21=42=63=2

Temat: Pola trójkątów podobnych.

W tym roku szkolnym wyjaśnialiśmy już co to znaczy, że dwa trójkąty są podobne. To znaczy, że oba te trójkąty mają takie same kąty, a każdy bok jednego trójkąta jest tyle samo razy większy (lub mniejszy) od odpowiadającego mu boku drugiego trójkąta. Np.:

Powyższe trójkąty są podobne: każdy z nich ma takie same kąty jak drugi trójkąt oraz np. drugi trójkąt ma wszystkie boki dwa razy większe od odpowiednich boków pierwszego trójkąta (czyli od tych leżących przy tych samych kątach)

To, ile razy dany trójkąt jest mniejszy lub większy od innego to skala podobieństwa (oznaczamy ją symbolem k ). Skala podobieństwa jest zawsze liczbą dodatnią.

Jak obliczyć skalę podobieństwa dwóch trójkątów? Należy najpierw ustalić, który trójkąt jest podobny do którego (to bardzo ważne) i podzielić NAJPIERW bok trójkąta podobnego, przez odpowiadający mu bok tego drugiego trójkąta.

Aby obliczyć skalę podobieństwa dwóch trójkątów możemy też podzielić również ich obwody przez siebie lub też ich wysokości oczywiście również we wspomnianej kolejności.

Ćwiczenie 1

Poniższe trójkąty są podobne. Oblicz skalę podobieństwa trójkąta DEF do trójkąta ABC, jeśli:

Trójkąt DEF jest podobny do trójkąta ABC, co możemy zapisać symbolicznie: Δ DEF ~ Δ ABC. To znaczy skala podobieństwa trójkąta DEF do trójkąta ABC jest równa:

k=

2 1 = 4

2 = 6

3 =2

(w licznikach są boki trójkąta DEF, a w mianownikach odpowiadające im boki trójkąta ABC)

Ćwiczenie 2

Rozwiązanie

Zróbmy odpowiednie rysunki. W trójkącie o bokach 2,5,6 najkrótszy bok to 2. W drugim trójkącie

najkrótszy bok to 8. Niech więc będą położone obydwa tak samo:

Uwaga! Zgodnie z treścią zadania lewy trójkąt jest podobny do prawego!

UWAGA! Stosunek pól figur podobnych daje skalę podobieństwa do kwadratu.

Jeśli trójkąt DEF jest podobny do trójkąta ABC, to

P

_∆≝¿

P

∆ ABC

= k

²

¿

Ćwiczenie 3

Dany jest trójkąt A’B’C’, podobny do trójkąta ABC. Pole trójkąta A’B’C’ wynosi 45cm², a pole trójkąta ABC wynosi 5cm². Oblicz skalę podobieństwa.

Rozwiązanie:

W zadaniu trójkąt A’B’C’ jest podobny do trójkąta ABC. Mogę więc zapisać, że

P

∆ A ' B ' C '

P

_{∆ ABC}

= k

² podstawmy wartości pól naszych trójkątów

45

5 =k

² 9=k² k²=9 /√

k=3

Zadanie 7.57/189

Trójkąt A’B’C’ jest podobny do trójkąta ABC, co możemy zapisać Δ A’ B’ C’ ~Δ A B C. Zatem mogę obliczyć skalę podobieństwa korzystając z zależności, że:

k = Obw

A ' B ' C '

Obw

ABC

k = 15 30 = 1

2

Skoro wiem już ile wynosi skala podobieństwa trójkąta A’B’C’ do trójkąta ABC, to skorzystam z zależności, że:

k

²

= P

A ' B ' C '

P

_ABC

( ¹ 2 )

²

^{= P}

A ' B ' C '

24 1

4 = P

A ' B ' C '

24

mnożę na skos 4 ∙ P_A^'_B^'_C^'=1∙ 24

4 ∙ P

_A'B^'C^'

=24

_/:4

P

_A^'_B^'_C^'

= 24

4

P_A^'_B^'_C^'=6 _cm²

Zad. 7.62/190

Na podstawie informacji z zadania robimy rysunek:

Wniosek: trójkąt A1B1C1 jest mniejszy od trójkąta ABC. Stosunek pól trójkątów wynosi

4

9

. Licznik ułamka jest mniejszy od mianownika co oznacza , że w liczniku mamy pole mniejszego trójkąta, a w mianowniku pole większego trójkąta. Zapisujemy, że:

P

_A1B1C1

P

_ABC

= 4

9 4

9 = k

² stosunek pól trójkątów to skala do kwadratu

k = 2

3

Skoro mamy już skalę podobieństwa trójkąta A1B1C1 do trójkąta ABC, to możemy skorzystać z tego, ze stosunek boków to też skala. Zapiszemy:

x−7 x = 2

3

mnożymy na skos 3(x-7)=2x

3x – 21=2x 3x – 2x= 21 x=21 cm

Odp.: |AB|=21cm, |A1B1|=x-7=21-7=14cm.

Praca domowa: zadanie 7.58/190