Zadania s¡ równo punktowane. Kolejno±¢ rozwi¡zywania dowolna. Rozwi¡zania nale»y redagowa¢

14.06.2019 r. Imi¦: Nazwisko:

Egzamin nr albumu:

Nazwisko prowadz¡cego ¢wiczenia:

Zadania s¡ równo punktowane. Kolejno±¢ rozwi¡zywania dowolna. Rozwi¡zania nale»y redagowa¢

starannie, wyra¹nie uzasadniaj¡c rozumowanie. Na ko«cu rozwi¡zania ka»dego zadania nale»y poda¢ peªn¡ odpowied¹(-dzi). Dodatkowo, na karcie zada« wpisz wyniki.

Czas rozwi¡zywania - 90 min.

1. Wyznacz ekstrema lokalne warunkowe funkcji u(x, y) = x przy warunku 4x ⁴ y + y ⁴ x = 3 .

MAX w: MIN w:

2. Dane jest odwzorowanie F (x, y) =  e ^xy

, y

x .

(a) Narysuj zbiór tych punktów na pªaszczy¹nie, w których odwzorowanie F NIE jest lo- kalnie odwracalne. Uwzgl¦dnij dziedzin¦ F .

(b) Zbadaj, czy F jest globalnie odwracalne w dziedzinie.

(c) Wyznacz macierz odwzorowania odwrotnego w punkcie (e ⁴ , 2) .

DF ⁻¹ (e ⁴ , 2) =

3. Zbiór T jest ograniczony prostymi y = 2x − 1, x = 0 oraz krzyw¡ y = x ² (jest to prawie trójk¡t). Oblicz caªk¦

Z Z

T

x dx dy

4. Korzystaj¡c z rozwini¦cia Taylora oszacuj warto±¢ cos ¹ ₄

tak by bª¡d oszacowania byª mniej- szy ni» 0,0001. Oszacuj faktycznie otrzymany bª¡d.

cos ¹ ₄
≈ bª¡d ≤

5. Zbadaj, czy szereg jest zbie»ny bezwzgl¦dnie, zbie»ny warunkowo czy rozbie»ny:

a)

+∞

X

n=5

n! · 2 ⁻ⁿ

jest: b)

+∞

X

n=7

(−1) ⁿ n

ln ² (n) jest:

Powodzenia!