Dowód. Stosuj ˛ac lemat 3.5.1 do cz˛e´sciowego porz ˛adku P = P (X) oraz funk-cji ρ = rk : P (X) → N dla ka˙zdego x ∈ P (X) otrzymujemy sko ´nczony zbiór O(x) ⊆ P (X)o własno´sciach opisanych w tym lemacie.
Zbiór komórek CW kompleksu X jest przeliczalny. Ustawmy go w ci ˛ag
(xn)n∈N. Dla n ∈N niech Xn b˛edzie podzbiorem X b˛ed ˛acym sum ˛a komórek na-le ˙z ˛acych do zbioruS
m6nO(xm); warunek 2) z lematu 3.5.1 gwarantuje, ˙ze Xn jest podkompleksem X, za´s dzi˛eki warunkowi 1) zachodzi równo´s´cS
n∈NXn =X. Rodzina kraw˛edzi Mn = {(x, y) ∈ M : x, y ∈ P (Xn) r P (Xn−1)} jest skojarzeniem Morse’a na Xn. Poniewa ˙z zbiór CM(P (X)) jest sko ´nczony, korzy-staj ˛ac z warunku 3) otrzymujemy dla odpowiednio du ˙zych n ∈ N równo´s´c CMn(P (Xn)) = P (Xn−1), tzn. Xn&∞Xn−1. Na podstawie lematu 3.6.3, dla wy-starczaj ˛aco du ˙zych n ∈ N, mamy X&∞Xn, a zatem wobec lematu 3.6.2 wło ˙zenia Xn ,→ X s ˛a (dla dostatecznie du ˙zych n∈ N) homotopijnymi równowa˙zno´sciami.
Zgodnie z twierdzeniem 1.5.7 oznacza to, ˙ze przestrze ´n X ma kołnierzyk do we-wn ˛atrz.
Zauwa ˙zmy, ˙ze na podstawie stwierdzenia 3.7.1 ka ˙zdy regularny, lokalnie sko ´nczony CW kompleks X, który jest∞-zgniatalny do swojego zwartego pod-kompleksu, ma kołnierzyk do wewn ˛atrz.
Ze stwierdze ´n 3.3.7, 3.7.1 otrzymujemy ponadto nast˛epuj ˛acy wniosek.
Wniosek 3.7.2. Je´sli na regularnym, lokalnie sko ´nczonym CW kompleksie X zadane jest
skojarzenie Morse’a M takie, ˙ze zbiory CM(P (X)) oraz RM(P (X)) s ˛a sko ´nczone, to przestrze ´n X ma kołnierzyk do wewn ˛atrz.
3.7.2. Kołnierzyki na zewn ˛atrz
Zanim przyst ˛apimy do dowodu analogicznego do stwierdzenia 3.7.1 wyniku dotycz ˛acego przestrzeni z kołnierzykami na zewn ˛atrz, wprowad´zmy pomoc-nicze oznaczenia. Niech P b˛edzie cz˛e´sciowym porz ˛adkiem z zadanym skoja-rzeniem M w diagramie Hassego H(P). Dla podzbioru A ⊆ P przez M−(A)
oznaczmy zbiór tych elementów p ∈ P, dla których istnieje ´scie ˙zka w HM(P)
zaczynaj ˛aca si˛e w p i ko ´ncz ˛aca w którym´s z elementów zbioru A. Przyjmijmy ponadto
M∗−(A) = M−(A) ∪ {x ∈ P :(x, y) ∈ M dla pewnego y ∈ M−(A)}.
Lemat 3.7.3. Niech X b˛edzie regularnym, lokalnie sko ´nczonym CW kompleksem z
za-danym skojarzeniem Morse’a M takim, ˙zeHM(P (X))nie zawiera promieni rosn ˛acych. Wówczas dla dowolnego sko ´nczonego zbioru A ⊆ P (X) zbiór M∗−(A) jest sko ´nczony, za´s komórki kompleksu X nale˙z ˛ace do P (X) rM∗−(A) tworz ˛a koograniczony podkom-pleks CW kompodkom-pleksu X.
Dowód. Ustalmy sko ´nczony zbiór A ⊆ P (X). Przypu´s´cmy, ˙ze zbiór M−(A) jest niesko ´nczony. Poniewa ˙z zbiór A jest sko ´nczony oraz M−(A) = S
istnieje a ∈ A takie, ˙ze zbiór M−({a}) jest niesko ´nczony. Rozwa ˙zmy pod-graf D diagramu Hassego HM(P (X)) indukowany na zbiorze M−({a}). Niech Dd oznacza graf skierowany powstały z D przez zmian˛e orientacji wszystkich kraw˛edzi. Poniewa ˙z porz ˛adek P (X) jest lokalnie sko ´nczony, to lokalnie sko ´n-czony jest te ˙z graf Dd. Z lematu Königa 1.2.2 wynika, ˙ze Ddzawiera niesko ´nczon ˛a ´scie ˙zk˛e prost ˛a, czyli D zawiera promie ´n rosn ˛acy, co jest sprzeczne z zało ˙zeniem o braku promieni rosn ˛acych wHM(P (X)). Wobec tego zbiór M−(A) jest sko ´n-czony, wi˛ec sko ´nczony jest te ˙z zbiór M∗−(A).
Wyka ˙zemy, ˙ze elementy zbioru P (X) rM∗−(A) tworz ˛a podkompleks kom-pleksu X, tzn. ˙ze x↓P (X) ⊆ P (X) rM∗−(A) dla ka ˙zdego x ∈ P (X) r M∗−(A). W tym celu wystarczy udowodni´c, ˙ze dla wszystkich x ∈ P (X) rM∗−(A) oraz y ∈ P (X) takich, ˙ze y ≺ x, element y 6∈ M∗−(A). Ustalmy x ∈ P (X) rM−∗(A)
oraz y ∈ P (X), y ≺ x. Przypu´s´cmy, ˙ze y ∈ M∗−(A). Je ˙zeli (x, y) ∈ M, to ponie-wa ˙z y nie nale ˙zy do ˙zadnej innej ni ˙z(x, y)kraw˛edzi z M, mamy y ∈ M−(A). Ale to oznacza, ˙ze x ∈ M−∗(A), co jest sprzeczne z wyborem x. Zatem (x, y) 6∈ M. Gdyby y ∈ M−(A), to wtedy równie ˙z x ∈ M−(A), co wykluczyli´smy. Wobec tego y ∈ M∗−(A) rM−(A), czyli istnieje z ∈ M−(A)takie, ˙ze(y, z) ∈ M. Mamy z ≺y≺ x, wi˛ec na podstawie lematu 1.4.4 istnieje y0 ∈ P (X) r {y}o tej własno-´sci, ˙ze z ≺ y0 ≺ x. Poniewa ˙z(y, z) ∈ M, mamy (y0, z) 6∈ M, zatem y0 ∈ M−(A). Ale y0 ≺x. Jak zauwa ˙zyli´smy przed chwil ˛a, taka sytuacja jest niemo ˙zliwa. Otrzy-mali´smy sprzeczno´s´c; wobec tego y 6∈ M∗−(A).
Lemat 3.7.4. Niech X b˛edzie regularnym CW kompleksem z zadanym skojarzeniem
Morse’a M takim, ˙ze CM(P (X)) = ∅. Załó˙zmy, ˙ze y ∈ X oraz M−({y}) = {y}. Wówczas istnieje x∈ P (X)takie, ˙ze(x, y) ∈ M, a ponadto ˆy↑P (X) = {x}, tzn. istnieje podkompleks Y ⊆X o tej własno´sci, ˙zeP (Y) = P (X) r {x, y}oraz X&eY.
Dowód. Poniewa ˙z CM(P (X)) = ∅, element y nie jest krytyczny wzgl˛edem M. Zatem istnieje x ∈ P (X) takie, ˙ze (x, y) ∈ M lub (y, x) ∈ M. Poniewa ˙z M−({y}) = {y}, druga z tych mo ˙zliwo´sci jest wykluczona; zatem(x, y) ∈ M.
Ustalmy a ∈ ˆy↑P (X). Przypu´s´cmy, ˙ze a 6> x. Istnieje wobec tego b ∈ P (X) r {x} takie, ˙ze a > b y. Poniewa ˙z (x, y) ∈ M oraz M jest skoja-rzeniem, kraw˛ed´z(b, y) 6∈ M, wi˛ec b∈ M−({y}), co jest sprzeczne z zało ˙zeniem. Zatem a>x.
Przypu´s´cmy, ˙ze a > x. Istnieje c ∈ P (X) takie, ˙ze a > c x. Na podstawie lematu 1.4.4 istnieje d ∈ P (X) r {x}o tej własno´sci, ˙ze c d y. To jednak, jak zauwa ˙zyli´smy, jest niemo ˙zliwe. Wobec tego a =x, czyli ˆy↑P (X) = {x}.
Ostatnia cz˛e´s´c tezy wynika z definicji elementarnego zgniecenia.
Stwierdzenie 3.7.5. Niech X b˛edzie regularnym, lokalnie sko ´nczonym CW kompleksem
z zadanym skojarzeniem Morse’a M takim, ˙ze graf skierowanyHM(P (X))nie zawiera promieni rosn ˛acych oraz zbiórCM(P (X))jest sko ´nczony. Wówczas X ma kołnierzyk na zewn ˛atrz.
Dowód. Skonstruujemy pewien zst˛epuj ˛acy ci ˛ag (Vn)n∈N podkompleksów kom-pleksu X oraz ci ˛agi: skojarze ´n Morse’a Mn ⊆ H(P (Vn))
n∈N, retrakcji defor-macyjnych(rn: Vn →Vn+1)n∈N i homotopii(hn: Vn×I→Vn)n∈N.
3.7. DYSKRETNA TEORIA MORSE’A A TOPOLOGIA W NIESKO ´NCZONO´SCI 127
Niech V0 oznacza koograniczony podkompleks kompleksu X składaj ˛acy si˛e z komórek nale ˙z ˛acych do zbioruP (X) rM∗−(CM(P (X)))(patrz lemat 3.7.3) oraz niech
M0 = {(x, y) ∈ M : x, y∈ P (V0)}.
Zauwa ˙zmy, ˙ze M0 jest skojarzeniem Morse’a na V0, HM0(P (V0)) nie zawiera promieni rosn ˛acych oraz CM0(P (V0)) = ∅, bowiem komórki krytyczne kom-pleksu X wzgl˛edem skojarzenia M le ˙z ˛a poza V0, a wobec własno´sci zbioru M−∗(CM(P (X))) dla ka ˙zdej kraw˛edzi (x, y) ∈ M albo oba jej elementy nale ˙z ˛a do V0, albo do V0nie nale ˙zy ˙zaden z nich.
Ustalmy n >0 i załó ˙zmy, ˙ze okre´slili´smy Vn oraz skojarzenie Morse’a Mn na Vn takie, ˙zeHMn(P (Vn))nie zawiera promieni rosn ˛acych orazCMn(P (Vn)) = ∅. Rozwa ˙zmy zbiór
An =y∈ P (Vn) : Mn−({y}) = {y} .
Na podstawie lematu 3.7.4 dla ka ˙zdego y ∈ An istnieje komórka xy ∈ P (Vn)
o tej własno´sci, ˙ze(x, y) ∈ Mn oraz zachodzi elementarne zgniecenie Vn&eVn(y), gdzie Vn(y) jest podkompleksem Vn takim, ˙ze P (Vn(y)) = P (Vn) rxy, y . Niech r(y): Vn → Vn(y) oznacza mocn ˛a retrakcj˛e deformacyjn ˛a wybran ˛a w ten sposób (patrz s. 21), ˙ze
r(y) xy∪y
⊆[
{z∈ P (Vn(y)) : z jest ´scian ˛a xyw Vn}.
Przez Vn+1 oznaczmy taki podkompleks CW kompleksu Vn, ˙ze P (Vn+1) = P (Vn) rS
y∈An{y, xy}, przez in: Vn+1 ,→ Vn wło ˙zenie, za´s przez rn: Vn → Vn+1
mocn ˛a retrakcj ˛a deformacyjn ˛a zadan ˛a, dla a∈ Vn, wzorem rn(a) =
(
r(y)(a), je ˙zeli a∈ xy∪y dla pewnego y ∈ An, a w przeciwnym wypadku.
Wobec wyboru retrakcji r(y), y∈ An, retrakcja rn jest wła´sciwa. Istnieje wła´sciwa homotopia idVn−1
p
'in◦rnrel Vn; oznaczmy j ˛a przez hn: Vn×I→Vn. Niech Mn+1={(x, y) ∈ Mn : x, y∈ P (Vn+1)}.
Nietrudno spostrzec, ˙ze Mn+1jest skojarzeniem Morse’a na Vn+1o tej własno´sci, ˙zeHMn+1(P (Vn+1))nie zawiera promieni rosn ˛acych orazCMn+1(P (Vn+1)) = ∅.
Wyka ˙zemy, ˙ze T
n∈NVn =∅. Dla n ∈ N oraz y ∈ P (Vn) niech ln(y) oznacza maksymaln ˛a długo´s´c ´scie ˙zki w grafie skierowanym Mn−({y}). Łatwo zauwa ˙zy´c, ˙ze je´sli y ∈ P (Vn+1), to ln+1(y) < ln(y). Ponadto ln(y) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy Mn−({y}) = {y}. Zatem dla ka ˙zdego y ∈ P (V0) istnieje n ∈ N takie, ˙ze
y ∈ P (Vn) r P (Vn+1).
Zdefiniujemy pewien ci ˛ag odwzorowa ´n(Hn: V0× [n, n+1] → V0)n∈N. Niech H0 = h0: V0× [0, 1] → V0. Załó ˙zmy, ˙ze okre´slili´smy Hn−1: V0× [n−1, n] → V0
v ∈ V0, t ∈ [n, n+1] zadane wzorem Hn(v, t) = hn(Hn−1(v, n), t−n). Funkcja H : V0× [0,∞) → V0 taka, ˙ze H(v, t) = Hn(v, t) dla v ∈ V0, t ∈ [n, n+1], jest ˙z ˛adanym w definicji przestrzeni z kołnierzykiem na zewn ˛atrz wła´sciwym prze-dłu ˙zeniem odwzorowania V0× {0} →V0.
3.8. S
KOJARZENIAM
ORSE’
A A DYSKRETNE FUNKCJEM
ORSE’
A Uogólniaj ˛ac dyskretn ˛a teori˛e Morse’a na niesko ´nczone kompleksy i cz˛e´sciowe porz ˛adki nie korzystali´smy, przynajmniej jawnie, z poj˛ecia dyskretnej funkcji Morse’a. Powodem tego stanu rzeczy jest fakt, i ˙z skojarzenia Morse’a okazały si˛e dla autora rozprawy podczas formułowania przedstawionych uogólnie ´n na-rz˛edziem wygodniejszym i bardziej elastycznym. Gar´s´c uwag dotycz ˛acych dys-kretnych funkcji Morse’a na niezwartych (niesko ´nczonych) obiektach wydaje si˛e jednak by´c w tym miejscu stosowna.3.8.1. Przegl ˛ad literatury
Podej´scie do dyskretnej teorii Morse’a na niesko ´nczonych kompleksach sym-plicjalnych bazuj ˛ace na dyskretnych funkcjach Morse’a zostało zaproponowane przez Formana [85]. Zdefiniował on wła´sciw ˛a dyskretn ˛a funkcj˛e Morse’a na kom-pleksie symplicjalnym K jako dyskretn ˛a funkcj˛e Morse’a na K o tej własno´sci, ˙ze podkompleksy K(a)s ˛a sko ´nczone dla wszystkich a ∈ R. Dla tego typu
dyskret-nych funkcji Morse’a mo ˙zna przeprowadzi´c dowody najwa ˙zniejszych twierdze ´n dyskretnej teorii Morse’a analogicznie jak w przypadku sko ´nczonym. Jednak ˙ze, jak zauwa ˙zył Forman, w wielu przypadkach zało ˙zenie to jest nienaturalne.
Poj˛ecie wła´sciwej dyskretnej funkcji Morse’a uogólnili Ayala, Fernández i Vil-ches [9]; autorzy ci zdefiniowali wła´sciw ˛a dyskretn ˛a funkcj˛e Morse’a na kom-pleksie symplicjalnym K jako tak ˛a dyskretn ˛a funkcj˛e Morse’a na K, dla której zbiory f−1[a, b]s ˛a sko ´nczone dla wszystkich a <b ∈R. Mówimy, ˙ze funkcje tego
typu s ˛a wła´sciwe w słabym sensie. Dla dyskretnej funkcji Morse’a wła´sciwej w sła-bym sensie mo ˙zna wykaza´c, w zasadzie przepisuj ˛ac dowody z pracy Formana [81], ˙ze je ˙zeli zbiór f−1[a, b]nie zawiera komórek krytycznych, to podkompleksy K(a), K(b) s ˛a homotopijnie równowa ˙zne, a tak ˙ze ˙ze „przej´scie” przez poziom, którego przeciwobraz zawiera komórk˛e krytyczn ˛a, odpowiada doklejeniu ko-mórki. Ponadto, w specjalnych wypadkach, udowodniono dla dyskretnych funk-cji Morse’a wła´sciwych w słabym sensie dyskretne nierówno´sci Morse’a [9, 11], oraz innego typu wyniki [8, 10, 12, 13].
3.8.2. Uogólnienia poj˛ecia dyskretnej funkcji Morse’a
Niech P b˛edzie dobrze ufundowanym cz˛e´sciowym porz ˛adkiem nie zawiera-j ˛acym podzbioru izomorficznego z ω+1. Funkcj˛e f : P →R nazywamy dyskretn ˛a