W artykule omówiono zagadnienia pomiaru efektów oddziaływa­

NR 143 PRACE KATEDRY EKONOMETRII l STATYSTYKI NR 3 1994

Marek W ALESIAK

POMIAR EFEKTÓW ODDZIALYWANIA ZMIENNYCH W BADANIACH MARKETINGOWYCH

W artykule omówiono zagadnienia pomiaru efektów oddziaływa­

nia zmiennych w badaniach marketingowych. W pierwszej części za- proponowano metodę pomiaru efektów oddziaływania zmiennych re- gresyjnych na

wyróżnioną zmienną zależną opartą

na rachunku

róż­

niczkowym i całkowym (może być ona stosowana przy dużych przyro- stach badanej zmiennej regresyjnej). Następnie przedstawiono zwią­

zki tej nowej metody z miarą elastyczności punktowej. Końcowym efe- ktem artykułu jest wyznaczenie i porównanie klasycznej elastyczności

punktowej z

elastycznością proponowaną

na

przykładzie

typowych

funkcji stosoVfanych w badaniach marketingowych.

106 Marek Walesiak l. Sformułowanie problemu

W zagadnieniu regresji

wyróżnia się zmienną zależną

Y i zmienne regresyjne X1, •.. ,Xza,. Wektor i macierz obserwacji odpowiednio na zmiennej

zależnej

Y i zmiennych regresyjnych

są następujące:

[

X

u

X12 • • • X lm

l

ł!; = !lL~~-· ·..:._!~~

XTJ XT2 ••• XTm

gdzie:

Y

t -

wartość zmiennej zależnej Y w okresie t ^(t= l , ... , T ),

Xij -

wartość zmiennej regresyjnej Xi

W

okresie t.

(l )

Zmienne ze zbioru X= {X1, ... ,Xm} traktuje się jako ustalon e na drodze analizy merytorycznej.

Zależność zmiennej Y od zmiennych X1 , ... , Xm przedstawia si ę za

pomocą

równania:

gdzie:

f - funkcje,

X1, ... ,Xm- zmienne regresyjne, e-

błąd.

(2)

Spośród funkcji f z równania (2) ^w pracy będą rozpatrywane linio-

we i sprowadzane do liniowych w wyniku procesu transformacji. Para-

metry funkcji regresji są szacowane na podstawie danych statystycz-

nych . najczęściej za pomocą metody najmniejszych kwadratów .

W ogólnym przypadku wartości funkcji regresji (wartości teoretyczne zmiennej

zależnej) są

równe:

Y= ^{f(X1, ... ,Xm)• (3)}

Wartość funkcji regresji w punkcie (xu, ... ,xtm) wynosi:

9-t=f(xu, ... ,xtm); t=l, ... ,T, (4)

gdzie:

Yt -wartości funkcji regresji (wartości teoretyczne zmiennej za-

leżnej)

w okresie t,

X t;; -

WartoŚĆ zmiennej regresyjnej Xj

W

okresie t.

Jednym z istotnych problemów w analizie regresji jest mierzenie

wpływu oddziaływania zmiennych regresyjnych X

1, •••

,Xm na wyró-

żnioną zmienną zależną Y. Mierniki wpływu są zwykle konstruowane w taki sposób, że informują, o ile zmieni się wartość zmiennej zależ­

nej, gdy zmieni się wybrana zmienna regresyjna. Na ogół zakłada się,

że pozostałe

zmienne

utrzymują się

na

stałym

poziomie (ceteris pari- bus). Założenie to jest pewnym uproszczeniem, gdyż często się zdarza,

że zmienne są ze sobą powiązane, tak iż zmiana wartości jednej z nich

pociąga za sobą zmiany wartości innych zmiennych, a te z kolei od-

działują na zmienną zależną. Mierniki, które nie zakład~ą warunku ceteris paribus, będą omówione w punkcie 3.

Mierniki

wpływu mogą mierzyć wpływ

przyrostu j-ej zmiennej regresyjnej ~i na przyrost zmiennej zależnej

lub

wpływ

przyrostu

względnego

j-ej zmiennej regresyjnej

~-

X. J

(~j =

Xqj-

xv ; j = l, •.. , m; t, q= l, ... , T; q> t) na przyrost względ­

t.i

ny zmiennej zależnej. W pierwszym przypadku mierniki są

108 Marek Walesiak

mianowane, natomiast w drugim są nazywane miernikami elastycz-

ności i niemianowane.

Pionierską pracą w dziedzinie konstrukcji mierników wpływu były Zasady ekonomiki Marshalla [ 40]. W pracy tej Marshall podał klasyczną definicję elastyczności w punkcie, choć jej precyzyjne mate- matyczne sformułowanie pierwszy przedstawił R.G.D. Allen [2], [3].

Omówienie różnych konstrukcji mierników wpływu przedstawiono

między innymi w pracach W. Winkiera [ 40], M. Kolupy [21], Z. Pawłowskiego [31], [32], A. Barczaka [5], L.D. Hoffmana [19], M. Walesiaka [39].

Mierniki wpływu znalazły zastosowanie przede wszystkim w mo- delach sprzedaży i modelach udziału w rynku (market sale and mar- ket sJuJre models). Należą one do podstawowych narzędzi badawczych wykorzystywanych w modelowaniu marketingowym. Świadczą o tym liczne wykorzystania tego narzędzia, między innymi, w pracach M.A.J. Menezesa i I.S. Currima [25], P.M. Parkera (29], R.E. Buckli- na i S. Gupty [10], R.E. Bucklina i V. Srinivasana [11], D.C. Jaina i N.J. V:tlcassima [20], G.J. Russella i R.N. Boitona [34], M.R. Hager- ty'ego, J.M. Carmana i G.J. Russela [17], S. Gupty [16], F.W. Plata i P.S.H. Leeflanga [33], G .J. Tellisa [38], M.H. Morrisa i M.L. Joyce'a [26], H. Gatignona [14], A. Ghosha, S. Neslina i R. Shoemakera [15], A.C. Bemmaora [6], S.A. Neslina i R.W. Shoemakera [28], R.P. Leone i R.L. Schultza (22].

2. Metody pomiaru efektów oddziaływania zmiennych -

ujęcie klasyczne

Niech będą dane następujące przyrosty zmiennych regresyjnych

Xt, ... ,x ... :

Lllj=Xqj-X~;j=l,

... ,m; t,q=l, ... ,T; q>t). (5)

~Y= Yą- Yt można obliczyć wykorzystując równanie (4):

t.y =f (xu + Axt; ... ; Xtm + Lh,..)- f (xu, ... , Xtm). (6) Przyrost t.y można aproksymować przez [13, s. 335]

(7)

gdzie dY - różniczka zupełna funkcji:

. '

dY = fx, (xu, ... ,Xtm) Axt + ... + fx..(xu, ... , Xtm) Lh,.. = ^{Ax, + ... +Ax .. ; (8)}

( 2 ²⁾

⁰

^~

p= (Axt) + ... +(Lh,..) ;

A

1, -

przyrost zmiennej zależnej wywołany przyrostem zmiennej regresyjnej xj.

Przez różniczki zmiennych niezależnych dXt, : .• dXas rozumie się dowolne przyrosty Axt, .•. , Ax,..[l3, s. 336].

Korzyść wynikałąca z takiego przedstawienia przyrostu funkcji t.y

polega na tym, że dY zależy od Axt. ... , t.x

111

liniowo.

We wzorze (7) o zależy od t.x1. ... , t.x. i dąży do zera, gdy

!lx

₁

--+0, ... ,Lh ... --+0 lub krócej, gdy p--+0. Wynika z tego, że jeśli ó.Xt--+ O, ... ,t.x ... --+ O, to przyrost funkcji regresji t.y można z dowolnie

małym błędem zastąpić różniczką zupełną:

(9)

"

Przyjmując przybliżenie (9) i podstawiając za dY prawą stronę

równania (8), wzór na odchylenie względne można wyrazić jako:

110 M arek W alesiak

l l

lOO~y = ₁₀₀ fxl (xu, ··:•Xtm) ~l+ _{..• + 100} fx .. (Xtt. ··:• Xtm) ~m =

Yt Yt Yt

l l

= ^{lOOa fx}

¹

(Xu, ... ,Xtm)Xt1 lOO fx,.(Xu, ... ,Xtm)Xtm =

- l ^A

+ '

⁰⁰

+ a..

^{A -}

⁽¹⁰

¹

Yt Yt

=:Wx

1

+ ... +Wx.,

gdzie:

w

^{X; - wpływ}

przyrostu

względnego

zmiennej regresyjnej xj ^(cete-

ris paribus) na przyrost względny zmiennej zależnej

(w procentach),

~i=

a;xq, aj = (Xqj - Xq)X~

¹ 1

j=l, ... ,m.

W x, jest elastycznością zmiennej zależnej Y względem zmiennej regresyjnej Xj. Informuje, jaki jest procentowy przyrost wartości

zmiennej

zależnej

w wyniku lOOa;% przyrostu

wartości

zmiennej regresyjnej Xj (ceteris paribus). Należy pamiętać, że dopuszczalne jest wykorzystanie wzoru na elastyczność o postaci Wx, tylko dla stosun- kowo

małych

przyrostów

względnych wartości

zmiennych regresyj - nych.

Jeśli Axj =O, Olxq (aj =O, Ol; j = l, ... , m), to wyrażenie [19, s. 200]

l

_ fx,(xu, ... ,Xtm) O,Olxq _

¹

xti

Wx,=lOO

^A

=fx,(xu, ..• ,xtm)~ Ol

Yt Yt

jest klasyczną definicją elastyczności zmiennej Y względem zmien;-,,.

regresyjnej Xj w punkcie (xu, .•. , Xtm)·

3. Koncepcja metody pomiaru efektów oddziaływania

zmiennych

Posługiwanie się w badaniach ekonomicznych klasycznym wzo- rem na elastyczność punktową oraz wzorami (8) i (lO) jest często nie- uzasadnione, ponieważ zmienne regresyjne X

1, •••

,X ... zwykle mają

przyrosty istotnie różne od zera. W takim przypadku, aby we wzorze

\9 ) zachodziła równość, należy proces zmian zmiennych regresyjnych od punktu (xu, ... ,xtm) do punktu {xq1,···•Xqm) przedstawić w postaci

·• kroków. Po każdym kroku zmienne regresyjne otrzymują przyrosty _u ,,_,_ln, ... ,

Axct+r-1)111

(r = l, ... , v). Przyrost funkcji (4) można wówczas

przedstawić następująco

[37]:

;;dzie:

Y l

óy = L

^fx1 (xct+r-1)1, ••• , Xct+r-1)111) Ax.ct+r-1)1

+ ... +

r=1

V l

+L

fx.,(xct+r-1)1, ••• ,X(t+r-1J.,) L\xct+r-1)111

+u,

r=1

6.XIt•r-l)j

=

X(t+r}j -X(t+r-l}j1

u- błąd oceny, który maleje wraz ze wzrostem v,

(12)

A~' =± f~,(Xct+r-1)1,

••• ,X(t+r-1)111) ÓX(t+r-Ili -

wpływ przyrostu zmien-

r:l

nej regresyjnej Xi na przyrost zmiennej

zależnej.

Dotychczasowe rozważania zostaną zilustrowane graficznie z uwagi na to,

że mają

fundamentalne znaczenie dla konstrukcji pro- ponowanego w dalszej fazie miernika elastyczności. Rysunek l przed- stawia interpretację geometryczną przyrostu funkcji óy i różniczki

zupełnej, określonej

wzorem (8), dla przypadkujednej zmiennej regre- syjnej. Na rysunku l (a) przyrost zmiennej regresyjnej wynosi

^Axj,

a na rysunku l (b) proces zmian

wartości

zmiennej regresyjnej Xj

rozłożono na dwa etapy (r= 1,2) i dokonano różniczkowania funkcji

112 Marek Walesiak

regresji w punkcie Xq, a następnie X c t+ lli (zmienna regresyjna otrzy- muje wtedy przyrost odpowiednio .6.xt~ i .6.xc~t:a). Rysunek l (a ) i (bl pokazuje, że przyrost funkcji regresji określony wzorem (12 ) daje mniejszy błąd niż określony wzorem (7), ponieważ OC +NT < SN.

Niech K oznacza krzywą ciągłą (nie jest to krzywa zamknięta ~ łączącą punkty o współrzędnych (xu, ...

,X

ta) i (Xqt, •.• ,

Xqm)·

Można

obliczyć granicę otrzymanej sumy A~> ('v'j =l, ... , m ), gdy v-t :x:

(a więc ~~r-lli -+ 0). Jeśli granica taka istnieje (porównaj twierdze- nie o istnieniu [9, s. 520]), to nazywa się ją całką krzywoliniową dru · giego rodzaju (wzdłuż rzutu) po krzywej albo po drodze K funkcj i fx. po dX; , zatem [9, s. 519-521]

Ostatecznie otrzymuje się

t:.y =Ak~> + ... +A~= f ^fxadXt + ... +f ^f~dX..,.

~

^.

l .,

.

K K

Obliczanie całek krzywoliniowych drugiego rodzaju sprowadza

SI(;'

do obliczenia całek oznaczonych. Równania drogi całkowania K moga

być dane w postaci parametrycznej lub jawnej [9, s. 520-521) .

Jeśli równania drogi K są dane w postaci parametrycznE>:

Xt =Xt(p), ... ,X ... =X ... (p), to całki Ai~> , ... ,Ai~ oblicza się według wzo.

ru (15). We wzorach tych Po i P są wartościami parametru f' odpowiadającymi początkowi i końcowi drogi całkowania .

' p '

At>= f ^fx

¹

^{(Xt, ... , X.)dXt} =f ^fx

¹

[Xt(p), .. ,X,.(p)J X~(p ) dp.

K Po

- - - -- - - --- { l.)

' p l

A~= f fx.<Xt, ... ,X..,)dX. =f fx,.[Xt(P), ... ,Xm (P)] X~(P l dp .

K po

A (a)

Y

Ą (b)

Y

dY = PS; dYt =AC; dYt =RT;

t.y = PN; t.yt =AC; t.h = RN;

!J.y = !J.y

^l

⁺ !J.y

^J

tJ.y =dYt +OC+dYt +NT

Ry11. l. Interpretacja geometryczna przyroatu funkcji regresji i róiniaki

zupełnej

dla

przypadku jednej zmiennej regreayjnej

114 Marek W alesiak

W praktycznych zadaniach badań ekonomicznych przyjmuje się ,

że

zmiany zmiennych regresyjnych od punktu (xu, ... ,xtm) do punkt u Xqt. ... , Xqm) zachodzą po prostej. Im założenie to jest bliższe rzeczywi-

stości, tym oczywiście wynik jest dokładniejszy. W celu zmniejszenia skali błędu można przyjąć dodatkowe dane o kształtowaniu się zmien- nych regresyjnych X1, ... ,Xm wewnątrz badanego przedziału czasowe- go.

Pozwalają

one na wyznaczenie przyrostów w poszczególnych podokresach, a nie tylko przyrostu ogólnego dla całego okresu.

Zmniejszając długość badanych podokresów można przyjąć, ni e

popełniając zbyt dużego błędu, że zmiany wartości zmiennych regre- syjnych w poszczególnych podokresach są liniowe.

Równanie parametryczne odcinka o początku (xu, ... , xun ) i koń ct:

(Xqt, ... , Xqm) przedstawia

układ:

gdzie:

Axj = Xqj- Xt,j (j =l, ... , m), Uj = (Xqj- Xt,j) X~l, p

E

[O; l].

Zakładając, że równanie drogi całkowania K dane jest w pos taci równania parametrycznego odcinka, całki At> , ... ,Ai:; , ^{określone wzo -}

rem (15), oblicza

się

ze wzorów:

l l

Ak~> = f ^fx

¹

[Xt(P), ... ,Xm(p)]Axtdp , o

l l

A~= f fx.,[Xt(P), ... , Xm(p)Jó.xmdp.

o

Podstawiając za lly prawą stronę równania (14), wzór na odchyle- nie

względne można wyrazićjako

[39]:

A

f fx,dX1 f fx,.dXm

!:J.y OOK 100K W 1""l (ool

100-A-=1

A

+ ... + A = x,+ •.. +Wx ....

Yt Yt Yt

(18)

gdzie:

w<;,) - wpływ przyrostu względnego wartości zmiennej regresyjnej X; na przyrost względny zmiennej zależnej (w procentach),

f f~, dX; -określone ^{wzorem (15).}

K

w<;,> jest elastycznością ^zmiennej zależnej Y względem ^zmiennej regresyjnej X;. Elastyczność ta zależy zarówno od punktu odpo-

v.-iadającego stanowi wyjściowemu, czyli (xu, ... , Xtm), od przyrostu zmiennej regresyjnej xj i drogi przejścia od stanu wyjściowego do sta- nu końcowego, czyli {Xql, ••• , Xqm)· W przypadku tego miernika nie

zakłada się zatem warunku ceteris paribus dla pozostałych zmiennych regresyjnych (czyli różnych od j-ej zmiennej regresyjnej). Oprócz tego miernik w~> w przeciwieństwie do miernika w'Xj może być stosowany przy

dużych

przyrostach badanej zmiennej regresyjnej.

Jeśli równanie drogi K jest odcinkiem postaci (16), to korzystając

ze wzoru (17), wzór na elastyczność zmiennej Y względem zmiennej regresyjnej X; jest

następujący:

l l

< ""> lOOJr [X X d w'Xj = - .. -

^X;

I(P), ••. , m(P)J a;x .. p=

Yt o

(19)

l Xij

f

^l

= lOOar::;- fx

₁

[Xt(P), ... ,Xm(P)] dp.

Yt o

Miernik elastyczności postaci (19) informuje, jaki jest procentowy

przyrost wartości zmiennej zależnej Y ^{w wyniku 100} a;% przyrostu

116 Marek Walesiak

wartości zmiennej regresyjnej xj (z założeniem, że pozostałe zmien- ne regresyjne otrzymują 100 a1 % (l = l, ... , m; l * j) przyrostu war-

tości i równanie drogi K jest odcinkiem. Jeśli ponadto

~J =O, Olx.; (aJ= O, Ol, j =l, ... ,m), to miernik elastyczności określony

wzorem (19) informuje, jaki jest procentowy przyrost wartości zmien- nej zależnej Y ^{w wyniku l} % przyrostu wartości zmiennej regresyjnej XJ (z założeniem, że nie na wszystkie pozostałe zmienne regresyjne przypada 100 a1% (l= l, ... ,m, l *j) przyrostu wartości, a rów:1anie drogi Kjest odcinkiem.

4. Jtozwiązania dla typowych funkcji stosowanych w bada·

niach marketingowych

W badaniach marketingowych analiza regresjijest wykorzystywa- na głównie w analizie popytu, gdzie zmienną zależną jest wielkość sprzedaży badanego dobra lub udział jego sprzedaży w rynku (po-

róWDĄj [30], [22], [36], [7, s. 634]). W funkcji, w której zmienną zależną jest wielkość sprzedaży badanego produktu, najczęściej

uwzględnia się następujące

zmienne

niezależne

[25], [15], [27]:

gdzie:

S, - wielkość sprzedaży badanego produktu s, P - cena produktu s,

W - długość okresu gwarancji produktu s, A - wydatki na

reklamę

produktu s, D -

kanały

dystrybucji produktu s, R - jakość produktu s,

F - charakterystyki (parametry) produktu s,

oznaczenia Pe, We,Ae, De, Re, Fe dotyczą produktu (produktów) konkurencyjnego,

c, s= l, ... , C (liczba produktów na rynku), e- błąd.

Jeśli w modelu popytu zmienną zależną będzie udział sprzedaży

badanego produktu w rynku, to ^wśród zmiennych niezależnych

występują:

l l l l l l l

s. ^=f(P ,W ,A ,D ,R ,F ,e), (21) gdzie:

s: ^{= I,SS. (c =} 1, ... , C) - udział sprzedaży produktu s w rynku;

l l l l l l

P =PIPe;W =W!We;A =AIAe;D =DIDe;R =RIRe;F =F/Fe (gdzie c może dotyczyć konkretnego produktu konkurencyjnego lub produktu przeciętnego) lub

l l l l l

P =P/I.Pc;W =WII.Wc;A =AII.Ac;D =DII:Dc;R =

= R/I, Re; F

l

=FI L Fe,

pozostałe

oznaczenia jak we wzorze (20).

Do podstawowych funkcji wykorzystywanych w badaniach marke- tingowych w modelach sprzedaży i modelach udziału w rynku należą

liniowa i potęgowa funkcja regresji (porównaj [24, s. 660], [20], [17], [8], [23], [27], [30]).

Wśród

czynników, które

decydują

o

częstym

wy- borze tych funkcji w badaniach marketingowych, wymienia się [20]

a) łatwość estymacji, ponieważ modele te są liniowe lub sprowa-

dzane do postaci liniowej (model potęgowy) względem para-

metrów,

118 Marek W alesiak

b) prosta interpretacja współczynników regresji; dla modelu potę­

gowego elastyczności punktowe równają się wartościom współ­

czynników regresji,

c) empiryczne rezultaty dają dobry opis badanej rzeczywistości

ekonomicznej.

W badaniach marketingowych częściej wykorzystuje się jed- cak modele potęgowe (prace, w których zaczęto je wykorzystywać

w modelowaniu marketingowym

₁ powstawały

po 1970 roku -porów- naj [27, s. 75]) niż liniowe z uwagi na to, że nie zakładają braku inter- akcji

między

zmiennymi

niezależnymi,

tak jak to jest w modelach li- niowych. Ponadto chłonność rynku dla danego produktu jest na ogół

ograniczona,

więc

do opisu

zależności

w funkcji popytu

należy przyjąć

funkcje o malejących przyrostach. Modelliniowy jest funkcją o stałych

przyrostach, natomiast model potęgowy jest funkcją o malejących

przyrostach, gdy suma współczynników elastyczności punktowych jest ....

mniejsza od jedności (L aj< 1).

j=1

Gdy zmienną zależną jest udział sprzedaży danego produktu w rynku (21), modele liniowy i

potęgowy

nie

spełniają

dwóch warun- ków, czyli

c

^l

c s.

^l

L s.= L ~s =l, o~ s.~ l, V' s= 1, ... , c. (22)

."1 ."1 ~ c

Warunki określone w równaniu (22) spełnia nieliniowy model o postaci (attradion-type model):

m

ao.TI x;:exp c ^e.)

l .i=l

s=

₁

.

C [ m ]

~ ao.:f] X~exp (ec)

(23)

l Pomiar efektów oddziaływania zmiennych ... 119

~ ---

1

Model o postaci (23) należy do często wykorzystywanych w bada- niach marketingowych (porównaj [1], [ 4], [20], [15]).

Wyznaczając funkcje (23) dla dwóch produktów s i c, oblicza-

jąc ich iloraz oraz przyjmując, że aja =aj 'V s= l, ... , C, A. V. Bultez i P .A. Naert [12] otrzymali model potęgowy:

gdzie:

l l

1 1 m

S.fSc = ao.fa0c I1 (Xja/Xjctiexp(e,- ec),

.i=

l

(24)

Y= S,IS. - stosunek udziału w rynku produktu s do udziału

w rynku produktu c;

ao = ao.fa0c; X;= Xj,!Xje; e= (e.- ee)·

Inny przykład nieliniowego modelu dla zmiennej zależnej wyrażo­

nej jako udział w rynku badanego produktu przedstawiono w pracy [23, s. 670-671] (porównaj

też

[10], [34]):

m

exp (a o.+ L ajaXja +e,)

(25)

Wyznaczając funkcje (25) dla dwóch produktów s i c oraz oblicza-

jąc ich iloraz [10], [34], otrzymuje się model wykładniczy:

(26)

gdzie:

l l

Y= S.fSc,

Xj = {Xj, - Xjc),

120

ao =(a o.- aae), e= (e.- e,:), c= 1, ... ,c.

Marek W alesiak

Wśród innych funkcji znajdujących zastosowanie w modelowaruu marketingowym P .A. Naert i P.S.H. Leeflang [27] wymieniają funkcj ę semilogarytmiczną, która jest liniowa względem parametrów. a nie- liniowa względem zmiennych.

Oprócz estymacji funkcji popytu niezwykle ważnym zagadnieniem w badaniach marketingowych jest wyznaczenie współczynników ela-

styczności

popytu

mierzących względne

zmiany popytu

wywołane określonymi względnymi

zmianami zmiennych

niezależnych.

Znajo-

mość elastyczności

popytu na dane dobro pozwala na

podjęcie

właściwych decyzji co do zmian w wartościach zmiennych niezależ­

nych kontrolowanych przez firmę (cena produktu, nakłady na rekla-

mę i promocję, jakość produktu, kanały dystrybucji, okres gwarancji.

właściwości produktu).

W tym miejscu

można porównać klasyczną elastyczność

zmiennej zależnej Y. względem zmiennej regresyjnej xj w punkcie w x, , wyznaczoną według wzoru (11), z elastycznością w<;,> proponowaną w pracy -

formuła

(19) dla a i =O, Ol - dla funkcji liniowej,

potęgowej,

semilogarytmicznej i wykładniczej.

Klasyczna elastyczność zmiennej zależnej Y względem zmiennej regresyjnej xj dla funkcji liniowej jest równa

(27)

dla j =l, ... , m.

Elastyczność zmiennej zależnej Y względem zmiennej regresyjnej Xi dla funkcji liniowej ustalona na podstawie proponowanego wzoru

( 19) wynosi

(28)

dla a. i =O, Ol, j = l, ... , m.

Dla liniowej funkcji regresji elastyczności określone wzorami (11)

i (19) dają więc identyczne wskazania.

Klasyczna elastyczność zmiennej zależnej Y względem zmiennej regresyjnej X; dla funkcji potęgowej jest równa

W'XJ=a; ⁽²⁹⁾

dla j = l, ... , m.

Elastyczność ^zmiennej zależnej Y względem zmiennej regresyjnej Xi dla funkcji potęgowej, ustalona na podstawie wzoru (19), wynosi

l

W

^(oo)

_{'XJ =} 100 a.;"T"

^XQ

f (aoa;)(xn( +a.;p)] ... ^l

^&l (x~(

^l +a.;p)]

^llj-1

...

Yt o

=100a.;a; ! ^[(l+a.;)•

¹

···-l],

a.;E a;

dla a.; =O, Ol, j =l, ... , m.

(30)

Rezultaty uzyskane na podstawie mierników Wij i w<x~

¹

będą

identyczne tylko w przypadku, gdy a.; = O, Ol i a

¹

+ ... +a. = l.

122 Marek Walesiak

łGasyczna elastyczność zmiennej zależnej Y względem zmiennej regresyjnej X; dla funkcji semilogarytmicznej jest równa

dla aj =0,01, j = l, ... ,m.

a · WX;=~

Y

^t

⁽³¹⁾

Elastyczność zmiennej zależnej Y względem zmiennej regresyjnej X; dla funkcji semilogarytmicznej, ustalona na podstawie wzoru (19), wynosi

Xt,jaj f

l ^{1 -1}

= lOOa;-.. - x~ (l +ajp) dp =

Yt o

(32)

a· [ 1 ]

¹

a ·

= lOOa;~ a-In ll+a;pl = lOOln ll+a;l ~

Yt

J

o Yt

dla a;= O, Ol, j =l, ... ,m.

Elastyczność (32) dla a;= O, Ol różni się od elastyczności (31) o czynnik lOOlnl,Ol ~0,995, co oznacza, że w':;> <WX;. W ogólnym przypadku (.Y

_r-1

^{a;) zachodzi ta} nierówność, ponieważ

lOOln ll+a;l < lOOa;.

łGasyczna elastyczność zmiennej zależnej Y względem zmiennej regresyjnej X; dla funkcji wykładniczej (26) jest równa

(33)

Elastyczność zmiennej zależnej Y względem zmiennej regresyjnej Xj dla funkcji wykładniczej (26), ustalona na podstawie wzoru (19), wynosi

l

(ao)

Xij J

WXj = 100aj-,.- a;exp {ao +at(Xn +a;xnp) + ••• +am(Xtm +a;xtmp)}dp =

Yt o

J

^{1 { m }}

lOOa·a·Xij[ {

m }]

1

= lOOcxjajXt; exp p~ ajajXt; dp =

^{m J J}

^{exp p~ ajajXt; =}

o

]=

L ^CljajXt;

^F

^o

i=

l

(34)

dla aj= 0,01, j = 1, ... ,m.

W badaniach marketingowych często an~uje się relacje

zachodzące między dwiema zmiennymi, gdzie zazwyczaj zmienną zależną jest wielkość sprzedaży badanego dobra a niezależną wydatki

)

najego

reklamę

i

promocję.

Literatura

l. Abeele P.V., Gijsbrechts E., Vanhuele M.: Specification and empi- rical evaluation of a cluster-asymmetry market share model.

"International Joumal ofResearch in Marketing" 1990, Vol. 7.

2. Allen R.G.D.: Ekonomia matematyczna. PWN, Warszawa 1961.

124 Marek Walesiak

3. Allen R.G.D.: Mathematical analysis for economists. MacMillan, London 1938.

4. Alsem K.J., Leeflang P.S.H., Reuyl J.C.: The forecasting accuracy o{ market share models using predicted ualues o{ competitiue mar- keting behauior. "International Jou.rnal of Research in Marketing"

1989, Vol. 6.

5. Barczak A.: Pomiar efektów oddziaływania zmiennych egzogenicz- nych i decyzyjnych. W: Ekonometryczne metody prognozowania wykonania planów gospodarczych. Pr. zbior. pod red. Z. Pawłow­

skiego. PWN, Warszawa 1979.

6. Bemmaor A.C.: Testing altematiue econometric models on the eristence o{ aduertising threshold effect. "Jou.rnal of Marketing Research". 1984 August, Vol. 21.

7. Bennett P.D.: Marketing. McGraw-Hill Book Co., New York 1988.

8. Brodie R., de Kluyver C.A.: Attraction uersus lin.ear and multipli · catiue market share models: an empirical eualuation. "Joumal of Marketing Research" 1984, May.

9. Bronsztejn Z.N., Siem.iendiajew K.A.: Matematyka. Poradnik encyklopedyczny. PWN, Warszawa 1986.

10. Bucklin R.E., Gupta S.: Brand choice, purchase incidence, and seg- mentation: an integratedmadeling approach. "Jou.rnal of Marke- . ting Research" 1992, May.

11. Bucklin R.E., Srinivasan V.: Detennining interbrand substitutabi·

lity through suruey measurement o{ eonsurner preference structu- res. "Jou.rnal of Marketing Research" 1991, February.

12. Bultez A. V., Naert P .A.: Consistent sum ·constrained models.

"Jou.rnal of the American Statistical Association " 1975, Vol. 70,

No351.

13. Fichtenholz G.M.: Rachunek różniczkowy i całkowy. T. ^l. PWN, Warszawa 1976.

14. Gatignon H.: Competition as a moderator of advertising on sales.

"Journal ofMarketingResearch" 1984, November, Vol. 21.

15. Ghosh A., Neslin S., Shoemaker R.: A comparison ofmarket share models and estimation procedures. "Journal of Marketing Research" 1984; May, Vol. 21.

16. Gupta S.: Impact of sales promotions on when, what, and lww much to buy. "Journal ofMarketing Research" 1988, November.

17. Hagerty M.R., Carman J.M., Russell G.J.: Estim.ating elasticities with PIMS data: methodological issues and substantive implica- tions. "Journal ofMarketing Research" 1988, February.

18. Hanssens D.M., Parsans L.J., Schultz R.L.: Market response mo- dels: econometric and time series analysis. Kluwer, Boston 1992.

19. Hoffman L.D.: Calcu.lus for business, economics. and the social and life sciences, McGraw-Hill Book Co., New York 1986.

20. Jain D.C., Vucassim N.J.: Testing furu:ticnal formsofmarket shc.- re nwdels using the Box-Cox transformation and the Logrange multiplier approach. "International Journal of Research in Marke- ting" 1989, Vol. 67.

21. Kolupa M.: Prognozy popytu a miary

elastyczności

popytu. "Prze-

gląd Statystyczny" 1963, z. 4.

22. Leone R.P., Schultz R.L.: A study of marketing generalizations.

"Journal ofMarketing" 1980, Winter, Vol. 44.

23. Lilien G.L., Kotler P.: Marketing decision making. A model -buil- ding approach. Harper & Row, New York 1983.

24. Lilien G.L., Kotler P., Moorthy S.K.: Marketing models. Prenti-

ce-Hall, Englewood Cli1Rs 1992.

--- -

-·--···-

. -

- - - --

126 Marek Walesiak

25. Menezes M.A.J., Currim I.S.: An approach for determin.ation of warronty length. "International Journal of Research in Marke- ting" 1992, Vol. 9, No 2.

26. Morris M.H., Joyce M.L.: How marketers eualuate prire sen.sitiuity.

"Industrial Marketing Management" 1988, Vol. 17.

27. Naert P .A., Leeflang P.S.H.: Building implementable marketing models. Martinus Nijhoff Social Sciences Division, Boston 1978 . 28. Neslin S.A., Shoemaker R.W.: Using a naturol experiment to esti-

mate price elasticity: the 1974 sugar shortage and the ready-to-eat cereal market. "Journal ofMarketing" 1983, Winter, Vol. 47.

29. Parker P.M.: Price elasticity dyn.amics ouer the adoption life cycle.

"Journal ofMarketing Research" 1992, August.

30. Parsons L.J., Schultz R.L.: Marketing models and econometric re- search. American Elsevier Publishing, New York 1976.

:n. ^Pawłowski Z.: Elementy ekonometrii. Podręcznik. PWN, Warsza- wa 1981.

32. Pawłowski Z.: Uogólniona miara elastyczności popytu. "Przegląd

Statystyczny" 1963, z. 2.

33. Plat F.W., Leeflang P.S.H.: Decompasing sales elasticies on seg- mented markets. "International Journal of Research in Marke- ting" 1988, Vol. 5.

34. Russell G.J. , Balton R.N. : Implication.s of market structure for elasticity structure. "Journal of Marketing Research" 1988, August.

35. Saundera J.A.: The specification of aggregate market models.

"European Journal ofMarketing" 1987, Vol. 21 , No 2.

36. Simon H. : Pricestrat - an applied strategie pricing model for non·

durables. W: Marketing Planning Models. Pr. zbior. pod red.

A.A. Zoltnersa. North Holland, Amsterdam 1982.

37. Tatur C.K., Szeremiet A.D.: Kurs analiza clw2;joJstwennoj dieja- tielnosti. Ekonomika, Moskva 197 4.

38. Tellis G .J.: The price elasticity of selective demand: a meta - analy- sis of econometric models of sales. "Journal of Marketing Research" 1988, November, Vol. 25.

39. Walesiak M.: Pomiar efektów oddziaływania czynników na wyróż­

nione zjawisko ekonomiczne. ^Materiały na IX Seminarium Naukowent.Modele ekonometryczne i ich wykorzystanie dla celów prognozy i symulacji. Prace Naukowe Akademii Ekonomicznej nr 559. Wrocław 1991.

40. Winkler W.: Podstawowe zagadnienia ekonometrii. PWN, Warsza- wa 1957.

THE MEASUREMENT OF THE VARIABLE INTERACTIONS IN THE MARKETING RESEARCH

Summary

The article discuss the issues of measurements of the variable inter-

actions in the marketing research. In the first part o f the article one can fin d

tbe suggested metbod o f measurement o f tbe regressive variable interaction

witb a highlighted dependent variable. This metbod is based on the integral

and differential

caleułus

(in can be applied to regressive variabies witb big

increases). Subsequently, the relationship between this new metbod and

point elasticity was discussed. The article ends with the comparison of two

128 Marek Walesiak

elasticity, one

deńved

from functions applicable in the marketing research

and the other in the form of a classical point elasticity.