(sko ´nczona lub nie) w grafie skierowanym D jest prosta, o ile jej wierzchołki s ˛a parami ró ˙zne. Sko ´nczon ˛a ´scie ˙zk˛e prost ˛a(v0, . . . , vn)tak ˛a, ˙ze n>1 oraz(vn, v0) ∈
D, nazywamy cyklem.
Dzi˛eki uto ˙zsamieniu z uwagi 1.2.1 dobrze okre´slone s ˛a równie ˙z poj˛ecia ´scie ˙zki, ´scie ˙zki prostej oraz cyklu w grafie prostym.
Graf skierowany D0 = (V0, E0) nazywamy podgrafem grafu skierowanego D = (V, E), o ile V0 ⊆ V oraz E0 ⊆ E. Je ˙zeli ponadto E0 = E∩ (V0×V0), to D0nazywamy podgrafem indukowanym na zbiorze wierzchołków V0 ⊆V.
Je ˙zeli D = (V, E) jest grafem skierowanym oraz W ⊆ V, to podgraf grafu D indukowany na zbiorze wierzchołków VrW oznaczamy przez D−W.
Mówimy, ˙ze graf prosty G jest spójny, je ˙zeli dla wszystkich wierzchołków v, w ∈ G istnieje ´scie ˙zka w G prowadz ˛aca z v do w. Składow ˛a spójno´sci grafu G na-zywamy ka ˙zdy maksymalny (w sensie relacji bycia podgrafem) spójny podgraf tego grafu. Graf prosty G nazywamy drzewem, o ile jest spójny i nie zawiera cykli długo´sci>2.
Mówimy, ˙ze graf skierowany D jest lokalnie sko ´nczony, o ile dla ka ˙zdego wierz-chołka v ∈ D zbiór{w∈ D :(v, w) ∈ D lub(w, v) ∈D}jest sko ´nczony.
Lemat 1.2.2(Königa, [64, Lemma 8.1.2]). Niech D b˛edzie lokalnie sko ´nczonym grafem skierowanym, za´s v ∈ D wierzchołkiem tego grafu. Je˙zeli zbiór tych wierzchołków w ∈
D, dla których istnieje ´scie˙zka w D prowadz ˛aca z v do w, jest niesko ´nczony, to istnieje niesko ´nczona ´scie˙zka prosta w D.
Niech D = (V, E)b˛edzie grafem skierowanym. Skojarzeniem w D nazywamy taki zbiór kraw˛edzi M ⊆ E, ˙ze dla ka ˙zdego wierzchołka v∈ V istnieje co
najwy-˙zej jedna kraw˛ed´z(w1, w2) ∈ M o tej własno´sci, ˙ze v =w1lub v=w2.
Interesuj ˛ace z punktu widzenia niniejszej rozprawy wprowadzenie do teorii grafów zawiera ksi ˛a ˙zka Diestela [64], której znacz ˛aca cz˛e´s´c po´swi˛econa jest nie-sko ´nczonym grafom.
1.2.2. Cz˛e´sciowe porz ˛adki i kraty
Niech P b˛edzie zbiorem. Dwuargumentow ˛a relacj˛e 6 ⊆ P×P nazywamy relacj ˛a quasi-porz ˛adku na P, o ile jest ona zwrotna i przechodnia; je ˙zeli relacja ta jest dodatkowo słabo antysymetryczna (tzn. dla wszystkich p, q ∈ P je´sli p 6 q oraz q6 p, to p =q), nazywamy j ˛a relacj ˛a cz˛e´sciowego porz ˛adku.
Quasi-porz ˛adkiem (lub zbiorem quasi-uporz ˛adkowanym) nazywamy par˛e (P,6)
tak ˛a, ˙ze P jest zbiorem, za´s 6 ⊆ P×P jest relacj ˛a quasi-porz ˛adku na P. Cz˛e´scio-wym porz ˛adkiem (lub zbiorem cz˛e´sciowo uporz ˛adkowanym, albo po prostu porz ˛adkiem) nazywamy par˛e (P,6) tak ˛a, ˙ze6jest relacj ˛a cz˛e´sciowego porz ˛adku na zbiorze P. Niech (P,6) b˛edzie quasi-porz ˛adkiem. Przez < ⊆ P×P oznaczamy relacj˛e < = 6 ridP. W oczywisty sposób definiujemy relacje>i>. Quasi-porz ˛adkiem du-alnym do(P,6)nazywamy quasi-porz ˛adek(P,>). Przez∼ ⊆ P×P oznaczamy relacj˛e porównywalno´sci, czyli∼ = 6 ∪ >
Ustalmy zbiór cz˛e´sciowo uporz ˛adkowany (P,6). Je ˙zeli ∼ = P×P, to mó-wimy, ˙ze(P,6)jest zbiorem liniowo uporz ˛adkowanym (lub liniowym porz ˛adkiem, albo ła ´ncuchem). Je´sli natomiast6= idP, to(P,6)nazywamy antyła ´ncuchem. Liniowym rozszerzeniem cz˛e´sciowego porz ˛adku (P,6) nazywamy taki zbiór liniowo upo-rz ˛adkowany P∗ = (P,6∗), ˙ze6 ⊆ 6∗.
Je´sli Q ⊆ P, to relacja cz˛e´sciowego porz ˛adku6na P indukuje relacj˛e6
Q na zbiorze Q w oczywisty sposób: dla q, q0 ∈ Q zachodzi q 6
Qq0, o ile q 6q0. Para
(Q,6
Q) jest cz˛e´sciowym porz ˛adkiem, zwanym podzbiorem cz˛e´sciowo uporz ˛ adko-wanym porz ˛adku(P,6). Mówimy, ˙ze Q ⊆ P jest ła ´ncuchem (antyła ´ncuchem) w P, o ile(Q,6 Q)jest ła ´ncuchem (antyła ´ncuchem). Je´sli nie b˛edzie to prowadziło do nieporozumie ´n, porz ˛adek(Q,6
Q)oznacza´c b˛edziemy przez(Q,6).
Elementem maksymalnym w podzbiorze A ⊆ P nazywamy ka ˙zdy element a ∈ A o tej własno´sci, ˙ze nie istnieje element b ∈ A taki, ˙ze b > a. Zbiór elementów maksymalnych w zbiorze A ⊆ P oznaczamy przez max(A). Du-alnie definiujemy element minimalny oraz zbiór min(A). Elementem najwi˛ekszym w A nazywamy taki element a ∈ A, ˙ze a > b dla wszystkich b ∈ A. Dual-nie definiujemy element najmDual-niejszy. Je´sli zbiór A ma element najwi˛ekszy (naj-mniejszy), oznaczamy tym samym co wy ˙zej symbolem max(A) (odpowiednio min(A)); jego wła´sciwe znaczenie wynika´c b˛edzie z kontekstu. Kresem górnym podzbioru A ⊆ P, oznaczanym przez sup(A), nazywamy najmniejszy element zbioru {p ∈ P : p > a dla wszystkich a ∈ A}, o ile element taki istnieje.
Dual-nie definiujemy kres dolny zbioru A, oznaczany przez inf(A). Kresy górny i dolny zbioru{p, q} ⊆ P oznaczamy odpowiednio przez p∨q oraz p∧q.
Cz˛e´sciowy porz ˛adek (P,6) nazywamy ła ´ncuchowo zupełnym, o ile dla ka ˙z-dego podzbioru liniowo uporz ˛adkowanego C ⊆ P istniej ˛a jego kresy sup(C)
oraz inf(C).
Niech (P,6P),(Q,6Q) b˛ed ˛a cz˛e´sciowymi porz ˛adkami. Mówimy, ˙ze funkcja f : P→Q zachowuje porz ˛adek, je ˙zeli dla wszystkich p, p0 ∈ P takich, ˙ze p 6P p0, za-chodzi f(p) 6Q f(p0). Izomorfizmem cz˛e´sciowych porz ˛adków nazywamy bijekcj˛e f : P→Q zachowuj ˛ac ˛a porz ˛adek i tak ˛a, ˙ze funkcja do niej odwrotna f−1: Q→ P zachowuje porz ˛adek.
O ile nie b˛edzie to prowadziło do nieporozumie ´n, cz˛e´sciowy porz ˛adek(P,6)
oznacza´c b˛edziemy odt ˛ad krótko przez P. Relacje cz˛e´sciowego porz ˛adku na ró ˙z-nych zbiorach oznacza´c b˛edziemy tym samym symbolem6(a niekiedy równie ˙z symbolami mu podobnymi, np.v,6∗).
Lemat 1.2.3([204, Proposition 4.1.6]). Je˙zeli P jest ła ´ncuchowo zupełnym cz˛e´sciowym porz ˛adkiem, za´s r : P → Q jest zachowuj ˛ac ˛a porz ˛adek retrakcj ˛a, to cz˛e´sciowy porz ˛adek Q jest ła ´ncuchowo zupełny.
Niech P b˛edzie cz˛e´sciowym porz ˛adkiem, za´s p ∈ P jego elementem. Przyj-mujemy oznaczenia
p↓P = {q ∈ P : q6p}, p↑P = {q∈ P : q> p}, ˆp↓P = p↓Pr {p}, ˆp↑P = p↑Pr {p},
1.2. MATEMATYKA DYSKRETNA 5
przy czym, o ile nie b˛edzie to prowadziło do niejednoznaczno´sci, b˛edziemy w za-pisie tych symboli pomija´c P, tzn. pisa´c p↓, ˆp↑, itd.
Niech C = {p0, p1, . . . , pn} ⊆ P b˛edzie niepustym, sko ´nczonym ła ´ncuchem w cz˛e´sciowym porz ˛adku P. Liczb˛e n = |C| +1 nazywamy długo´sci ˛a ła ´ncucha C. Mówimy, ˙ze cz˛e´sciowy porz ˛adek P jest sko ´nczonej wysoko´sci , je ˙zeli istnieje n ∈N
takie, ˙ze wszystkie ła ´ncuchy w P maj ˛a długo´s´c równ ˛a co najwy ˙zej n.
Mówimy, ˙ze P jest cz˛e´sciowym porz ˛adkiem z gradacj ˛a, je ˙zeli dla ka ˙zdego p ∈ P wszystkie maksymalne (w sensie inkluzji) ła ´ncuchy w zbiorze p↓s ˛a sko ´n-czone i maj ˛a t˛e sam ˛a długo´s´c. Ogólniej, je ˙zeli istnieje (sko ´nczone) maksimum dłu-go´sci ła ´ncuchów zawartych w zbiorze p↓, to nazywamy je rang ˛a elementu p i ozna-czamy symbolem rk(p). Mówimy, ˙ze cz˛e´sciowy porz ˛adek P:
— jest dobrze ufundowany, je ˙zeli ka ˙zdy niepusty podzbiór A ⊆ P ma element minimalny;
— jest porz ˛adkiem z rang ˛a, je ˙zeli dla ka ˙zdego elementu p∈ P zdefiniowana jest jego ranga rk(p);
— ma sko ´nczone ideały główne, je ˙zeli dla ka ˙zdego p ∈ P zbiór p↓jest sko ´nczony. Zauwa ˙zmy, ˙ze cz˛e´sciowy porz ˛adek P jest dobrze ufundowany wtedy i tylko wtedy, gdy nie zawiera niesko ´nczonego ła ´ncucha zst˛epuj ˛acego, czyli podzbioru izo-morficznego ze zbiorem ujemnych liczb całkowitych ze standardow ˛a relacj ˛a po-rz ˛adkuj ˛ac ˛a. Je ˙zeli porz ˛adek P ma sko ´nczone ideały główne, to jest porz ˛adkiem z rang ˛a, za´s ka ˙zdy porz ˛adek z rang ˛a jest dobrze ufundowany. Dobrze ufundo-wany liniowy porz ˛adek nazywamy dobrym porz ˛adkiem.
Podzbiór A liniowego porz ˛adku P nazywamy jego odcinkiem pocz ˛atkowym, je-˙zeli a↓P ⊆ A dla ka ˙zdego a ∈ A.
Niech (P,6P),(Q,6Q) b˛ed ˛a cz˛e´sciowymi porz ˛adkami. Przez P⊕Q ozna-czamy cz˛e´sciowy porz ˛adek (PtQ,6), którego relacja porz ˛adkuj ˛aca jest sum ˛a
6 = 6P ∪ 6Q ∪ {(p, q) : p∈ P, q ∈ Q}.
Innymi słowy, a 6 b dla a, b ∈ P⊕Q wtedy, gdy oba elementy a, b nale ˙z ˛a do którego´s ze zbiorów P, Q oraz a jest mniejsze lub równe b w tym zbiorze, lub gdy a ∈ P oraz b ∈ Q. Porz ˛adek P⊕Q nazywamy sum ˛a leksykograficzn ˛a porz ˛adków P, Q.
Element p ∈ P nazywamy pokryciem górnym elementu q∈ P (za´s q nazywamy pokryciem dolnym p), je ˙zeli p > q oraz nie istnieje r ∈ P takie, ˙ze p > r > q. Piszemy wówczas p q (lub q ≺ p). Przez zapis p < q (lub q 4 p) rozumiemy,
˙ze p q lub p=q.
Przez H(P) = (P, ) oznaczamy graf skierowany zwany diagramem Hassego
cz˛e´sciowego porz ˛adku P. Rysuj ˛ac diagram Hassego przyjmuje si˛e cz˛esto kon-wencj˛e, ˙ze elementy mniejsze w porz ˛adku P znajduj ˛a si˛e ni ˙zej ni ˙z wi˛eksze, co pozwala pomin ˛a´c na rysunku groty strzałek oznaczaj ˛ace orientacje kraw˛edzi. Przykładowy diagram Hassego, narysowany zgodnie z t ˛a zasad ˛a, przedstawia rysunek 1.1.
Je´sli zbiór cz˛e´sciowo uporz ˛adkowany P nie zawiera podzbioru izomorficz-nego ze zbiorem N∪ {∞} ze standardowym porz ˛adkiem lub z porz ˛adkiem do
x5
x3 x4
x0 x1 x2
Rysunek 1.1: Diagram Hassego cz˛e´sciowego porz ˛adku na zbiorze{x0, . . . , x5} za-danego przez x0 < x5, x1 < x3, x1 < x4, x1 < x5, x2 < x3, x2 < x4, x2 < x5, x3< x5.
niego dualnym, to P jest jednoznacznie wyznaczony przez swój diagram Has-sego H(P). Dla dowolnych cz˛e´sciowych porz ˛adków nie jest to jednak prawd ˛a (np. dla P =R ze zwykłym porz ˛adkiem).
Graf skierowany G(P) = (P,∼) nazywamy grafem porównywalno´sci cz˛e´scio-wego porz ˛adku P. Poniewa ˙z ∼ jest relacj ˛a symetryczn ˛a, G(P) mo ˙zemy, wobec uwagi 1.2.1, traktowa´c jako graf prosty. Porz ˛adek P nazywamy spójnym, je ˙zeli graf G(P) jest spójny; w oczywisty sposób definiujemy składowe spójno´sci po-rz ˛adku P. Mówimy, ˙ze cz˛e´sciowy porz ˛adek P jest lokalnie sko ´nczony, o ile graf
G(P)jest lokalnie sko ´nczony.
Niesko ´nczon ˛a ´scie ˙zk˛e prost˛e w grafie porównywalno´sci G(P) cz˛e´sciowego porz ˛adku P nazywamy promieniem w P. Je ˙zeli P nie zawiera promienia, to mó-wimy, ˙ze jest cz˛e´sciowym porz ˛adkiem bez promieni (por. analogiczne definicje dla grafów [97, 200]; pod inn ˛a nazw ˛a porz ˛adki bez promieni rozwa ˙zał wcze´sniej au-tor rozprawy [130, 130]). Oczywi´scie, je´sli P jest porz ˛adkiem bez promieni, to nie zawiera niesko ´nczonego ła ´ncucha.
Krat ˛a nazywamy taki cz˛e´sciowy porz ˛adek L, w którym dla wszystkich ele-mentów p, q ∈ L istniej ˛a kresy p∨q oraz p∧q. Wynika st ˛ad, ˙ze w kracie L ist-niej ˛a kresy sup(A)oraz inf(A)ka ˙zdego sko ´nczonego, niepustego zbioru A ⊆ L. Krat˛e L nazywamy zupełn ˛a, o ile dla ka ˙zdego podzbioru A⊆ L istniej ˛a w L kresy sup(A)oraz inf(A).
Lemat 1.2.4 ([204, Proposition 5.1.7]). Krata jest zupełna wtedy i tylko wtedy, gdy jest ła ´ncuchowo zupełna. W szczególno´sci, ka˙zda krata nie zawieraj ˛aca niesko ´nczonego ła ´ncucha jest zupełna.
Je ˙zeli krata L ma element najwi˛ekszy, który oznaczamy przez 1L, to L nazy-wamy krat ˛a z jedynk ˛a. Element najmniejszy kraty L, o ile istnieje, oznaczamy sym-bolem 0L i mówimy w tej sytuacji, ˙ze L jest krat ˛a z zerem. Zauwa ˙zmy, ˙ze ka ˙zda zupełna krata ma zero i jedynk˛e.
Je´sli L jest krat ˛a z zerem i jedynk ˛a, to ´sci˛et ˛a krat ˛a powstał ˛a z L nazywamy cz˛e´sciowy porz ˛adek ˇL= Lr {1L, 0L}.
Mówimy, ˙ze element p kraty L z zerem i jedynk ˛a jest dopełnieniem elementu q ∈ L, je ˙zeli p∨q = 1L oraz p∧q = 0L. Krat˛e L z zerem i jedynk ˛a nazywamy krat ˛a bez dopełnie ´n, je´sli istnieje element p∈ ˇL, który nie ma dopełnienia w L.