Notatki do wykªadu z analizy
matematycznej I
Piotr Bartªomiejczyk
opracowali Krzysztof Woyke i ukasz
Zªotowski
Spis tre±ci
Przedmowa v
Rozdziaª 1. Granice ci¡gów i funkcji 1
1. Granice ci¡gów 1
2. Granice funkcji 2
Rozdziaª 2. Funkcje ci¡gªe 5
1. De nicja ci¡gªo±ci funkcji 5
2. Ci¡gªo±¢ funkcji elementarnych 5
3. Wªasno±ci funkcji ci¡gªych 6
Rozdziaª 3. Rachunek ró»niczkowy jednej zmiennej 9
1. Pochodna funkcji 9
2. Ró»niczka funkcji 10
3. Oblicznie pochodnych 11
4. Pochodne i ró»niczki wy»szych rz¦dów 12
5. Twierdzenia Rolle'a, Lagrange'a i Cauchy'ego 13
6. Wyra»enia nieoznaczone i reguªa de L'Hospitala 14
7. Ekstrema funkcji 14
8. Wzory Taylora i Maclaurina 15
9. Kryteria na ekstrema 16
10. Wkl¦sªo±¢ i wypukªo±¢ krzywej oraz punkty przegi¦cia 17
Rozdziaª 4. Rachunek caªkowy funkcji jednej zmiennej 19
1. Funkcja pierwotna 19
2. Caªka nieoznaczona 20
3. Reguªy caªkowania 21
4. Caªka oznaczona Riemanna i caªki Darboux 22
5. Wªasno±ci caªki oznaczonej Riemanna 23
6. Podstawowe twierdzenia rachunku caªkowego 24
Rozdziaª 5. Funkcje hiperboliczne 27
Przedmowa
Materiaª przedstawiony w tych notatkach byª podstaw¡ wykªadu z analizy matematycznej na kierunku informatyka w semestrze zimowym roku akademickiego 2004/2005.
Skªad komputerowy notatek w systemie opracowywania dokumen-tów LATEX jest dzieªem dwóch studentów ówczesnego pierwszego roku
informatyki: Krzysztofa Woyke oraz ukasza Zªotowskiego.
Za wszelkie bª¦dy w niniejszych notatkach odpowiada wyª¡cznie ich autor. Ich obecno±¢ nale»y wyja±ni¢ tym, »e notatki te zostaªy przygo-towane za pomoc¡ komputera.
Piotr Bartªomiejczyk Gda«sk pa»dziernik 2005
ROZDZIA 1
Granice ci¡gów i funkcji
1. Granice ci¡gów
Definicja (Cauchy'ego granicy ci¡gu). Liczb¦ g nazywamy gra-nic¡ ci¡gu fang, je»eli dla ka»dego " > 0 istnieje taka liczba , »e dla
ka»dego n > speªniona jest nierówno±¢: jan gj < ". Piszemy wtedy
lim an= g. Zatem pisz¡c symbolicznie:
lim an = g () 8">098n>jan gj < "
Uwaga. Granic¦ ci¡gu mo»na te» okre±li¢ równowa»nie posªugu-j¡c si¦ zwrotem ÿprawie wszystkie\ co oznacza wszystkie z wyj¡tkiem sko«czonej liczby. Mianowicie, lim an = g wtedy i tylko wtedy, gdy w
dowolnym otoczeniu punktu g na osi liczbowej le»¡ prawie wszystkie wyrazy ci¡gu fang.
Definicja. Ci¡g, który ma granic¦ nazywamy zbie»nym, a ci¡g który nie ma granicy nazywamy rozbie»nym.
Uwaga. W±ród ci¡gów rozbie»nych wyró»niamy trzy klasy: (1) rozbie»ne do 1, (2) rozbie»ne do +1, (3) pozostaªe, np. fang = ( 1)n. Definicja. lim an = 1 () 8M98n> an < M lim an = +1 () 8M98n> an > M
Uwaga. Je»eli ci¡g fang jest zbie»ny, to ci¡g fa0ng powstaªy z fang
przez usuni¦cie lub doª¡czenie sko«czonej liczby wyrazów te» jest zbie»-ny oraz lim an= lim a0n.
Twierdzenie. Ci¡g zbie»ny jest ograniczony.
Uwaga. Twierdzenie powy»sze mo»na zapisa¢ tak»e w postaci im-plikacji:
Ograniczono±¢ jest zatem warunkiem koniecznym zbie»no±ci ci¡gu, czy-li zbie»no±¢ poci¡ga za sob¡ ograniczono±¢. Ograniczono±¢ nie jest jed-nak warunkiem wystarczaj¡cym zbie»no±ci, o czym ±wiadczy przykªad ci¡gu danego wzorem an = ( 1)n, który jest ograniczony, ale nie jest
zbie»ny.
Twierdzenie (o trzech ci¡gach). Je»eli granica ci¡gu fang jest
równa granicy ci¡gu fcng i granice te wynosz¡ g, a ponadto istnieje taka
liczba 0, »e dla ka»dego n > 0speªniona jest nierówno±¢: an ¬ bn ¬ cn,
to lim bn= g.
Twierdzenie (o zachowywaniu nierówno±ci). Je»eli: (1) lim an = g,
(2) lim bn = p,
(3) dla ka»dego n > 0 speªniona jest nierówno±¢ an¬ bn,
to g ¬ p.
Uwaga. Powy»sze twierdzenie orzeka, »e nierówno±¢ sªaba zacho-wuje si¦ w granicy. Nierówno±¢ mocna (ostra) mo»e si¦ w granicy nie zachowywa¢ np. nierówno±¢ 1
n < n1 jest prawdziwa, ale nierówno±¢
lim 1
n < limn1 jest faªszywa.
Twierdzenie (warunek Cauchy'ego zbie»no±ci ci¡gu). fang jest zbie»ny () 8">098r;s> jar asj < "
Uwaga. Warunek Cauchy'ego jest dla zbie»no±ci ci¡gu konieczny ()), ale te» wystarczaj¡cy (().
Twierdzenie. Ci¡g monotoniczny i ograniczony jest zbie»ny. Twierdzenie (o dziaªaniach arytmetycznych na granicach ci¡gów zbie»nych). Je»eli ci¡gi fang i fbng s¡ zbie»ne, to ci¡gi fan+bng, fan
bng, fanbng, fabnng(w przypadku ilorazu zakªadamy dodatkowo: 8n bn 6=
0) s¡ tak»e zbie»ne oraz zachodz¡ wzory: (1) lim (an+ bn) = lim an+ lim bn,
(2) lim (an bn) = lim an lim bn,
(3) lim (anbn) = lim anlim bn,
(4) lim (an
bn) =
lim an
lim bn (o ile 8nbn6= 0 oraz lim bn6= 0).
2. Granice funkcji
2.1. Poj¦cie granicy funkcji. Niech funkcja f o warto±ciach rze-czywistych b¦dzie okre±lona w pewnym s¡siedztwie S punktu x0.
Definicja (Heinego granicy funkcji w punkcie). Liczb¦ g nazy-wamy granic¡ funkcji f w punkcie x0, je»eli dla ka»dego ci¡gu fxng
o wyrazach xn 2 S, zbie»nego do x0, ci¡g ff(xn)g jest zbie»ny do g:
Stosujemy wtedy zapis: limx!x
0f(x) = g
Definicja (Cauchy'ego granicy funkcji w punkcie). lim
x!x0f(x) = g () 8">09>08x
(0 < jx x0j < ) ) (jf(x) gj < ")
Uwaga. De nicje Heinego i Cauchy'ego granicy funkcji w punkcie x0 s¡ równowa»ne, a w dowodzie tej równowa»no±ci wykorzystuje si¦ w
istotny sposób aksjomat wyboru.
Twierdzenie (o dziaªaniach arytmetycznych na granicach funk-cji). Je»eli limx!x
0f(x) = g i limx!x0h(x) = p, to: (1) limx!x 0 f(x) h(x)= g p (2) limx!x 0 f(x)h(x)= g p (3) limx!x 0 f(x) h(x) = g p, o ile p 6= 0
Twierdzenie (o granicy funkcji zªo»onej). Je»eli limx!x
0f(x) = y0
(f(x) 6= y0dla ka»dego x z pewnego s¡siedztwa punktu x0) oraz limy!y
0h(y) = g, to: lim x!x0h f(x)= g:
2.2. Granice niewªa±ciwe. Niech f b¦dzie funkcj¡ okre±lon¡ w pewnym s¡siedztwie S punktu x0.
Definicja (Heinego). Funkcja f ma w punkcie x0 granic¦
niewªa-±ciw¡
1 +1
je»eli dla ka»dego ci¡gu fxng o wyrazach xn2 S zbie»nego do x0, ci¡g
ff(xn)g jest rozbie»ny odpowiednio do
1 +1 Oznaczenia: lim x!x0f(x) = 1 x!xlim0f(x) = +1 Definicja (Cauchy'ego). lim x!x0f(x) = 1 () 8M9>08x (0 < jx x0j < ) ! (f(x) < M) lim x!x0f(x) = +1 () 8M9>08x (0 < jx x0j < ) ! (f(x) > M)
2.3. Granice jednostronne. Je»eli w okre±leniu granicy funkcji w punkcie zast¡pimy s¡siedztwo S punktu x0 s¡siedztwem
lewostron-nym (prawostronlewostron-nym) tego punktu, to otrzymamy de nicj¦ granicy lewostronnej (prawostronnej) funkcji f w punkcie x0. Granice te
nazy-wamy jednostronnymi i oznaczamy: lim
x!x0 f(x) = g oraz limx!x+0 f(x) = g:
Definicja (Cauchy'ego (przykªadowa)). lim x!x+ 0 f(x) = +1 () 8M9>08x (0 < x x0 < ) ) (f(x) > M) 2.4. Granice funkcji w niesko«czono±ci. Niech funkcja f b¦-dzie okre±lona w przedziale (a; +1).
Definicja (Heinego). Funkcja f posiada w +1 granic¦ g, je»eli dla ka»dego ci¡gu fxng o wyrazach xn 2 (a; +1) rozbie»nego do +1,
ci¡g ff(xn)g jest zbie»ny do g.
Definicja (Cauchy'ego). lim
x!+1f(x) = g () 8">098x[(x > ) ) (jf(x) gj < ")]
Uwaga. Podobnie de niujemy granic¦ niewªa±ciw¡ w +1 oraz granice (wªa±ciwe i niewªa±ciwe) w 1.
ROZDZIA 2
Funkcje ci¡gªe
1. De nicja ci¡gªo±ci funkcji
Niech funkcja rzeczywista f b¦dzie okre±lona w pewnym otoczeniu punktu x0.
Definicja. Funkcj¦ f nazywamy ci¡gª¡ w punkcie x0, je»eli:
lim
x!x0f(x) = f(x0):
Uwaga. Ci¡gªo±¢ funkcji f w punkcie x0charakteryzuje koniunkcja
trzech warunków: (1) istnieje f(x0),
(2) istnieje limx!x
0f(x),
(3) zachodzi równo±¢ limx!x
0f(x) = f(x0) (równo±¢ t¦ mo»emy
rów-nie» zapisa¢ jako lim
h!0f(x0+ h) = f(x0)).
Poniewa» znamy dwie równowa»ne de nicje granicy funkcji w punkcie x0, mo»emy poda¢ dwie równowa»ne de nicje ci¡gªo±ci.
Definicja (Heinego). Funkcja f jest ci¡gªa w punkcie x0
() 8fxng(lim xn = x0 ! lim f(xn) = f(x0)
Definicja (Cauchy'ego). Funkcja f jest ci¡gªa w punkcie x0
() 8">09>08x[(jx x0j < ) ! (jf(x) f(x0)j < ")]
Uwaga. Z twierdzenia o dziaªaniach arytmetycznych na granicach funkcji wynika, »e suma, ró»nica, iloczyn i iloraz funkcji ci¡gªych w pewnym punkcie jest funkcj¡ ci¡gª¡ w tym punkcie (ze zwykªymi za-strze»eniami dotycz¡cymi ilorazu).
2. Ci¡gªo±¢ funkcji elementarnych
Funkcja staªa f(x) = c oraz funkcja to»samo±ciowa g(x) = x s¡ ci¡gªe w ka»dym punkcie.
Ka»dy wielomian W (x) jest funkcj¡ ci¡gª¡ w dowolnym punk-cie.
Funkcja wymierna jest ci¡gªa w ka»dym punkcie swojej dzie-dziny.
Funkcje trygonometryczne sin x; cos x; tg x; ctg x s¡ ci¡gªe w ka»dym punkcie dziedziny.
Funkcja wykªadnicza jest ci¡gªa w ka»dym punkcie.
Definicja. Funkcja jest ci¡gªa w przedziale otwartym (sko«czo-nym lub nie), je»eli jest ci¡gªa w ka»dym punkcie tego przedziaªu.
Definicja. Funkcja f jest:
prawostronnie lewostronnie
ci¡gªa w punkcie x0, je»eli speªniony jest warunek
lim
x!x0+f(x) = f(x0) x!xlim0 f(x) = f(x0)
Definicja. Funkcja jest ci¡gªa w przedziale domkni¦tym ha; bi, je»eli speªnia nast¦puj¡ce warunki:
jest ci¡gªa w przedziale (a; b), prawostronnie ci¡gªa w a, lewostronnie ci¡gªa w b.
3. Wªasno±ci funkcji ci¡gªych
Twierdzenie (o ci¡gªo±ci funkcji odwrotnej). Funkcja odwrotna do funkcji ci¡gªej i rosn¡cej (malej¡cej) jest ci¡gªa i rosn¡ca (malej¡ca). Twierdzenie (o ci¡gªo±ci funkcji zªo»onej). Je»eli funkcja f(x) jest ci¡gªa w punkcie x0 oraz funkcja h(u) jest ci¡gªa w punkcie u0 =
f(x0) to funkcja zªo»ona h[f(x)] jest ci¡gªa w punkcie x0.
Twierdzenie (o wprowadzeniu granicy do argumentu funkcji ci¡-gªej). Je»eli istnieje granica wªa±ciwa limx!x
0f(x) = g i funkcja h(u) jest
ci¡gªa w punkcie u0 = g to:
lim
x!x0h[f(x)] = h[ limx!x0f(x)] = h(g)
Twierdzenie (o lokalnym zachowaniu znaku). Je»eli funkcja f(x) jest ci¡gªa w punkcie x0 oraz f(x0) > 0 (f(x0) < 0), to istnieje takie
otoczenie U punktu x0, »e dla ka»dego x 2 U speªniona jest nierówno±¢
f(x) > 0 (f(x) < 0).
Twierdzenie (Weierstrassa). Je»eli funkcja f jest ci¡gªa w prze-dziale domkni¦tym ha; bi; to jest w nim ograniczona oraz istniej¡ w tym przedziale takie dwa punkty c1; c2, »e :
Uwaga. W podr¦cznikach analizy matematycznej wyst¦puj¡ cza-sami dwa twierdzenia Weierstrassa dotycz¡ce funkcji ci¡gªych, co jest zwi¡zane z tym, »e teza tego twierdzenia w powy»szym sformuªowaniu stanowi koniunkcj¦ dwóch warunków. I tak tzw. pierwsze twierdzenie Weierstrassa mówi, »e funkcja ci¡gªa w przedziale domkni¦tym i ograni-czonym jest ograniczona, a tzw. drugie twierdzenie Weiertrassa mówi, »e funkcja ci¡gªa w przedziale domkni¦tym i ograniczonym osi¡ga w tym przedziale swe kresy górny i dolny.
Twierdzenie (Cantora). Je»eli funkcja f jest ci¡gªa w przedzia-le domkni¦tym ha; bi, to dla ka»dego " > 0 istnieje taka > 0, »e dla ka»dych dwóch liczb x1; x2 z tego przedziaªu speªniaj¡cych warunek
jx1 x2j < speªniona jest nierówno±¢ jf(x1) f(x2)j < ".
Uwaga. Podkre±lamy, »e liczba > 0 o której mowa w tezie twier-dzenia Cantora jest niezale»na od x1; x2 z przedziaªu ha; bi. Wªasno±ci
funkcji ci¡gªej, o której mowa w tezie twierdzenia Cantora nosi nazw¦ jednostajnej ci¡gªo±ci.
Definicja. Funkcj¦ f nazywamy jednostajnie ci¡gª¡ w przedziale X, je»eli:
8">09>08x12X8x22X
jx1 x2j < ! (jf(x1) f(x2)j < "
St¡d twierdzenie Cantora mo»na sformuªowa¢ równowa»nie:
Twierdzenie (Cantora). Ka»da funkcja ci¡gªa w przedziale do-mkni¦tym i ograniczonym jest w tym przedziale jednostajnie ci¡gªa.
Twierdzenie (wªasno±¢ Darboux). Je»eli funkcja f jest ci¡gªa w przedziale ha; bi, f(a) 6= f(b) oraz liczba q jest pomi¦dzy f(a) i f(b), to istnieje taki punkt c 2 (a; b), »e f(c) = q.
Uwaga. Powy»sze twierdzenie nazywamy te» twierdzeniem o przyj-mowaniu warto±ci po±redniej, maj¡c na my±li »e funkcja f przyjmuje w przedziale (a; b) ka»d¡ warto±¢ po±redni¡ pomi¦dzy f(a) i f(b).
Poni»szy wniosek stanowi szczególny przypadek ostatniego twier-dzenia.
Wniosek (twierdzenie Bolzano-Cauchy'ego). Je»eli funkcja f jest ci¡gªa w przedziale ha; bi, a ponadto f(a) f(b) < 0 (tzn. warto±ci s¡ ró»nych znaków na ko«cach przedziaªu), to wewn¡trz tego przedziaªu istnieje taki punkt c 2 (a; b), »e f(c) = 0.
ROZDZIA 3
Rachunek ró»niczkowy jednej zmiennej
1. Pochodna funkcji
Niech f b¦dzie funkcj¡ okre±lon¡ w otoczeniu U punktu x0. Symbolem
x oznaczamy przyrost zmiennej niezale»nej x, który mo»e by¢ dodatni (x > 0) albo ujemny (x < 0), lecz ró»ny od zera i taki, »e
x0+ x 2 U:
Przyrostowi x odpowiada przyrost y tj. przyrost warto±ci funkcji y = f(x0+ x) f(x0);
który mo»e by¢ dodatni, ujemny albo równy zeru. Zamiast y piszemy te» f.
Definicja. Iloraz ró»nicowy funkcji f w punkcie x0i dla przyrostu
zmiennej niezale»nej x jest to stosunek f(x0+ x) f(x0)
x :
Definicja. Granic¦ (wªa±ciw¡) ilorazu ró»nicowegoy
x, gdy x ! 0,
nazywamy pochodn¡ funkcji f w punkcie x0 i oznaczamy symbolem
f0(x
0). Symbolicznie:
f0(x
0) = limx!0f(x0 + x) f(xx 0)
Uwaga. Je»eli pochodna funkcji f istnieje w ka»dym punkcie pew-nego zbiory X, to ka»dej liczbie x0 2 X przyporz¡dkowana jest
jedno-znacznie liczba f0(x
0), a wi¦c na zbiorze X okre±lona jest nowa funkcja,
zwana funkcj¡ pochodn¡ funkcji f i oznaczana symbolem f0. Nale»y
rozró»nia¢:
funkcj¦ pochodn¡ f0,
pochodn¡ w pewnym ustalonym punkcie, która jest liczb¡, a ±ci±le warto±ci¡ funkcji pochodnej w tym punkcie.
Definicja (pochodna lewostronna). f0(x
Definicja (pochodna prawostronna). f0(x+
0)def= limx!0+
f(x0 + x) f(x)
x
Uwaga. Mówimy, »e f ma pochodn¡ w przedziale domkni¦tym, je»eli ma pochodn¡ w przedziale otwartym oraz odpowiednie pochodne jednostronne w ko«cach przedziaªu.
2. Ró»niczka funkcji
Twierdzenie (o przedstawieniu przyrostu funkcji). Je»eli funkcja f okre±lona w pewnym otoczeniu U punktu x0, ma pochodn¡ f0(x0), to
dla ka»dego przyrostu x takiego, »e x0+ x 2 U, odpowiadaj¡cy mu
przyrost funkcji
f = f(x0+ x) f(x0)
mo»na przedstawi¢ nast¦puj¡co: f = f0(x
0)x + x
przy czym ! 0, gdy x ! 0.
Wniosek. Je»eli funkcja f ma w punkcie x0 pochodn¡, to jest w
tym punkcie ci¡gªa.
Uwaga. Funkcja ci¡gªa w pewnym punkcie mo»e nie mie¢ w tym punkcie pochodnej, np. f(x) = jxj w punkcie x0 = 0.
Definicja. Funkcj¦ f nazywamy ró»niczkowaln¡ w punkcie x0,
je»eli jej przyrost f = f(x0 + x) f(x0) mo»na dla ka»dego x
dostatecznie bliskiego zeru przedstawi¢ w postaci f = Ax + x
gdzie A jest staª¡, a pewn¡ funkcj¡ przyrostu x tak¡, »e lim
x!0 = 0.
Twierdzenie. Funkcja f ma pochodn¡ w punkcie x0 wtedy i tylko
wtedy, gdy f jest ró»niczkowalna w punkcie x0.
Definicja. Ró»niczk¡ funkcji f w punkcie x0 i dla przyrostu x
zmiennej niezale»nej x nazywamy iloczyn f0(x
0) x:
Ró»niczk¦ oznaczamy symbolem df(x0) b¡d¹ krótko df lub dy. Mamy
wi¦c:
3. Oblicznie pochodnych
Twierdzenie (wzory na pochodne). Zachodz¡ nast¦puj¡ce wzory na ró»niczkowanie tj. obliczanie pochodnych :
funkcja pochodna 1. y = c = const y0 = 0 2. y = xn y0 = nxn 1 3. y = ax y0 = axln a 4. y = ex y0 = ex 5. y = sin x y0 = cos x 6. y = cos x y0 = sin x
Twierdzenie (o dziaªaniach arytmetycznych na pochodnych). Na-st¦puj¡ce wzory dotycz¡ ró»niczkowania sumy, ró»nicy, iloczynu i ilo-razu dwóch funkcji y = f(x) i z = g(x), rózniczkowalnych w danym punkcie x: d(y z) dx = dy dx dz dx; d(yz) dx = dy dxz + y dz dx; d(y z) dx = dy dzz ydzdx z2 (o ile z 6= 0):
Twierdzenie (o pochodnej funkcji odwrotnej). Je»eli funkcja x = g(y) jest ±ci±le monotoniczna i posiada pochodn¡ g0(y) 6= 0, to funkcja
y = f(x) odwrotna do niej posiada pochodn¡ f0(x) = 1
g0(y);
przy czym y = f(x).
Twierdzenie (dalsze wzory na pochodne). Zachodz¡ nast¦puj¡ce wzory na pochodne :
funkcja pochodna 1. y = logax y0 = 1 x ln a 2. y = ln x y0 = 1 x 3. y = arc sin x y0 = p 1 1 x2 4. y = arc cos x y0 = p 1 1 x2 5. y = arc tg x y0 = p 1 1+x2 6. y = arc tg x y0 = p 1 1+x2
Twierdzenie (o pochodnej funkcji zªo»onej). Je»eli funkcja u = h(x) ma pochodn¡ h0(x), natomiast funkcja y = f(u) ma pochodn¡
f0(u), to funkcja zªo»ona g(x) = f[h(x)] ma pochodn¡ równ¡
g0(x) = f0(h(x)) h0(x):
Ostatni wzór mo»na te» zapisa¢ w postaci dy dx = dy du du dx:
4. Pochodne i ró»niczki wy»szych rz¦dów
Je»eli pochodna f0 funkcji f jest funkcj¡ ró»niczkowaln¡, to jej
po-chodn¡ nazywamy popo-chodn¡ drugiego rz¦du (krótko: drug¡ popo-chodn¡) funkcji f i oznaczamy f00.
Mamy wi¦c:
f00def=(f0)0
Podobnie okre±lamy pochodne wy»szych rz¦dów: f(n)def=[f(n 1)]0
Definicja. Je»eli funkcja f posiada w pewnym punkcie (lub zbiorze punktów) pochodn¡ rz¦du n, to mówimy, »e jest w tym punkcie (zbiorze punktów) n-krotnie ró»niczkowalna.
Niech f b¦dzie funkcj¡ (n 1)-krotnie ró»niczkowaln¡ w pewnym oto-czeniu punktu x0i n-krotnie ró»niczkowalna w punkcie x0.
Przypomnij-my, »e dx = x.
Definicja. Ró»niczk¡ rz¦du n funkcji f w punkcie x0 i dla
przyro-stu (ró»niczki) dx zmiennej niezale»nej x nazywamy ró»niczk¦ ró»niczki rz¦du (n 1), obliczonej dla tej funkcji przy tej samej warto±ci dx. Ró»-niczk¦ rz¦du n (krótko n-t¡ ró»Ró»-niczk¦) oznaczamy symbolem dnf(x
0)
Uwaga. Korzystaj¡c z indukcji ªatwo udowodni¢, »e: dnf(x
0) = f(n)(x0)dxn
gdzie dxn= (dx)n.
Uwaga. Podobnie metod¡ indukcji dowodzimy wzór Leibniza. Niech y = f(x) i z = g(x) b¦d¡ funkcjami n-krotnie ró»niczkowalnymi. Wtedy: (yz)n= y(n)z+ n 1 ! y(n 1)z0+ n 2 ! y(n 2)z00+: : :+yz(n) =Xn k=0 n k ! y(n k)z(k)
5. Twierdzenia Rolle'a, Lagrange'a i Cauchy'ego
Twierdzenie (Rolle'a). Je»eli funkcja f jest ci¡gªa w przedziale ha; bi i ró»niczkowalna (tzn. ma pierwsz¡ pochodn¡) wewn¡trz tego prze-dziaªu oraz f(a) = f(b), to istnieje taki punkt c 2 (a; b), »e f0(c) = 0:
Uwaga. Twierdzenie Rolle'a ma posta¢ implikacji, której poprzed-nikiem jest koniunkcja trzech warunków:
ci¡gªo±¢ f w ha; bi,
ró»niczkowalno±¢ w (a; b), f(a) = f(b).
Twierdzenie (o przyrostach, o warto±ci ±redniej, Lagrange'a). Je-»eli funkcja f jest ci¡gªa w przedziale domkni¦tym o ko«cach x0 i x oraz
ma pierwsz¡ pochodn¡ wewn¡trz tego przedziaªu, to istnieje taki punkt c le»¡cy mi¦dzy x0 i x, »e:
f(x) f(x0) = f0(c)(x x0)
Uwaga. Liczba x mo»e by¢ zarówno mniejsza jak i wi¦ksza od x0.
Uwaga. Wzór z tezy twierdzenia Lagrange'a mo»na zapisa¢ na wiele sposobów:
(1) f(x) f(x0) = f0(x0+ (x x0)) (x x0),
gdzie c = x0+ (x x0) czyli = x xc x00 przy czym 2 (0; 1).
(2) f(x) f(x0) = f0(x0+ x)x, gdzie x = x x0. (3) f(x0+ x) f(x0) = f0(x0+ x)x, (4) f = f0(x 0+ x)x, gdzie f = f(x0+ x) f(x0).
Wniosek (pierwszy z twierdzenia Lagrange'a). Je»eli 8x2(a;b) f0(x) =
Wniosek (drugi z twierdzenie Lagrange'a). Je»eli 8x2(a;b) f0(x) > 0,
to f jest rosn¡ca w tym przedziale.
Uwaga. Podobnie je±li stale f0(x) < 0, to f jest malej¡ca.
Twierdzenie (uogólnione o warto±ci ±redniej, Cauchy'ego). Je»eli (1) funkcje f i h s¡ ci¡gªe w ha; bi i ró»niczkowalne w (a; b), (2) h0(x) 6= 0 dla x 2 (a; b),
to
f(b) f(a)
h(b) h(a) =
f0(c)
h0(c) dla pewnego c 2 (a; b):
Uwaga. Wzór z tezy twierdzenia Cauchy'ego redukuje si¦ do wzo-ru z tezy twierdzenia Lagrange'a, gdy podstawimy h(x) = x. Zatem twierdzenie Cauchy'ego stanowi uogólnienie twierdzenia Lagrange'a.
6. Wyra»enia nieoznaczone i reguªa de L'Hospitala Twierdzenie (reguªa de L'Hospitala). Je»eli
(1) funkcje f i h s¡ ci¡gªe w ha; bi i ró»niczkowalne w (a; b), (2) f(a) = h(a) = 0,
(3) istnieje granica lim
x!a+
f0(x)
h0(x) (wªa±ciwa lub nie),
to istnieje te» granica lim
x!a+
f(x)
h(x) i obie te granice s¡ równe, to jest
lim x!a+ f(x) h(x) = limx!a+ f0(x) h0(x):
Uwaga. Twierdzenie H jest równie» prawdziwe w przypadku: granic lewostronnych,
granic w niesko«czono±ci, granic niewªa±ciwych.
7. Ekstrema funkcji
Niech funkcja f b¦dzie okre±lona w pewnym otoczeniu punktu x0.
Definicja. Mówimy, »e funkcja f ma w punkcie x0
maksimum minimum
lokalne, je»eli istnieje taka liczba > 0, »e dla ka»dego
x 2 S(x0; ) = (x0 ; x0) [ (x0; x0+ ) speªniona jest nierówno±¢
f(x) ¬ f(x0) f(x) f(x0)
f(x) < f(x0) f(x) > f(x0)
to maksimum (minimum) lokalne nazywamy wªa±ciwym. Maksima i minima nazywamy ekstremami.
Twierdzenie (Fermata). Je»eli funkcja f ma w punkcie x0
eks-tremum i ma w tym punkcie pierwsz¡ pochodn¡, to f0(x
0) = 0.
Uwaga. Je»eli f0(x
0) = 0, to x0nazywamy punktem stacjonarnym
(krytycznym) funkcji f. Warunek f0(x
0) = 0 jest warunkiem
koniecz-nym na to, aby funkcja f ró»niczkowalna w punkcie x0, miaªa w tym
punkcie ekstremum. Warunek ten nie jest jednak wystarczaj¡cy na co wskazuje nast¦puj¡cy przykªad: f(x) = x3, x
0 = 0.
Uwaga. Powy»szego twierdzenia nie nale»y myli¢ z tzw. wielkim twierdzeniem Fermata, które mówi, »e równanie xn + yn = zn; gdzie
n 2 N i n > 2, nie ma rozwi¡za« w zbiorze liczb naturalnych.
Twierdzenie (I warunek wystarczaj¡cy ekstremum). Je»eli funk-cja f jest ci¡gªa w punkcie x0, a ponadto posiada pochodn¡ f0 w pewnym
s¡siedztwie S(x0; ), przy czym
f0(x) < 0 (> 0) dla x
0 < x < x0;
f0(x) > 0 (< 0) dla x
0 < x < x0+ ;
to funkcja ta ma w punkcie x0 minimum (maksimum) wªa±ciwe.
8. Wzory Taylora i Maclaurina
Twierdzenie (Taylora). Je»eli funkcja f ma ci¡gªe pochodne do rz¦du (n 1) wª¡cznie w przedziale domkni¦tym o ko«cach x0 i x oraz
ma pochodn¡ rz¦du n wewn¡trz tego przedziaªu, to istnieje taki punkt c, le»¡cy mi¦dzy x0 i x, »e
f(x) f(x0) = n 1X k=1 f(k)(x 0) k! (x x0)k+ f(n)(c) n! (x x0)n
Uwaga. We wzorze Taylora mo»e by¢ zarówno x < x0 jak i x > x0.
W przypadku n = 1, twierdzenie Taylora redukuje si¦ do twierdzenia Lagrange'a. Je»eli oznaczymy f = f(x) f(x0) oraz dx = x x0, to
wzór Taylora mo»na zapisa¢ f = df(x0) + d 2f(x 0) 2! + : : : + d(n 1)f(x 0) (n 1)! + dnf(c) n! gdzie dkf(x
0) jest k-t¡ ró»niczk¡ funkcji f w punkcie x0 dla ró»niczki
Niekiedy wygodnie jest zapisa¢ wzór Taylora wprowadzaj¡c oznaczenie h = x x0, mianowicie : f(x0+ h) f(x0) = f 0(x 0) 1! h + : : : + f(n 1)(x 0) (n 1)! hn 1+ fn(c) n! hn Ostatni skªadnik po prawej stronie wzoru Taylora nazywamy reszt¡ wzoru Taylora i oznaczamy symbolem Rn. Mamy :
Rn= f (n)(c) n! (x x0)n = f(n)(x 0+ h) n! hn; gdzie h = x x0, c = x0 + h przy 2 (0; 1).
Uwaga. W przypadku x0 = 0 wzór Taylora nazywamy wzorem
Maclaurina. Ma on posta¢ : f(x) =n 1X k=0 f(k)(0) k! xk+ Rn; przy czym Rn = f(n)n!(c)xn.
Warto±¢ x mo»e by¢ zarówno dodatnia jak i ujemna. Punkt c jest po-ªo»ony mi¦dzy 0 i x.
Pomijaj¡c reszt¦, otrzymujemy wzór przybli»ony f(x) n 1X
k=0
f(k)(0)
k! xk; w którym bª¡d równy jest warto±ci Rn.
9. Kryteria na ekstrema
Twierdzenie (II warunek wystarczaj¡cy ekstremum). Je»eli funk-cja f ma w pewnym otoczeniu U(x0; ) punktu x0 pochodne do rz¦du n
wª¡cznie, pochodna f(n) jest ci¡gªa w punkcie x
0, n jest liczb¡
parzy-st¡, a ponadto f(k)(x
0) = 0 dla k = 1; 2; : : : ; n 1 oraz f(n)(x0) 6= 0,
to funkcja f ma w punkcie x0 maksimum wªa±ciwe, gdy f(n)(x0) < 0,
natomiast minimum wªa±ciwe, gdy f(n)(x
0) > 0.
Uwaga. Z powy»szego twierdzenia korzystamy najcz¦±ciej w przy-padku n = 2. Brzmi ono wówczas :
Je»eli f ma w pewnym otoczeniu punktu x0 drug¡ pochodn¡, która jest
ci¡gªa w tym punkcie, a ponadto f0(x
0) = 0 i f00(x0) 6= 0, to f ma w
punkcie x0 maksimum (minimum) wªa±ciwe, gdy f00(x0) < 0 (f00(x0) >
10. Wkl¦sªo±¢ i wypukªo±¢ krzywej oraz punkty przegi¦cia Zakªadamy, »e funkcja f ma w przedziale (a; b) drug¡ pochodn¡ ci¡gª¡.
Definicja. Krzywa o równaniu y = f(x) nazywa si¦
wypukªa wkl¦sªa
w przedziale (a; b), je»eli jest poªo»ona
pod nad
styczn¡ poprowadzon¡ do niej w dowolnym punkcie o odci¦tej z tego przedziaªu.
Uwaga. Zauwa»my, »e krzywa y = f(x) le»y pod styczn¡ do tej krzywej poprowadzon¡ w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy dla
ka»-dego x 2 (a; b) n fx0g rz¦dna punktu A = (x; yA) na stycznej jest
wi¦ksza od rz¦dnej punktu B = (x; yB) na krzywej y = f(x). Mamy
wi¦c yA= f(x0) + f0(x0)(x x0) yB = f(x0) + f0(x0)(x x0) + f 00(c) 2! (x x0)2 czyli yB = yA+f 00(c)
2! (x x0)2 , gdzie c - punkt po±redni.
Twierdzenie (warunek dostateczny wypukªo±ci). Je»eli f00(x) < 0
dla ka»dego x 2 (a; b), to krzywa o równaniu y = f(x) jest w przedziale (a; b) wypukªa. Podobnie, je»eli stale f00(x) > 0, to krzywa y = f(x)
jest wkl¦sªa.
Uwaga. Warunek f00(x) < 0 dla x 2 (a; b) jest warunkiem
wy-starczaj¡cym wypukªo±ci krzywej y = f(x), ale nie jest warunkiem koniecznym, o czym ±wiadczy przykªad: f(x) = x4.
Definicja. Punkt P0(x0; f(x0)) nazywamy punktem przegi¦cia
krzy-wej o równaniu y = f(x), je»eli krzywa ta jest wkl¦sªa w pewnym lewostronnym s¡siedztwie punktu x0 i wypukªa w pewnym jego
prawo-stronnym s¡siedztwie albo na odwrót.
Twierdzenie (warunek konieczny istnienia punktu przegi¦cia). Warunkiem koniecznym na to, aby punkt P0(x0; f(x0)) byª punktem
przegi¦cia krzywej y = f(x), jest f00(x
0) = 0.
Uwaga. Podany warunek nie jest wystarczaj¡cy na co wskazuje przykªad : y = x4.
Twierdzenie (warunek wystarczaj¡cy istnienia punktu przegi¦-cia). Warunkiem wystarczaj¡cym na to, aby punkt P0(x0; f(x0)) byª
punktem przegi¦cia krzywej o równaniu y = f(x) jest f00(x) < 0 dla x < x
0 i f00(x0) = 0 i f00(x) > 0 dla x > x0
albo
f00(x) > 0 dla x < x
0 i f00(x0) = 0 i f00(x) < 0 dla x > x0
ROZDZIA 4
Rachunek caªkowy funkcji jednej zmiennej
1. Funkcja pierwotna
Niech f b¦dzie funkcj¡ okre±lon¡ w pewnym przedziale X.
Definicja. Funkcj¦ F nazywamy funkcj¡ pierwotn¡ funkcji f w przedziale X, je»eli dla ka»dego x 2 X speªniony jest warunek:
F0(x) = f(x):
Je»eli przedziaª X jest jedno- lub obustronnie domkni¦ty, to pochodn¡ F0
w ka»dym z nale»¡cych do niego ko«ców rozumiemy jako odpowied-ni¡ pochodn¡ jednostronn¡.
Uwaga. Warunek z de nicji pierwotnej mo»na zast¡pi¢ równowa»-nym mu warunkiem:
dF (x) = f(x)dx:
Uwaga. Funkcj¦ pierwotn¡ nazywamy te» caªk¡ w sensie Newtona, a jej obliczanie caªkowaniem. Jak wida¢ caªkowanie jest dziaªaniem odwrotnym do ró»niczkowania.
Twierdzenie (podstawowe o funkcjach pierwotnych). Je»eli F jest funkcj¡ pierwotn¡ funkcji f w przedziale X, to:
(1) funkcja (x) = F (x) + C, gdzie C oznacza dowoln¡ staª¡, jest tak»e funkcj¡ pierwotn¡ funkcji F w przedziale X,
(2) ka»d¡ funkcj¦ pierwotn¡ funkcji f w przedziale X mo»na przedstawi¢ w postaci F (x)+C, gdzie C jest stosownie dobran¡ staª¡.
Wniosek. Je»eli F jest pewn¡ funkcj¡ pierwotn¡ funkcji f w prze-dziale X, to suma F (x)+C, gdzie C oznacza dowoln¡ staª¡, przedstawia wszystkie funkcje pierwotne funkcji f w tym przedziale.
Uwaga. Caªkowanie jest na ogóª dziaªaniem trudniejszym ni» ró»-niczkowanie. Ró»nica pomi¦dzy caªkowaniem i ró»niczkowaniem nie jest jedynie natury rachunkowej. Okazuje si¦, »e o ile pochodne funkcji elementarnych (pot¦gowych, wykªadniczych, trygonometrycznych oraz odwrotnych do nich, ich sum, ró»nic, ilorazów, iloczynów i superpo-zycji) s¡ funkcjami elementarnymi, to istniej¡ funkcje elementarne,
których pierwotne nie s¡ funkcjami elementarnymi np. f(x) = e x2 , f(x) = sin x x , f(x) = px13+1, f(x) = e x x.
Twierdzenie. Je»eli funkcja f jest ci¡gªa w przedziale X, to po-siada w tym przedziale funkcj¦ pierwotn¡.
2. Caªka nieoznaczona
Niech f b¦dzie funkcj¡ caªkowaln¡ w sensie Newtona w przedziale X.
Definicja. Zbiór wszystkich funkcji pierwotnych funkcji f w prze-dziale X nazywamy caªk¡ nieoznaczon¡ funkcji f w tym przeprze-dziale i
oznaczamy symbolem Z
f(x)dx
Uwaga. Symbol R zostaª wprowadzony przez Leibniza. Funkcj¦ f w symbolu R f(x)dx nazywamy funkcj¡ podcaªkow¡, a x zmienn¡ caª-kowania. Z twierdzenia podstawowego o funkcjach pierwotnych wynika,
»e: Z
f(x)dx = F (x) + C ,
gdzie F jest jak¡kolwiek pierwotn¡ funkcji f, a C jest dowoln¡ staª¡ zwan¡ staª¡ caªkowania.
Uwaga. Z de nicji pierwotnej i caªki nieoznaczonej wynikaj¡ na-tychmiast nast¦puj¡ce wzory i równowa»no±ci:
Z f(x)dx = F (x) + C () F0(x) = f(x) () dF (x) = f(x)dx Z f(x)dx 0 = dxd Z f(x)dx = f(x) dZ f(x)dx = f(x)dx Z F0(x)dx = F (x) + C Z dF (x)dx = F (x) + C
Twierdzenie (wzory podstawowe na caªki nieoznaczone). Z 0dx = C Z dx = x + C Z x dx = x +1 + 1 + C ( 6= 1) Z dx x = ln jxj + C Z axdx = ax ln a + C Z exdx = ex+ C
Z
sin xdx = cos x + C Z cos xdx = sin x + C
Z dx sin2x = ctg x + C Z dx cos2x = tg x + C Z dx p 1 x2 = arc sin x + C Z dx 1 + x2 = arc tg x + C Z
sinh xdx = cosh x + C Z cosh xdx = sinh x + C
Z dx
sinh2x = ctgh x + C
Z dx
cosh2x = tgh x + C
3. Reguªy caªkowania
Twierdzenie. Je»eli funkcje f i h sa caªkowalne w sensie Newtona w pewnym przedziale, to funkcje f+h oraz Af, gdzie A oznacza dowoln¡ staª¡, te» s¡ caªkowalne w tym przedziale, przy czym:
Z
f(x) + h(x)dx =Z f(x)dx +Z h(x)dx Z
Af(x)dx = AZ f(x)dx
Twierdzenie (o caªkowaniu przez cz¦±ci). Je»eli funkcje u i v ma-j¡ w pewnym przedziale ci¡gªe pochodne, to zachodzi równo±¢:
Z
u(x)v0(x)dx = u(x)v(x) Z u0(x)v(x)dx w tym przedziale.
Uwaga. Powy»szy wzór zwany wzorem na caªkowanie przez cz¦±ci mo»na te» zapisa¢ tak:
Z
udv = uv Z vdu
Twierdzenie (o caªkowaniu przez podstawienie). Je»eli: (1) funkcja f jest ci¡gªa w przedziale ha; bi,
(2) funkcja ' ma ci¡gª¡ pochodn¡ w przedziale h ; i, przy czym dla t 2 h ; i : a ¬ '(t) ¬ b,
to prawdziwa jest równo±¢: Z
4. Caªka oznaczona Riemanna i caªki Darboux
Niech f b¦dzie funkcj¡ okre±lon¡ i ograniczon¡ w przedziale do-mkni¦tym ha; bi: Przedziaª ha; bi dzielimy na n podprzedziaªów dowol-nie wybranymi punktami x1; x2; . . . , xn 1; przy czym
x0 = a < x1 < x2 < : : : < xn 1 < b = xn:
Niech
xk = xk xk 1;
n = fx1; x2; : : : ; xng oznacza podziaª przedziaªu ha; bi;
n = maxfxkj1 ¬ k ¬ ng oznacza ±rednic¦ podziaªu n;
k 2 hxk 1; xki oznacza pewien punkt po±redni,
mk = infff(x)jx 2 hxk 1; xkig;
Mk= supff(x)jx 2 hxk 1; xkig:
Rozwa»my trzy nast¦puj¡ce sumy:
sn=Pnk=1mkxk czyli suma dolna,
n=Pnk=1f(k)xk czyli suma caªkowa,
Sn =Pnk=1Mkxk czyli suma górna
okre±lone dla funkcji f w przedziale ha; bi dla podziaªu n:
Niech fng b¦dzie ci¡giem podziaªów przedziaªu ha; bi:
Definicja. Ci¡g podziaªów fng nazywamy normalnym, je»eli
od-powiadaj¡cy mu ci¡g ±rednic fng jest zbie»ny do zera tzn. lim n = 0.
Ka»demu ci¡gowi podziaªów fng odpowiada ci¡g sum dolnych
fsng; ci¡g sum górnych fSng; przy czym oba s¡ okre±lone
jednoznacz-nie, oraz ci¡g sum caªkowych fng; który mo»e zale»e¢ od wyboru
punktów k 2 hxk 1; xki:
Definicja. Je»eli dla ka»dego normalnego ci¡gu podziaªów prze-dziaªu ha; bi ci¡g sum caªkowych jest zbie»ny do tej samej granicy wªa-±ciwej, niezale»nej od wyboru punktów k, to granic¦ t¦ nazywamy
caªk¡ oznaczon¡ Riemanna funkcji f w przedziale ha; bi i oznaczamy: Z b
a f(x)dx
Uwaga. De nicj¦ powy»sz¡ mo»na zapisa¢ krótko: Z b a f(x)dx = limn!0 n X k=1 f(k)xk
Uwaga. Nast¦puj¡cych zwrotów u»ywamy wymiennie:
caªka oznaczona = caªka Riemanna = caªka oznaczona Riemanna Definicja. Je»eli caªka Rabf(x)dx istnieje, to mówimy, »e funkcja f jest caªkowalna w sensie Riemanna (w przedziale ha; bi).
Uwaga. Caªka oznaczona z funkcji f w przedziale ha; bi jest liczb¡. Caªka nieoznaczona z funkcji f w przedziale ha; bi jest zbiorem wszyst-kich funkcji pierwotnych funkcji f.
Niech fng b¦dzie dowolnym ci¡giem normalnym podziaªów
prze-dziaªu ha; bi, f za± funkcj¡ ograniczon¡ w tym przedziale. Mo»na udo-wodni¢, »e ci¡g sum dolnych fsng oraz ci¡g sum górnych fSng posiadaj¡
wówczas sko«czone granice, niezale»ne od ci¡gu fng:
lim sn = s lim Sn= S .
Granice te, które mog¡ by¢ sobie równe (s ¬ S) nazywamy odpowied-nio caªk¡ doln¡ s i caªk¡ górn¡ S funkcji f w przedziale ha; bi. S¡ to tzw. caªki Darboux (dolna i górna).
Twierdzenie (warunek konieczny i wystarczaj¡cy caªkowalno±ci). Caªka oznaczona Riemanna istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy caªka dolna i górna s¡ sobie równe.
Twierdzenie (o caªkowalno±ci funkcji ci¡gªej). Funkcja ci¡gªa w przedziale domkni¦tym jest w nim caªkowalna.
Uwaga. Twierdzenie to mówi, »e: ci¡gªo±¢ f w przedziale ha; bi jest warunkiem wystarczaj¡cym caªkowalno±ci funkcji f. Nie jest to jednak warunek konieczny caªkowalno±ci. Mo»na udowodni¢ nast¦pu-j¡ce twierdzenie:
Je»eli zbiór punktów nieci¡gªo±ci ograniczonej funkcji f jest sko«czony, a nawet niesko«czony, ale miary zero (tzn. dla dowolnej liczby " > 0 mo»na go pokry¢ sko«czon¡ ilo±ci¡ odcinków o ª¡cznej dªugo±ci < "), to funkcja f jest caªkowalna w przedziale ha; bi
Twierdzenie (o caªkowalno±ci funkcji monotonicznej). Funkcja monotoniczna w przedziale domkni¦tym jest w tym przedziale caªkowal-na.
5. Wªasno±ci caªki oznaczonej Riemanna
Twierdzenie. Je»eli funkcje f i h s¡ caªkowalne w przedziale ha; bi, to:
(1) funkcja f + h jest caªkowalna w ha; bi, przy czym: Z b a [f(x) + h(x)]dx = Z b a f(x)dx + Z b a h(x)dx
(2) funkcja Af, gdzie A{staªa, jest caªkowalna w ha; bi, przy czym: Z b
a Af(x)dx = A
Z b
(3) funkcja fh jest caªkowalna w ha; bi. Twierdzenie. Je»eli:
(1) funkcje f i h s¡ okre±lone i ograniczone w ha; bi,
(2) funkcja F (x) = h(x) f(x) jest ró»na od zera jedynie w sko«-czonej ilo±ci punktów podziaªu przedziaªu ha; bi,
(3) funkcja f jest caªkowalna w przedziale ha; bi,
to funkcja h te» jest caªkowalna w tym przedziale, przy czym: Z b
a h(x)dx =
Z b
a f(x)dx
Twierdzenie. Je»eli funkcja f jest caªkowalna w przedziale ha; bi oraz a ¬ < ¬ b, to f jest caªkowalna w przedziale h ; i.
Twierdzenie (o podziale przedziaªu caªkowania). Je»eli funkcja f jest caªkowalna w przedziale ha; bi i c 2 (a; b), to:
Z b a f(x)dx = Z c a f(x)dx + Z b c f(x)dx
Twierdzenie (o szacowaniu caªki oznaczonej). Je»eli f jest caª-kowalna w przedziale ha; bi oraz dla ka»dego x 2 ha; bi zachodzi nierów-no±¢ m ¬ f(x) ¬ M, to
m(b a) ¬Z b
a f(x)dx ¬ M(b a)
Twierdzenie. Istnienie caªki Rb
af(x)dx zapewnia istnienie caªki
Rb
ajf(x)jdx.
Uwaga. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.
Uwaga. Z a a f(x)dx = 0 dla ka»dego a. Z b a f(x)dx = Z a b f(x)dx, je»eli b < a.
6. Podstawowe twierdzenia rachunku caªkowego
Niech f b¦dzie funkcj¡ caªkowaln¡ w przedziale ha; bi oraz 2 ha; bi: Wtedy dla ka»dego x 2 ha; bi caªka
Z x
f(t)dt
istnieje, a w konsekwencji funkcja F dana wzorem F (x) =Z x
jest poprawnie okre±lona w przedziale ha; bi. Mówimy te», »e F jest funkcj¡ górnej granicy caªkowania.
Twierdzenie (zerowe twierdzenie gªówne rachunku caªkowego). Je»eli f jest funkcj¡ caªkowaln¡ w przedziale ha; bi, za± dowolnie usta-lon¡ liczb¡ w tym przedziale, to funkcja górnej granicy caªkowania F dana wzorem
F (x) =Z x
f(t)dt
jest ci¡gªa w przedziale ha; bi.
Twierdzenie (caªkowe o warto±ci ±redniej). Je»eli funkcja f jest ci¡gªa w przedziale ha; bi, to istnieje taki punkt c 2 (a; b), »e:
Z b
a f(x)dx = f(c)(b a):
Uwaga. Liczb¦ 1 b a
Rb
af(x)dx nazywamy warto±ci¡ ±redni¡ caªkow¡
funkcji f w przedziale ha; bi. Wzór na warto±¢ ±redni¡ mo»emy te» zapisa¢:
1 b a
Z b
a f(x)dx = f(a + (b a)), gdzie 2 (0; 1).
Twierdzenie (pierwsze twierdzenie gªówne rachunku caªkowego). Je»eli funkcja f : ha; bi ! R jest ci¡gªa, to funkcja F : ha; bi ! R dana wzorem F (x) = Rx
f(t)dt (funkcja górnej granicy caªkowania)
ma pochodn¡ F0
(x) = f(x) w ka»dym punkcie x 2 ha; bi.
Uwaga. Na ko«cach przedziaªu caªkowania pochodn¡ rozumiemy (jak zwykle) jako jednostronn¡.
Wniosek. Ka»da funkcja ci¡gªa w przedziale domkni¦tym posiada w tym przedziale funkcj¦ pierwotn¡.
Twierdzenie (drugie twierdzenie gªówne rachunku caªkowego, wzór Newtona-Leibniza). Je»eli funkcja f jest ci¡gªa w przedziale ha; bi, F za± jest jak¡kolwiek jej pierwotn¡ w tym przedziale, to:
Z b
ROZDZIA 5
Funkcje hiperboliczne
Funkcje hiperboliczne: sinus hiperboliczny sh, cosinus hiperboliczny ch, tangens hiperboliczny th i cotangens hiperboliczny cth okre±lamy nast¦puj¡co: sh x = ex e x 2 ch x = ex+ e x 2 th x = ch xsh x cth x = ch xsh x
Funkcja ch jest parzysta, a pozostale nieparzyste. Dziedzin¡ funkcji sh, ch,th jest R, a cth R n f0g.
Pochodne funkcji hiperbolicznych:
(sh x)0 = ch x (ch x)0 = sh x
(th x)0 = 1
ch2x (cth x)0 = sh21x
Ponadto z okre±lenia funkcji hiperbolicznych:
ch x > 0 x 2 R sh x < 0 x < 0 sh x > 0 x > 0 th x = eexx+ ee xx = ee2x2x+ 11 x!1lim th x = 1 Wzory dla funkcji hiperbolicznych:
ch2x sh2x = 1
ch2x + sh2x = ch 2x
sh 2x = 2 sh x ch x
Funkcje odwrotne do hiperbolicznych to tzw. area funkcje, czyli: area sinus hiperboliczny arsh
arsh x = ln (x +px2+ 1);
area cosinus hiperboliczny arch
area tangens hiperboliczny arth arth x = 12ln1 + x1 x:
Bibliogra a
[1] G. M. Fichtenholz, Rachunek ró»niczkowy i caªkowy, PWN, Warszawa, 1978. [2] K. Kuratowski, Rachunek ró»niczkowy i caªkowy, PWN, Warszawa, 1977. [3] F. Leja, Rachunek ró»niczkowy i caªkowy, PWN, Warszawa, 1969. [4] W. Rudin, Podstawy analizy matematycznej, PWN, Warszawa, 1982. [5] W. akowski, G. Decewicz Matematyka, cz¦±¢ I, WNT, Warszawa, 1992.
