3.4. Topologiczna wersja dyskretnej teorii Morse’a
3.4.2. Główne twierdzenie dyskretnej teorii Morse’a dla niesko ´n-
K(Pr {_ x}) K(%% ˆx↓) f j // _ K(Pr {_ x}) Drk(x) φ //K(Pr {x}) ∪hDrk(x) K(%% x↓) // F K(P) )) g
taki, ˙ze przedni i tylny kwadrat s ˛a w nim kokartezja ´nskie, F([x, t]) = [f(x), t]
dla x ∈ Srk(x)−1 oraz t ∈ I (uto˙zsamiamy tutaj Drk(x) oraz K(x↓) ze sto ˙zkami odpowiednio nad Srk(x)−1 i nad K(ˆx↓)), za´s odwzorowanie g jest wyznaczone przez przekształcenia f , F oraz idK(Pr{x}). Na podstawie lematu 1.4.12 funkcja g jest homotopijn ˛a równowa ˙zno´sci ˛a.
3.4.2. Główne twierdzenie dyskretnej teorii Morse’a dla niesko ´nczonych
skojarze ´n
Sformułowane ni ˙zej twierdzenie, stanowi ˛ace jeden z najwa ˙zniejszych wyni-ków bie ˙z ˛acego rozdziału, jest uogólnieniem głównego twierdzenia dyskretnej teorii Morse’a 3.1.10. Stanowi ono temat publikacji autora [133]. Podobne wyniki, które omawiamy w ko ´ncowej cz˛e´sci sekcji, uzyskali wcze´sniej Brown [48, Propo-sition 1] oraz Orlik i Welker [170, Theorem 4.2.14].
Twierdzenie 3.4.7. Niech P b˛edzie h-regularnym cz˛e´sciowym porz ˛adkiem z zadanym dopuszczalnym skojarzeniem Morse’a M bez promieni malej ˛acych. Wówczas kompleks symplicjalny K(P) jest homotopijnie równowa˙zny CW kompleksowi, którego zbiór ko-mórek wymiaru n jest równoliczny ze zbioremCM
n (P)dla ka˙zdego n∈ N.
Dowód. Niech P∗b˛edzie liniowym rozszerzeniem porz ˛adku P o własno´sciach jak w lemacie 3.2.2.
Skonstruujemy liczb˛e porz ˛adkow ˛a α oraz pozasko ´nczone ci ˛agi: cz˛e´sciowych porz ˛adków Pφ∗
φ<α, Pφ
φ<α, b˛ed ˛acych podzbiorami cz˛e´sciowo uporz ˛ adkowa-nymi odpowiednio P∗ i P, CW kompleksów Xφ
φ<α oraz homotopijnych rów-nowa ˙zno´sci fφ: Xφ → K Pφ
φ<αtakie, ˙ze dla ka ˙zdej liczby porz ˛adkowej φ<α
spełnione s ˛a warunki:
(aφ) Xψjest podkompleksem Xφ oraz fψ ⊆ fφ dla wszystkich ψ6φ;
(bφ) zbiór n-wymiarowych komórek kompleksu Xφjest równoliczny ze zbiorem
CM
n (P) ∩Pφ;
(cφ) zbiór elementów cz˛e´sciowego porz ˛adku Pφ jest równy zbiorowi P∗rPφ∗ i stanowi odcinek pocz ˛atkowy w P∗;
(dφ) najmniejszy element cz˛e´sciowego porz ˛adku Pφ∗ (o ile Pφ∗ 6= ∅) albo jest ele-mentem P krytycznym wzgl˛edem skojarzenia M, albo mniejszym spo´sród dwóch elementów P tworz ˛acych kraw˛ed´z nale ˙z ˛ac ˛a do skojarzenia M. Niech P0∗ =P∗, P0=∅, X0 =∅, f0=∅.
Ustalmy liczb˛e porz ˛adkow ˛a φ i załó ˙zmy, ˙ze dla wszystkich ψ < φ obiekty Pψ∗, Pψ, Xψ, fψs ˛a zdefiniowane i spełniaj ˛a warunki(aψ),(bψ),(cψ),(dψ).
Je´sli φ =ψ+1 jest nast˛epnikiem, to rozwa ˙zmy trzy przypadki.
— Je´sli Pψ∗ = ∅, to przyjmujemy α = φi ko ´nczymy konstrukcj˛e. Z warunków
(bψ),(cψ)wynika, ˙ze Xψjest szukanym CW kompleksem.
— Je ˙zeli p = min Pψ∗ jest elementem krytycznym wzgl˛edem M, to przyj-mujemy Pφ∗ = Pψ∗r {p}, Pφ = Pψ∪ {p}. Na podstawie lematu 3.4.6 ist-niej ˛a odwzorowanie ˜hp: Srk(p)−1 → K Pψ oraz homotopijna równowa ˙z-no´s´c g : K Pψ ∪˜h p Drk(p) → K Pφ taka, ˙ze g K(Pψ) = idK(P ψ). Niech X0φ = Xψ ∪h0
p Drk(p), gdzie h0p = fψ ◦ ˜hp: Srk(p)−1 → Xψ. Poniewa ˙z od-wzorowanie fψ: Xψ → K Pψ
jest, z zało ˙zenia indukcyjnego, homoto-pijn ˛a równowa ˙zno´sci ˛a, zgodnie z lematem 1.4.13 istnieje jego rozszerze-nie k : Xφ0 → K Pψ
∪˜h
p Drk(p) b˛ed ˛ace homotopijn ˛a równowa ˙zno´sci ˛a. Wo-bec lematu 1.4.14 istniej ˛a CW kompleks Xφ = Xψ∪hp Drk(p)
oraz homoto-pijna równowa ˙zno´s´c l : Xφ → Xφ0 rozszerzaj ˛aca odwzorowanie identyczno-´sciowe na Xψ. Przyjmijmy fφ = (g◦k◦l): Xφ → K Pφ.
— Je´sli p = min Pψ∗
jest elementem kraw˛edzi nale ˙z ˛acej do M, to z wła-sno´sci liniowego rozszerzenia P∗ otrzymujemy, ˙ze (q, p) ∈ M dla q =
min Pψ∗ r {p}. Przyjmijmy P∗
φ = Pψ∗ r {p, q}, Pφ = Pψ ∪ {p, q}. Zauwa ˙zmy, ˙ze ˆp↑P
φ = {q}, zatem p ∈ Pφ jest elementem niere-dukowalnym pod q, wobec czego zgodnie z lematem 1.4.16 wło ˙zenie i : K Pφr {p}
,→ K Pφ jest homotopijn ˛a równowa ˙zno´sci ˛a. Poniewa ˙z kraw˛ed´z (q, p) ∈ H(P) jest dopuszczalna, kompleks K (ˆq↓Pr {p}) = K ˆq↓P
φr{p}
jest ´sci ˛agalny, wi˛ec na podstawie lematu 1.4.16 wło ˙zenie j : K Pψ
,→ K Pφr {p} jest homotopijn ˛a równowa ˙zno´sci ˛a. Przyjmijmy Xφ =Xψoraz fφ = i◦j◦ fψ : Xφ → K Pφ.
Łatwo sprawdza si˛e, ˙ze w drugim i trzecim spo´sród powy ˙zszych przypadków skonstruowane obiekty spełniaj ˛a warunki(aφ),(bφ),(cφ),(dφ).
Dla φ b˛ed ˛acego graniczn ˛a liczb ˛a porz ˛adkow ˛a definiujemy Pφ∗ = T
ψ<φPψ∗, Pφ = S
ψ<φPψ, Xφ = S
ψ<φXψ (ze słab ˛a topologi ˛a) oraz fφ = S
ψ<φ fψ. Funk-cja fφ jest na podstawie lematu 1.4.17 homotopijn ˛a równowa ˙zno´sci ˛a. Ponownie nietrudno spostrzec, ˙ze spełnione s ˛a warunki(aφ),(bφ),(cφ),(dφ).
Twierdzenie 3.4.7 wraz z wynikami podrozdziału 3.3 pozwala udowodni´c główne twierdzenie dyskretnej teorii Morse’a dla skojarze ´n Morse’a o sko ´nczo-nym zbiorze klas równowa ˙zno´sci promieni malej ˛acych.
3.4. TOPOLOGICZNA WERSJA DYSKRETNEJ TEORII MORSE’A 109
Wniosek 3.4.8. Niech P b˛edzie dopuszczalnym cz˛e´sciowym porz ˛adkiem z zadanym sko-jarzeniem Morse’a M takim, ˙ze zbiórRM(P) jest sko ´nczony. Wówczas kompleks sym-plicjalny K(P) jest homotopijnie równowa˙zny CW kompleksowi, którego zbiór komórek wymiaru n jest równoliczny ze zbioremCM
n (P) ∪ RnM(P)dla ka˙zdego n∈ N.
Dowód. Poniewa ˙z porz ˛adek P jest dopuszczalny, jest h-regularnym porz ˛adkiem z gradacj ˛a (stwierdzenie 3.4.3 i wniosek 3.4.5). W tej sytuacji stwierdzenie 3.3.7 pozwala na pozbycie si˛e promieni malej ˛acych kosztem utworzenia nowych ko-mórek krytycznych, przy czym otrzymane skojarzenie Morse’a jest dopusz-czalne, gdy ˙z porz ˛adek P jest dopuszczalny. Teza wniosku wynika z twierdzenia 3.4.7.
Dzi˛eki obserwacji z przykładu 3.4.1 otrzymujemy nast˛epuj ˛acy wynik.
Wniosek 3.4.9. Niech X b˛edzie regularnym CW kompleksem z zadanym skojarzeniem
Morse’a M takim, ˙ze zbiór RM(P (X)) jest sko ´nczony. Wówczas CW kompleks X jest homotopijnie równowa˙zny CW kompleksowi, którego zbiór komórek wymiaru n jest rów-noliczny ze zbioremCM
n (P (X)) ∪ RnM(P (X))dla ka˙zdego n∈ N.
Zauwa ˙zmy, ˙ze prawdziwy jest odpowiednik wniosku 3.4.8 dla dowolnych skojarze ´n Morse’a na 1-wymiarowych, regularnych CW kompleksach. Jego do-wód przebiega analogicznie do dowodu wniosku 3.4.8, z tym ˙ze w miejsce stwier-dzenia 3.3.7 korzysta si˛e ze stwierstwier-dzenia 3.3.8.
Dla i ∈ N oraz cz˛e´sciowego porz ˛adku P z rang ˛a i zadanym skojarzeniem
Morse’a M symbol ciM(P) niech oznacza moc zbioru CiM(P). Je´sli P jest porz ˛ ad-kiem z gradacj ˛a, niech riM(P) oznacza moc zbioru RM
i (P); w przeciwnym wy-padku przyjmujemy riM(P) = 0.
Uzyskane wyniki umo ˙zliwiaj ˛a podanie nierówno´sci analogicznych do dys-kretnych nierówno´sci Morse’a (wniosek 3.1.11) przy przyj˛etych w twierdzeniu 3.4.7 oraz wnioskach 3.4.8, 3.4.9 zało ˙zeniach. (Dowód poni ˙zszego wniosku jest standardowy, patrz np. [155, str. 28-31].)
Wniosek 3.4.10. Niech P b˛edzie cz˛e´sciowym porz ˛adkiem z zadanym skojarzeniem Morse’a M. Je´sli spełniony jest jeden z poni˙zszych warunków:
— porz ˛adek P jest dopuszczalny i zbiórRM(P)jest sko ´nczony;
— porz ˛adek P jest h-regularny i M jest dopuszczalnym skojarzeniem Morse’a bez promieni malej ˛acych;
— P = P (X)dla pewnego 1-wymiarowego, regularnego CW kompleksu X, to dla ka˙zdej liczby n ∈N maj ˛a miejsce nierówno´sci:
cnM(P) +rnM(P) > βn(K(P)) oraz n
∑
i=0 (−1)n−iciM(P) +riM(P)> n∑
i=0 (−1)n−iβi(K(P)),o ile cMi (P) +rMi (P) < ∞ dla wszystkich i 6 n. Ponadto, je˙zeli ciM(P) +riM(P) < ∞ dla wszystkich i ∈ N oraz liczby te s ˛a niezerowe jedynie dla sko´nczonej liczby indeksów
i, to charakterystyka Eulera kompleksuK(P)wyra˙za si˛e wzorem
χ(P) =
∞
∑
i=0
(−1)iciM(P) +riM(P).
Wniosek 3.4.10 jest znacz ˛aco silniejszy od podobnych wyników, które podali Ayala, Fernández i Vilches [9, Theorem 3.8], [11, Theorem 3.1].
Odnotujmy, ˙ze je´sli M0 jest dopuszczalnym skojarzeniem Morse’a na h-regularnym cz˛e´sciowym porz ˛adku P i graf HM0(P) zawiera promie ´n male-j ˛acy r taki, ˙ze {r} jest wspaniał ˛a rodzin ˛a reprezentuj ˛ac ˛a {[r]}, to skojarzenie M okre´slone jak w lemacie 3.3.5 nie musi by´c dopuszczalne. Przykład takiej sy-tuacji przedstawiony jest na rysunku 3.3. W zwi ˛azku z tym nie jest znany od-powiednik wniosku 3.4.8 dla dopuszczalnych skojarze ´n Morse’a na dowolnych h-regularnych cz˛e´sciowych porz ˛adkach.
• 77 • 77 • 77 · · · 66 }} • • • • • • • • • • • · · · }} • • • • • • • •
Rysunek 3.3: Diagram Hassego pewnego h-regularnego cz˛e´sciowego porz ˛adku z gradacj ˛a po zmianie orientacji kraw˛edzi (zaznaczonych lini ˛a przerywan ˛a) na-le ˙z ˛acych do dopuszczalnego skojarzenia Morse’a na tym porz ˛adku. W wyniku „odwrócenia” widocznego w górnej cz˛e´sci rysunku promienia (przy u ˙zyciu tech-niki z lematu 3.3.5) otrzymuje si˛e skojarzenie Morse’a, które nie jest dopusz-czalne.
Uwaga 3.4.11. W pracach Browna [48, Proposition 1] oraz Orlika i Welkera [170, Theorem 4.2.14] podano odpowiedniki twierdzenia 3.4.7 odpowiednio dla nie-sko ´nczonych zbiorów symplicjalnych oraz dla niezwartych CW kompleksów (niekoniecznie regularnych). Przyj˛ete przez tych autorów zało ˙zenia o skojarze-niu Morse’a s ˛a, o ile rozwa ˙zany obiekt jest regularnym CW kompleksem (lub w przypadku zbiorów symplicjalnych mo ˙ze by´c z takowym uto ˙zsamiany), rów-nowa ˙zne temu, ˙ze nie indukuje ono promieni malej ˛acych. Aby unikn ˛a´c wpro-wadzania stosowanej przez cytowanych autorów terminologii pomijamy dowód tego faktu. Odnotujmy jedynie, ˙ze równowa ˙zno´s´c braku promieni malej ˛acych i warunku wprowadzonego przez Browna [48, Condition (C2)] wynika prawie natychmiast z definicji, za´s w przypadku zało ˙zenia przyj˛etego przez Orlika i We-lkera [170, Definition 4.2.10] z udowodnionego w nast˛epnej sekcji lematu 3.5.1. Wniosek 3.4.9 jest nieco ogólniejszy ni ˙z cytowane wyniki w tym senise, ˙ze w jego zało ˙zeniach dopuszcza si˛e istnienie promieni malej ˛acych.
3.5. ALGEBRAICZNA WERSJA DYSKRETNEJ TEORII MORSE’A 111