WYKŁAD 13 Algebra

Algebra

WYKŁAD 13

Definicja

Powierzchnią stopnia drugiego (kwadryką) nazywamy zbiór punktów przestrzeni trójwymiarowej, spełniających równanie

2

0

2

2

 By  Cz  Dxy  Exz  Fyz  Gx  Hy  Iz  K  Ax

gdzie A, B, …, K są stałymi i przynajmniej jedna ze stałych

A, B, C, D, E, F jest różna od zera.

Równanie to nazywamy ogólnym równaniem powierzchni drugiego stopnia .

Można wykazać, że istnieje takie przekształcenie płaszczyzny (złożenie

obrotu i przesunięcia) w wyniku którego otrzymamy tzw. postać kanoniczną równania powierzchni:

~ 0

~ ~

~ x

₂

 B y

₂

 C z

₂

 K  A

lub

~ 0

~

~

~ x

₂

 B y

₂

 C z  K  A

Powierzchnie stopnia drugiego

Spośród 17 różnych powierzchni stopnia drugiego, 9 to kwadryki właściwe.

Pozostałe to kwadryki zdegenerowane (niewłaściwe).

Kwadryki właściwe to:

 elipsoida (w tym sfera),

 hiperboloida jednopowłokowa,

 hiperboloida dwupowłokowa,

 stożek,

 paraboloida eliptyczna,

 paraboloida hiperboliczna,

 walec eliptyczny,

 walec hiperboliczny,

 walec paraboliczny,

Powierzchnie stopnia drugiego

Przykłady kwadryk niewłaściwych:

 Równanie x

²

+ y

²

+ z

²

= 0 przedstawia punkt O (0,0,0),

 Równanie x

²

+ y

²

+ z

²

= −1 przedstawia zbiór pusty,

 Równanie x

²

+ y

²

= 0 przedstawia prostą (oś Oz ),

 Równanie x

²

− y

²

= 0 przedstawia sumę dwóch płaszczyzn o równaniach: x − y = 0 i x + y =0.

Powierzchnie stopnia drugiego

Elipsoida

2 2 2

2 2 2

1

x y z

a  b  c 

Powierzchnie stopnia drugiego

Uwaga

Dla

a = b = c

, otrzymujemy równanie sfery.

Powierzchnie stopnia drugiego

Wszystkie przekroje płaskie elipsoidy są elipsami.

Szczególnym przypadkiem elipsoidy jest elipsoida obrotowa, powstała przez obrót elipsy wokół jednej z osi symetrii:

 jeśli

a = b

to obrotowa o osi obrotu

Oz,

 jeśli

a = c

to obrotowa o osi obrotu

Oy,

 Jeśli

b = c

to obrotowa o osi obrotu

Ox.

Równanie elipsoidy o środku w punkcie (

x

₀

, y

₀

, z

₀

)

^{, osiach}

równoległych do osi układu i półosiach długości

a, b, c

ma postać:

) 1 (

) (

) (

2 2 0 2

2 0 2

2

0

    



c z z

b y y

a x x

Powierzchnie stopnia drugiego

Stożek eliptyczny (powierzchnia stożkowa)

2 2 2

2 2 2

x y z

a  b  c

_.

Powierzchnie stopnia drugiego

Przekroje stożka płaszczyznami prostopadłymi do osi

Oz

są elipsami (z wyjątkiem płaszczyzny przechodzącej przez początek układu

współrzędnych – wówczas częścią wspólną jest punkt).

Przekroje stożka płaszczyznami prostopadłymi do osi

Ox i Oy

^są

hiperbolami, a gdy zawierają oś

Oz

parą prostych, będących tworzącymi stożka.

Podane równanie (oraz rysunek) prezentuje powierzchnię otwartą wzdłuż osi

Oz

^.

Aby uzyskać równanie stożka otwartego wzdłuż innej osi należy

odpowiednio zmodyfikować równanie. Zmienna przeniesiona na drugą stronę równania, dla zachowania tego samego znaku współczynników, wskazuje oś wzdłuż której stożek jest otwarty.

Przykładowo równanie

2 2 2

2 2 2

y z x

b  c  a

przedstawia stożek otwarty wzdłuż osi

Ox.

Powierzchnie stopnia drugiego

Hiperboloida jednopowłokowa

2 2 2

2 2 2

1

x y z

a  b  c 

Powierzchnie stopnia drugiego

Przekroje hiperboloidy płaszczyznami prostopadłymi do osi

Oz

są elipsami.

Przekroje hiperboloidy płaszczyznami prostopadłymi do osi

Ox i Oy

są hiperbolami.

Szczególnym przypadkiem hiperboloidy jest hiperboloida obrotowa, powstała przez obrót hiperboli wokół osi urojonej (jeśli

a = b

to obrotowa o osi obrotu

Oz).

Równanie hiperboloidy przesuniętej równolegle ma postać:

) 1 (

) (

) (

2 2 0 2

2 0 2

2

0

    



c z z

b y y

a x x

Powierzchnie stopnia drugiego

Zmienna przed którą stoi znak minus wskazuje oś wzdłuż której hiperboloida jest otwarta (oś symetrii dla hiperboloidy obrotowej).

Powierzchnie stopnia drugiego

Hiperboloida dwupowłokowa

2 2 2

2 2 2

1

z x y

c  a  b 

Powierzchnie stopnia drugiego

Przekroje hiperboloidy płaszczyznami prostopadłymi do osi

Oz

^są

elipsami.

Przekroje hiperboloidy płaszczyznami prostopadłymi do osi

Ox i Oy

są hiperbolami.

Szczególnym przypadkiem hiperboloidy dwupowłokowej jest

hiperboloida obrotowa, powstała przez obrót hiperboli wokół osi rzeczywistej.

Powierzchnie stopnia drugiego

Paraboloida eliptyczna

2 2

2 2

x y

z  a  b

Powierzchnie stopnia drugiego

Przekroje paraboloidy eliptycznej płaszczyznami prostopadłymi do osi

Oz

są elipsami.

Przekroje paraboloidy eliptycznej płaszczyznami zawierającymi oś

Oz

są parabolami.

Szczególnym przypadkiem paraboloidy eliptycznej jest paraboloida obrotowa, powstała przez obrót paraboli wokół osi symetrii.

Powierzchnie stopnia drugiego

Paraboloida hiperboliczna

2 2

2 2

x y

z  a  b

Powierzchnie stopnia drugiego

ALGEBRA 18

Walec eliptyczny

2

1

2 2

2

 

b y a

x

.

Jeśli

a = b

^{, to}

otrzymamy równanie walca kołowego (czyli walca, którego równanie możemy otrzymać obracając prostą wokół innej prostej równoległej do niej).

 

y z

x

Powierzchnie stopnia drugiego

ALGEBRA 19

Walec hiperboliczny

b 1 y a

x

2 2 2

2

 

_;

M

x y

z

O

Powierzchnie stopnia drugiego

ALGEBRA 20

Walec paraboliczny

x

²

= 2py

M matrix m n (   F )

Powierzchnie stopnia drugiego

x

O

y

z

Definicja

Powierzchnią obrotową nazywamy powierzchnię utworzoną przez obrót krzywej wokół prostej zwanej osią obrotu.

Powierzchnie obrotowe

Powierzchnie obrotowe

x

y z

r(t)

Niech

K

^:

 

 









) (

) (

) (

3 2 1

t f z

t f y

t f x

,

t

 [

t

₀

, t

₁

]

będzie przedstawieniem parametrycznym krzywej w

R

³

Jeśli za oś obrotu przyjmiemy oś

Oz

to każdy punkt krzywej

K

zakreśla okrąg o promieniu r(t) f₁²(t) f₂²(t), którego równanie możemy napisać w postaci:

) 2 , 0 [ )

( sin ) (

cos ) (

3









 



 







 t f z

t r y

t r x

Stąd układ równań

definiuje powierzchnię obrotową powstałą przez obrót krzywej

K

wokół osi

Oz ]

, [ ) ,

(

) ( )

(

1 0 3

2 2 2

1 2

2

t t t t

f z

t f t

f y

x 

 











Powierzchnie obrotowe

Układ równań

] , ) [

(

) ( )

(

1 0 2

2 3 2

1 2

2

t t t t

f y

t f t

f z

x 

 











definiuje powierzchnię obrotową powstałą przez obrót krzywej

K

wokół osi

Oy.

Natomiast układ równań

] , ) [

(

) ( )

(

1 0 1

2 3 2

2 2

2

t t t t

f x

t f t

f z

y 

 











definiuje powierzchnię obrotową powstałą przez obrót krzywej

K

wokół osi

Ox.

Powierzchnie obrotowe

Przykład

Wyznaczyć równanie powierzchni powstałej z obrotu paraboli

K

^:

 





 0,

2

x y z

dookoła osi

OZ.

Postać parametryczna równań paraboli

K

:

t R t

z t y x

 



 









2

0

Podstawiając do wzoru otrzymujemy

R t t

z

t y

x 



 











2

2 2 2

2

0

Eliminując z układu t dostajemy równanie paraboloidy obrotowej

2

2

y

x z  

Powierzchnie obrotowe

Przykład c.d.

Uwaga

Równanie powierzchni powstałej z obrotu tej paraboli dookoła osi

OY

wyznaczamy korzystając z drugiego wzoru

R t

t y

t z

x 



 











^{2 2 2 2}

2

0 ( )

Eliminując z układu

t

dostajemy równanie powierzchni obrotowej (stopnia czwartego!)

4 2

2

z y

x  

Powierzchnie obrotowe

Niech

K

będzie pewną krzywą w przestrzeni

R

^{3, zaś}

W

ustalonym punktem tej przestrzeni

(WK).

Definicja

Powierzchnią stożkową nazywamy zbiór punktów współliniowych z punktami

W

ⁱ

P

^{, gdzie}

P

należy do krzywej

K

^.

Punkt

W

nazywamy wierzchołkiem, krzywą

K

kierownicą, zaś prostą przechodzącą przez punkty

W

ⁱ

P

tworzącą powierzchni stożkowej

.

WIERZCHOŁEK

KIEROWNICA TWORZĄCA

Powierzchnie stożkowe

Jeżeli krzywa

K

ma przedstawienie parametryczne

K

:

 

 









) (

) (

) (

3 2 1

t f z

t f y

t f x

,

t

 [

t

₀

, t

₁

]

i

W(x

₀

, y

₀

, z

₀

)

jest ustalonym punktem przestrzeni, to równanie powierzchni stożkowej ma postać

] [

gdzie )

( )

( )

(

_{0 3} ^{0 1}

0 2

0

0 1

0

0

t t , t

t f z

z z t

f y

y y t

f x

x

x 



 



 





Powierzchnie stożkowe

Równanie powierzchni stożkowej w postaci parametrycznej

 

 

























s t f z

z z

R s

t , t t

s t f y

y y

s t f x

x x

)) ( (

, ] [

)) ( (

)) ( (

3 0

0

1 0 2

0 0

1 0

0

kierownica

K

tworząca

)]

( ),

( ),

(

[ x

₀

 f

₁

t y

₀

 f

₂

t z

₀

 f

₃

t

wierzchołek

W

Powierzchnie stożkowe

Niech

K

będzie pewną krzywą w przestrzeni

R

³.

Definicja

Powierzchnią walcową nazywamy powierzchnię utworzoną przez rodzinę prostych równoległych do danej prostej i przechodzących przez punkty krzywej

K

.

Krzywą

K

nazywamy kierownicą, zaś każdą prostą tej rodziny tworzącą powierzchni walcowej

.

kierownica

K

tworząca

Powierzchnie walcowe

Jeżeli krzywa

K

ma przedstawienie parametryczne

K

^:

 

 









) (

) (

) (

3 2 1

t f z

t f y

t f x

,

t

^{ [}

t

₀

, t

₁

]

zaś prosta

l

R s s v z

s v y

s v x l

z y x

 



 







 :

to równanie powierzchni walcowej ma postać

] [

gdzie )

( )

( )

(

1 0 3

2

1

t t , t

v t f z v

t f y v

t f x

z y

x

 

 

 

Powierzchnie walcowe

Równanie powierzchni walcowej w postaci parametrycznej

 

 



















s v t

f z

R s

t , t t

s v t

f y

s v t

f x

z y x

) (

, ] [

) (

) (

3

1 0 2

1

] , ,

[ v

_x

v

_y

v

_z

kierownica

K

tworząca

Powierzchnie stożkowe

Dziękuję za uwagę