Klasyfikacja typów homotopijnych przestrzeni Aleksan-

r(y) dla y6=y0, y0 dla y=y0

jest D_{-retrakcj ˛a. Korzystaj ˛ac z tej obserwacji nietrudno udowodni´c za}

po-moc ˛a indukcji pozasko ´nczonej, ˙ze przestrze ´n Y jest I-korozbieralna z r(Y). Stosuj ˛ac to rozumowanie (oraz rozumowanie dualne) do retrakcji z ci ˛agu

(U ∪ D)-korozbieraj ˛acego X z A wykazuje si˛eI-korozbieralno´s´c X z A. 3) =⇒1) : Oczywiste, gdy ˙zI ⊆ C_.

Podobnie jak w przypadku lematu 2.2.5, dowód równowa ˙zno´sci warunków 1) i 2) lematu 2.2.16 oraz wynikania warunku 1) z warunku 3) nie wymaga

zało-˙zenia o braku niesko ´nczonych ła ´ncuchów w X.

2.2.4. Klasyfikacja typów homotopijnych przestrzeni Aleksandrowa bez

promieni

W niniejszej sekcji udowodnimy twierdzenie rozszerzaj ˛ace podan ˛a przez Stonga „klasyfikacj˛e” typów homotopijnych sko ´nczonych przestrzeni topolo-gicznych (twierdzenie 2.2.4) na przestrzenie Aleksandrowa bez promieni.

U ˙zyteczne oka ˙ze si˛e przy tym poj˛ecie rz˛edu grafu prostego bez promieni, zde-finiowane przez Schmidta [200]. Przypomnimy je oraz niektóre jego własno´sci w oparciu o popularyzuj ˛ace to poj˛ecie opracowanie autorstwa Halina [97].

Dla ka ˙zdej liczby porz ˛adkowej φ definiujemy indukcyjnie pewn ˛a klas˛e gra-fów prostychRL(φ)[97, Definition 3.1] w nast˛epuj ˛acy sposób:

— RL(₀)jest klas ˛a grafów sko ´nczonych,

— je ˙zeli φ >0, to graf H nale ˙zy doRL(_φ), je´sli istnieje sko ´nczony zbiór wierz-chołków F ⊆ H taki, ˙ze ka ˙zda spójna składowa grafu H−F nale ˙zy do

RL(ψ)dla pewnego ψ<φ.

PrzezRL_{oznaczmy sum˛e wszystkich klas}RL(_φ). Okazuje si˛e, ˙ze graf H nale ˙zy doRLdokładnie wtedy, gdy jest grafem bez promieni [97, Proposition 3.2]. Dla H ∈ RLrz˛edem grafu H, oznaczanym symbolem ord(H), nazywamy najmniejsz ˛a liczb˛e porz ˛adkow ˛a φ tak ˛a, ˙ze H ∈ RL(φ).

Dla niesko ´nczonego grafu bez promieni H istnieje najmniejszy (w sensie in-kluzji) sko ´nczony podzbiór F zbioru wierzchołków tego grafu taki, ˙ze dla ka ˙zdej spójnej składowej D grafu H−F zachodzi nierówno´s´c ord(D) < ord(H) [97, Lemma 3.11]. Zbiór F o powy ˙zszej własno´sci nazywamy j ˛adrem grafu H [97, De-finition 3.12] i piszemy ker(H) = F.

Dla cz˛e´sciowego porz ˛adku P przyjmujemy oznaczenia ord(P) = ord(G(P))

oraz ker(P) =ker(G(P)).

Poni ˙zsze twierdzenie stanowi kluczow ˛a innowacj˛e bie ˙z ˛acego rozdziału w sto-sunku do prac autora [129,130] i pozwala na uogólnienie ich głównych wyników na wszystkie przestrzenie Aleksandrowa bez promieni. W cytowanych pracach podobne twierdzenie [129, wniosek III.2.2], [130, Proposition 4.4] udowodnione zostało innymi metodami, ale jedynie dla przeliczalnych przestrzeni Aleksan-drowa bez promieni oraz dla przestrzeni AleksanAleksan-drowa (dowolnej mocy), w któ-rych wszystkie ´scie ˙zki proste s ˛a ograniczonej długo´sci.

Twierdzenie 2.2.17. Je´sli(X, A)jestΓ-par ˛aprzestrzeni Aleksandrowa bez promieni, to istnieje C_{-rdze ´n}(X^C, A) ⊆ (X, A), b˛ed ˛acy ekwiwariantnym mocnym retraktem defor-macyjnym pary(X, A)i taki, ˙ze X &&^Γ X^C.

Dowód. Przeprowadzimy indukcj˛e ze wzgl˛edu na ord(X).

Załó ˙zmy najpierw, ˙ze ord(X) =0, co oznacza, ˙ze przestrze ´n X jest sko ´nczona. Je´sli X = A, nie mamy czego dowodzi´c. Załó ˙zmy, ˙ze twierdzenie jest prawdziwe dla wszystkich par (Y, A) takich, ˙ze A ⊆ Y ( X. Je ˙zeli U(X,A) = D(X,A) =

idX, to wobec lematu 2.2.9 para (X, A) jest C_{-rdzeniem. Je´sli jedna z retrakcji}

D_(X,A), U_(X,A) nie jest to ˙zsamo´sciowa, oznaczmy j ˛a przez r : X → r(X). Funkcja r jest ekwiwariantn ˛aC-retrakcj ˛a (lemat 2.2.10), wi˛ec X &&^Γ r(X). Na podstawie stwierdzenia 2.2.2 istnieje homotopia i◦r ' idX rel A, gdzie i : r(X) ,→ X jest wło ˙zeniem; nietrudno spostrzec, ˙ze jest ona ekwiwariantna. Poniewa ˙z r(X) ( X, teza wynika z zało ˙zenia indukcyjnego.

Załó ˙zmy, ˙ze ord(X) > 0 oraz twierdzenie jest prawdziwe dla ka ˙zdej Γ-pary

(Y, B)przestrzeni Aleksandrowa bez promieni takiej, ˙ze ord(Y) < ord(X). Przez ^X^ˆi

i∈I oznaczmy indeksowan ˛a rodzin˛e wszystkich składowych spój-no´sci przestrzeni Xrker(X). Zauwa ˙zmy, ˙ze ord ˆXi

< ord(X) dla ka ˙zdego indeksu i ∈ I. Niech A⁰ = A∪ker(X); dla ka ˙zdego indeksu i ∈ I przyjmijmy oznaczenia X_i = _Xˆ_{i∪ker(X) oraz Ai = Xi∩ A}0. Z zało ˙zenia indukcyjnego dla ka ˙zdej z przestrzeni(Xi, Ai)istniej ˛a zawarty w niej C-rdze ´n X^C_i , Ai
, liczba po-rz ˛adkowa αi, ci ˛ag



r_i^φ,φ+1: X^φ_i → X^φ_i^+1

φ<α_i

retrakcji C-rozbieraj ˛acy Xi do X^C_i oraz mocna retrakcja deformacyjna Ri: (Xi, Ai) → X_i^C, Ai
.

Przyjmijmy oznaczenie X^∗ = S

i∈I X^C_i . Poniewa ˙z X_i ∩ X_j = ker(X) dla i 6= j oraz S

i∈IX_i = X, funkcja R = S

i∈IR_i: (X, A⁰) → (X^∗, A⁰) jest mocn ˛a retrakcj ˛a deformacyjn ˛a, a ponadto para (X^∗, A⁰) jest C-rdzeniem. Niech

2.2. TYPY HOMOTOPIJNE PRZESTRZENI ALEKSANDROWA 59

α =max{_αi : i∈ I}. Dla α_i 6φ<_α przyjmijmy r_i^φ,φ+1=id_Xαi

i . Wówczas [ i∈I r^φ_i^,φ+1: ^[ i∈I X_i^φ → ^[ i∈I X_i^φ+1 ! φ<α

jest ci ˛agiemC-rozbieraj ˛acym X do zbioru X^∗.

Co wi˛ecej, mo ˙zemy retrakcje R_i oraz r^φ_i^,φ+1 dla i ∈ I, φ < α_i, dobra´c tak, aby retrakcja deformacyjna R oraz retrakcjeS

i∈Ir_i^φ,φ+1były zgodne z działaniem grupyΓ.

Przeprowadzimy indukcj˛e ze wzgl˛edu na liczb˛e elementów zbioru ker(X). Je´sli|ker(X)| = 0, to A = A⁰, a zatem para (X^∗, A⁰) = (X^∗, A) jest C-rdzeniem b˛ed ˛acym mocnym retraktem deformacyjnym pary(X, A), czyli teza twierdzenia zachodzi.

Załó ˙zmy, ˙ze twierdzenie jest prawdziwe dla wszystkich par (Y, B) prze-strzeni Aleksandrowa bez promieni o tej własno´sci, ˙ze ord(Y) = ord(X) oraz

|ker(Y)| < |ker(X)|. Rozwa ˙zmy Γ-retrakcje U(X∗,A), D(X∗,A). Je´sli s ˛a one od-wzorowaniami identyczno´sciowymi, to (X^∗, A) jest C-rdzeniem (lemat 2.2.9), za´s R szukan ˛a retrakcj ˛a deformacyjn ˛a. Je ˙zeli natomiast jedno z tych odwzoro-wa ´n, oznaczmy je przez ρ, nie jest to ˙zsamo´sciowe, to istnieje punkt x∈ X^∗rA nieredukowalny w X^∗ i taki, ˙ze ρ(x) 6= x. Poniewa ˙z para (X^∗, A⁰) jest

C-rdzeniem, punkt x 6∈ X^∗rA⁰, a zatem x ∈ A⁰r A ⊆ ker(X). Wobec tego

|ker(ρ(X^∗))| < |ker(X)|. Z zało ˙zenia indukcyjnego istniej ˛aC-rdze ´n X^C, A
oraz ekwiwariantna mocna retrakcja deformacyjna S : (ρ(X^∗), A) → X^C, A
. Od-wzorowanie (s◦_ρ◦R): (X, A) → X^C, A
jest ekwiwariantn ˛a mocn ˛a retrakcj ˛a deformacyjn ˛a. W podobny sposób znajdujemy ci ˛ag Γ-retrakcji C-rozbieraj ˛acy X do X^C.

Sama C-rozbieralno´s´c przestrzeni Aleksandrowa bez promieni do C-rdzenia jednoznacznego z dokładno´sci ˛a do izomorfizmu jest dobrze znanym faktem [202, Corollary 3.15]. Wa ˙zne w twierdzeniu 2.2.17 jest istnienie mocnej retrakcji defor-macyjnej na rdze ´n.

Mówimy, ˙ze para przestrzeni Aleksandrowa(X, A)jest lokalnie rdzeniem, o ile dla ka ˙zdego x ∈ X istnieje sko ´nczony zbiór LCX(x) ⊆ X taki, ˙ze x ∈ LCX(x)

oraz spełnione s ˛a nast˛epuj ˛ace warunki:

— je´sli y ∈ LC_X(x) rA oraz y 6∈min(X), to|LC_X(x) ∩max(y↓_{Xr {}y})| >2, — je´sli y ∈ LCX(x) rA oraz y 6∈max(X), to|LCX(x) ∩min(y↑_{Xr {}y})| >2. Dowody poni ˙zszych dwóch faktów przebiegaj ˛a tak samo jak dowody cyto-wanych przy nich twierdze ´n, dotycz ˛acych szczególnego przypadku, gdy zbiór A jest pusty lub jednoelementowy.

Twierdzenie 2.2.18([129, twierdzenie III.2.3], [130, Theorem 4.6]). Je´sli para prze-strzeni Aleksandrowa(X, A) jest lokalnie rdzeniem, to nie istnieje ci ˛agłe odwzorowanie

Stwierdzenie 2.2.19 ([129, twierdzenie III.2.5], [130, Proposition 4.8]). Je´sli para

(X, A) przestrzeni Aleksandrowa bez promieni jest C-rdzeniem, to (X, A) jest lokalnie rdzeniem.

Z twierdzenia 2.2.18 wynika, ˙ze je´sli para (X, A) przestrzeni Aleksandrowa jest lokalnie rdzeniem, to jest C-rdzeniem. Otrzymujemy z niego natychmiast równie ˙z nast˛epuj ˛acy wniosek.

Wniosek 2.2.20. Je´sli pary przestrzeni Aleksandrowa (X, A), (Y, B) s ˛a lokalnie rdze-niami, za´s f : (X, A) → (Y, B), g : (Y, B) → (X, A) s ˛a ci ˛agłymi odwzorwaniami ta-kimi, ˙ze g◦ _f ' _{idXrel A oraz f} ◦ _g ' _{idYrel B, to f , g s ˛a wzajemnie odwrotnymi}

homeomorfizmami.

Poni ˙zsze twierdzenie, b˛ed ˛ace głównym wynikiem rozdziału, uogólnia na przestrzenie Aleksandrowa bez promieni podan ˛a przez Stonga klasyfikacj˛e ty-pów homotopijnych sko ´nczonych przestrzeni topologicznych (twierdzenie 2.2.4) oraz wyniki uzyskane przez autora [129, 130].

Twierdzenie 2.2.21. Je´sli X, Y s ˛aΓ-przestrzeniami Aleksandrowa bez promieni, to ist-niej ˛a C-rdzenie X^C, Y^C b˛ed ˛ace ich ekwiwariantnymi mocnymi retraktami deformacyj-nymi i takie, ˙ze X &&^Γ X^Coraz Y &&^Γ Y^C. Przestrze ´n X jest Γ-homotopijnie równo-wa˙zna przestrzeni Y wtedy i tylko wtedy, gdy rdzenie X^C, Y^Cs ˛aΓ-homeomorficzne. Dowód. O istnieniu C_{-rdzeni X}C, Y^C b˛ed ˛acych ekwiwariantnymi mocnymi re-traktami deformacyjnymi X, Y mówi twierdzenie 2.2.17.

Poniewa ˙z X ' X^C oraz Y ' Y^C w sposób ekwiwariantny, z istnienia Γ-homeomorfizmu XC ≈ Y^C wynikaΓ-homotopijna równowa˙zno´s´c przestrzeni X, Y.

Z drugiej strony, istnienieΓ-homotopijnej równowa˙zno´sci przestrzeni X oraz Y implikuje istnienie Γ-homotopijnej równowa˙zno´sci pomi˛edzy XC a Y^C. Wo-bec stwierdzenia 2.2.19 przestrzenie X^C, Y^Cs ˛a lokalnie rdzeniami. Zastosowanie wniosku 2.2.20 ko ´nczy dowód.