Funkcje elementarne

Funkcje elementarne

Funkcja wyk ladnicza

Definicja 1. Funkcje wyk ladnicz_, a w dziedzinie zespolonej definiujemy tak samo jak dla liczb_, rzeczywistych tzn. ∀z ∈ C e^z := lim_n→∞ 1 + _n^z
n

. Uwaga 1. Funkcja wyk ladnicza zapisuje sie w postaci_,

e^z = e^x(cosy + isiny).

Podstawiajac za z = 0 + iy otrzymamy wz´_, or Eulera tzn. e^iy= cosy + isiny.

W lasno´sci:

a) Cze´s´_, c rzeczywista i urojona funkcji f (z) = e^z wynosza odpowiednio u(x, y) = e_, ^xcosy, (x, y) = e^xsiny.

b) |e^z| = e^x.

c) Funkcja e^z jest holomorficzna w C oraz (e^z)⁰ = e^z. d) ∀z₁, z₂ ∈ C, e^z1+z2 = e^z1e^z2.

e) ∀z ∈ C, e^z 6= 0.

f) Funkcja e^z jest okresowa o okresie podstawowym T = 2πi.

g) Funkcja e^z jest rozszerzeniem do dziedziny zespolonej funkcji wyk ladniczej e^x.

h) Zostanie p´o´zniej udowodnione, ˙ze funkcja wyk ladnicza e^z rozwinie sie w szereg Maclau-_, rina tzn.

e^z =

∞

X

k=1

z^k

k! dla ka˙zdego z ∈ C.

Funkcje trygonometryczne

Definicja 2. Funkcje cosz i sinz w dziedzinie zespolonej definiujemy nastepuj_, aco:_, cosz := e^iz + e^−iz

2 , sinz := e^iz− e^−iz 2i , 1

Ponadto

tgz := sinz

cosz = e^iz − e^−iz

i(e^iz + e^−iz), ctgz := cosz

sinz = i(e^iz + e^−iz) (e^iz − e^−iz). W lasno´sci:

a) Sa to funkcje holomorficzne w swojej dziedzinie tzn. sinz i cosz dla z ∈ C,_,

tgz dla z ∈ {z ∈ C : z 6= kπ + ^π₂, k ∈ Z}, ctgz dla z ∈ {z ∈ C : z 6= kπ, k ∈ Z}.

oraz (cosz)⁰ = −sinz, (sinz)⁰ = cosz, (tgz)⁰ = _cos¹2z i (ctgz)⁰ = _sin⁻¹2z. b) cos²z + sin²z = 1.

c) Cze´sci rzeczywiste i urojone funkcji trygonometrycznych wynosz_, a odpowiednio:_, sinz = sinxchy + icosxshy

cosz = cosxchy − isinxshy tgz = sin2x

cos2x + ch2y + i sh2y cos2x + ch2y

d) Funkcje trygonometryczne sinz, cosz, tgz sa rozszerzeniem do dziedziny zespolonej funk-_, cji sinx, cosx, tgx.

e) Funkcje trygonometryczne sa okresowe tzn._, – sinz i cosz o okresie podstawowym T = 2π.

– tgz i ctgz o okresie podstawowym T = π.

f) |sinz| =psin²x + sh²y oraz |cosz| =pcos²x + sh²y.

g) sinz, tgz, ctz to funkcje nieparzyste, natomiast cosz jest funkcja parzyst_, a._, h) sin(¯z) = sinz, cos(¯z) = cosz, tg(¯z) = tgz i ctg(¯z) = ctgz.

i) sin(z₁± z₂) = sinz₁cosz₂± cosz₁sinz₂. cos(z₁+ z₂) = cosz₁cosz₂− sinz₁sinz₂. cos(z1− z₂) = cosz1cosz2+ sinz1sinz2.

j) Funkcje sinz oraz cosz przyjmuja wszystkie warto´sci z p laszczyzny otwartej C._,

Funkcje tgz i ctgz omijaja dwie warto´sci ±i, natomiast przyjmuj_, a warto´s´_, c ∞, tgz w punktach z_k= ^π₂ + kπ, ctgz w punktach z_k = kπ, k ∈ Z.

2

Funkcje hiperboliczne

Definicja 3. Funkcje coshz i sinhz w dziedzinie zespolonej definiujemy tak samo jak dla liczb rzeczywistych tzn.

coshz := e^z+ e^−z

2 , sinhz := e^z− e^−z

2 ,

tghz := shz

chz = e^z− e^−z

e^z+ e^−z, ctghz := chz

shz = e^z+ e^−z e^z− e^−z. W lasno´sci:

a) Sa to funkcje holomorficzne w swojej dziedzinie tzn. shz i chz dla z ∈ C,_,

thz dla z ∈ {z ∈ C : z 6= i(kπ + ^π₂), k ∈ Z}, cthz dla z ∈ {z ∈ C : z 6= ikπ, k ∈ Z}.

(chz)⁰ = shz, (shz)⁰ = chz, (thz)⁰ = 1

ch²z, (cthz)⁰ = −1 sh²z. b) ch²z − sh²z = 1 dla ∀z ∈ C.

c) Cze´sci rzeczywiste i urojone funkcji hiperbolicznych wynosz_, a odpowiednio:_, shz = shxcosy + ichxsiny,

chz = chxcosy + ishxsiny, thz = sh2x

ch2x + cos2y + i sin2y ch2x + cos2y.

d) Funkcje hiperboliczne shz, chz, thz, cthz sa rozszerzeniem do dziedziny zespolonej funk-_, cji shx, chx, thx, cthx.

e) Funkcje hiperboliczne sa okresowe tzn._,

– shz i chz o okresie podstawowym T = 2πi.

– thz i cthz o okresie podstawowym T = πi.

f) |shz| =psh²x + sin²y oraz |chz| =psh²x + cos²y.

g) cosiz = chz, siniz = ish(z).

3

Funkcja logarytmiczna

Definicja 4. Niech z ∈ C \ {0}. Ka˙zda liczb_, e zespolon_, a w spe lniaj_, ac_, a r´_, ownanie e^w = z nazywamy logarytmem liczby z i oznaczamy lnz. Funkcje zdefiniow_, a wzorem_,

lnz = ln|z| + iargz dla z 6= 0 nazywamy funkcja logarytmiczn_, a._,

Funkcja lnz jest niesko´nczenie wielowarto´sciowa. Funkcje Lnz = ln|z| + iArgz,_, −π <

Argz ≤ π nazywamy ga lezia g l´_, owna logarytmu. Zatem lnz = Lnz +i2kπ,_, k ∈ Z. W ka˙zdym obszarze jednosp´ojnym nie zawierajacym 0 i ∞ istnieje jednoznaczna ga l_, a´_,z logarytmu. Takim obszarem jest np. p laszczyzna rozcieta wzd lu˙z osi ujemnej tzn. E = C \ {x ∈ R : x ≤ 0}._, Funkcja potegowa_,

Definicja 5. Niech µ bedzie dowoln_, a liczb_, a zespolon_, a, z ∈ C \ {0}. Funkcj_, e potegow_, a o_, wyk ladniku µ nazywamy funkcje zdefiniowan_, a wzorem_,

z^µ = e^µlnz.

Jest to tak˙ze fukcja wielowarto´sciowa. Ga lezi_, a g l´_, owna tej funkcji nazywamy ga l_, a´_,z zdefinio- wana za pomoc_, a ga l_, ezi g l´_, ownej logarytmu tzn. e^µLnz.

Uwaga 2. Szczeg´olnym przyk ladem funkcji potegowej jest funkcja_, √ⁿ

z = e^(1/n)lnz zwana pierwiastkiem n-stopnia z liczby z ∈ C \ {0} (wz´or Moivre’a). W ka˙zdym obszarze jed- nosp´ojnym nie zawierajacym zera i ∞ istnieje dok ladnie n ga l_, ezi r´_, o˙zniacych si_, e czynnikiem_, e^2kπi/n, k = 0, 1, . . . , n − 1.

4