WYKŁAD 10 Algebra

Algebra

WYKŁAD 10

Geometria analityczna w przestrzeni

Geometria analityczna

Definicja

Układem współrzędnych kartezjańskich nazywamy układ współrzędnych, w którym zadane są:

punkt zwany początkiem układu współrzędnych, którego

wszystkie współrzędne są równe zeru, często oznaczany literą O lub cyfrą 0.

zestaw parami prostopadłych osi liczbowych zwanych osiami układu współrzędnych.

Kartezjusz (René Descartes)

x

0 y

z

Geometria analityczna

Podstawowym obiektem w geometrii analitycznej jest wektor.

Uwaga

Wielkości, dla określenia których wystarczy podanie

pojedynczych wartości liczbowych,w naukach przyrodniczych i ekonomii są nazywane wielkościami skalarnymi (skalarami).

Są to między innymi: długość odcinka, masa, objętość.

Wielkości, dla jednoznacznego określania których trzeba podać ich wartość liczbową oraz kierunek i zwrot są nazywane

wielkościami wektorowymi (wektorami).

Wektorami są więc np: prędkość, przyspieszenie,przesunięcie, siła.

Definicje

Wektor zaczepiony to uporządkowana para punktów, której poprzednik nazywamy początkiem (punktem zaczepienia), zaś następnik końcem wektora.

Dwa punkty

A

B



AB



BA

x

0 A B



AB

A

B

Wektor



BA

B

A





  BA AB

Wektor



AB



BA

Geometria analityczna

Wektor



AB



BA

A

B.

Przez długość wektora

AB

A

B

|

| )

, (

 



 d A B AB  BA AB

Miarą wektora nazywamy liczbę równą długości tego

wektora wziętą ze znakiem "plus", jeżeli zwrot wektora jest zgodny ze zwrotem prostej, natomiast ze znakiem "minus", jeżeli zwrot wektora jest przeciwny do zwrotu prostej.

Definicja

Wektor o długości jednostkowej o zwrocie zgodnym ze zwrotem prostej nazywamy wersorem (wektorem

jednostkowym) prostej.

Geometria analityczna

Wersory osi układu kartezjańskiego o zwrotach zgodnych z kierunkami osi oznaczamy literami

i, j, k

x

z

0 y

i k

j

Geometria analityczna

Wektory nazywamy równoważnymi, jeżeli mają taką samą długość, ten sam kierunek i zwrot.

Wektory równoważne różnią się jedynie punktem zaczepienia.

Wektorem swobodnym nazywamy zbiór (klasę abstrakcji) wektorów równoważnych.

Każdy wektor zaczepiony jest reprezentantem pewnego wektora swobodnego.

Każdy wektor swobodny posiada reprezentanta zaczepionego w początku układu współrzędnych.

Pojedyncze słowo wektor oznacza wektor swobodny.

Geometria analityczna

Wektor swobodny

z

y

x

0

Geometria analityczna

Wektorem zerowym nazywamy wektor o długości 0.

Wektory niezerowe mające ten sam kierunek nazywamy równoległymi (kolinearnymi, współliniowymi).

Wektory kolinearne

Geometria analityczna

Współrzędnymi wektora zaczepionego



AB

) ,

,

( x

 x

y

 y

z

 z

gdzie A

(

,

,

),

(

,

,

)

Wszystkie wektory zaczepione będące reprezentantami tego samego wektora swobodnego mają takie same współrzędne.

Wektor swobodny jest jednoznacznie wyznaczony przez swoje współrzędne, co zapisujemy

] ,

,

[ v

v

v

 v

Współrzędne wektora są miarami rzutów prostokątnych wektora na osie układu współrzędnych.

Wektory

u

v

u

v

Geometria analityczna

Wektor, będący rzutem wektora na oś układu nazywamy składową wektora.

Wersory osi w kartezjańskim układzie współrzędnych mają postać

i = [1,0,0], j = [0,1,0], k = [0,0,1]

Dowolny wektor w układzie współrzędnych kartezjańskim ma przedstawienie

k j

i v

v v

v  [ v

, v

, v

] 





 v

 v

 v

gdzie

z y

x

v v

v , ,

z y

x

v v

v , ,

Geometria analityczna

Działania na wektorach swobodnych

Niech u [^ux,^uy,^uz], v [^vx,^vy,^vz],  ^R_, Sumę wektorów u i v okreśamy wzorem

] ,

,

[u_x v_x u_y v_y u_z v_z



 v u

Iloczyn wektora u przez liczbę rzeczywistą

α

]

, ,

[ 





 u

Geometria analityczna

Suma wektorów u i v

] ,

,

[





v u

u u +v

v

Geometria analityczna

Geometria analityczna

1) Za pomocą przesunięcia równoległego

przesuwamy wektor b tak, aby początek wektora b znalazł się w początku wektora a.

2) Budujemy równoległobok oparty o wektory a i b.

3) Sumę wektorów a i b otrzymujemy łącząc początek wektorów a i b naprzeciwległym wierzchołkiem równoległoboku.

SUMA WEKTORÓW - METODA RÓWNOLEGŁOBOKU

Geometria analityczna

1. Za pomocą przesunięcia równoległego przesuwamy wektor b tak, aby początek wektora b znalazł się w końcu wektora a.

2. Sumę wektorów a i b otrzymujemy łącząc początek wektora a z końcem wektora b

SUMA WEKTORÓW - METODA TRÓJKĄTA

Iloczyn wektora u przez liczbę rzeczywistą

α

,

[









Dwa niezerowe wektory u i v mają ten sam kierunek, jeśli istnieje taka niezerowa liczba α, że u= α v.

Jeśli ponadto:

α > 0, to wektory te mają ten sam zwrot, α < 0, to wektory te mają zwrot przeciwny.

αv (α

0)

αv (α

0) v

Geometria analityczna

Działania na wektorach swobodnych są izomorficzne z działaniami na wektorach algebraicznych (macierzach

wektorowych w rachunku macierzowym), dzięki czemu można przenieść pojęcia dotyczące wektorów algebraicznych

na wektory swobodne.

Własności działań na wektorach

Dla dowolnych wektorów

u

v, w

 u + v = v + u

 u + (v + w) = (u + v) + w

 u + 0 = u,

 u + (-u) = 0.

Geometria analityczna

Niech u i v będą wektorami niezerowymi zaczepionymi w jednym punkcie.

Kątem między wektorami u i v nazywamy mniejszy z kątów wyznaczonych przez te wektory.

x

y z

0

 u

v

Geometria analityczna

Definicja

Iloczyn skalarny wektorów

u

v

 cos

|

|

|

|  

 u v v

u 

gdzie

 -

u

v.

Jeśli

u = 0,

v = 0

Geometria analityczna

Własności iloczynu skalarnego

Niech

v, u

w

α

R

1. vu  u v 2. ^{v v | v |2}

3. (





4. (u  v)w uw  vw

Geometria analityczna

Twierdzenie

Niezerowe wektory

u

v

 0 u v 

Twierdzenie

Iloczyn skalarny wektorów

u

v

z z y

y x

x

u v u v u

v  

 u v 

Wniosek

|

|

| cos |

u v

u v

  



Geometria analityczna

Wniosek

Każdy wersor ma przedstawienie





y z

x

v v

v cos  , cos  , cos 

| , |

| , |

|

|

|

|  



 



 

v v

v v

v

gdzie cos 

, cos 

, cos 

są kosinusami kierunkowymi wektora (kosinusami kątów jakie tworzy wektor z osiami

układu współrzędnych).

Geometria analityczna

Definicja

Iloczynem wektorowym niewspółliniowych wektorów u i v

nazywamy wektor w spełniający warunki:

1. Jest prostopadły do płaszczyzny rozpiętej na wektorach

u i v,

2. Jego długość jest określona wzorem

 sin

|

|

|

|

|

| w  u  v  _,

3. Orientacja trójki wektorów u, v i w jest zgodna z orientacją układu współrzędnych.

Oznaczamy go symbolem

u  v.

Jeżeli jeden z wektorów u, v jest wektorem zerowym, lub wektory te są współliniowe, to przyjmujemy u ^ v = 0.

Geometria analityczna

Geometria analityczna

Pole równoległoboku, którego przyległymi bokami są wektory u i v jest równe  u  v .

u v

uv

Pole równoległoboku

 sin

|

|

|

|

|

|uv  u  v 

Geometria analityczna

Prawoskrętny układ osi współrzędnych

Własności iloczynu wektorowego

Jeśli u, v i w są dowolnymi wektorami, 0 jest wektorem zerowym,

1. u  0 = 0  u = 0, 2. u  v = - (v  u),

3. (α u)  v = α (u  v) = u  (α v), 4. u  (v + w) = (u  v) + (u  w), 5. (u + v)  w= (u  w) + (v  w),

Geometria analityczna

Własności iloczynu wektorowego

Jeśli u, v i w są dowolnymi wektorami, 0 jest wektorem zerowym,

1. u  0 = 0  u = 0, 2. u  v = - (v  u),

3. (α u)  v = α (u  v) = u  (α v), 4. u  (v + w) = (u  v) + (u  w), 5. (u + v)  w= (u  w) + (v  w),

Geometria analityczna

Twierdzenie

Iloczyn wektorowy wektorów

u

v

z y

x

z y

x

v v

v

u u

u

k j

i v

u  

Geometria analityczna

Przykład

Wyznaczyć wektor prostopadły do wektorów u, v

R

Wektorem takim będzie iloczyn wektorowy danych wektorów,

uv =

2 - 3 1

2 0 1

k j i

= i3 2 2 0

 − j

2 1

2 1

 + k

3 1

0

1 = −6i+4j+3k = [−6,4,3].

Geometria analityczna

Definicja

Niezerowe wektory

u

v

z z y

y x

x

v u v

u v

u  





 v 0

u

(tzn. gdy mają proporcjonalne współrzędne).

Wersory osi współrzędnych spełniają związki

j i k

i k j

k j i













Geometria analityczna

Definicja

Iloczynem mieszanym uporządkowanej trójki wektorów u, v, w

nazywamy iloczyn

) ( v w u  

i oznaczamy symbolem

.

Iloczyn mieszany obliczamy wg wzoru

z y

x

z y

x

z y

x

w w

w

v v

v

u u

u , )  ,

( u v w

Geometria analityczna

Zachodzą równości

) ,

( ) , (

)

( u, v, w

v, w u

w u, v

Wartość bezwzględna iloczynu mieszanego wektorów

u, v, w jest równa objętości równoległościanu rozpiętego na tych wektorach.

Uwaga

Wektory u, v, w wyznaczają płaszczyznę (są

współpłaszczyznowe, komplanarne), wtedy i tylko wtedy, gdy ( u, v, w) = 0 .

Geometria analityczna

Dziękuję za uwagę