Geometryczna teoria funkcji zmiennej zespolonej

Geometryczna teoria funkcji zmiennej zespolonej

Definicja 1.

Niech z₀ ∈ C, Γ jest g ladka krzyw_, a zamkni_, et_, a, kt´_, ora nie przechodzi przez punkt z₀. Warto´s´c ca lki

I_Γ(z₀) := 1 2πi

Z

Γ

dz

z − z₀dz (0.1)

nazywamy indeksem punktu z₀ wzgledem krzywej Γ._, Lemat 1.

Indeks punktu wzgledem krzywej jest liczb_, a ca lkowit_, a._, Definicja 2.

Pochodna logarytmiczn_, a funkcji meromorficznej f nazywamy funkcj_, e postaci_, ^{dln(f (z)}_dz = ^f_{f (z)}^0(z). Definicja 3.

Residuum logarytmicznym funkcji meromorficznej f w punkcie z₀ nazywamy residuum po- chodnej logarytmicznej ^{dln(f (z))}_dz = ^f_{f (z)}^0(z) w punkcie z₀.

Lemat 2.

Je˙zeli z₀ jest n-krotnym zerem funkcji f , to res_z0^f_{f (z)}^0(z) = n.

Lemat 3.

Je˙zeli z₀ jest n-krotnym biegunem funkcji f , to res_z0^f_{f (z)}^0(z) = −n.

Twierdzenie 1.

Niech D ⊂ C bedzie obszarem, za´, s ∂D- konturem. Je˙zeli funkcja f jest funkcja meromorficzn_, a_, w D i f nie ma ani zer ani biegun´ow na ∂D, to

1 2πi

Z

∂D

f⁰(z)

f (z)dz = N − P,

gdzie N oznacza sume krotno´_, sci wszystkich zer f w D, P -sume krotno´_, sci wszystkich biegun´ow f w D.

Twierdzenie 2. (Zasada argumentu)

Niech D ⊂ C bedzie obszarem, za´_, s ∂D- konturem. Je˙zeli funkcja f jest funkcja meromor-_, ficzna w D i f nie ma ani zer ani biegun´_, ow na ∂D, to przyrost argumentu f podzielony przez 2π r´owna sie r´_, o˙znicy miedzy ilo´_, scia zer a ilo´_, scia biegun´_, ow funkcji w obszarze D czyli

1

2π∆_∂Dargf (z) = N − P.

1

Uwaga 1.

Wielko´s´c _2π¹ ∆_∂Dargf (z) oznacza indeks zera wzgledem krzywej Γ(t) = f (z(t)), gdzie_, z(t) ∈ ∂D.

Twierdzenie 3. (Rouch´e)

Je˙zeli dwie funkcje f i g sa analityczne w domkni_, eciu obszaru ¯_, D i spe lniaja na brzegu ∂D_, nier´owno´s´c |g(z)| < |f (z)|, to funkcje f i f + g maja w obszarze D tak_, a sam_, a ilo´_, s´c zer.

Twierdzenie 4.(Bezout)

Ka˙zdy wielomian stopnia n ma w dziedzinie zespolonej dok ladnie n zer.

Przyk lad 1.

Pokaza´c, ˙ze zera wielomianu P (z) = z⁸ − 4z³ + 10 le˙za w pier´scieniu P (0, 1, 2) = {z : 1 ≤_,

|z| < 2}. Wyka˙zemy, ˙ze w kole K(0, 1) wielomian P (z) nie ma pierwiastk´ow. Niech f (z) = 10, g(z) = z⁸ − 4z³. Wtedy |g(z)| ≤ 1 + 4 = 5 < 10 = |f (z)| na brzegu K(0, 1). Zatem z twierdzenia Rouch´e N_P = N_{f +g} = N_f = 0 czyli w K(0, 1) nie ma zer. Wyka˙zemy, ˙ze w kole K(0, 2) wielomian P (z) ma 8 pierwiastk´ow. Niech f (z) = z⁸, g(z) = 10 − 4z³. Wtedy na brzegu K(0, 2) mamy |g(z)| ≤ 10 + 4 × 2³ = 42 < 256 = 2⁸ = |f (z)|. Zatem z twierdzenia Rouch´e N_{f +g} = N_f = 8 czyli w K(0, 2) mamy 8 pierwiastk´ow. Ostatecznie dostajemy, ˙ze wszystkie zera wielomianu P (z) le˙za w K(0, 2) \ K(0, 1)._,

Twierdzenie 5. (Zasada zachowania obszaru)

Je˙zeli D ⊂ C jest obszarem oraz f ∈ H(D), f 6= const, to obraz f (D) te˙z jest obszarem.

Twierdzenie 6. (Zasada maksimum)

Modu l funkcji analitycznej f (z), r´o˙znej od sta lej w obszarze D, nie osiaga maksimum w_,

˙zadnym punkcie wewnetrznym tego obszaru._, Wniosek 1.

Je˙zeli f ∈ H(D), f ∈ C( ¯D), to |f | osiaga maksimum na brzegu D._, Uwaga 2.

Dla min |f | powy˙zszy wniosek nie jest prawdziwy. Np. dla f (z) = z modu l |z| ma minimum w z₀ = 0 ∈ D(0, 1).

Twierdzenie 7. (Zasada minimum)

Je˙zeli funkcja f jest holomorficzna w obszarze D i nie zeruje sie w nim, to |f | mo˙ze osi_, aga´_, c minimum lokalne wewnatrz D tylko w przypadku, gdy f = const._,

2

Twierdzenie 8.(Lemat Schwarza)

Je˙zeli funkcja f ∈ H(D(0, 1)), f ∈ C(D(0, 1)) f : D(0, 1) → D(0, 1) oraz f (0) = 0, to

∀z ∈ D(0, 1) |f (z)| ≤ |z|.

Je˙zeli r´owno´s´c jest osiagana cho´_, cby w jednym punkcie z 6= 0, to f (z) = e^iφz, φ ∈ [0, 2π).

3