Problem harmonogramowania jako kombinatoryczna aukcja czasu

Warszawa

Streszczenie

W pracy zaproponowano metod modelowania praktycznych problemów harmonogramowania za pomoc wielotowarowych mechanizmów rynkowych. Wprowadzona została Kombinatoryczna Aukcja Czasu jako narzdzie umoliwiajce zapis zarówno prostych problemów, jak i wykorzystujcych zalenoci pomidzy poszczególnymi zasobami, w szczególnoci komplementarno i substytucyjno. Przedstawiono sposób zapisu zadania harmonogramowania w sposób naturalny, pozwalajcy na koncentracj na wymaganiach funkcjonalnych zamiast na zalenociach pomidzy poszczególnymi zasobami.

Słowa kluczowe: harmonogramowanie, aukcja, aukcja kombinatoryczna, zarzdzanie czasem, Kombinatoryczna Aukcja Czasu, KAC.

1. Wprowadzenie

Istnieje wielka rónorodno problemów harmonogramowania procesów dyskretnych, które ze wzgldu na całkowitoliczbowy charakter zadania s trudne do rozwizania. Z drugiej strony w wielu sytuacjach s do siebie bardzo podobne, ale pewne specyficzne własnoci powoduj, e niemoliwe jest zastosowanie algorytmów zaprojektowanych dla jednego problemu do rozwizywania innych.

Wspólnym elementem zada harmonogramowania jest wystpowanie czasu. Czasem pojawia si w postaci jawnej, gdzie istniej konkretne wymagania co do terminu wykonania konkretnej operacji, w innym przypadku jest ukryty w ograniczeniach, kiedy czas wykonywania jest dowolny, ale istniej np. cile okrelone zasoby, których nie wolno przekroczy (np. dostpna ilo procesorów).

Niniejsza praca ma na celu zaprezentowanie sposobu modelowania tego typu problemów w oparciu o aukcj kombinatoryczn specyficznych towarów – par (zasób, chwila czasu). Problemy aukcyjne s dobrze znane w informatyce, od lat udoskonalane s narzdzia zwikszajce zarówno efektywno ich rozwizywania, jak i poprawiajce cechy takie, jak sprawiedliwo, zgodno motywacji itp. [2,3,7,8] Wszystkie te wyniki moliwe bd do zastosowania w rozwizywaniu problemów harmonogramowania po przekształceniu ich do postaci aukcyjnej. 2. Opis problemu

Skoncentrujmy si na do ogólnym problemie, uszczegóławiajc który mona bdzie doj do wielu istniejcych modeli harmonogramowania. Zadanie polega na wyznaczeniu takiego rozdziału w czasie (i – by moe przestrzeni, o czym pó niej) dostpnych zasobów, który zapewni

zaspokojenie zapotrzebowania na poszczególne zasoby przy najlepszym ich wykorzystaniu z uwzgldnieniem istniejcych ogranicze. W przypadku w którym zaspokojenie wszystkich zapotrzebowa nie jest moliwe, minimalizowana jest waona liczba wymaga odrzuconych. Powysze okrelenie mona dopasowa do praktycznie kadego zadania harmonogramowania, dziki czemu proponowany model nie ogranicza zakresu zastosowa. Konkretne problemy tego typu s w literaturze dyskutowane, jednak s to rozwizania specjalizowane, przystosowane do konkretnego zastosowania (np. [1,5,9]).

Dla ustalenia uwagi przyjmijmy nastpujce załoenia szczegółowe opisujce problem i przyjt terminologi:

− Procesorem elementarnym bd nazywał kady zasób, który faktycznie wystpuje w problemie. Przyjmijmy, e zasoby te indeksowane bd przez l∈

{

1 , ,L

}

.

− Multiprocesorem, lub procesorem wirtualnym nazywa bdziemy grupy procesorów elementarnych składajce si z pewnej4 liczby procesorów elementarnych. Poniewa procesor wirtualny nie istnieje w rzeczywistoci, wykorzystanie multiprocesora naley rozumie jako wykorzystanie dowolnego procesora elementarnego wchodzcego w jego skład. Multiprocesory indeksowane s przez λ∈

_{

1 , ,Λ

_}

. Sposób grupowania procesorów elementarnych w multiprocesory okrelony jest przez parametry

α

_λl równe 1 jeli procesor l jest elementem multiprocesora λ i 0 w przeciwnym wypadku. Majc okrelone w powyszy sposób zasoby mona zdefiniowa rozwaany system obsługi w sposób nastpujcy:

− do wykonania jest M operacji indeksowanych j∈ {1, ..., M}, przy czym − do dyspozycji jest C chwil czasu indeksowanych c∈ {1, ..., C}, oraz − Λ multiprocesorów indeksowanych λ∈ {1, ..., Λ}.

− Kada operacja zawiera Nj wymaga zasobowych n∈ {1, ..., Nj }, które spełnione musz by jednoczenie.

Wymagania zasobowe to po prostu zasób zagregowany, który moe spełni dane wymaganie i ilo zasobu niezbdna do tego celu. Okrelane jest wektorem

m

jn

=

(

m

_λjn

,

m

_maxjn

,

m

_minjn

)

, gdzie:

−

jn

m

_λ

∈ {1, ..., Λ}, okrela multiprocesor którego dotyczy wymaganie −

jn

m

_{min ∈ {0, ...,}

m

_maxjn

}, jest minimaln iloci zasobów multiprocesora niezbdn do realizacji wymagania; moe by równa 0, jeli istnieje górne ograniczenie

− jn

m

_max ∈ { jn

m

_min

, ...}, jest maksymaln iloci zasobów multiprocesora niezbdn do realizacji wymagania.

Konkretna operacja moe zosta przyjta do wykonania wtedy i tylko wtedy, kiedy wszystkie wymagania wchodzce w jej skład s spełnione, zatem dla kaĪdej operacji mamy:

{ } jn l jnlc l m N n c j x m x jn j min , 1 1⇔ ∃ ∀ ⋅ ≥ = ∈ 

¦

α

_λ

4 _{W szczególnym przypadku z adnego, ale w tej sytuacji wymaganie korzystajce z takiego zasobu nigdy nie bdzie mogło}

{ } jn l jnlc l m N n c j x m x jn j max , 1 1⇔ ∃ ∀ ⋅ ≤ = _∈

_¦

λ

α



gdzie:

x

_j jest równe 1 jeli j-ta operacja jest przyjta, lub 0 w przeciwnym razie,

jnlc

x

jest równe 1 jeli n-te wymaganie j-tej operacji jest spełniane przez l-ty zasób w c-tej chwili czasu, lub 0 w przeciwnym razie.

Ponadto przyjmujemy załoenie, e dany procesor elementarny w danej chwili moe wystpowa jako element tylko jednego multiprocesora5. Jednoczenie moe by przydzielony do nie wicej ni jednej operacji6. Mamy wic dla kadego zasobu elementarnego i kadej chwili:

1 ≤

¦¦

j n jnlc x .

Kada z operacji posiada ponadto:

− okrelone ramy czasowe, w których moe zosta wykonana − rj∈ {1, ..., C} (release time) – chwila gotowoci do obsługi − Dj∈ {1, ..., C} (deadline) – ostateczny termin zakoczenia − jeli operacja nie mieci si w powyszych ramach, jest odrzucana − okrelony czas trwania7 pj∈ {1, ..., C}

− okrelon wag wj.

Celem, do którego dymy jest po pierwsze doprowadzenie do sytuacji, w której wszystkie operacje zostan wykonane zgodnie z ograniczeniami8, po drugie uwzgldnianie ewentualnych preferencji dotyczcych czasu wykonywania poszczególnych operacji. Zamodelowano to jako minimalizacj waonej liczby operacji odrzuconych:

¦

¦

−

=

−

j j j j x j j j xj

w

x

j

w

x

w

)

(

min

))

1

(

(

min

gdzie wj to waga j-tej operacji.

3. Zapis w postaci Kombinatorycznej Aukcji Czasu

Przedstawiony w poprzednim rozdziale problem zapisa mona w postaci aukcji kombinatorycznej o specyficznej strukturze. W dalszej czci pracy nazywana ona bdzie Kombinatoryczn Aukcj Czasu (KAC). Poszczególne elementy problemu odpowiadaj niemal dokładnie analogicznym elementom opisu aukcji.

5 _{Nawet jeli w innej chwili traktowany jest jako element innego procesora wirtualnego, to nie moe spełnia jednoczenie}

wicej ni jednego wymagania zasobowego.

6

To ograniczenie oczywicie dotyczy tylko procesorów elementarnych. Multiprocesor moe jednoczenie „obsługiwa” wiele operacji korzystajc z faktu, e w jego skład wchodzi wiele rónych procesorów elementarnych.

7 _{Dla ustalenia uwagi przyjmuj w pocztkowym etapie prac, e p} j = 1.

8 _{Jeli nie jest to moliwe, to doprowadzenie do sytuacji, w której odrzucone by były jedynie te najmniej istotne operacje,}

3.1. Funkcja celu

W przypadku aukcji celem jest przydział dóbr maksymalizujcy dobrobyt, a wic maksymalizujcy sum rónic pomidzy cenami ofertowymi, a rozliczeniowymi przyjtych ofert:

¦

−

j rozl j of j j xj

x

w

w

)

(

min

Jest to równowane minimalizacji waonej liczby odrzuconych ofert kupna przy załoeniu, e ceny ofertowe wszystkich ofert sprzeday s równe 09.

3.2. Struktura oferty

W modelu aukcyjnym poszczególne oferty odpowiadaj konkretnym operacjom, które maj zosta wykonane. Opis oferty powinien odpowiada opisowi operacji, w szczególnoci wszystkich zwizanych z ni wymaga.

Przyjmujc podział ofert zgodny z wykorzystywanym w modelu M3 [4] mona zauway, e poza specyficznymi trywialnymi przypadkami, którymi nie bdziemy si tutaj zajmowa, wszystkie interesujce nas oferty nale do grupy ofert grupujących. Jest to mechanizm pozwalajcy na zapisanie ogranicze na elementarne towary znajdujce si w konkretnych wizkach wchodzcych w skład oferty. Umoliwia to zapis zalenoci pomidzy towarami takich, jak substytucyjno, czy komplementarno, czego dowód znale  mona m.in. w pracy [6].

Warto zwróci uwag take na podmiot składajcy ofert. Poniewa – jak zaznaczono wczeniej, odpowiada ona operacji, która ma zosta wykonana, logiczne byłoby utosamienie oferenta z „włacicielem” danej operacji.

3.3. Towary

Jak zaznaczono wczeniej, towarami obracanymi na aukcji s konkretne chwile poszczególnych zasobów, jednak zarówno dotyczy to zasobów elementarnych (procesorów), jak i zagregowanych (multiprocesorów). Dziki temu moliwe jest zamodelowanie nietrywialnych zalenoci pomidzy nimi.

Poniewa w problemie wystpuje – jak zauwaono w rozdziale 2 C chwil czasu, L procesorów elementarnych, oraz Λ multiprocesorów, w aukcji bdzie wystpowało C(L+Λ) towarów. To jest górne ograniczenie – oczywicie moe si zdarzy, e np. nie wszystkie multiprocesory bd wykorzystywane, wówczas nie ma potrzeby ich definiowa.

4. Metody opisu ofert

W ogólnym przypadku aukcji kombinatorycznej najprostszym sposobem opisu jest wykorzystanie jedynie zasobów elementarnych. Niesie to jednak za sob ryzyko nieprawidłowego opisu preferencji gracza – choby niemono prostego modelowania wspomnianej ju substytucyjnoci. Konieczne byłoby wybranie a’prori procesora na którym operacja bdzie wykonywana10 i zakładanie, e bdzie to moliwe, wzgldnie okrelenie kilku rónych ofert i liczenie si z moliwoci przyjcia kilku, co pociga za sob koszty zablokowania pewnych zasobów, a zatem by moe odrzucenia innych ofert, które mogłyby zosta przyjte.

9 _{W praktyce ceny ofert sprzeday nie musz by równe zero i mona je wykorzysta do modelowania preferencji}

poszczególnych zasobów elementarnych.

Rozwizaniem tego problemu jest wykorzystanie ofert grupujcych, w których wykorzystywane s ograniczenia na poszczególne towary. Zapisywane s one w postaci pomocniczych dóbr, które specyfikowane s bezporednio przez oferenta. Składajc ofert dodawane s pewne towary wirtualne – odpowiedniki multiprocesorów w problemie wyjciowym, dla których opisywane s konkretne wymagania. Warto zwróci jednak uwag na fakt, i w tym przypadku po pierwsze kady z graczy definiuje własny zestaw tych towarów, co utrudnia rozwizywanie zadania, po drugie im wymagania s mniej szczegółowe, tym bardziej złoona musi by oferta11. Istotnym jest take fakt, i tak przedstawiony model nadal nie odpowiada wymaganiom gracza, który okrela wymagania w kategoriach multiprocesorów12.

Trzecim podejciem jest oddzielenie opisu multiprocesorów od samej oferty na wykonanie konkretnej operacji. Kady zasób zagregowany opisywany jest za pomoc szeregu prostych ofert, po jednej na kady towar elementarny wchodzcy w jego skład. Złoenie tych ofert moe by wykonywane w sposób automatyczny przez dodatkowego gracza wprowadzonego przez operatora rynku. Majc zdefiniowane zasoby zagregowane, poszczególne oferty odpowiadaj operacjom wykonywanych na konkretnych multiprocesorach. Taki sposób zapisu jest naturalny w opisie wymaga, oraz w przeciwiestwie do podejcia poprzedniego, złoono opisu wymagania jest praktycznie stała, co najwyej opis moe by uproszczony z powodu braku którego elementu ograniczenia.

5. Wyniki KAC i drugi etap rozwiązania

Wynikiem KAC nie jest konkretny przydział zasobów elementarnych, chwil czasu i operacji, ale rozwizanie problemu zrelaksowanego. W kadej chwili czasu s okrelone procesory elementarne, które s wykorzystywane (cho nie ma informacji, do której operacji zostały przydzielone), oraz o multiprocesorach (ile procesorów elementarnych wchodzcych w skład konkretnego multiprocesora zostało w danej chwili wykorzystanych).

Co warte podkrelenia, nie jest tu istotna wielko uzyskanego na aukcji dobrobytu (mimo, i jest ona maksymalizowana), ani tym bardziej poszczególne ceny rozliczeniowe! Celem wykorzystania mechanizmu aukcyjnego jest zbilansowanie iloĞciowe poszczególnych zasobów. Po zakoczeniu pierwszego etapu – Kombinatorycznej Aukcji Czasu cały problem rozbity zostaje na szereg niezalenych chwil czasu, przy czym w kadej z nich okrelone s przyjte oferty, wykorzystywane procesory i multiprocesory. Celem drugiego etapu jest znalezienie dopuszczalnego rozwizania łczcego wszystkie te elementy, przy czym wiadomo z góry, i naley przydzieli wszystkie procesory elementarne, multiprocesory, oraz wszystkie operacje, które s w danej chwili wykonywane.

W przypadku, w którym kady towar elementarny moe by elementem tylko jednego towaru zagregowanego rozwizanie jest trywialne – wystarczy po kolei przydziela do operacji procesory w ramach poszczególnych wymaga w dowolnej kolejnoci i zawsze osigniemy rozwizanie dopuszczalne13.

11 _{Przykładowo oferta na konkretne dobro składa si z tylko z niego, oferta na dowolne dobro z pewnego zbioru wymaga}

wyliczenia wszystkich elementów, które mog by wykorzystane, oraz dodania ogranicze
na wykorzystanie dokładnie jednego.

12 _{Stwierdzenie to w aden sposób nie ogranicza ogólnoci rozwaa
, gdy zasób wirtualny moe składa si tylko}

z jednego zasobu elementarnego.

13 _{Jeli nie ma preferencji polegajcych na wyborze operacji któr dany procesor ma wykonywa, a co najwyej na czas}

Bardziej interesujcy jest przypadek w którym towary elementarne mog reprezentowa kilka rónych agregatów. W tej sytuacji w ogólnym przypadku nietrywialnym zadaniem jest okrelenie, do którego z multiprocesorów naley w danej chwili czasu przypisa konkretny procesor elementarny.

W pracy [10] zaproponowano metod rozwizywania tego typu problemów w oparciu o przekształcenie problemu do zbioru grafów dwudzielnych, dziki czemu w kadym przypadku moliwe jest znalezienie dopuszczalnego rozwizania, które jednoczenie jest rozwizaniem optymalnym (przynajmniej w sensie Pareto).

Warto zwróci uwag, e ze wzgldu na całkowit niezaleno rozpatrywanych chwil czasu, zadanie drugiego etapu mona niemal całkowicie zrównolegli, co przyda si moe zwłaszcza w przypadku rozwizywania wikszych (o znacznej liczbie etapów) problemów.

6. Przykłady zastosowania

Zaprezentowany model wykorzysta mona w bezporedni sposób jako narzdzie do układania planu zaj. Przyjmijmy, e mamy dostpne trzy chwile czasu – dwugodzinne okresy:

t1: 8:00 – 10:00, t2: 10:00 – 12:00, t3: 12:00 – 14:00

Mamy dwa zespoły: zespół1, oraz zespół2, które uwzgldniane s w planie. Ponadto mamy dwa rodzaje zada – duĪe, na których wymagana jest obecno obu zespołów, oraz małe, z którymi poradzi sobie pojedynczy zespół. Co istotne, w przypadku małych nie jest istotne, który z zespołów si nimi zajmuje – wane tylko, by był dokładnie jeden.

Kade z zada mog odby si w dowolnym z trzech proponowanych terminów, jednak w przypadku duych preferowanym jest termin pierwszy, dwa pozostałe równowane, w przypadku małych najlepszy jest termin drugi, ewentualnie trzeci, za najgorszy uwaamy pierwszy.

Podczas wykonywania kadego zadania musi by obecna osoba zarzdzajca. O ile w przypadku zada duych musi to by kierownik, o tyle w przypadku małych zarzdza moe take zastĊpca.

Ostatnim elementem jest lokalizacja. Kade zadanie musi odbywa si w pojedynczej sali. W przypadku zada duych oba zespoły mieszcz si obok siebie, jednak małe nie mog by wykonywane przez dwa zespoły jednoczenie w tej samej sali, gdy zespoły wzajemnie by sobie przeszkadzały. Mamy do dyspozycji dwie sale: sala1, oraz sala2.

Poniewa w kilku miejscach wystpuje moliwo wyboru, utworzone zostan trzy agregaty: − zespół jest agregatem łczcym zespół1 oraz zespół2

− zarządca agreguje osoby mogce zarzdza małymi zespołami, a wic kierownika i zastpc

− sala łczy dostpne pomieszczenia, a wic sal1, oraz sal2

Co warte podkrelenia, prezentowane agregaty nie s czym sztucznym, ale naturalnym odzwierciedleniem struktury problemu.

Poniej przedstawiono oferty opisujce powyszy problem, jednak ze wzgldu na symetri zapisu i oszczdno miejsca, przedstawiony został jedynie zapis dla chwili t1. Dla pozostałych wyglda analogicznie. Ponadto ze wzgldu na czytelno podano tylko wartoci niezerowe.

Tabela 2: Oferty proste wprowadzajce zasoby elementarne

Oferty Zasoby

ZESP1 ZESP2 SALA1 SALA2 KIER ZAST

Zespół1 -1 Zespół2 -1 Sala1 -1 Sala2 -1 Kierownik -1 E le m en ta rn e Zastpca -1

W tabeli 1 wida po jednej ofercie sprzeday (ceny s nieistotne, dla ustalenia uwagi mona przyj, e zerowe) dla kadego zasobu elementarnego. Wolumeny s ujemne dla zaznaczenia, e jest to oferta sprzeday.

Tabela 2 przedstawia oferty przypisujce zasoby elementarne do zasobów zagregowanych. W powyszym przykładzie zasób elementarny jest elementem dokładnie jednego agregatu, ale nie jest to konieczne. Moe wystpowa wicej ofert które utworz dalsze przypisania. Pojedyncza oferta polega na „zakupie” towaru elementarnego przy jednoczesnej „sprzeday” odpowiedniego wirtualnego.

Tabela 3 przedstawia oferty rzeczywiste okrelajce wymagania. Dla zajcia duego wymagana jest obecno jednego kierownika, jednej sali, oraz dwóch zespołów. Dla zadania małego kierownik nie jest potrzebny, ale potrzeba dwóch zarzdców14, do tego dwie sale i dwa zespoły.

Tabela 3: Oferty zintegrowane wprowadzajce zasoby zagregowane

Oferty Zasoby

ZESP1_Ze ZESP2_Ze SALA1_Sa SALA2_Sa KIER_Za ZAST_Za

Zespół1 1 Zespół2 1 Sala1 1 Sala2 1 Kierownik 1 E le m en ta rn e Zastpca 1 Zespół -1 -1 Zarzdca -1 -1 A g r. Sala -1 -1

14 _{Oczywicie ze struktury zarzdców wynika, e kierownik równie si do tego zbioru zalicza i w rozwizaniu zostanie}

przypisany do zarzdzania jedn z grup, jednak nie jest to czci wymaga
, tote podczas specyfikowania oferty nie musi by zaznaczane.

Tabela 4: Oferty opisujce rzeczywiste wymagania

Oferty Zasoby

Zagregowane ZADANIE_DUE ZADANIE_MAŁE

Kierownik 1 Zespół 2 2 Zarzdca 2 Sala 1 2 Due_zadanie 1 Małe_zadanie 1

Tabela 5:Oferta grupujca opisujca due zadanie

Oferty Ograniczenia

Zasoby

zagregowane T1 T2 T3 Min Max

Kierownik 1 1 1 – –

Zespół 2 2 2 – –

Zarzdca – –

Sala 1 1 1 – –

Due_zadanie 1 1 1 1 1

Wystpuje tu take dodatkowy element – widoczne w tabeli 4 ograniczenia. W tym przypadku jest to zaznaczenie, e oferta o nazwie ZADANIE_DUE jest przyjta pod warunkiem, e uda si przydzieli wymagane zasoby w iloci chwil czasu pomidzy Min, a Max, czyli w tym konkretnym przypadku, e zasoby trzeba przydzieli w dokładnie jednej chwili. Analogiczne ograniczenia mona doda take przy konkretnych zasobach (zarówno elementarnych, jak i zagregowanych), co pozwala na modelowanie specyficznych wymaga, np. maksymalnego dopuszczalnego obcienia danego procesora.

Rozwizanie zaprezentowanego zadania okrela w której chwili czasu zrealizowane s które z ofert, a take które zasoby (tak elementarne, jak i zagregowane) wykorzystywane s w której chwili. Ze wzgldu na specyfik zadania i fakt, e operacje zostan zrealizowane w rónych chwilach, pozwala to w bezporedni sposób na okrelenie które z zasobów w którym momencie wykorzystywane s do realizacji której operacji. W sytuacji w której nie ma tej jednoznacznoci wykorzystywane jest zadanie drugiej fazy, które szczegółowo opisane zostanie w pracy [10].

Prezentowany model wykorzystano take do zamodelowania problemu układania planu zaj na podstawie danych z Instytutu Automatyki i Informatyki Stosowanej PW.

Rozwizanie to nadaje si równie do modelowania zagadnie planowania produkcji zwłaszcza przy bardziej złoonych problemach, w których wystpuj zalenoci pomidzy zasobami.

%LEOLRJUDILD

[1] Abdennadher S.,Schlenker H.: Nurse scheduling using constraint logic programming w: Proceedings of the National Conference on Artifical Intelligence, J. Wiley & Sons Ltd. 1999.

[2] Ausubel L.M. i in.: The clock-proxy auction: A practical combinatorial auction design w: Combinatorial Auctions, MIT Press, Ch. 5, 115–138, 2006.

[3] Groves T, Ledyard J.: Optimal allocation of public goods: A solution to the free rider problem. Econometrica, 45(4):783–809, 1977.

[4] Kacprzak P. i in.: Model danych dla otwartego systemu obrotu wielotowarowego M3 w: Bazy danych. Nowe technologie. vol. 2, Bezpiecze
stwo, wybrane technologie i zastosowania WKiŁ, Warszawa 2007.

[5] Miller H.E. i in.: Nurse scheduling using mathematical programming w: Operations Research vol. 24, JSTOR 1976.

[6] Modliski P.: Model M3 a aukcje kombinatoryczne, praca dyplomowa magisterska, Politechnika Warszawska, Warszawa 2008.

[7] Pałka P.: Analiza zgodnoci motywacji w rozproszonych systemach rynkowych z wykorzystaniem mechanizmów obrotu wielotowarowego, rozprawa doktorska, Politechnika Warszawska, Warszawa 2009.

[8] Parkes, D.C. i in.: ICE: An iterative combinatorial exchange w Proceedings of the 6th ACM Conference on Electronic Commerce, ACM 2005.

[9] Strevell M.W. Chong, P.S.: Gambling on vacation w: Interfaces vol. 15, JSTOR 1985.

[10] Modliski P.: Kombinatoryczna Aukcja Czasu – Struktura Zadania, materiały konferencyjne XVII KKAPD, Zakopane 2010 – przyjte do druku.

SCHEDULING PROBLEM AS A COMBINATORIAL AUCTION OF TIME

Summary

In the research work there is shown a method of modelling the practical problems of scheduling using multicommodity market mechanisms.

The Combinatorial Auction of Time was introduced as a tool that provides the recording of simple problems as well as these which use relations between the particular resources especially complementarity and substitutability.

There is presented a way of recording the task of scheduling in natural way which enables to focus on functional requirements instead of on the relations between the particular resources.

Keywords: scheduling, auction, combinatorial auction, time management, Combinatorial Auction of Time, CAT.

Piotr Modliski

Instytut Automatyki i Informatyki Stosowanej Politechnika Warszawska

e-mail: p.modlinski@ia.pw.edu.pl http://www.ia.pw.edu.pl