Mocny typ homotopijny kompleksów symplicjalnych

Niech K, L b˛ed ˛a kompleksami symplicjalnymi. Mówimy, ˙ze K, L maj ˛a ten sam mocny typ homotopijny, co oznaczamy przez K&&L, gdy istniej ˛a kompleksy symplicjalne K = K0, K1, . . . , Kn = L takie, ˙ze dla ka ˙zdego 0 6i < n ma miejsce jedna z zale ˙zno´sci:

K_i &&K_i+1, K_i %%K_i+1, K_i+1 &&K_i, K_i+1 %%K_i.

Powy ˙zsza definicja jest uogólnieniem (patrz wniosek 2.3.19) poj˛ecia moc-nego typu homotopijmoc-nego sko ´nczonych kompleksów symplicjalnych, wprowa-dzonego przez Barmaka i Miniana [31, Definition 2.1]. Autor nie jest przekonany, ˙ze jest to „wła´sciwe” uogólnienie. W niniejszej sekcji staramy si˛e uzasadni´c przy-j˛et ˛a definicj˛e w przypadku kompleksów symplicjalnych bez promieni.

Stwierdzenie 2.3.8 (por. [31, Remark 2.3]). Je´sli kompleksy symplicjalne K₁, K₂ s ˛a izomorficzne, to K₁&&K2.

Dowód. Załó ˙zmy, ˙ze kompleksy symplicjalne K1 = (VK₁, SK₁), K2 = (VK₂, SK₂)s ˛a izomorficzne. Istnieje kompleks symplicjalny L = (VL, SL) izomorficzny z tymi kompleksami oraz rozł ˛aczny z ka ˙zdym z nich. Niech i ∈ {1, 2}. Ustalmy izo-morfizm symplicjalny ϕ_i: K_i → L. Rozwa ˙zmy kompleks symplicjalny L_i = (VL_i, SL_i)o zbiorze wierzchołków VL_i =VK_i∪VL i zbiorze sympleksów

S_Li = {_σ ⊆V_Li : istnieje sympleks τ∈ S_Ki taki, ˙ze σ ⊆_τ∪_ϕi(_τ)}.

Okre´slmy odwzorowania symplicjalne ρ_i: L_i → K_i oraz ρ_i⁰: L_i → L, dla v ∈ VL_i

przyjmuj ˛ac: ρ_i(v) = ( v dla v∈ V_Ki, ϕ⁻_i ¹(v) dla v∈ VL, ^ρ 0 i(v) = ( ϕi(v) dla v∈ V_Ki, v dla v∈ VL. Nietrudno sprawdzi´c, ˙ze ρi, ρ⁰_i ∈ C_{4, a zatem}

K₁%% L₁ && L%% L2 &&K2.

Stwierdzenie 2.3.9. Niech K b˛edzie kompleksem symplicjalnym, za´s L ⊆ K jego pod-kompleksem takim, ˙ze K && _{L lub L} %% _{K. Wówczas} |_L| _{jest mocnym retraktem}

deformacyjnym|K|.

Dowód. Je ˙zeli L %% K, to teza stwierdzenia wynika z lematów 1.4.1, 1.4.18, stwierdzenia 1.4.2, i prostej obserwacji, ˙ze realizacja geometryczna retrakcji s ˛ a-siedniej jest mocn ˛a retrakcj ˛a deformacyjn ˛a .

Je´sli natomiast K && L, to istniej ˛a liczba porz ˛adkowa α oraz nie-sko ´nczenie składalny ci ˛ag retrakcji ρ_φ,φ+1: Kφ →K_φ+1
_φ<α, który C₄-rozbiera K do L. Ich realizacje geometryczne ρ_φ,φ+1

  : Kφ   →  K_φ+1   s ˛a mocnymi retrakcjami deformacyjnymi. Dla ka ˙zdej liczby porz ˛adkowej ψ 6 α niech

2.3. ROZBIERALNO´S ´C I MOCNY TYP HOMOTOPIJNY 73

Rψ = ^→ ρ_φ,φ+1

06φ6ψ : K →Kψ. Wyka ˙zemy, ˙ze dla ka ˙zdej liczby porz ˛adkowej

ψ6αprzekształcenieRψ



: |K| →  Kψ



jest mocn ˛a retrakcj ˛a deformacyjn ˛a. Ustalmy w tym celu ψ6α. Je ˙zeli ψ=0, nie mamy czego dowodzi´c. Załó ˙zmy, ˙ze 

Rφ



jest mocn ˛a retrakcj ˛a deformacyjn ˛a dla ka ˙zdej liczby porz ˛adkowej φ < ψ. Je´sli ψ jest nast˛epnikiem, ψ =_φ+1, toRψ

  =ρφ,φ+1  ◦ Rφ 

jest mocn ˛a retrakcj ˛a deformacyjn ˛a jako zło ˙zenie takich retrakcji.

Załó ˙zmy, ˙ze ψ jest graniczn ˛a liczb ˛a porz ˛adkow ˛a. Jako retrakcjaRψ



indukuje epimorfizm grup homotopii. Wyka ˙zemy, ˙ze πk

 Rψ



, x0
jest monomorfizmem dla wszystkich k >0 oraz x₀ ∈ |K|. Ustalmy element[p] ∈ _πk(|K|, x₀) reprezen-towany przez ci ˛agłe przekształcenie p : Sk → |K|. Je ˙zeli π_k Rψ



, x0
([p]) =0, to istnieje homotopia H : Sk×I→ |Kψ|mi˛edzy funkcj ˛aRψ



◦ p a odwzorowaniem stałym równym x0. Zauwa ˙zmy, ˙ze zbiór p(Sk) ⊆ |K|_{jest zwarty, a zatem jest}

za-warty w pewnym zza-wartym podkompleksie D ⊆K (patrz lemat 1.4.5). Poniewa ˙z ci ˛agC₄-rozbieraj ˛acy K do L jest niesko ´nczenie składalny, Rψ

 

D =R_β

D dla pew-nej liczby porz ˛adkowej β < ψ, czyli Rψ



◦ p = R_β◦ p. Niech i◦ Kψ



 ,→ K_β oznacza wło ˙zenie. Zło ˙zenie i◦ H jest homotopi ˛a mi˛edzy Rβ



◦ p a przekształ-ceniem stałym, co oznacza, ˙ze π_k R_β, x₀

([p]) = 0. Poniewa ˙z π_k R_β, x₀
jest z zało ˙zenia indukcyjnego izomorfizmem, [p] = 0 w π_k(|K|, x0). Zatem

π_k Rψ



, x0
jest izomorfizmem. Korzystaj ˛ac z twierdzenia Whiteheada 1.4.8, stwierdzenia 1.4.2 oraz lematu 1.4.1 otrzymujemy tez˛e.

Wniosek 2.3.10. Je˙zeli K_&&L, to|K| ' |L|.

Uwaga 2.3.11. Nie jest prawd ˛a, ˙ze je´sli|K| ' |L|, to istniej ˛a takie triangulacje K⁰, L⁰ wielo´scianów|K|,|L|, ˙ze K⁰&&L⁰. Dowód tego faktu odkładamy do strony 78.

Niech ϕ, ψ : K → L b˛ed ˛a odwzorowaniami symplicjalnymi. Mówimy, ˙ze odwzorowania ϕ, ψ s ˛a ∞-s ˛asiednie, je´sli istniej ˛a liczba porz ˛adkowa α oraz ci ˛ag pozasko ´nczony odwzorowa ´n symplicjalnych ϕξ: K → L

ξ6α, zwany ´swiadkiem ∞-s ˛asiedztwa ϕ i ψ, takie, ˙ze spełnione s ˛a nast˛epuj ˛ace warunki:

— ϕ0 =ϕ; — ϕα =ψ;

— odwzorowania ϕ_ξ oraz ϕ_ξ+1 s ˛a s ˛asiednie dla ka ˙zdej liczby porz ˛adkowej

ξ <α;

— dla ka ˙zdego wierzchołka v ∈ K oraz ka ˙zdej granicznej liczby porz ˛adkowej

γ 6 α istnieje liczba porz ˛adkowa δ < γ o tej własno´sci, ˙ze ϕξ(v) = ϕγ(v)

dla ka ˙zdej liczby porz ˛adkowej δ 6ξ 6γ.

Niech∼^∞ _{b˛edzie najmniejsz ˛a relacj ˛a równowa ˙zno´sci na zbiorze odwzorowa ´n}

sym-plicjalnych K→ L zawieraj ˛ac ˛a wszystkie pary(ϕ, ψ)odwzorowa ´n∞-s ˛asiednich. Oczywi´scie relacja ∼^∞ zawiera relacj˛e ∼⁴. Ponadto, je ˙zeli kompleksy K, L s ˛a sko ´n-czone, to relacje te s ˛a identyczne.

Nast˛epuj ˛aca obserwacja jest natychmiastow ˛a konsekwencj ˛a powy ˙zszej defi-nicji.

Lemat 2.3.12. Je˙zeli ϕ1, ϕ2: K → L oraz ψ1, ψ2: L → M s ˛a odwzorowaniami sympli-cjalnymi takimi, ˙ze ϕ1 ∞

∼ ϕ2oraz ψ1 ∞

∼ψ2, to równie˙z ψ1◦ϕ1 ∞

Nie jest jasny zwi ˛azek pomi˛edzy relacj ˛a∼^∞ a relacj ˛a homotopii odwzorowa ´n. Poni ˙zszy problem jest blisko zwi ˛azany z pytaniami postawionymi przez Law-sona [190, p. 837].

Problem 2.3.13. Czy dla odwzorowa ´n f , g : X → Y przestrzeni Aleksandrowa oraz odwzorowa ´n symplicjalnych ϕ, ψ : K → L kompleksów symplicjalnych za-chodzi która´s z poni ˙zszych implikacji:

— je ˙zeli ϕ∼^∞ ψ, toP (ϕ) ' P (ψ); — je ˙zeli f 'g, toK(f) ∼ K(^∞ g); — je ˙zeli ϕ∼^∞ ψ, to|ϕ| ' |ψ|?

Co je´sli zało ˙zymy dodatkowo, ˙ze X, Y nie zawieraj ˛a promieni (albo, ogólniej, nie-sko ´nczonych ła ´ncuchów) oraz K, L nie zawieraj ˛a promieni (albo niesko ´nczonych sympleksów)?

Mo ˙zna jednak udowodni´c, ˙ze kompleksy mocno homotopijnie równowa ˙zne s ˛a „∼^∞-równowa ˙zne”.

Stwierdzenie 2.3.14. Je˙zeli K, L s ˛a kompleksami symplicjalnymi oraz K&&L, to ist-niej ˛a odwzorowania symplicjalne ϕ : K → L, ψ : L → K takie, ˙ze ϕ◦ψ ∞

∼ id_L oraz

ψ◦ϕ ∞

∼id_K.

Dowód. Wystarczy wykaza´c, ˙ze teza stwierdzenia jest prawdziwa w przypadku, gdy K&& L lub L%% K.

Załó ˙zmy, ˙ze K && L. Istniej ˛a zatem liczba porz ˛adkowa α oraz ci ˛ag

ρφ,φ+1: Kφ →K_φ+1

φ<α, któryC_{4-rozbiera K do L. Dla φ}6α niech iφ: Kφ ,→K oznacza wło ˙zenie. Przyjmujemy ϕ = ^→ _ρφ,φ+1

06φ<_α oraz ψ = i_α. Oczywi´scie φ◦_ψ=id_L. Ci ˛ag pozasko ´nczony  i_ξ◦ ^→ ρ_φ,φ+1
06φ<ξ  06ξ6α

jest ´swiadkiem∞-s ˛asiedztwa odwzorowa´n idKoraz iα◦Rα.

Je ˙zeli L %% _{K, to istniej ˛a liczba porz ˛adkowa β oraz} C_{4-korozbieraj ˛acy}

K z L ci ˛ag ς_φ+1,φ: L_φ+1→ Lφ

φ<β. Dla φ 6 β niech iφ: Lφ ,→ K oznacza wło ˙zenie. Przyjmujemy ϕ = ^← _ςφ+1,φ

06φ<β oraz ψ = i₀. Zachodzi równo´s´c

ϕ◦_ψ=id_L, a ci ˛ag  i_ξ◦ ^← ς_φ+1,φ
ξ6φ<β  06ξ6β

jest ´swiadkiem∞-s ˛asiedztwa odwzorowa´n i◦S_β oraz id_K.

Mówimy, ˙ze kompleks symplicjalny K jest lokalnie rdzeniem, je ˙zeli dla ka ˙zdego wierzchołka x ∈ K istnieje sko ´nczony podzbiór LC⁴_K(x) zbioru wierzchołków kompleksu K o tej własno´sci, ˙ze dla ka ˙zdego podkompleksu L kompleksu K za-wieraj ˛acego K

LC⁴_K(x) jako podkompleks ˙zaden wierzchołek v ∈ LC⁴_K(x)nie jest zdominowany w L.

2.3. ROZBIERALNO´S ´C I MOCNY TYP HOMOTOPIJNY 75

Przestrzenie Aleksandrowa b˛ed ˛ace lokalnie rdzeniami okre´slili´smy w sposób, który na pierwszy rzut oka znacz ˛aco ró ˙zni si˛e od definicji przyj˛etej dla komplek-sów symplicjalnych. Istnieje jednak ich alternatywna charakteryzacja, podobna do powy ˙zszej definicji, której podanie pozostawiamy jako ´cwiczenie dla zainte-resowanego Czytelnika.

Nast˛epuj ˛ace stwierdzenie jest odpowiednikiem twierdzenia 2.2.18.

Stwierdzenie 2.3.15. Je˙zeli kompleks symplicjalny K jest lokalnie rdzeniem, to nie

ist-nieje odwzorowanie symplicjalne ψ : K →K takie, ˙ze ψ∼^∞ id_K oraz ψ 6=id_K.

Dowód. Niech K b˛edzie kompleksem symplicjalnym, który jest lokalnie rdze-niem. Ustalmy odwzorowanie symplicjalne ϕ : K → K. Załó ˙zmy, ˙ze istnieje ci ˛ag pozasko ´nczony odwzorowa ´n symplicjalnych ϕ_ξ: K →K

ξ6α b˛ed ˛acy ´swiad-kiem ∞-s ˛asiedztwa idK oraz ϕ b ˛ad´z ∞-s ˛asiedztwa ϕ oraz idK. Przypu´s´cmy, ˙ze

ϕ(x) 6=x dla pewnego wierzchołka x ∈ K.

Ustalmy zbiór LC⁴_K(x). Poniewa ˙z jest on sko ´nczony, istniej ˛a liczby porz ˛ ad-kowe µ, ν 6 α takie, ˙ze µ = _ν+1 b ˛ad´z ν = _µ+1 (a zatem ϕµ, ϕν s ˛a odwzoro-waniami s ˛asiednimi) oraz ϕµ

  LC⁴_K(x) = id_LC4 K(x) 6= _ϕν  LC⁴_K(x). Wybierzmy wierz-chołek v ∈ LC⁴_K(x) o tej własno´sci, ˙ze ϕν(v) 6= v, i rozwa ˙zmy kompleks L =

K

LC⁴_K(x)∪{_ϕν(v)}. Niech σ b˛edzie maksymalnym sympleksem kompleksu L za-wieraj ˛acym wierzchołek v. Poniewa ˙z ϕνjest s ˛asiednie ϕµ, zbiór ϕν(_σ) ∪_ϕµ(_σ) =

ϕν(σ) ∪σ jest sympleksem w K. Wobec tego (ϕν(σ) ∪σ) ∩ LC⁴_K(x) ∪ {ϕν(v)}
jest sympleksem w L. Poniewa ˙z zawiera on maksymalny sympleks σ, jest mu równy, i st ˛ad ϕ(v) ∈ σ. Oznacza to, ˙ze wierzchołek v ∈ LC⁴_K(x) jest zdomi-nowany w L przez ϕ(v), co jest sprzeczne z wyborem zbioru LC⁴_K(x). Zatem

ϕ(x) = x dla wszystkich wierzchołków x ∈ X.

Wobec tego nie istnieje odwzorowanie symplicjalne ψ : K → _{K takie, ˙ze ψ} 6=

idK, ale ψ∼^∞ idK.

Nast˛epuj ˛acy fakt jest symplicjalnym odpowiednikiem stwierdzenia 2.2.19, udowodnionego w pracach autora [129, 130]. Przedstawiona ni ˙zej metoda do-wodu znacz ˛aco jednak ró ˙zni si˛e od u ˙zytej w tych pracach.

Stwierdzenie 2.3.16. Kompleks symplicjalny bez promieni b˛ed ˛acyC₄-rdzeniem jest lo-kalnie rdzeniem.

Dowód. Załó ˙zmy, ˙ze kompleks symplicjalny K bez promieni jest C₄-rdzeniem. Niech K⁽¹⁾oznacza graf prosty b˛ed ˛acy szkieletem 1-wymiarowym kompleksu K. Oczywi´scie K⁽¹⁾ jest grafem bez promieni. Przeprowadzimy indukcj˛e pozasko ´n-czon ˛a ze wzgl˛edu na rz ˛ad ord K⁽¹⁾
.

Je ˙zeli ord K⁽¹⁾

= 0, to kompleks K jest sko ´nczony, jest wi˛ec lokalnie rdze-niem (gdy ˙z mo ˙zemy dla ka ˙zdego wierzchołka x ∈ K przyj ˛a´c za LC⁴_K(x) zbiór wszystkich wierzchołków K).

Załó ˙zmy, ˙ze stwierdzenie jest prawdziwe dla wszystkich kompleksów sym-plicjalnych bez promieni L takich, ˙ze ord L⁽¹⁾
< ord K⁽¹⁾
. Ustalmy wierz-chołek x ∈ K. Dla ka ˙zdego wierzchołka v ∈ ker K⁽¹⁾
istnieje niesko ´nczenie wiele składowych spójno´sci S grafu K⁽¹⁾−ker K⁽¹⁾
takich, ˙ze{v, u(v, S)} ∈K⁽¹⁾ dla pewnego wierzchołka u(v, S) ∈ S. Wybierzmy dla ka ˙zdego wierzchołka v ∈ ker K⁽¹⁾
dwie spo´sród nich i oznaczmy zbiory ich wierzchołków przez S₁(v), S2(v). Je ˙zeli x 6∈ ker K⁽¹⁾
, dokonujemy tego wyboru w ten sposób, ˙ze x ∈ S₁(v) dla pewnego v ∈ ker K⁽¹⁾
. Poniewa ˙z ˙zaden z wierzchołków v ∈

ker K⁽¹⁾
nie jest zdominowany w kompleksie K, dla ka ˙zdej pary wierzchoł-ków v, w ∈ ker K⁽¹⁾
, v 6= w, istnieje maksymalny sympleks σ(v, w) ∈ K taki, ˙ze v ∈ _σ(v, w) oraz w 6∈ _σ(v, w). Definiujemy sko ´nczone zbiory wierzchołków grafu K⁽¹⁾:

Z =^[{σ(v, w) : v, w∈ ker K⁽¹⁾
, v 6=w}, ˆ

Z =^[nS : K⁽¹⁾

S jest spójn ˛a składow ˛a ^K⁽¹⁾−ker K^(1)


oraz S∩Z6= ∅^o. Niech L b˛edzie pełnym podkompleksem K indukowanym na zbiorze wierzchoł-ków ker K⁽¹⁾
∪ ^[ i∈{1,2}, v∈ker K⁽¹⁾
S_i(v) ∪_Z.ˆ

Zauwa ˙zmy, ˙ze ord(L⁽¹⁾) <ord K⁽¹⁾
(por. [97, Corollary 3.8]).

Wyka ˙zemy, ˙ze L jestC₄-rdzeniem. Przypu´s´cmy, ˙ze tak nie jest. Na podstawie stwierdzenia 2.3.4 istnieje wówczas wierzchołek v0 ∈ L zdominowany w L przez pewien wierzchołek w0 ∈ _{Lr {v}}_{. Je ˙zeli v0} ∈ _{S dla pewnej składowej}

spójno-´sci S grafu L⁽¹⁾ −ker K⁽¹⁾
, to lk_K(v₀) zawiera si˛e w podkompleksie K induko-wanym na zbiorze wierzchołków grafu S∪_{ker K}(1)
. St ˛ad lkK(v0) = lkL(v0). Wobec tego v₀ jest zdominowany w K, co jest sprzeczne z zało ˙zeniem, ˙ze K jest

C₄-rdzeniem. Zatem v0 ∈ ker K⁽¹⁾
. Z konstrukcji kompleksu L wierzchołek w₀ 6∈ ker K⁽¹⁾
, gdy ˙z σ(v₀, w₀)jest sympleksem w L. Poniewa ˙z w₀ 6∈ ker K⁽¹⁾
, wierzchołek w0 ∈ _{S dla pewnej składowej spójno´sci S grafu L}(1) −_{ker K}(1)
. Oczywi´scie S 6= S₁(v₀) lub S 6= S₂(v₀). Dla ustalenia uwagi załó ˙zmy, ˙ze S 6=

S₁(v0). Zatem{w0, u(v0, S₁(v0))}nie jest sympleksem w L, ale{v0, u(v0, S₁(v0))}

jest sympleksem w L, st ˛ad wierzchołek v0nie jest zdominowany przez w0. Wobec tego nie istnieje wierzchołek zdominowany w L.

Udowodnili´smy, ˙ze L jest C₄-rdzeniem. Ponadto ord L⁽¹⁾

< ord K⁽¹⁾
. Z zało ˙zenia indukcyjnego L jest lokalnie rdzeniem. Wybierzmy zbiory LC⁴_L (x), LC⁴_L (w) oraz LC⁴_L (u(v, S_i(v))) dla wszystkich v ∈ ker K⁽¹⁾
, w ∈ Z oraz i ∈ {1, 2}. Przyjmujemy LC⁴_K(x) =LC⁴_L (x) ∪ ^[ i∈{1,2}, v∈ker K⁽¹⁾
LC⁴_L (u(v, Si(v))) ∪ ^[ w∈Z LC⁴_L (w).

2.3. ROZBIERALNO´S ´C I MOCNY TYP HOMOTOPIJNY 77

Niech N b˛edzie podkompleksem K zawieraj ˛acym podkompleks K

LC⁴_K(x). Analogicznie jak wy ˙zej wykazuje si˛e, ˙ze nie istnieje wierzchołek kompleksu LC⁴_K(x)zdominowany w N.

Z lematu 2.3.4 oraz stwierdze ´n 2.3.15, 2.3.16 otrzymujemy nast˛epuj ˛acy wnio-sek.

Wniosek 2.3.17. Kompleks symplicjalny bez promieni K jestC₄-rdzeniem wtedy i tylko wtedy, gdy nie istnieje odwzorowanie symplicjalne ϕ : K → K takie, ˙ze ϕ ∼^∞ id_K oraz

ϕ6=idK.

Dla kompleksów symplicjalnych bez promieni mo ˙zna poda´c analogiczn ˛a jak dla przestrzeni Aleksandrowa bez promieni (twierdzenie 2.2.21) „klasyfikacj˛e” mocnych typów homotopijnych.

Stwierdzenie 2.3.18 (por. [31, Theorem 2.11]). Niech K, L b˛ed ˛a kompleksami sym-plicjalnymi bez promieni. Istniej ˛a wówczas C₄-rdzenie K^C ⊆ K, L^C ⊆ L takie, ˙ze K &&K^Ci L && L^C, a ponadto nast˛epuj ˛ace warunki s ˛a równowa˙zne:

1) K&&L;

2) istniej ˛a odwzorowania symplicjalne ϕ : K → L oraz ψ : L →K o tej własno´sci, ˙ze

ϕ◦_ψ∼^∞ _idK oraz ϕ◦_ψ∼^∞ _idL;

3) kompleksy symplicjalne K^C, L^C s ˛a izomorficzne.

Dowód. Skonstruujemy za pomoc ˛a indukcji pozasko ´nczonej liczb˛e porz ˛adkow ˛a

αorazC₄-rozbieraj ˛acy K doC₄-rdzenia ci ˛ag retrakcji ρ_φ,φ+1: Kφ →K_φ+1
_φ<α. Przyjmijmy K0 = K. Ustalmy liczb˛e porz ˛adkow ˛a φ > 0 i załó ˙zmy, ˙ze kom-pleksy Kξ s ˛a okre´slone dla wszystkich liczb porz ˛adkowych ξ < _φ, za´s odwzo-rowania ρ_ξ,ξ+1 s ˛a okre´slone, o ile ξ +1 < φ. Je´sli φ jest graniczn ˛a liczb ˛a porz ˛ ad-kow ˛a, przyjmujemy Kφ = T

ξ<_φK_ξ. Załó ˙zmy, ˙ze φ = ξ +1 jest nast˛epnikiem. Je ˙zeli K_ξ jestC₄-rdzeniem, przyjmujemy α=ξ i ko ´nczymy konstrukcj˛e. W prze-ciwnym wypadku istnieje nietrywialna retrakcja s ˛asiednia ρ : Kξ → L. Przyjmu-jemy Kφ =L oraz ρ_ξ,ξ+1 =ρ.

Na podstawie lematu 2.3.6 ci ˛ag ρ_φ,φ+1: Kφ →K_φ+1

φ<α jest niesko ´nczenie składalny. Jest on zatem ci ˛agiem C₄-rozbieraj ˛acym K do C₄-rdzenia K^C = Kα. Tak samo L &&_LC.

Przyst˛epujemy do dowodu równowa ˙zno´sci warunków 1), 2), 3). 1) =⇒2) : Stwierdzenie 2.3.14.

2) =⇒3) : Poniewa ˙z K && K^C oraz L && L^C, na podstawie stwierdze-nia 2.3.14 istniej ˛a odwzorowania symplicjalne ρK: K → K^C, ιK: K^C → K oraz

ρL: L →L^C, ιL: L^C → L takie, ˙ze

ρK◦_ιK ∼^∞ _{idK, ιK}◦_ρK ∼^∞ _idKC ρL◦ιL ∞

∼idL, ιL◦ρL ∞

Dla odwzorowa ´n symplicjalnych ϕ, ψ jak w warunku 2), korzystaj ˛ac z lematu 2.3.12, otrzymujemy:

(_ρL◦_ϕ◦_ιK) ◦ (_ρK◦_ψ◦_ιL) ∼^∞ id_L,

(ρK◦ψ◦ιL) ◦ (ρL◦ϕ◦ιK) ∼^∞ idK. Wobec wniosku 2.3.17 zachodzi równo´s´c

(ρL◦ϕ◦ιK) = (ρK◦ψ◦ιL)⁻¹, czyli kompleksy K^C, L^C s ˛a izomorficzne.

3) =⇒1) : Je´sli kompleksy symplicjalne K^C oraz L^C s ˛a izomorficzne, to ze stwierdzenia 2.3.8 otrzymujemy K^C&&L^C. Ale K && K^C, L && L^C, wi˛ec K&&L.

Wniosek 2.3.19. Sko ´nczone kompleksy symplicjalne K, L s ˛a mocno homotopijnie rów-nowa˙zne w sensie Barmaka i Miniana [31, Definition 2.1] wtedy i tylko wtedy, gdy K&&L.

Dowód. Sko ´nczone kompleksy symplicjalne K, L s ˛a mocno homotopijnie równo-wa ˙zne w sensie Barmaka i Miniana wtedy i tylko wtedy, gdy ich C₄-rdzenie s ˛a izomorficzne [31, Theorem 2.11], co w poł ˛aczeniu ze stwierdzeniem 2.3.18 dowo-dzi wniosku.

Przyst˛epujemy do zapowiedzianego wcze´sniej dowodu uwagi 2.3.11.

Dowód (uwagi 2.3.11). Niech K, L b˛ed ˛a sko ´nczonymi kompleksami symplicjal-nymi. Na podstawie wniosku 2.3.19 je ˙zeli K&&L, to kompleks K jest mocno homotopijnie równowa ˙zny L w sensie Barmaka i Miniana [31, Definition 2.1]. Autorzy ci wykazali, ˙ze kompleksy K oraz L s ˛a w tej sytuacji prosto homotopij-nie równowa ˙zne [31, Proposition 2.15]. Isthomotopij-niej ˛a jednak zwarte wielo´sciany, które s ˛a homotopijnie równowa ˙zne, ale które nie maj ˛a prosto homotopijnie równowa ˙z-nych triangulacji [61, (24.4)]; ich triangulacje nie mog ˛a zatem by´c mocno homo-topijnie równowa ˙zne.

Jako podsumowanie powy ˙zszych rozwa ˙za ´n podajemy zwi ˛azek mi˛edzy moc-nym typem homotopijmoc-nym kompleksów symplicjalnych bez promieni a typem homotopijnym przestrzeni Aleksandrowa bez promieni.

Wniosek 2.3.20(por. [31, Theorem 4.13]). Niech X, Y b˛ed ˛a przestrzeniami Aleksan-drowa bez promieni. Je˙zeli X 'Y, toK(X)&&K(Y).

Niech K, L b˛ed ˛a kompleksami symplicjalnymi bez promieni. Je˙zeli K&&L, to

P (K) ' P (L).

Dowód. Je´sli X 'Y, to na podstawie stwierdzenia 2.2.21 istniej ˛a podprzestrzenie X^C ⊆ X, Y^C ⊆ Y takie, ˙ze X && X^C, Y && Y^C oraz X^C ≈ Y^C. Z lematu 2.3.5 otrzymujemyK(X) && K X^C
i K(Y) && K Y^C
. Poniewa ˙z kompleksy

2.3. ROZBIERALNO´S ´C I MOCNY TYP HOMOTOPIJNY 79

K X^C
,K Y^C
s ˛a izomorficzne,K X^C

&&K Y^C
zgodnie ze stwierdzeniem 2.3.8. ZatemK(X)&&K(Y).

Z drugiej strony, je´sli K&&L, to na wobec stwierdzenia 2.3.18 istniej ˛a izo-morficzne kompleksy K^C ⊆ K oraz L^C ⊆ L takie, ˙ze K && K^C i L && L^C. Z lematu 2.3.5 otrzymujemyP (K) && P K^C
,P (L) && P L^C
. Zatem

P (_K) ' P (K^C) ≈ P (L^C) ' P (L)

na podstawie wniosku 2.2.22.

W dokumencie Typy homotopijne kompleksów niezwartych i punkty stałe ich niezwartych odwzorowań (Stron 98-105)