Dla odwzorowania symplicjalnego φ : K →K zachodz ˛a zatem, dzi˛eki przemien-no´sci diagramu (1.1), rówprzemien-no´sci:
Fix(|φ|) = Fix(|K(P (φ))|) = |K(Fix(P (φ)))|. (1.5) Stosuj ˛ac równo´sci (1.5) otrzymujemy nast˛epuj ˛acy wniosek z twierdzenia 1.6.9.
Wniosek 1.6.11. Niech K b˛edzie sko ´nczonym kompleksem symplicjalny, za´s φ: K→K odwzorowaniem symplicjalnym. Zachodzi wówczas równo´s´c liczby Lefschetza odwzo-rowania |φ|: |K| → |K| oraz charakterystyki Eulera zbioru jego punktów stałych:
λ(|φ|) =χ(Fix(|φ|)).
1.7. D
ZIAŁANIA GRUPDziałaniem grupy Γ na obiekcie X pewnej kategorii nazywamy homomorfizm
ρ: Γ → Aut(X) grupy Γ w grup˛e automorfizmów obiektu X. Je˙zeli X jest zbio-rem, by´c mo ˙ze wyposa ˙zonym w dodatkow ˛a struktur˛e, np. topologi˛e lub porz ˛ a-dek, za´s elementy Aut(X) s ˛a bijekcjami X → X, to dla x ∈ X oraz g ∈ Γ przyj-mujemy skrótowe oznaczenie gx = ρ(g)(x); podobnie, je´sli A ⊆ X, to piszemy g(A) = ρ(g)(A).
Je ˙zeli grupa Γ działa na zbiorze X, to dla x ∈ X przez Γx = {gx : g ∈ Γ}
oznaczamy orbit˛e punktu x wzgl˛edem działania grupyΓ. Symbolem X
Γ = {Γx : x ∈ X}
oznaczamy zbiór wszystkich orbit wzgl˛edem działania grupyΓ na przestrzeni X. Punktem stałym działania grupy Γ na zbiorze X nazywamy ka˙zdy taki element x ∈ X, ˙ze gx = x dla wszystkich g ∈ Γ. Zbiór punktów stałych działania Γ na X oznaczamy przez XΓ.
Mówimy, ˙ze działanie grupy Γ na kompleksie symplicjalnym K jest dopusz-czalne, o ile dla ka ˙zdego elementu g ∈ Γ oraz ka˙zdego sympleksu σ ∈ K z
rów-no´sci g(σ) = σ wynika, ˙ze gv = v dla wszystkich wierzchołków v ∈ σ. Je ˙zeli działanie grupyΓ na kompleksie symplicjalnym K jest dopuszczalne, to definiu-jemy jego podkompleks
KΓ =K {v∈V : gv=v dla ka ˙zdego g∈Γ}.
Działanie grupyΓ na K indukuje działanie Γ na przestrzeni topologicznej|K|. Je´sliΓ działa na K w sposób dopuszczalny, to
|K|Γ = |KΓ|.
Nietrudno równie ˙z spostrzec, ˙ze je´sli Γ działa na cz˛e´sciowym porz ˛adku P, to indukowane działanieΓ naK(P)jest dopuszczalne, a ponadtoK PΓ
= K(P)Γ. Przestrze ´n topologiczn ˛a z ustalonym działaniem grupy Γ nazywamy Γ-przestrzeni ˛a. Par˛e przestrzeni topologicznych (X, A) nazywamy Γ-par ˛a, o ile
ustalone jest działanie grupyΓ na przestrzeni X takie, ˙ze g(A) = A dla ka ˙zdego g∈ Γ.
Ustalmy Γ-przestrzenie X, Y. Ci ˛agłe przekształcenie f : X → Y nazywamy Γ-odwzorowaniem (lub ekwiwariantnym odwzorowaniem), o ile f(gx) = g f(x) dla wszystkich g ∈ Γ, x ∈ X. Homotopi˛e h : X×I → Y nazywamy Γ-homotopi ˛a (lub ekwiwariantn ˛a homotopi ˛a), o ile dla ka ˙zdego t ∈ I funkcja ht: X → Y jest Γ-odwzorowaniem. Ekwiwariantne odwzorowanie f : X → Y nazywamy Γ-homotopijn ˛a równowa˙zno´sci ˛a (lub ekwiwariantn ˛a homotopijn ˛a równowa˙zno´sci ˛a), je-´sli istnieje ekwiwariantne odwzorowanie g : Y → X o tej własno´sci, ˙ze zło ˙zenie f ◦g jest ekwiwariantnie homotopijne z odwzorowaniem idY, za´s zło ˙zenie g◦ f jest ekwiwariantnie homotopijne z funkcj ˛a idX.
Je ˙zeli(X, A)jestΓ-par ˛a oraz i : A ,→X jest wło ˙zeniem, to retrakcj˛e r : X → A nazywamy ekwiwariantn ˛a mocn ˛a retrakcj ˛a deformacyjn ˛a, o ile istnieje ekwiwa-riantna homotopia h : X×I→X taka, ˙ze h0 =i◦r, h1 =idXoraz h(a, t) = a dla wszystkich a ∈ A , t∈ I.
R
OZDZIAŁ
2
Mocny typ homotopijny
Mówimy, ˙ze przestrze ´n topologiczna jest Aleksandrowa, o ile przekrój ka ˙zdej rodziny jej otwartych podzbiorów jest zbiorem otwartym. Przestrzenie T0 Alek-sandrowa uto ˙zsamia´c mo ˙zna z cz˛e´sciowymi porz ˛adkami.
Korzystaj ˛ac z poj˛e´c rozbieralno´sci oraz rdzenia cz˛e´sciowego porz ˛adku dowo-dzimy, ˙ze dla dowolnej grupyΓ dwie Γ-przestrzenie Aleksandrowa nie zawieraj ˛ace promieni (w sensie teorioporz ˛adkowym) s ˛a Γ-homotopijnie równowa˙zne wtedy i tylko wtedy, gdy ich rdzenie s ˛a homeomorficzne. Wykazujemy, ˙ze nie ist-niej ˛a nietrywialne H-przestrzenie oraz ko-H-przestrzenie Aleksandrowa bez promieni. Wprowadzamy poj˛ecia korozbieralno´sci, lokalnej rozbieralno´sci oraz s-´sci ˛agalno´sci cz˛e´sciowych porz ˛adków i dowodzimy ich własno´sci. Cz˛e´s´c spo´sród tych rozwa ˙za ´n przenosimy z cz˛e´sciowych porz ˛adków na kompleksy symplicjalne oraz proponujemy definicj˛e mocnego typu homotopijnego niesko ´nczonego kom-pleksu symplicjalnego.
Rozdział opiera si˛e cz˛e´sciowo na pracach autora [129, 130] i uogólnia ich wyniki, jak i rezultaty uzyskane przez innych autorów [31, 221, 222].
Przestrze ´n topologiczn ˛a X nazywamy przestrzeni ˛a Aleksandrowa, o ile prze-krój ka ˙zdej rodziny otwartych podzbiorów X jest zbiorem otwartym. Przestrze-nie o tej własno´sci rozwa ˙zane były w latach 30-tych XX wieku przez Aleksan-drowa [4] oraz Tuckera [224], a tak ˙ze, w nieco innym kontek´scie, przez Birkhoffa (zob. [196]). Wa ˙zn ˛a podklas˛e przestrzeni Aleksandrowa tworz ˛a sko ´nczone prze-strzenie topologiczne. Kategoria przestrzeni Aleksandrowa i ci ˛agłych odwzo-rowa ´n jest izomorficzna kategorii zbiorów quasi-uporz ˛adkowanych i odwzoro-wa ´n zachowuj ˛acych porz ˛adek [4, 224]. Podobny fakt zachodzi dla kategorii prze-strzeni Aleksandrowa spełniaj ˛acych aksjomat oddzielania T0 i kategorii cz˛e´scio-wych porz ˛adków.
Przestrzenie topologiczne Aleksandrowa odgrywaj ˛a istotn ˛a rol˛e w bada-niach kraty wszystkich topologii na ustalonym zbiorze [220, 230], zob. te ˙z [225].
Dług ˛a tradycj˛e maj ˛a wyniki dotycz ˛ace aproksymacji dowolnych przestrzeni to-pologicznych systemami odwrotnymi sko ´nczonych przestrzeni toto-pologicznych (zob. np. [5, 21, 60, 79, 120, 121, 212], [173, Chapter 49, Section 11],[161, p. 414]). (Warto w tym kontek´scie zwróci´c uwag˛e na zwi ˛azek z przestrzeniami spek-tralnymi, tj. homeomorficznymi spektrum przemiennego pier´scienia z jedynk ˛a, które mo ˙zna scharakteryzowa´c jako granice odwrotne systemów sko ´nczonych przestrzeni T0[109].) Znalazły one zastosowania w fizyce teoretycznej [217] oraz topologii cyfrowej [119, 120], co wpłyn˛eło w ostatnich latach na wzrost zainte-resowania sko ´nczonymi przestrzeniami topologicznymi. Przestrzenie Aleksan-drowa, jako obiekty o wyj ˛atkowych własno´sciach i stosunkowo prostej struktu-rze, dostarcza´c mog ˛a ponadto kontrprzykładów, czy te ˙z stanowi´c pole do testo-wania ogólnych hipotez (por. [24, 128, 132]), a tak ˙ze słu ˙zy´c jako narz˛edzie peda-gogiczne [106, 149].
W niniejszej rozprawie na przestrzenie Aleksandrowa patrzymy od strony to-pologii algebraicznej. Podej´scie to zainicjowane zostało dwoma artykułami z 1966 roku, autorstwa McCorda [153] oraz Stonga [221].
McCord [153] dowiódł, i ˙z ka ˙zdy kompleks symplicjalny K ma słaby typ ho-motopijny przestrzeni Aleksandrowa odpowiadaj ˛acej cz˛e´sciowemu porz ˛adkowi
P (K)stowarzyszonemu z tym kompleksem; odwrotnie, ka ˙zda przestrze ´n Alek-sandrowa X jest słabo homotopijnie równowa ˙zna kompleksowi symplicjalnemu
K(X)stowarzyszonemu z t ˛a przestrzeni ˛a (traktowan ˛a jako cz˛e´sciowy porz ˛adek). Przykładowo, dla ka ˙zdej liczby naturalnej n istnieje słabo homotopijnie równo-wa ˙zna n-wymiarowej sferzeSn sko ´nczona przestrze ´n topologiczna o 2n+2 ele-mentach (por. [28, Theorem 2.13]).
Praca Stonga [221] dotyczyła natomiast typu homotopijnego sko ´nczonych przestrzeni topologicznych, który bardzo ró ˙zni si˛e od ich słabego typu homo-topijnego: nietrudno np. zauwa ˙zy´c, ˙ze ka ˙zda spójna przestrze ´n T1 maj ˛aca typ homotopijny przestrzeni Aleksandrowa jest ´sci ˛agalna, co wyra´znie kontrastuje wynikami McCorda. Stong [221] podał mi˛edzy innymi pewnego rodzaju kla-syfikacj˛e typów homotopijnych sko ´nczonych przestrzeni topologicznych: ka ˙zd ˛a tak ˛a przestrze ´n mo ˙zna sprowadzi´c do tzw. rdzenia (b˛ed ˛acego jej retraktem o spe-cjalnych własno´sciach), przy czym dwie sko ´nczone przestrzenie s ˛a homotopijnie równowa ˙zne dokładnie wtedy, gdy ich rdzenie s ˛a homeomorficzne. Wykorzy-stał w tym celu dobrze znane i szeroko stosowane równie ˙z w innych kontekstach poj˛ecie rozbieralno´sci cz˛e´sciowego porz ˛adku (krótki przegl ˛ad zwi ˛azanej z nim literatury znajduje si˛e w sekcji 2.2.2).
Wydaje si˛e, ˙ze po roku 1966 przez wiele lat temat topologii algebraicznej prze-strzeni Aleksandrowa nie wzbudzał wi˛ekszego zainteresowania, cho´c w 1969 ukazał si˛e (mało znany) artykuł autorstwa Shiraki [211], za´s w 1978 wa ˙zna praca Quillena [185], któr ˛a w 1984 Stong [222] powi ˛azał z wcze´sniejszymi rozwa ˙niami swoimi [221] oraz McCorda [153]. Dopiero w latach 90-tych temat ten za-cz ˛ał ponownie zajmowa´c badaczy, a po roku 2000 liczba publikowanych prac do-tycz ˛acych teorii homotopii przestrzeni sko ´nczonych i Aleksandrowa wzrosła bar-dzo dynamicznie (przegl ˛ad niektórych spo´sród nich znajduje si˛e w sekcji 2.2.1).