologii (w tym topologii algebraicznej) oraz teorii kategorii.

W rozprawie swobodnie korzystamy z aksjomatu wyboru, nie czyni ˛ac na ten temat dodatkowych uwag.

Litery N, Z, Q, R oznaczaj ˛a kolejno zbiory liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych oraz rzeczywistych (wraz ze standardowymi topologi ˛a, porz ˛ ad-kiem i struktur ˛a algebraiczn ˛a na tych zbiorach).

Moc zbioru A oznaczamy przez|A|. Symbolem A∼ = {[a]∼ : a ∈ A} ozna-czamy rodzin˛e klas abstrakcji elementów zbioru A wzgl˛edem relacji równowa ˙z-no´sci∼na zbiorze A. Je ˙zeli relacja∼jest uto ˙zsamieniem punktów pewnego nie-pustego podzbioru B ⊆ A, zbiór ilorazowy oznaczamy równie ˙z przez A B. Przy u ˙zyciu tego samego symbolu oznaczamy równie ˙z algebraiczne struktury ilora-zowe (np. grupy ilorailora-zowe).

Liter ˛a ω oznaczamy najmniejsz ˛a niesko ´nczon ˛a liczb˛e porz ˛adkow ˛a.

Okre´slenia „funkcja”, „odwzorowanie” oraz „przekształcenie” stosujemy wy-miennie.

Symbol idX: X → X oznacza morfizm to ˙zsamo´sciowy obiektu X. Je ˙zeli

f : X→Y jest funkcj ˛a oraz A ⊆X, to przez f

A: A→Y oznaczamy ograniczenie

(28)

˙ze odwzorowanie i : X → Y jest wło ˙zeniem. Je ˙zeli A ⊆ X, to funkcj˛e r : X → A nazywamy retrakcj ˛a, o ile r(r(x)) = r(x) dla wszystkich x ∈ X. Je´sli i : A ,→ X oznacza wło ˙zenie, to r : X→ A jest retrakcj ˛a wtedy i tylko wtedy, gdy r◦i =idA.

Dla n ∈ N przez Sn _{oznaczamy n-wymiarow ˛}_{a sfer˛e jednostkow ˛}_a_Sn _⊆_Rn+1_,

przezDn domkni˛ety, n-wymiarowy dysk jednostkowyDn ⊆Rn, za´s przezI do-mkni˛ety odcinek jednostkowyI= [0, 1] ⊆ R.

Izomorfizm struktur algebraicznych (grup, pier´scieni itp.) oznaczamy symbo-lem∼=. Wymiar przestrzeni wektorowej V oznaczamy przez dim(V). Symbolem L

i∈IVi oznaczamy sum˛e prost ˛a rodziny przestrzeni wektorowych {Vi}i∈I. Ci ˛ag

V∗ = (Vn)n∈Nprzestrzeni wektorowych nad tym samym ciałem nazywamy prze-strzeni ˛a wektorow ˛a z gradacj ˛a. Je´sli V∗, V∗0s ˛a przestrzeniami wektorowymi z grada-cj ˛a, to ich homomorfizmem zachowuj ˛acym gradacj˛e nazywamy ci ˛ag homomorfizmów liniowych f∗ = (fn: Vn →Vn0)n∈N.

Koprodukt obiektów X, Y (zazwyczaj b˛edzie to suma rozł ˛aczna zbiorów b ˛ad´z przestrzeni topologicznych) oznaczamy przez XtY. Dla oznaczenia koproduktu rodziny obiektów {Xi}i∈I stosujemy symbol äi∈IXi, za´s przez ∏i∈IXi

ozna-czamy produkt tej rodziny.

1.2. M

ATEMATYKA DYSKRETNA

1.2.1. Grafy

Grafem prostym (lub po prostu grafem) nazywamy par˛e G = (V, E) tak ˛a, ˙ze V jest pewnym zbiorem, zwanym zbiorem wierzchołków grafu G, za´s E ⊆ {{v, w} : v, w∈ V}jest zbiorem kraw˛edzi tego grafu.

Grafem skierowanym nazywamy par˛e D = (V, E)tak ˛a, ˙ze V jest pewnym zbio-rem, zwanym zbiorem wierzchołków grafu skierowanego D, za´s E ⊆ V×V jest zbiorem (skierowanych) kraw˛edzi grafu skierowanego D. Je ˙zeli (v, w) ∈ E, to mó-wimy, ˙ze kraw˛ed´z(v, w)wychodzi z wierzchołka v i wchodzi do wierzchołka w. Uwaga 1.2.1. Graf prosty G = (V, E)mo ˙zemy uto ˙zsamia´c z grafem skierowanym G0 = (V, E0), którego zbiorem kraw˛edzi jest E0 = {(v, w) : {v, w} ∈ E}. Z dru-giej strony graf skierowany D = (W, F), którego zbiór kraw˛edzi F ⊆ W×W jest symetryczn ˛a relacj ˛a dwuargumentow ˛a na zbiorze W, mo ˙zemy uto ˙zsamia´c z grafem prostym D0 = (W, F0)o zbiorze kraw˛edzi F0 = {{v, w} : (v, w) ∈ F}.

W oznaczeniach cz˛esto pomija´c b˛edziemy zbiory wierzchołków i kraw˛edzi; przykładowo, pisz ˛ac v ∈ G, {v, w} ∈ G mamy na my´sli przynale ˙zno´s´c wierz-chołka v do zbioru wierzchołków grafu G oraz kraw˛edzi {v, w} do zbioru jego kraw˛edzi.

´Scie˙zk ˛a długo´sci n w grafie skierowanym D prowadz ˛ac ˛a z wierzchołka v0do

wierzchołka vn nazywamy taki sko ´nczony ci ˛ag wierzchołków (v0, . . . , vn) tego

grafu, ˙ze kraw˛ed´z (vi, vi+1) ∈ D dla wszystkich i = 0, . . . , n−1. Niesko ´nczon ˛a

´scie˙zk ˛a w grafie skierowanym D nazywamy taki niesko ´nczony ci ˛ag wierzchołków

(29)

1.2. MATEMATYKA DYSKRETNA 3

(sko ´nczona lub nie) w grafie skierowanym D jest prosta, o ile jej wierzchołki s ˛a parami ró ˙zne. Sko ´nczon ˛a ´scie ˙zk˛e prost ˛a(v0, . . . , vn)tak ˛a, ˙ze n>1 oraz(vn, v0) ∈

D, nazywamy cyklem.

Dzi˛eki uto ˙zsamieniu z uwagi 1.2.1 dobrze okre´slone s ˛a równie ˙z poj˛ecia ´scie ˙zki, ´scie ˙zki prostej oraz cyklu w grafie prostym.

Graf skierowany D0 = (V0, E0) nazywamy podgrafem grafu skierowanego D = (V, E), o ile V0 ⊆ V oraz E0 ⊆ E. Je ˙zeli ponadto E0 = E∩ (V0×V0), to D0nazywamy podgrafem indukowanym na zbiorze wierzchołków V0 ⊆V.

Je ˙zeli D = (V, E) jest grafem skierowanym oraz W ⊆ V, to podgraf grafu D indukowany na zbiorze wierzchołków VrW oznaczamy przez D−W.

Mówimy, ˙ze graf prosty G jest spójny, je ˙zeli dla wszystkich wierzchołków v, w ∈ G istnieje ´scie ˙zka w G prowadz ˛aca z v do w. Składow ˛a spójno´sci grafu G na-zywamy ka ˙zdy maksymalny (w sensie relacji bycia podgrafem) spójny podgraf tego grafu. Graf prosty G nazywamy drzewem, o ile jest spójny i nie zawiera cykli długo´sci>2.

Mówimy, ˙ze graf skierowany D jest lokalnie sko ´nczony, o ile dla ka ˙zdego wierz-chołka v ∈ D zbiór{w∈ D :(v, w) ∈ D lub(w, v) ∈D}jest sko ´nczony.

Lemat 1.2.2(Königa, [64, Lemma 8.1.2]). Niech D b˛edzie lokalnie sko ´nczonym grafem skierowanym, za´s v ∈ D wierzchołkiem tego grafu. Je˙zeli zbiór tych wierzchołków w ∈

D, dla których istnieje ´scie˙zka w D prowadz ˛aca z v do w, jest niesko ´nczony, to istnieje niesko ´nczona ´scie˙zka prosta w D.

Niech D = (V, E)b˛edzie grafem skierowanym. Skojarzeniem w D nazywamy taki zbiór kraw˛edzi M ⊆ E, ˙ze dla ka ˙zdego wierzchołka v∈ V istnieje co

najwy-˙zej jedna kraw˛ed´z(w1, w2) ∈ M o tej własno´sci, ˙ze v =w1lub v=w2.

Interesuj ˛ace z punktu widzenia niniejszej rozprawy wprowadzenie do teorii grafów zawiera ksi ˛a ˙zka Diestela [64], której znacz ˛aca cz˛e´s´c po´swi˛econa jest nie-sko ´nczonym grafom.

1.2.2. Cz˛e´sciowe porz ˛

adki i kraty

Niech P b˛edzie zbiorem. Dwuargumentow ˛a relacj˛e 6 ⊆ P×P nazywamy relacj ˛a quasi-porz ˛adku na P, o ile jest ona zwrotna i przechodnia; je ˙zeli relacja ta jest dodatkowo słabo antysymetryczna (tzn. dla wszystkich p, q ∈ P je´sli p 6 q oraz q6 p, to p =q), nazywamy j ˛a relacj ˛a cz˛e´sciowego porz ˛adku.

Quasi-porz ˛adkiem (lub zbiorem quasi-uporz ˛adkowanym) nazywamy par˛e (P,6)

tak ˛a, ˙ze P jest zbiorem, za´s 6 ⊆ P×P jest relacj ˛a quasi-porz ˛adku na P. Cz˛e´scio-wym porz ˛adkiem (lub zbiorem cz˛e´sciowo uporz ˛adkowanym, albo po prostu porz ˛adkiem) nazywamy par˛e (P,6) tak ˛a, ˙ze6jest relacj ˛a cz˛e´sciowego porz ˛adku na zbiorze P. Niech (P,6) b˛edzie quasi-porz ˛adkiem. Przez < ⊆ P×P oznaczamy relacj˛e

< = 6 ridP. W oczywisty sposób definiujemy relacje>i>. Quasi-porz ˛adkiem

du-alnym do(P,6)nazywamy quasi-porz ˛adek(P,>). Przez∼ ⊆ P×P oznaczamy relacj˛e porównywalno´sci, czyli∼ = 6 ∪ >

(30)

Ustalmy zbiór cz˛e´sciowo uporz ˛adkowany (P,6). Je ˙zeli ∼ = P×P, to mó-wimy, ˙ze(P,6)jest zbiorem liniowo uporz ˛adkowanym (lub liniowym porz ˛adkiem, albo ła ´ncuchem). Je´sli natomiast6= idP, to(P,6)nazywamy antyła ´ncuchem. Liniowym

rozszerzeniem cz˛e´sciowego porz ˛adku (P,6) nazywamy taki zbiór liniowo upo-rz ˛adkowany P∗ = (P,6∗), ˙ze6 ⊆ 6∗.

Je´sli Q ⊆ P, to relacja cz˛e´sciowego porz ˛adku6na P indukuje relacj˛e6

Q na

zbiorze Q w oczywisty sposób: dla q, q0 ∈ Q zachodzi q 6

Qq

0_{, o ile q} ₆_q0_{. Para} (Q,6

Q) jest cz˛e´sciowym porz ˛adkiem, zwanym podzbiorem cz˛e´sciowo uporz ˛

adko-wanym porz ˛adku(P,6). Mówimy, ˙ze Q ⊆ P jest ła ńcuchem (antyła ńcuchem) w P, o ile(Q,6_Q)jest ła ńcuchem (antyła ńcuchem). Je´sli nie b˛edzie to prowadziło do nieporozumie ń, porz ˛adek(Q,6

Q)oznacza´c b˛edziemy przez(Q,6).

Elementem maksymalnym w podzbiorze A ⊆ P nazywamy ka ˙zdy element a ∈ A o tej własno´sci, ˙ze nie istnieje element b ∈ A taki, ˙ze b > a. Zbiór elementów maksymalnych w zbiorze A ⊆ P oznaczamy przez max(A). Du-alnie definiujemy element minimalny oraz zbiór min(A). Elementem najwi˛ekszym w A nazywamy taki element a ∈ A, ˙ze a > b dla wszystkich b ∈ A. Dual-nie definiujemy element najmDual-niejszy. Je´sli zbiór A ma element najwi˛ekszy (naj-mniejszy), oznaczamy tym samym co wy ˙zej symbolem max(A) (odpowiednio min(A)); jego wła´sciwe znaczenie wynika´c b˛edzie z kontekstu. Kresem górnym podzbioru A ⊆ P, oznaczanym przez sup(A), nazywamy najmniejszy element zbioru {p ∈ P : p > a dla wszystkich a ∈ A}, o ile element taki istnieje. Dual-nie definiujemy kres dolny zbioru A, oznaczany przez inf(A). Kresy górny i dolny zbioru{p, q} ⊆ P oznaczamy odpowiednio przez p∨q oraz p∧q.

Cz˛e´sciowy porz ˛adek (P,6) nazywamy ła ´ncuchowo zupełnym, o ile dla ka ˙z-dego podzbioru liniowo uporz ˛adkowanego C ⊆ P istniej ˛a jego kresy sup(C)

oraz inf(C).

Niech (P,6P),(Q,6Q) b˛ed ˛a cz˛e´sciowymi porz ˛adkami. Mówimy, ˙ze funkcja

f : P→Q zachowuje porz ˛adek, je ˙zeli dla wszystkich p, p0 ∈ P takich, ˙ze p 6P p0,

za-chodzi f(p) 6Q f(p0). Izomorfizmem cz˛e´sciowych porz ˛adków nazywamy bijekcj˛e

f : P→Q zachowuj ˛ac ˛a porz ˛adek i tak ˛a, ˙ze funkcja do niej odwrotna f−1: Q→ P zachowuje porz ˛adek.

O ile nie b˛edzie to prowadziło do nieporozumie ´n, cz˛e´sciowy porz ˛adek(P,6)

oznacza´c b˛edziemy odt ˛ad krótko przez P. Relacje cz˛e´sciowego porz ˛adku na ró ˙z-nych zbiorach oznacza´c b˛edziemy tym samym symbolem6(a niekiedy równie ˙z symbolami mu podobnymi, np.v,6∗).

Lemat 1.2.3([204, Proposition 4.1.6]). Je˙zeli P jest ła ´ncuchowo zupełnym cz˛e´sciowym porz ˛adkiem, za´s r : P → Q jest zachowuj ˛ac ˛a porz ˛adek retrakcj ˛a, to cz˛e´sciowy porz ˛adek Q jest ła ´ncuchowo zupełny.

Niech P b˛edzie cz˛e´sciowym porz ˛adkiem, za´s p ∈ P jego elementem. Przyj-mujemy oznaczenia

p↓_P = {q ∈ P : q6p}, p↑_P = {q∈ P : q> p}, ˆp↓_P = p↓_Pr {p}, ˆp↑P = p↑Pr {p},

(31)

1.2. MATEMATYKA DYSKRETNA 5

przy czym, o ile nie b˛edzie to prowadziło do niejednoznaczno´sci, b˛edziemy w za-pisie tych symboli pomija´c P, tzn. pisa´c p↓, ˆp↑, itd.

Niech C = {p0, p1, . . . , pn} ⊆ P b˛edzie niepustym, sko ´nczonym ła ´ncuchem

w cz˛e´sciowym porz ˛adku P. Liczb˛e n = |C| +1 nazywamy długo´sci ˛a ła ´ncucha C. Mówimy, ˙ze cz˛e´sciowy porz ˛adek P jest sko ´nczonej wysoko´sci , je ˙zeli istnieje n ∈N

takie, ˙ze wszystkie ła ´ncuchy w P maj ˛a długo´s´c równ ˛a co najwy ˙zej n.

Mówimy, ˙ze P jest cz˛e´sciowym porz ˛adkiem z gradacj ˛a, je ˙zeli dla ka ˙zdego p ∈ P wszystkie maksymalne (w sensie inkluzji) ła ńcuchy w zbiorze p↓s ˛a sko ń-czone i maj ˛a t˛e sam ˛a długo´sć. Ogólniej, je ˙zeli istnieje (sko ńczone) maksimum dłu-go´sci ła ńcuchów zawartych w zbiorze p↓, to nazywamy je rang ˛a elementu p i ozna-czamy symbolem rk(p). Mówimy, ˙ze cz˛e´sciowy porz ˛adek P:

— jest dobrze ufundowany, je ˙zeli ka ˙zdy niepusty podzbiór A ⊆ P ma element minimalny;

— jest porz ˛adkiem z rang ˛a, je ˙zeli dla ka ˙zdego elementu p∈ P zdefiniowana jest jego ranga rk(p);

— ma sko ńczone ideały główne, je ˙zeli dla ka ˙zdego p ∈ P zbiór p↓jest sko ńczony. Zauwa ˙zmy, ˙ze cz˛e´sciowy porz ˛adek P jest dobrze ufundowany wtedy i tylko wtedy, gdy nie zawiera niesko ńczonego ła ńcucha zst˛epuj ˛acego, czyli podzbioru izo-morficznego ze zbiorem ujemnych liczb całkowitych ze standardow ˛a relacj ˛a po-rz ˛adkuj ˛ac ˛a. Je ˙zeli porz ˛adek P ma sko ńczone ideały główne, to jest porz ˛adkiem z rang ˛a, za´s ka ˙zdy porz ˛adek z rang ˛a jest dobrze ufundowany. Dobrze ufundo-wany liniowy porz ˛adek nazywamy dobrym porz ˛adkiem.

Podzbiór A liniowego porz ˛adku P nazywamy jego odcinkiem pocz ˛atkowym, je-˙zeli a↓_P ⊆ A dla ka ˙zdego a ∈ A.

Niech (P,6P),(Q,6Q) b˛ed ˛a cz˛e´sciowymi porz ˛adkami. Przez P⊕Q

ozna-czamy cz˛e´sciowy porz ˛adek (PtQ,6), którego relacja porz ˛adkuj ˛aca jest sum ˛a

6 = 6P ∪ 6Q ∪ {(p, q) : p∈ P, q ∈ Q}.

Innymi słowy, a 6 b dla a, b ∈ P⊕Q wtedy, gdy oba elementy a, b nale ˙z ˛a do którego´s ze zbiorów P, Q oraz a jest mniejsze lub równe b w tym zbiorze, lub gdy a ∈ P oraz b ∈ Q. Porz ˛adek P⊕Q nazywamy sum ˛a leksykograficzn ˛a porz ˛adków P, Q.

Element p ∈ P nazywamy pokryciem górnym elementu q∈ P (za´s q nazywamy pokryciem dolnym p), je ˙zeli p > q oraz nie istnieje r ∈ P takie, ˙ze p > r > q. Piszemy wówczas p q (lub q ≺ p). Przez zapis p < q (lub q 4 p) rozumiemy,

˙ze p q lub p=q.

Przez H(P) = (P,) oznaczamy graf skierowany zwany diagramem Hassego cz˛e´sciowego porz ˛adku P. Rysuj ˛ac diagram Hassego przyjmuje si˛e cz˛esto kon-wencj˛e, ˙ze elementy mniejsze w porz ˛adku P znajduj ˛a si˛e ni ˙zej ni ˙z wi˛eksze, co pozwala pomin ˛a´c na rysunku groty strzałek oznaczaj ˛ace orientacje kraw˛edzi. Przykładowy diagram Hassego, narysowany zgodnie z t ˛a zasad ˛a, przedstawia rysunek 1.1.

Je´sli zbiór cz˛e´sciowo uporz ˛adkowany P nie zawiera podzbioru izomorficz-nego ze zbiorem N∪ {∞} ze standardowym porz ˛adkiem lub z porz ˛adkiem do

(32)

x5

x3 x4

x0 x1 x2

Rysunek 1.1: Diagram Hassego cz˛e´sciowego porz ˛adku na zbiorze{x0, . . . , x5}

za-danego przez x0 < x5, x1 < x3, x1 < x4, x1 < x5, x2 < x3, x2 < x4, x2 < x5,

x3< x5.

niego dualnym, to P jest jednoznacznie wyznaczony przez swój diagram Has-sego H(P). Dla dowolnych cz˛e´sciowych porz ˛adków nie jest to jednak prawd ˛a (np. dla P =R ze zwykłym porz ˛adkiem).

Graf skierowany G(P) = (P,∼) nazywamy grafem porównywalno´sci cz˛e´scio-wego porz ˛adku P. Poniewa ˙z ∼ jest relacj ˛a symetryczn ˛a, G(P) mo ˙zemy, wobec uwagi 1.2.1, traktowa´c jako graf prosty. Porz ˛adek P nazywamy spójnym, je ˙zeli graf G(P) jest spójny; w oczywisty sposób definiujemy składowe spójno´sci po-rz ˛adku P. Mówimy, ˙ze cz˛e´sciowy porz ˛adek P jest lokalnie sko ´nczony, o ile graf

G(P)jest lokalnie sko ´nczony.

Niesko ńczon ˛a ´scie ˙zk˛e prost˛e w grafie porównywalno´sci G(P) cz˛e´sciowego porz ˛adku P nazywamy promieniem w P. Je ˙zeli P nie zawiera promienia, to mó-wimy, ˙ze jest cz˛e´sciowym porz ˛adkiem bez promieni (por. analogiczne definicje dla grafów [97, 200]; pod inn ˛a nazw ˛a porz ˛adki bez promieni rozwa ˙zał wcze´sniej au-tor rozprawy [130, 130]). Oczywi´scie, je´sli P jest porz ˛adkiem bez promieni, to nie zawiera niesko ńczonego ła ńcucha.

Krat ˛a nazywamy taki cz˛e´sciowy porz ˛adek L, w którym dla wszystkich ele-mentów p, q ∈ L istniej ˛a kresy p∨q oraz p∧q. Wynika st ˛ad, ˙ze w kracie L ist-niej ˛a kresy sup(A)oraz inf(A)ka ˙zdego sko ´nczonego, niepustego zbioru A ⊆ L. Krat˛e L nazywamy zupełn ˛a, o ile dla ka ˙zdego podzbioru A⊆ L istniej ˛a w L kresy sup(A)oraz inf(A).

Lemat 1.2.4 ([204, Proposition 5.1.7]). Krata jest zupełna wtedy i tylko wtedy, gdy jest ła ńcuchowo zupełna. W szczególno´sci, ka˙zda krata nie zawieraj ˛aca niesko ńczonego ła ńcucha jest zupełna.

Je ˙zeli krata L ma element najwi˛ekszy, który oznaczamy przez 1L, to L

nazy-wamy krat ˛a z jedynk ˛a. Element najmniejszy kraty L, o ile istnieje, oznaczamy sym-bolem 0L i mówimy w tej sytuacji, ˙ze L jest krat ˛a z zerem. Zauwa ˙zmy, ˙ze ka ˙zda

zupełna krata ma zero i jedynk˛e.

Je´sli L jest krat ˛a z zerem i jedynk ˛a, to ´sci˛et ˛a krat ˛a powstał ˛a z L nazywamy cz˛e´sciowy porz ˛adek ˇL= Lr {1L, 0L}.

Mówimy, ˙ze element p kraty L z zerem i jedynk ˛a jest dopełnieniem elementu q ∈ L, je ˙zeli p∨q = 1L oraz p∧q = 0L. Krat˛e L z zerem i jedynk ˛a nazywamy