4.3. Kombinatoryczne twierdzenia o punkcie lub ko ´ncu stałym
4.3.3. Kombinatoryczne twierdzenie typu Lefschetza o punkcie
Odt ˛ad, a˙z do ko ´nca sekcji 4.3.3, zakładamy, ˙ze P jest spójnym, lokalnie sko ´nczonym cz˛e´sciowym porz ˛adkiem, za´s f: P → P jest wła´sciwym
odwzo-rowaniem zachowuj ˛acym porz ˛adek bez ko ´nców stałych.
Je´sli h : A → A jest funkcj ˛a okre´slon ˛a na pewnym zbiorze A, to mówimy, ˙ze a ∈ A jest jej punktem periodycznym, o ile hm(a) = a dla pewnej liczby naturalnej m > 1. Je ˙zeli natomiast istnieje liczba naturalna n taka, ˙ze hn(a) jest punktem periodycznym funkcji h, to a nazywamy punktem ostatecznie periodycznym funkcji h.
Lemat 4.3.4. Ka˙zdy element p∈ P jest punktem ostatecznie periodycznym odwzorowa-nia f .
Dowód. Ustalmy element p ∈ P i przypu´s´cmy, ˙ze nie jest on punktem ostatecz-nie periodycznym funkcji f . Przyjmijmy oznaczeostatecz-nie k = dP(p, f(p)); porz ˛adek P jest spójny, wi˛ec k < ∞. Poniewa˙z f zachowuje porz ˛adek, prawdziwa jest dla wszystkich n ∈N nierówno´s´c
dP
fn(p), fn+1(p)6k. (4.3) Istnieje podzbiór D ⊆ P przestawiaj ˛acy ko ´nce i taki, ˙ze PrD nie ma sko ´nczo-nych składowych spójno´sci. Poniewa ˙z punkt p nie jest ostatecznie periodyczny, a zbiór BP(D, k) jest sko ´nczony, istnieje liczba n0 ∈ N taka, ˙ze fn(p) 6∈ BP(D, k)
dla wszystkich n > n0. W szczególno´sci fn0(p) 6∈ D, wi˛ec fn0(p) ∈ ε(D) dla pewnego ko ´nca ε ∈ E(P). Poniewa ˙z D jest zbiorem przestawiaj ˛acym ko ´nce, fn0+1(p) 6∈ ε(D), a z wyboru liczby n0 element fn0+1(p) 6∈ BP(D, k). Zatem fn0+1(p) ∈ Pr (ε(D) ∪BP(D, k)). Na podstawie lematu 4.3.2 zachodzi nierów-no´s´c dP fn0+1(p), fn0(p)>k, sprzeczna z nierówno´sci ˛a (4.3).
Lemat 4.3.5. Niech Q b˛edzie cz˛e´sciowym porz ˛adkiem, za´s g : Q → Q zachowuj ˛acym porz ˛adek odwzorowaniem o tej własno´sci, ˙ze ka˙zdy element zbioru Q jest punktem perio-dycznym funkcji g. Wówczas g jest automorfizmem cz˛e´sciowego porz ˛adku Q.
Dowód. Dowód lematu jest nietrudny; nale ˙zy zauwa ˙zy´c, ˙ze odwzorowanie g jest ró ˙znowarto´sciowe i „na”, oraz ˙ze je´sli g(p) 6 g(q) dla pewnych p, q ∈ Q, to równie ˙z p6q. Dla przykładu udowodnimy t˛e ostatni ˛a własno´s´c.
Je´sli p 6q, to gn(p) 6gn(q)dla ka ˙zdej liczby n ∈ N. Poniewa˙z p, q s ˛a
punk-tami periodycznymi funkcji g, istniej ˛a liczby naturalne np, nq takie, ˙ze gnp(p) = p oraz gnq(q) = q, a zatem:
p =gnpnq(p) 6gnpnq(q) = q.
Oznaczmy przez P∞ podzbiór cz˛e´sciowo uporz ˛adkowany zbioru P, któ-rego elementami s ˛a wszystkie punkty periodyczne odwzorowania f . Oczywi-´scie f(P∞) ⊆ P∞. Niech f∞ = f
4.3. KOMBINATORYCZNE TWIERDZENIA O PUNKCIE LUB KO ´NCU STAŁYM 155
odwzorowanie to jest automorfizmem cz˛e´sciowego porz ˛adku P∞. Poniewa ˙z FixEnd(f) = ∅, jest oczywiste, ˙ze FixEnd(f∞) = ∅.
Przypomnijmy, ˙ze z definicji homologie cz˛e´sciowego porz ˛adku Q s ˛a równe symplicjalnym homologiom stowarzyszonego z nim kompleksu symplicjalnego
K(Q). S ˛a to zatem homologie pewnego kompleksu ła ´ncuchowego C∗(Q) = (Ci(Q), ∂i)i∈N takiego, ˙ze dla ka ˙zdego i ∈ N baz ˛a przestrzeni wektorowej
Ci(Q) jest zbiór ła ´ncuchów długo´sci i zawartych w Q. Je ˙zeli A ⊆ Q, to istnieje kompleks ła ´ncuchowy C∗(Q, A) = C∗(Q)C∗(A) oraz H∗(Q, A) =
H∗(C∗(Q, A)).
Je ˙zeli Q jest cz˛e´sciowym porz ˛adkiem, A ⊆ Q, za´s g : Q → Q jest zachowu-j ˛acym porz ˛adek odwzorowaniem o tej własno´sci, ˙ze g(A) ⊆ A, to symbolem g(Q,A): (Q, A) → (Q, A) oznaczamy indukowane przez g odwzorowanie par cz˛e´sciowych porz ˛adków.
Lemat 4.3.6. Homomorfizm H∗(f) jest dopuszczalny wtedy i tylko wtedy, gdy homo-morfizm H∗(f∞) jest dopuszczalny. Ponadto zachodzi wówczas równo´s´c uogólnionych liczb Lefschetza:Λ(f) =Λ(f∞).
Dowód. Istnieje przemienny diagram
· · · //Hn(P∞) // Hn(f∞) Hn(P) Hn(f) //Hn(P, P∞) // Hn(f(P,P∞)) Hn−1(P∞) // Hn−1(f∞) · · · · · · //Hn(P∞) //Hn(P) //Hn(P, P∞) //Hn−1(P∞) //· · · o wierszach b˛ed ˛acych długimi ci ˛agami dokładnymi pary (P, P∞). Dla ka ˙zdego elementu ζ ∈ H∗(P, P∞) istnieje ła ´ncuch z∈ C∗(P)taki, ˙ze ζ jest klas ˛a homologii elementu z+C∗(P∞) ∈ C∗(P)C∗(P∞), co zapisujemy przez ζ = [z+C∗(P∞)]. Na podstawie lematu 4.3.4 istnieje liczba naturalna nz taka, ˙ze C∗(fnz)(z) ∈ C∗(P∞). Zatem H∗ fnz (P,P∞) (ζ) = H∗ fnz (P,P∞) ([z+C∗(P∞)]) = [C∗(fnz)(z) +C∗(P∞)] =0, czyli ζ nale ˙zy do uogólnionego j ˛adra: ζ ∈ N H∗ f(P,P∞). Wobec dowolno-´sci wyboru ζ ∈ H∗(P, P∞) oznacza to, ˙ze homomorfizm H∗ f(P,P∞)
jest do-puszczalny oraz Λ H∗ f(P,P∞)
= 0. Z lematu 1.6.3 otrzymujemy równo´s´c Λ(f) =Λ(f∞).
Poni ˙zsze twierdzenie typu Lefschetza o punkcie lub ko ´ncu stałym dla cz˛e´scio-wych porz ˛adków jest uogólnieniem na lokalnie sko ´nczone cz˛e´sciowe porz ˛adki twierdzenia 1.6.9.
Twierdzenie 4.3.7. Je´sli homomorfizm H∗(f) jest dopuszczalny, to zachodzi równo´s´c uogólnionej liczby Lefschetza odwzorowania f oraz charakterystyki Eulera zbioru jego punktów stałych:Λ(f) = χ(Fix(f)).
Dowód. Załó ˙zmy, ˙ze homomorfizm H∗(f) jest dopuszczalny. Wybierzmy sko ´n-czony podzbiór D0 ⊆ P∞ taki, ˙ze D0 jest dla f∞ zbiorem przestawiaj ˛acym ko ´nce. Poniewa ˙z f∞ jest automorfizmem, mo ˙zemy zakłada´c, ˙ze podzbiór D0 jest nie-zmienniczy ze wzgl˛edu na działanie f∞. Co wi˛ecej, mo ˙zemy D0 rozszerzy´c do niezmienniczego ze wzgl˛edu na f∞, sko ´nczonego podzbioru D ⊆ P takiego, ˙ze zbiór P∞rD nie ma sko ´nczonych składowych spójno´sci.
Niech A = P∞rD. Wobec wyboru D zbiór A jest niezmienniczy ze wzgl˛edu na działanie automorfizmu f∞. Poniewa ˙z zbiór D =P∞rA jest sko ´nczony, kom-pleks ła ´ncuchowy C∗(P∞, A) oraz relatywne homologie H∗(P∞, A) s ˛a sko ´nczo-nego typu. Istnieje przemienny diagram
· · · // Hn(A) // Hn f A Hn(P∞) // Hn(f∞) Hn(P∞, A) // Hn f∞(P∞,A) Hn−1(A) // Hn−1 f A · · · · · · // Hn(A) //Hn(P∞) //Hn(P∞, A) //Hn−1(A) //· · ·
o wierszach b˛ed ˛acych długimi ci ˛agami dokładnymi pary (P∞, A). Homomorfi-zmy H∗ f∞(P∞,A) oraz H∗(f∞)s ˛a dopuszczalne, co wynika odpowiednio z faktu, ˙ze homologie H∗(P∞, A) s ˛a sko ´nczonego typu i z lematu 4.3.6. Na podstawie le-matu 1.6.3 homomorfizm H∗ f
A jest dopuszczalny oraz Λ f
A
=Λ(f∞) −Λ f∞(P∞,A).
Niech Si, i = 1, . . . , k, b˛ed ˛a wszystkimi spójnymi składowymi zbioru A. Po-niewa ˙z D jest dla f∞ zbiorem przestawiaj ˛acym ko ´nce, dla wszystkich i =1, . . . , k mamy f∞(Si) ∩Si = ∅. Wobec teorioporz ˛adkowego odpowiednika lematu 1.6.5 oznacza to, ˙zeΛ f
A
= 0, czyli Λ(f∞) = Λ f∞(P,A). Z lematu 4.3.6 otrzymu-jemy równo´s´cΛ(f) =Λ f∞(P,A).
Kompleks ła ´ncuchowy C∗(P∞, A) jest sko ´nczonego typu, wobec czego na podstawie twierdzenia 1.6.1 zachodz ˛a równo´sci
λ C∗ f∞(P,A) =λ H∗ f∞(P,A) =Λ f∞(P,A).
Baz˛e przestrzeni C∗(P∞, A) tworz ˛a sko ´nczone, liniowo uporz ˛adkowane pod-zbiory P∞nie zawieraj ˛ace si˛e w A. Dla takiego bazowego podzbioru liniowo upo-rz ˛adkowanego l ⊆P∞oraz skalara α ∈Qr {0}równo´s´c C∗ f∞(P,A)
(l) =αlma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy f∞(l) = l oraz α = 1, gdy ˙z f∞ jest odwzoro-waniem zachowuj ˛acym porz ˛adek. Poniewa ˙z Fix(f∞) ⊆ P∞rA, ka ˙zdy bazowy podzbiór liniowo uporz ˛adkowany l ⊆ P∞ taki, ˙ze C∗ f∞(P,A)
(l) = l, jest rów-nie ˙z elementem bazowym przestrzeni liniowej C∗(D) ⊆ C∗(P∞, A). Zachodz ˛a zatem równo´sci λ(C∗(f∞, A)) =λC∗ f D = ∞
∑
i=0 (−1)itrCi f D = ∞∑
i=0 (−1)i {q0 <. . . <qi} ⊆ Fix(f) =χ(Fix(f)),4.3. KOMBINATORYCZNE TWIERDZENIA O PUNKCIE LUB KO ´NCU STAŁYM 157
ko ´ncz ˛ace dowód twierdzenia.
Oczywisty jest nast˛epuj ˛acy wniosek.
Wniosek 4.3.8. Je´sli homomorfizm H∗(f) jest dopuszczalny oraz Λ(f) 6= 0, to Fix(f) 6=∅.
Prawdziwa jest tak ˙ze symplicjalna wersja twierdzenia 4.3.7, uogólniaj ˛aca wniosek 1.6.11.
Wniosek 4.3.9. Niech K b˛edzie lokalnie sko ´nczonym kompleksem symplicjalnym, za´s
ϕ: K → K wła´sciwym odwzorowaniem symplicjalnym bez ko ´nców stałych. Je´sli homo-morfizm H∗(ϕ) jest dopuszczalny, to jego uogólniona liczba Lefschetza jest równa cha-rakterystyce Eulera zbioru punktów stałych realizacji geometrycznej tego odwzorowania: Λ(ϕ) = χ(Fix|ϕ|).
Dowód. Oczywi´scieP (K(P (K)))jest lokalnie sko ´nczonym cz˛e´sciowym porz ˛ ad-kiem, za´s P (K(P (ϕ))) jest wła´sciwym odwzorowaniem zachowuj ˛acym porz ˛ a-dek bez ko ´nców stałych. Ponadto, je´sli homomorfizm H∗(ϕ) jest dopuszczalny, to równie ˙z homomorfizm H∗(P (K(P (ϕ)))) jest dopuszczalny i zachodzi rów-no´s´cΛ(ϕ) =Λ(P (K(P (ϕ)))). Z twierdzenia 4.3.7 otrzymujemy:
Λ(ϕ) = χ(Fix(P (K(P (ϕ))))) =χ(Fix(|K(P (ϕ))|)) =χ(Fix(|ϕ|)).
Zauwa ˙zmy, ˙ze funkcja z przykładu 4.1.8 jest realizacj ˛a geometryczn ˛a odwzo-rowania symplicjalnego, co pokazuje, ˙ze w powy ˙zszych wynikach nie mo ˙zna po-min ˛a´c zało ˙zenia o dopuszczalno´sci homomorfizmów indukowanych przez roz-wa ˙zane odwzororoz-wania.
Poni ˙zsze twierdzenie wi ˛a ˙ze uogólnion ˛a liczb˛e Lefschetza odwzorowania symplicjalnego bez ko ´nców stałych z indeksem punktów stałych jego realizacji geometrycznej.
Twierdzenie 4.3.10. Niech K b˛edzie lokalnie sko ´nczonym kompleksem symplicjalnym,
za´s ϕ : K → K wła´sciwym odwzorowaniem symplicjalnym bez ko ´nców stałych. Je´sli homomorfizm H∗(ϕ) jest dopuszczalny, to uogólniona liczba Lefschetza odwzorowania symplicjalnego ϕ jest równa indeksowi punktów stałych jego realizacji geometrycznej: Λ(ϕ) = Ind(|ϕ|).
Dowód. Na podstawie lematu 4.3.4 zastosowanego do odwzorowania
P (ϕ): P (K) → P (K) ka ˙zdy wierzchołek kompleksu K jest punktem osta-tecznie periodycznym funkcji ϕ. Istnieje zatem wierzchołek v0 ∈ K b˛ed ˛acy jej punktem periodycznym. Dla ka ˙zdej liczby n ∈ N niech Ken b˛edzie pełnym podkompleksem K rozpi˛etym na zbiorze wierzchołków
V eKn = [
m∈N
minBP (K) ϕm(v0), n,
za´s przez Kn oznaczmy pełny podkompleks K rozpi˛ety na zbiorze wierzchołków V(Kn) = [ m∈N n ϕm(w) : w∈ V eKn o .
Kompleks eKn jest oczywi´scie sko ´nczony. Sko ´nczono´s´c kompleksu Kn wynika na-tomiast ze sko ´nczono´sci eKn oraz faktu, ˙ze ka ˙zdy wierzchołek kompleksu K jest ostatecznie periodyczny. Zauwa ˙zmy, ˙ze S
n∈NKn = K oraz|ϕ|(|Kn|) ⊆ |Kn| dla
ka ˙zdej liczby naturalnej n.
Zbiór Fix(|ϕ|)jest (na podstawie lematu 4.1.5) zwarty, a zatem istniej ˛a otwarty podzbiór U ⊆ |K| oraz liczba n0 ∈ N takie, ˙ze Fix(|ϕ|) ⊆ U ⊆ |Kn0|. Stosuj ˛ac kolejno lemat 1.6.8, aksjomat wycinania (I) oraz normalizacji (VII), otrzymujemy:
Ind(|ϕ|) =Ind|ϕ| U: U → |Kn|=Ind|ϕ| |Kn|: |Kn| → |Kn|=Λ|ϕ| |Kn| . Poniewa ˙z Fix|ϕ| |Kn|
= Fix(|ϕ|), na podstawie wniosku 4.3.9 zachodz ˛a rów-no´sci: Λ|ϕ| |Kn| =χFix|ϕ| |Kn| =χ(Fix(|ϕ|)) =Λ(ϕ).
4.3.4. (Ko)rozbieralno´s´c a własno´s´c punktu lub ko ´nca stałego
Wska ˙zemy zwi ˛azki mi˛edzy kombinatoryczn ˛a własno´sci ˛a punktu lub ko ´nca stałego a poj˛eciem (ko)rozbieralno´sci. Badanie ich jest naturalne, gdy ˙z analo-giczne powi ˛azania okazały si˛e niezwykle istotne dla teorii punktów stałych od-wzorowa ´n zachowuj ˛acych porz ˛adek [202, 204, 205].
Mówimy, ˙ze para(P, r), składaj ˛aca si˛e z cz˛e´sciowego porz ˛adku P oraz retrak-cji r : P →r(P), spełnia warunek lustrzany4[202, Definition 3.17], o ile dla ka ˙zdego zachowuj ˛acego porz ˛adek odwzorowania f : P → P istnienie punktu stałego
zło-˙zenia r◦ f
r(P): r(P) → r(P)implikuje istnieje punktu stałego funkcji f .
Przykładów par spełniaj ˛acych warunek lustrzany dostarczaj ˛a nast˛epuj ˛ace le-maty.
Lemat 4.3.11([202, Example 3.18, 1.]). Niech P b˛edzie ła ´ncuchowo zupełnym cz˛e´scio-wym porz ˛adkiem, za´s r : P → r(P) retrakcj ˛a nale˙z ˛ac ˛a do klasy C. Wówczas para(P, r)
spełnia warunek lustrzany.
SymbolemR1[202, Example 3.8] oznaczamy klas˛e tych retrakcji r : P →r(P), dla których|Prr(P)| 61.
Lemat 4.3.12([202, Example 3.18, 2.]). Niech P b˛edzie cz˛e´sciowym porz ˛adkiem, a∈ P jego elementem, za´s r : P →r(P) = Pr {a}retrakcj ˛a nale˙z ˛ac ˛a do klasyR1. Je˙zeli jeden ze zbiorów ˆa↑, ˆa↓ma własno´s´c punktu stałego, to para(P, r)spełnia warunek lustrzany. Szczególna rola warunku lustrzanego w teorii punktów stałych odwzorowa ´n zachowuj ˛acych porz ˛adek wynika z poni ˙zszego twierdzenia.
Twierdzenie 4.3.13 ([202, Theorem 3.19]). Je˙zeli P jest cz˛e´sciowym porz ˛adkiem,
α liczb ˛a porz ˛adkow ˛a, za´s rφ,φ+1: Pφ →Pφ+1
φ<αci ˛agiem rozbieraj ˛acym P do pewnego podzbioru Q ⊆ P, przy czym ka˙zda z par Pφ, rφ,φ+1, 0 6 φ < α, spełnia warunek
lustrzany, to P∈ FPP wtedy i tylko wtedy, gdy Q ∈FPP. 4ang. reflection condition
4.3. KOMBINATORYCZNE TWIERDZENIA O PUNKCIE LUB KO ´NCU STAŁYM 159
Nast˛epuj ˛acy wniosek jest konsekwencj ˛a lematu 4.3.11 oraz twierdzenia 4.3.13.
Wniosek 4.3.14. Je˙zeli P jest ła ´ncuchowo zupełnym cz˛e´sciowym porz ˛adkiem, Q ⊆ P oraz P&& Q, to P∈ FPP wtedy i tylko wtedy, gdy Q ∈FPP.
Udowodnimy analogiczne do twierdzenia 4.3.13 oraz wniosku 4.3.14 fakty dotycz ˛ace własno´sci punktu lub ko ´nca stałego.
Dla ka ˙zdej liczby k ∈ N symbolemBkoznaczamy klas˛e takich zachowuj ˛acych porz ˛adek retrakcji r : P → r(P), ˙ze dP(p, r(p)) 6 k dla ka ˙zdego elementu p ∈ P. Zauwa ˙zmy, ˙zeC ⊆ B1, oraz ˙ze ka ˙zdaR1-retrakcja okre´slona na spójnym zbiorze cz˛e´sciowo uporz ˛adkowanym nale ˙zy doB2.
Lemat 4.3.15. Niech P b˛edzie spójnym, lokalnie sko ´nczonym cz˛e´sciowym
po-rz ˛adkiem, k liczb ˛a naturaln ˛a, α liczb ˛a porz ˛adkow ˛a, za´s rφ,φ+1: Pφ →Pφ+1
φ<α
niesko ´nczenie składalnym ci ˛agiem retrakcji nale˙z ˛acych do Bk. Odwzorowanie Rα = → rφ,φ+106φ<α : P →Pα jest wówczas wła´sciw ˛a retrakcj ˛a, a indukowana przez nie funkcja E(Rα): E(P) → E(Rα(P))jest bijekcj ˛a, funkcj ˛a odwrotn ˛a do której jest odwzorowanie E(i): E(Rα(P)) →E(P)indukowane przez wło˙zenie i : Rα(P) ,→ P. Dowód. Wyka ˙zemy najpierw, ˙ze dla ka ˙zdej liczby porz ˛adkowej 0 6ψ6α retrak-cja Rψ= → rφ,φ+106φ<ψ : P→ Pψ jest wła´sciwa.
Jest tak oczywi´scie dla ψ = 0. Ustalmy ψ > 0 oraz p ∈ Pψ i załó ˙zmy, ˙ze dla wszystkich liczb porz ˛adkowych ρ < ψoraz wszystkich q ∈ Pρ zbiór R−ρ1(q) jest sko ´nczony. Niech A(p) = BPψ(p, k) ∩Rψ−1(p); zbiór A(p) jest sko ´nczony, gdy ˙z jest zawarty w sko ´nczonym zbiorze BPψ(p, k). Dla ka ˙zdego q∈ A(p)niech
ρq =min
ρ<ψ: Rρ+1(q) = p . Zauwa ˙zmy, ˙ze
R−ψ1(p) = {p} ∪ [
q∈A(p)
R−ρq1(q),
co z zało ˙zenia indukcyjnego oznacza, ˙ze zbiór R−ψ1(p)jest sko ´nczony (jako suma sko ´nczonej rodziny sko ´nczonych zbiorów). Retrakcja Rψjest wi˛ec wła´sciwa.
Niech i : Rα ,→ P oznacza wło ˙zenie. Poniewa ˙z Rαjest retrakcj ˛a, zachodzi rów-no´s´c Rα◦i =idR
α(P); st ˛ad
E(Rα) ◦E(i) =E idRα(P)
=idE(Rα(P)). Wyka ˙zemy, ˙ze E(i) ◦E(Rα) =idE(P).
Ustalmy w tym celu koniec ε ∈ E(P). Dla dowolnego ko ´nca ε0 ∈ E(P) r {ε}
istnieje sko ´nczony podzbiór F ⊆P taki, ˙ze ε(F) 6= ε0(F), tzn. ε(F) ∩ε0(F) = ∅. Na podstawie lematu 4.3.2 dla wszystkich p ∈ ε0(F)oraz q ∈ Pr ε0(F) ∪BP(F, k) zachodzi nierówno´s´c dP(p, q) >k.
Rozwa ˙zmy zbiór
Udowodnimy, ˙ze Rα(q) 6∈ ε0(F) dla wszystkich elementów q ∈ Pr (ε0(F) ∪A). Je ˙zeli bowiem Rα(q) ∈ ε0(F) dla pewnego q ∈ P, to istnieje najmniejsza liczba porz ˛adkowa φ < α taka, ˙ze Rφ(q) ∈ ε0(F). Je´sli q 6∈ ε0(F), to φ > 0 jest nast˛epni-kiem, φ= ψ+1. Poniewa ˙z Rφ(q) =rψ,ψ+1 Rψ(q) oraz rψ,ψ+1 ∈ Bk, ma miejsce nierówno´s´c dP Rφ(q), Rψ(q)
6 k; st ˛ad Rψ(q) ∈ BP(F, k) ∪ε0(F). Ale z defini-cji liczby porz ˛adkowej φ element Rψ(q) 6∈ ε0(F), wi˛ec Rψ(q) ∈ BP(F, k). Zatem Rα(q) = Rα(Rψ(q)) ∈ Rα(BP(F, k)), czyli q∈ R−α1(Rα(BP(F, k))) = A.
Poniewa ˙z F ⊆BP(F, k) ⊆ A oraz ε(F) ∩ε0(F) = ∅, zachodz ˛a inkluzje
ε0(A) ⊆ε0(BP(F, k)) ⊆ε0(F), a tak ˙ze
ε(A) ⊆ε(BP(F, k)) rA⊆Pr ε0(F) ∪A .
St ˛ad (i◦Rα)(ε(A)) ∩ε0(A) = ∅. Zatem E(i◦Rα)(ε) 6= ε0, co wobec dowolno´sci wyboru ko ´nca ε0 ∈ E(P) r {ε}oznacza, ˙ze E(i) ◦E(Rα)
(ε) =ε.
Poni ˙zszy wynik jest uwzgl˛edniaj ˛acym ko ´nce stałe odpowiednikiem twierdze-nia 4.3.13.
Twierdzenie 4.3.16 (por. [202, Theorem 3.19]). Je˙zeli P jest lokalnie sko ´n-czonym cz˛e´sciowym porz ˛adkiem, k liczb ˛a naturaln ˛a, α liczb ˛a porz ˛adkow ˛a, za´s
rφ,φ+1: Pφ →Pφ+1
φ<α ci ˛agiem Bk-rozbieraj ˛acym P do pewnego podzbioru Q ⊆ P, przy czym ka˙zda z par Pφ, rφ,φ+1, φ < α, spełnia warunek lustrzany, to P ∈ FPEP wtedy i tylko wtedy, gdy Q∈ FPEP.
Dowód. Ustalmy spełniaj ˛ace zało ˙zenia twierdzenia porz ˛adki P, Q, liczb˛e k ∈ N,
liczb˛e porz ˛adkow ˛a α oraz ci ˛ag rφ,φ+1: Pφ → Pφ+1
φ<α. Dla ka ˙zdej liczby porz ˛ ad-kowej ψ 6 α niech Rψ = → rφ,φ+1
06φ<ψ : P → Pψ, za´s iψ: Pψ ,→ P niech b˛edzie wło ˙zeniem. Oczywi´scie Q=Rα(P).
Na podstawie lematu 4.3.15 zbiór Q jest wła´sciwym retraktem P. Je ˙zeli za-tem P ∈FPEP, to wobec teorioporz ˛adkowego odpowiednika stwierdzenia 4.1.12 równie ˙z Q∈ FPEP.
Załó ˙zmy, ˙ze Q = Rα(P) ∈ FPEP. Ustalmy zachowuj ˛ace porz ˛adek odwzo-rowanie f : P → P bez ko ´nców stałych. W szczególno´sci E(f)(E(iα)(ε)) 6=
E(iα)(ε) dla ka ˙zdego ko ´nca ε ∈ E(Rα(P)). Z lematu 4.3.15 dla ka ˙zdego ko ´nca
ε∈ E(Rα(P))otrzymujemy
E(Rα) ◦E(f) ◦E(iα)(ε) =E(iα)−1 E(f)(E(iα)(ε)) 6=ε,
czyli odwzorowanie Rα◦ f ◦iα: Rα(P) → Rα(P) nie ma ko ´nców stałych. Zatem Fix(Rα◦ f ◦iα) 6=∅.
Wyka ˙zemy indukcyjnie dla ka ˙zdej liczby porz ˛adkowej 0 6 φ 6 α, ˙ze je´sli odwzorowanie Rφ◦ f ◦iφ = Rφ◦ f
Pφ: Pφ → Pφ ma punkt stały, to Fix(f) 6= ∅. Dla φ = 0 jest to oczywiste. Ustalmy φ > 0 i załó ˙zmy, ˙ze dowodzona impli-kacja jest prawdziwa dla wszystkich ψ < φ, oraz ˙ze Fix Rφ ◦ f
Pφ
4.3. KOMBINATORYCZNE TWIERDZENIA O PUNKCIE LUB KO ´NCU STAŁYM 161
φjest nast˛epnikiem, φ = ψ+1, to Rφ◦ f
Pφ = rψ,ψ+1◦Rψ◦ f
Pφ. Poniewa ˙z para Pψ, rψ,ψ+1 spełnia warunek lustrzany, to Fix Rψ◦ f
Pψ
6= ∅, co wobec zało˙ze-nia indukcyjnego oznacza, ˙ze Fix(f) 6=∅. Je˙zeli natomiast φ jest graniczn ˛a liczb ˛a porz ˛adkow ˛a i Rφ◦ f
Pφ ma punkt stały p∈ Pφ, to z definicji niesko ´nczonego zło-˙zenia istnieje liczba porz ˛adkowa ψ <φtaka, ˙ze Rψ(f(p)) =Rφ(f(p)) = p, co na podstawie zało ˙zenia indukcyjnego oznacza, ˙ze Fix(f) 6=∅.
Wykazali´smy wcze´sniej, ˙ze odwzorowanie Rα◦ f ◦iα = Rα◦ f Pα ma punkt stały, a zatem Fix(f) 6=∅, co oznacza, ˙ze P ∈ FPEP.
Prawdziwy jest te ˙z odpowiednik wniosku 4.3.14, jak równie ˙z jego sympli-cjalna wersja.
Wniosek 4.3.17. Je´sli P, Q s ˛a lokalnie sko ´nczonymi cz˛e´sciowymi porz ˛adkami oraz P&&Q, to P∈ FPEP wtedy i tylko wtedy, gdy Q∈ FPEP.
Dowód. Ustalmy lokalnie sko ´nczone cz˛e´sciowe porz ˛adki P, Q takie, ˙ze ist-niej ˛a liczba porz ˛adkowa α oraz C-rozbieraj ˛acy P do Q ci ˛ag retrakcji
rφ: Pφ → Pφ+1
φ<α. Na podstawie lematu 4.3.11 ka ˙zda para Pφ, rφ, φ<α, speł-nia warunek lustrzany. Poniewa ˙zC ⊆ B1, teza wynika z twierdzenia 4.3.16.
Wniosek 4.3.18. Je´sli K, L s ˛a lokalnie sko ´nczonymi kompleksami symplicjalnymi oraz K&&L, to K∈ FSEP wtedy i tylko wtedy, gdy L∈ FSEP.
Dowód. Ustalmy lokalnie sko ´nczone kompleksy symplicjalne K, L takie, ˙ze K && L. Z lematu 2.3.5 otrzymujemy P (K) && P (L). Zgodnie z wnioskiem 4.3.17 cz˛e´sciowy porz ˛adekP (K) ∈FPEP wtedy i tylko wtedy, gdyP (L) ∈ FPEP. Zastosowanie stwierdzenia 4.3.1 ko ´nczy dowód.
Zachodzi równie ˙z podobny do twierdzenia 4.3.16 fakt dotycz ˛acy korozbieral-no´sci.
Twierdzenie 4.3.19. Je˙zeli P jest lokalnie sko ´nczonym cz˛e´sciowym porz ˛adkiem, k liczb ˛a naturaln ˛a, β liczb ˛a porz ˛adkow ˛a, za´s sφ+1,φ: Qφ+1 →Qφ
φ<β ci ˛agiem
Bk-korozbieraj ˛acym P z pewnego podzbioru Q ⊆ P, przy czym ka˙zda z par Qφ+1, sφ+1,φ, φ <β, spełnia warunek lustrzany, to Q∈ FPP implikuje, ˙ze P∈ FPEP. Dowód. Ustalmy porz ˛adki P, Q, liczb˛e naturaln ˛a k, liczb˛e porz ˛adkow ˛a β oraz ci ˛ag sφ+1,φ: Qφ+1 →Qφ
φ<βspełniaj ˛ace zało ˙zenia twierdzenia. Załó ˙zmy, ˙ze cz˛e-´sciowy porz ˛adek Q ma własno´s´c punktu stałego. Dla ka ˙zdej liczby porz ˛adkowej
ψ 6 β niech Sψ = ← sφ+1,φψ6φ<β : P → Qψ, za´s iψ: Qψ ,→ P niech b˛edzie wło ˙zeniem. Przez s=s sφ+1,φφ<β : P →P oznaczmy funkcj˛e skoku (patrz s. 56). Ustalmy wła´sciwe, zachowuj ˛ace porz ˛adek odwzorowanie f : P→ P bez ko ´nców stałych.
Wyka ˙zemy indukcyjnie, ˙ze dla ka ˙zdej liczby porz ˛adkowej φ 6 β odwzoro-wanie Sφ◦ f ◦iφ: Qφ → Qφ ma punkt stały. Poniewa ˙z Sβ◦ f ◦iβ = f , wobec dowolno´sci wyboru funkcji f zako ´nczy to dowód twierdzenia.
Z zało ˙zenia Q0= Q∈ FPP, wi˛ec Fix(S0◦ f ◦i0) 6=∅. Ustalmy liczb˛e porz ˛ad-kow ˛a 0 < φ 6 βi załó ˙zmy, ˙ze Fix Sψ◦ f ◦iψ
6= ∅ dla ka˙zdej liczby porz ˛adko-wej ψ < φ. Je ˙zeli φ jest nast˛epnikiem, φ = ψ+1, to Fix Sφ◦ f ◦iφ
6= ∅, gdy˙z para Qφ, sψ+1,ψ spełnia warunek lustrzany.
Załó ˙zmy, ˙ze liczba porz ˛adkowa φ jest graniczna. Istnieje sko ´nczony podzbiór F ⊆ P b˛ed ˛acy dla f zbiorem przestawiaj ˛acym ko ´nce i taki, ˙ze ka ˙zda składowa spójno´sci zbioru PrF jest niesko ´nczona. Je´sli ε, ε0 ∈ E(X) oraz ε(F) 6= ε0(F), to wobec lematu 4.3.2 dla ka ˙zdego elementu q ∈ ε(F) rBP(F, k) ma miejsce nie-równo´s´c dP(q, ε0(F)) > k. Na podstawie lematu 2.2.15 dla ka ˙zdego p ∈ P zbiór
{sn(p) : n ∈ N}, gdzie s0(p) = idP(p) = p, jest sko ´nczony, wi˛ec sko ´nczony jest równie ˙z zbiór
ˆ
F= [
p∈BP(F,k)
{sn(p): n ∈N}.
Udowodnimy, ˙ze dla ka ˙zdej liczby porz ˛adkowej ψ < φ zachodzi zawie-ranie Fix Sψ◦ f ◦iψ
⊆ F. Ustalmy w tym celu punkt pˆ ∈ Fix Sψ◦ f ◦iψ; mamy Sψ(f(p)) = p. Je´sli p ∈ BP(F, k), to oczywi´scie p ∈ F. Je ˙zeli nato-ˆ miast p 6∈ BP(F, k), to p ∈ ε(F) r BP(F, k) dla pewnego ko ´nca ε ∈ E(P). Ale F jest dla f zbiorem przestawiaj ˛acym ko ´nce, wi˛ec f(p) 6∈ ε(F). Istnieje liczba naturalna n taka, ˙ze sn(f(p)) = Sψ(f(p)) = p. Rozwa ˙zmy sko ´nczony ci ˛ag f(p), s(f(p)), . . . , sn(f(p)). Odległo´s´c mi˛edzy ka ˙zdymi dwoma kolejnymi ele-mentami tego ci ˛agu wynosi co najwy ˙zej k. Niech
m0 =min{m 6n : sm(f(p)) ∈ε(F) rBP(F, k)};
oczywi´scie m0 > 0 (gdy ˙z s0(f(p)) = f(p) 6∈ ε(F)). Poniewa ˙z zachodzi nierów-no´s´c dP sm0−1(f(p)), sm0(f(p)) 6k, dla ka ˙zdego ko ´nca ε0 ∈ E(P) r {ε}element sm0−1(f(p)) 6∈ε0(F). Zatem sm0−1(f(p)) ∈ BP(F, k), czyli
p=sn(p) =sn−m0+1(sm0−1(f(p))) ∈F.ˆ
Nietrudno spostrzec, ˙ze je´sli p ∈ Qψ oraz p 6∈ Fix Sψ◦ f ◦iψ dla pewnej liczby porz ˛adkowej ψ <β, to p 6∈Fix Sρ◦ f ◦iρ dla wszystkich liczb porz ˛ adko-wych ψ 6ρ <β. Poniewa ˙z zbiór ˆF jest sko ´nczony oraz∅ 6=Fix Sψ◦ f ◦iψ
⊆Fˆ dla ka ˙zdej liczby porz ˛adkowej ψ <φ, to istniej ˛a punkt p0 ∈ F oraz liczba porz ˛ˆ ad-kowa ρ< φtakie, ˙ze Sψ◦ f ◦iψ
(p0) = p0dla wszystkich ρ 6ψ<φ0. Element p0jest wi˛ec równie ˙z punktem stałym funkcji Sφ◦ f ◦iφ.
Podobnie jak wy ˙zej otrzymujemy wnioski dotycz ˛aceC-korozbieralno´sci cz˛e-´sciowych porz ˛adków orazC4-korozbieralno´sci kompleksów symplicjalnych.
Wniosek 4.3.20. Je´sli P, Q s ˛a cz˛e´sciowymi porz ˛adkami, P jest lokalnie sko ´nczony, Q ∈FPP oraz Q %%P, to P ∈ FPEP.
Dowód. Natychmiastowa konsekwencja lematu 4.3.11, twierdzenia 4.3.19 oraz faktu, ˙zeC ⊆ B1.
4.3. KOMBINATORYCZNE TWIERDZENIA O PUNKCIE LUB KO ´NCU STAŁYM 163
Wniosek 4.3.21. Je´sli K, L s ˛a kompleksami symplicjalnymi, K jest lokalnie sko ´nczony, L∈ FSP oraz L%%K, to K ∈ FSEP.
Dowód. Ustalmy lokalnie sko ´nczone kompleksy symplicjalne K, L o tej własno´sci, ˙ze L ∈ FSP oraz L %% K. Korzystaj ˛ac z obserwacji poczynionych w dowodzie stwierdzenia 2.3.5 nietrudno zauwa ˙zy´c, ˙ze P (L) %% P (K). Poniewa ˙z L ∈ FSP,
toP (L) ∈ FPP (patrz s. 34). Na podstawie wniosku 4.3.20 mamyP (K) ∈ FPEP. Zastosowanie stwierdzenia 4.3.1 ko ´nczy dowód.