11. Caªkowanie ci¡gów i szeregów funkcyjnych zadania do samodzielnego rozwi¡zania
Zad. 11.1 (1998) Oblicz granic¦ caªek
n→∞lim Z
R3
x 1 3 − n
s
x2 + y2+ z2 1 + x2+ y2+ z2
!
IA(x, y, z) l3(dxdydz), gdzie A = {(x, y, z); x > 0; y > 0; z > 0; x2+ y2+ z2 < 2}.
Zad. 11.2 (1999) Oblicz granic¦
n→∞lim Z
A
n sin 2x2− y n
l2(dxdy), gdzie A jest trójk¡tem o wierzchoªkach (0, 0), (0, 1), (4, 0).
Zad. 11.3 (1997) Oblicz, o ile istnieje, granic¦
n→∞lim 1 nn
Z
U
(n − 3 ln z − ln(x2+ y2))n(x2+ y2)3/2 l3(dxdydz), gdzie U = {(x, y, z); 1 ≤ x2+ y2 ≤ 9, 1 ≤ z ≤ 2}.
Zad. 11.4 (1997) Oblicz granic¦
n→∞lim Z
U
1 −xyz n3
exp x2 2 +z2
3
l3(dxdydz), gdzie U = {(x, y, z); x22 + z32 ≤ 1; 0 ≤ y ≤ 3}.
Zad. 11.5 (1996) Oblicz, o ile istnieje, granic¦
n→∞lim Z
(0,∞)3
(1 + x + y)n
1 + (1 + x + y)ne−x−y−z2/2l3(dxdydz).
Zad. 11.6 (1997) Oblicz, o ile istnieje, granic¦
n→∞lim Z
U
n2sin x2+ y2 n2
cosz n
l3(dxdydz), gdzie U = {(x, y, z); x2 + y2 ≤ 4, 0 ≤ z ≤ 2}.
Zad. 11.7 (2003) Znajd¹ granic¦
n→∞lim Z
A
1 n + x
1 − y
n
2n
sin(z) l3(dx, dy, dz), gdzie A = {(x, y, z) ; |x| + |y| ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1}.
Zad. 11.8 (2003) Znajd¹ granic¦
n→∞lim Z
A
y sin
ny ln 1 + x
n
l2(dx, dy), gdzie A = [0, 1] × [0, 1].
Zad. 11.9 (2003) Znajd¹ granic¦
n→∞lim Z
A
1 − x + y
√n
√n
l2(dx, dy), gdzie A = {(x, y) ; x, y ≥ 0, x + y ≤ 1}.
Zad. 11.10 (2003) Oblicz granic¦
n→∞lim Z 1
−1
x + x2enx 1 + enx dx.
