I I . J a h r g a n g . 1 8 9 6 . N r . 4 .
U n t e r r i c li t s b lä t t e r
für
M a th e m a tik und N a t u r w is s e n s c h a f t e n .
Organ des V ereins zur Förderung
des U nterrichts in der M athem atik und den N aturw issenschaften.
P rof. D r. B . S c h w a l b e ,
D ir e k to r d e s D o r o th e c n s ta d t. R e a lg y m n a s iu m s zu B e rlin .
H erau sgegeb en von
u n d
P rof. F r . P i e t z k e r ,
O b e r le h r e r a m Königl.* G y m n a s iu m zu N o r d b u u s e n .'
V e r l a g v o n O t t o S a l l e i n B r a u n s c h w e i g .
Redaktion: A lle f ü r d ie R e d a k t i o n b e s ti m m t e n M itt e il u n g e n u n d S e n d u n g e n s i n d n u r a n d i e A d r e s s e d e s P r o f . P i e t z k e r i n N o r u n a u s e n z u r i c h t e n .
F ü r d i e i n d e n A r t i k e l n z u m A u s d r u c k g e b r a c h t e n A n s c h a u u n g e n s i n d d i e b e t r . H e r r e n V e r f a s s e r s e l b s t v e r a n t w o r t l i c h ; d ie s g i l t i n s b e s o n d e r e a u c h v o n d e n i n d e n e i n z e l n e n B ü c h e r b e s p r c c h u n g c n g e f ü l l t e n U r t e i l e n .
Verlag: D e r B e z u g s p r e i s f ü r d e n J a h r g a n g v o n 6 N u m m e r n ist. 3 M a r k , f ü r e i n z e l n e N u m m e r n 00 P L D ie Y e r e i n s m i t - g l i e d e r e r h a l t e n d ie Z e i t s c h r i f t u n e n t g e l t l i c h ; f r ü h e r e J a h r g ä n g e s in d d u r c h d e n V e r l a g b e z . e i n e B u c h h d l g . z u b e z ie h e n . A n z e i g e n k o s t e n 25 P f . f ü r d ie 3 - g e s p . N o n p a r . - Z e i l e ; h e i A u f g a b e h a l b e r o d . g a n z e r S e i t e n , s o w i e b e i W i e d e r h o l u n g e n E r m a s s i g u n g . — B e i l a g e g e b ü h r e n n a c h U e b e r e i n k u n f t .
I n h a l t : D i e G r e n z e z w i s c h e n P h i l o s o p h i e u n d M a t h e m a t i k m i t b e s o n d e r e r B e r ü c k s i c h t i g u n g d e r m o d e r n e n R a u m - t h e o r ie e n v o n H . S c h o t t e n ( S . 4 9 ) . — V e r h a n d l u n g e n ü b e r d a s p h y s i k a l i s c h e N o r m a l v e r z e i e h n i s f ü r d ie h ö h e r e n S c h u l e n ( S . 5 8 ). — V e r e i n e u n d V e r s a m m l u n g e n ( S . 5 9 ). — B e s p r e c h u n g e n ( S . 6 0 ). — A r t i k e l s c h a u a u s F a c h z e i t s c h r i f t e n u n d P r o g r a m m e n (8. 6 1 ). — Z u r B e s p r e c h u n g e i n g e t r o t f c n e B ü c h e r ( S . 6 2 ).
— A n z e i g e n .
D i e G r e n z e z w i s c h e n P h i l o s o p h i e u n d M a t h e m a t i k
m i t b e s o n d e r e r B e r ü c k s i c h t i g u n g d e r m o d e r n e n R a u m t h e o r i e e n .
V o r t r a g i m V e r e i n z . F o r d . d . T ’ n t. i. d. M a t h . u. d . N a t u r w . * v o n H . S c h o t t e n .
D er G e g e n sta n d , der m einem V ortrage zu g rü n d e lie g t , darf w oh l darauf rech n en , a llg e m eines In te re sse zu er w ec k e n ; sind doch die F r a g e n , die darin b eh an d elt w e r d e n , von der w eittra g e n d ste n B ed eu tu n g.
A n d ererseits m uss allerd in gs auch zu g esta n den w erd en , dass das Them a schon so oft b e h an d elt w ord en i s t , dass man fa st b efürchten k ö n n t e , nur B ek an n tes zur D a rstellu n g zu bringen.
W en n ich es trotzdem u n tern eh m e, hier m eine A n sich te n über das V erhältn is von M athe
m atik und P h ilo so p h ie in b eson derer B erü ck sic h tig u n g der m odernen R aum theorieen vorzu le g en , so m ögen m ich fo lg en d e E rw ägu n gen da
zu b ere ch tig t erscheinen lassen :
* ) H i e r m i t b e g i n n e n d ie S o n d e r b e r i c h t e ü b e r d ie V o r t r ä g e u n d V e r h a n d l u n g e n a u f d e r E l b e r f e l d e r V e r s a m m l u n g d e s o b e n g e n a n n t e n V e r e i n s . A u s ä u s s e r e n G r ü n d e n m u s s t e d a b e i v o n I n n e h a l t u n g d e r — ■ a u s d e m a l l g e m e i n e n B e r i c h t ( t l n t . - B l . H . 3, S . 3 h f l g g . ) e r s i c h t l i c h e n — R e i h e n f o l g e , d ie h e i d e r V e r s a m m l u n g s e lb s t o b g e w a l t e t h a t . a b g e s e h e n w e r d e n . A n m . d. R e d .
1 . N o ch im m er sind der M etageom etrie g e gen ü ber zah lreich e IrrtUmer verb reitet.
2. S e lb st die A nh änger sin d durchaus noch n ich t k lar über alle E in zelh eiten .
3. Ganz beson ders m acht sich d ieser U m stan d g elte n d g eg en ü b er der erk en n tn isk ritisch en B ed eu tu n g, die von einzeln en V ertretern der Me
tageom etrie b e ig e le g t wird.
D er A usspruch der M etageom eter stren g ster O b servanz, dass unser ebener Erfnhrungsraum nur als ein u nend lich k lein er T e il ein es para
b olisch gekrüm m ten R aum es anzusehen sei, m uss a ls falsch erw iesen w erden. N och schärfer aber m uss d ietn a sslo se U eb erh eb u n g E in zeln er zuriiek- g ew ie se n w e r d e n , d ie b e h a u p te n , d ass sie von d iesen unserer A n sch au u n g w id ersprechend en V erhältn issen w irk lich an sch au lich e V orstellu n gen h ätten und dass m it der Z e it auch die U eb- rigen s o w e it kom m en w ürden w ie sie. E s ist n ö tig , das W ah re vom F alsch en zu scheiden, d ie p h ilo so p h isch en F olgeru n gen von den m ath e
m atisch -an alytisch en U ntersu ch un gen zu sondern.
Gerade die U ebergrifl'e, die d ie M athem atik sich a u f das G eb iet der P h ilo so p h ie zu m achen er
lau bt h at und d ie zu leb h after V erw underung se lb st von m anchen P h ilosop h en übersehen zu sein sch ein en , le g en d ie P flich t o b , von neuem das V erhältn is der M athem atik — und zw ar so w o h l der A rith m etik w ie der G eom etrie — zu Logik.
S . 5 0 . L X T E R R I C I I T S B L Ä T T E R . 1 8 9 6 . N o . 4 .
P sy ch o lo g ie , E rk en n tn isth eorie im E in zeln en zu b etrach ten : die G renze zw isch en M athem atik und P h ilo so p h ie gen au zu prüfen : u nd zu u nter
su ch en , ob nun in sp ec ie d ie neueren m etageom e
trisch en A rb eiten b ere ch tig t s in d , ein en en t
sch eid en d en E influ ss a u f das R aum problem se lb st auszuüben.
D a b ei w ill ich n ich t unterlassen , ganz b e
son ders d arauf aufm erksam zu m achen, dass m it aller A b sich t der A usd ru ck m e t a g e o m e t r i s c h g e w ä h lt w ord en is t , n ic h t das noch im mer hier und da g eb räu ch lich e m eta m a t h e m a t i s c h ; denn niem and w ird leu g n en k ö n n e n , dass es sich in der M etageom etrie um m a t h e m a t i s c h e U n tersu ch u n gen im b esten S inn e des W o rte s h an d elt, nur sin d sie n ich t geom etrisch , sondern eb en m e t. a g eom etrisch .
E s w ird sich n ic h t um gehen la ss e n , w e n ig sten s in g ro ssen Z ügen ein e U eb er sic h t über die h isto risc h e E n tw ic k e lu n g zu geben.
G ew öh n lich w ird die Q uelle der M eta g eo m etrie in dem so g . i 1 A xiom E u klids geseh en , das aber nach den zu v erlä ssig sten F o rsch u n gen von E u k lid gar n ic h t als A xiom a u fg e ste llt w orden i s t , sondern als ein e Forderung, d. h. als eine dem m en sch lichen G eiste n o tw en d ig in h aeren te rein é A nschau u ng. W ie sehr g le ic h b ei der B e leu ch tu n g d ieser K ardin alfrage der p h ilo so p h isch e C harakter des P rob lem s zu ta g e tr itt, w ird v ö llig k lar w erden.
Z u nächst m uss d ie fü n fte F ord eru n g E u k lid ’s dahin a u sg e le g t w e r d e n , dass sie ein e n o tw en d ig e K on seq uenz aus der N atu r der G eraden ist, w en n w ir d iese als ein u n en d lich es G eb ild e an- se h e n , so dass str e n g genom m en das Prob lem sch o n m it der A u ffassu n g der G eraden b egin n t.
Nun fra g t es sich also, w as E u k lid u n ter der G eraden v ersteh e. B e k a n n t is t sein e E rklärung, d ie G erade ist. die L in ie , di e. zw isch en zw ei P u n k te n g le ic h a r tig lie g t ; h at doch d iese E r
k lärung die w underbare D efin itio n der Geraden als der A x e der D reh u n g h e rv o r g er u fen : ein e E rkläru ng, b ei der eben das, w as erk lärt w erden soll, im p licite v o r a u sg e se tz t w ird. U nd doch h at d iese E rk läru n g au sserord en tlich v ie le A nh änger gefu n d en , se lb s t ein H elm h o ltz h a t sie an gen om m en und zah llose L ehrbü ch er haben sie n ach
g e b e te t.
N un sc h e in t m ir d u rch w eg übersehen zu sein, dass E u k lid an der betreffen den S te lle gar n ich t d ie G erade, w ie w ir sie j e t z t auffassen — näm lic h die u n en d lich e G erade — g em e in t hat, so n dern von seinem an sch au lich en griech isch en S ta n d p u n k te aus d as, w as w ir h eu te als Sti-ecke b e zeich n en . U n ter den beid en P u n k ten sin d n ich t irgen d z w e i b elie b ig e zu versteh en , sondern die b eid en E n d p u n k t e ; so d ass überall, w o E u k lid von der geraden L in ie sp rich t, n ich t d ie u n end lich e G erade zu versteh en ist, sondern d ie durch z w e i P u n k te b egren zte G erad e, d. h. ein e end
lic h e S tr e c k e , über deren G rösse n atü rlich gar n ich ts fe s tg e s e tz t ist..
B e stä r k t w erd e ich in d ieser m einer A u f
fa ssu n g der E u k lid isch en D efin itio n — und ich m eine d ies m ü sste auch allgem ein als b e w e is
k rä ftig an gesehen w erden — durch d ie F a ssu n g d es S a tzes 2 5 ; hier sa g t näm lich E u k lid au s
d rücklich : Z w ei Gerade, die nach b eid en S eiten i n s U n e n d l i c h e verlä n g ert etc.; h ä tte ei', der sch arfsin n ige M athem atiker und P h ilo so p h den Z u satz, „nach beid en S eiten in s U n en d lich e ver
lä n g e r t“ w o h l für n ö tig g e h a lt e n , w enn er von vornherein d ie D efin ition der u nend lichen G e
raden und n ich t der S treck e g eg e b e n h ä tte?
Ich glau b e, man kann d iese F ra g e m it aller E n t
sc h ie d e n h eit vernein en .
A lso n ich t b ei der D efin itio n der Geraden w ird b ei E u k lid der S ch r itt in das p h ilo so p h isch e G eb iet geth a n , sondern erst bei der fü n ften F or
derung, w o v er la n g t w ird, dass w ir aus dem an
sch au lich en E n d lich en h in ü b ergleiten in das ü b ersin n lich e U n end liche : u n zu gän glich der sin n lich en W ah rn eh m u n g, aber offen für d ie f e i n e A nschau u ng.
H ier steh en w ir an einem G ren zp un kte der b eid en W isse n sc h a fte n : der B e g riff des U n en d lic h e n tr itt an uns heran. M it ihm zu n äch st g ilt es sich ausein and erzu setzen .
U m m ein en S tan d p u n k t von vorn h erein klar zu le g e n , so h alte ich den B e g riff d es U n en d lich en für einen rein p h ilo so p h isc h e n ; d er M athe
m atik aber m uss zu gestan d en -w e rd en , dass sie e r st der P h ilo so p h ie zu einer k laren E rken n tn is und präzisen D a rstellu n g des U n e n d lic h k eits
b egriffes verh olten hat. D a ss auch andere den B e g r iff als einen w ese n tlic h p h ilo so p h isch en auf
fa s s e n , g e h t sch on daraus h ervor, dass A u s
d rü ck e, w ie das „m ath em atisch e U n e n d lic h e “ und ä h n lich e so g a r als T ite l von A b h and lu ngen Vorkommen. Z u gegeb en a ls o , dass der B eg riff als so lc h e r rein p h ilo so p h isc h is t, so le h r t doch die G e sch ic h te der P h ilo so p h ie n ich t w en iger, w ie d ie der M athem atik, und h ier beson ders die G esch ich te der In fin itesim alrech n u n g , dass die P h ilo so p h ie m it d iesem B egriffe n ich ts anzu
fangen w u s s te , so la n g e n ich t die M athem atik ihn sein em in nersten W esen nach k lar g e s te llt h a tte. D en n der P h ilo so p h ie g a lt das U n e n d lic h g r o sse , w ie das U n e n d lic h k le in e g le ich er w eise als ein G rö ssen b eg riff, an alog den en d lich en G rössen b egriffen . U nd doch is t er von d iesen h im m elw eit verschieden. Ic h w ill versu ch en , den U n tersch ied an folgen d em B e isp ie l k lar zu m achen.
D en k e n w ir uns ein e en d lich e S tr ec k e von b e
lie b ig er L ä n g e , so is t sie der T räger unendlich v ie le r P u n k te . Man n eh m e nun einm al die k lein ste en d lich e S tr ec k e die man sic h vo rstellen
| kann, also z. B . den 6 0 0 0 . T eil eines M illim eters,
| den w ir eb en n och m it dem M ikroskop wahr-
| nehm en könn en , dann eine seh r g ro sse en d lich e
1896. No; 4. Di r Gr e n z e z w i s c h e n Ph i l o s o p h i e u n d Ma t h e m a t i k.
S treck e, etw a die E n tfern u n g zw eier- F ix stern e.
W elch er U n ter sch ie d ! U n d doch sind b eide S treck en g le ic h e r w e ise T räger unend lich v ie ler P u n k te . H ieraus g e h t k lar hervor, d ass .das U n en d lich e also m it dem en d lich en G rössen b egriff durchaus k ein en Z u sam m enhang h a t , ja. w ir können geradezu aus dem g ew ä h lten B e isp iele sehen, dass das W esen des U n en d lich en im strik teste n G egen sätze zum en d lich en G rössen b egriff ste h t; sein W esen is t d ie F lu x io n . D ab ei darf auch sein Zusam m enhang- m it dem B e g r iff der Grenze und dem B egriffe der K on tin u itä t n ich t ü bersehen w erden.
Ich m öch te die G e leg e n h eit b en u tze n , um folgen d em G edanken A usdruck zu g eb en . D ie u n en d lich e G erade is t aus unendlich v ie len end
lich en S treck en zu sa m m en g esetzt zu denken, jed e en d lich e S treck e is t der T räger u nend lich v ie ler P u n k te ; die G erade m uss daher als ein d op p elt u n en d lich es P u n k tsy stem a u fg e fa sst w erden.
D och zurück zum U n e n d lic h k eitsb eg r iff selb st.
E r h at sich uns durch die m ath em atisch e U n ter
su ch u n g in seinem w ahren W esen en th ü llt; aber darum is t er doch ein p h ilosop h isch er B egriff g e b lie b e n , ein p h ilo so p h isch er B e g r iff, den zu erfassen uns d ie reine A n sch au u n g g e s ta tte t.
A uch liier m öge es g e s ta t te t s e in , ein B e i
sp ie l anzuführen, da w ir m itte lst d ieses B e isp iels h in ü bergefü hrt w erden zu dem B egriffe der reinen A nschau u ng, einem der w ic h tig ste n , w en n nicht dem w ic h tig ste n , b ei der F rage nach den Grenzen von P h ilo so p h ie und M ath em atik und bei der U n tersu ch u n g über den p h ilo so p h isch en W er t der m etageom etrisch en U n tersu ch u n gen .
Quadrat, D iagon ale, z w e i S eiten h alb iert und P ara llelen . N eu er W e g = dem alten.
D iese O peration m öge b elie b ig o ft w ied erholt w erden. Gar bald sch on w ird unsere äussere A n sch au u n g versagen und uns die W e g e län gs des Z ick za ck s und län gs der D ia g o n a le g le ich ersch ein en lassen : aber trotzdem w ird d ie reine, d ie innere A n sch au u n g uns vor dem Irrtum b e
w ahren, d iese W e g e als g le ich anzunehm en, se lb st w en n w ir nun den grossen S ch ritt m achen und uns d ie O peration unend lich o ft w ied er h o lt d en ken . H ier haben w ir ein k lares B e isp iel, dass uns die rein e, innere A n sch au u n g auch dann n ic h t im S tic h e lä s s t, w en n es g ilt , über das sin n lich an sch au lich e E n d lich e hinaus in das G eb iet des U n en d lich en h inü berzugehen. U nser U eb er g a n g ins U nend liche er fo lg t dem nach n ich t ohne R egelu n g durch d ie V ernunft, die eben h ier als reine A n sch au u n g in E vid en z tritt.
U n d b etrach ten w ir ein anderes B e is p ie l:
V ollfü h ren w ir n ich t auch einen U eb er g a n g ins U n en d lich e oder aus dem U n e n d lic h e n , w enn w ir b ed en ken, w ie en g die G renzen g ez o g en sind, innerhalb deren ein e B e w e g u n g von uns w ah r
genom m en w ird, z . B . das W ach stu m einer P flanze e in erseits, ein fliegen des G esch oss an dererseits?
Ja se lb st der m ath em atisch e G renzbegriff g e w in n t u nter der H errsch aft der reinen A n sch au u n g v o llstä n d ig k lare D eu tlich k e it.
E he w ir nun w eite r auf das G eb iet der P h ilo sop h ie uns b egeb en und die R olle u ntersuchen, die die reine A n sch au u n g sp ie lt, soll zu rü ck g eg a n g en w erden au f die h isto risch e E n t
w ick lu n g.
E s h at sich g e z e ig t, dass sch on bei E u klid d ie Spuren der j e t z t so leb h aft erörterten F ragen zu finden s in d ; dass es w ah rsch ein lich ist, dass sich E u k lid über die B e d e u tu n g sein er fün ften F ord eru n g als einer A n s c h a u u n g s n o t w e n d i g - i l c e i t v ö llig k lar g ew e sen ist. D ie G esch ich te unseres P rob lem s w e is t aber von E u k lid b is zur W ie d ererw eck u n g einen seh r lan gen Zeitraum v ö llig er R uhe auf.
N ach allgem ein er A n sich t is t es das V erd ien st von Gauss g ew e sen , einen en tsch eid en d en S ch ritt zur K lärun g gem ach t zu h a b en , indem er das P arallelen axiom zu d enjenigen u nb ew eisbaren D in gen zä h lte, die n ich t b ew iesen w erden k ö n n e n , w eil sie n ich t n o tw en d ig seien , w ed er A n- sc h a u u n g s- noch D en k n o tw e n d ig k eiten . A ber schon im zw e ite n B an de m ein er vergleich en d en P la n im etrie habe ich au f die A rb eit S acch eris und a u f L am bert h in gew iesen , sod ass Max Sim on in sein er B esp rech u n g d ieses z w e ite n B an d es erk lärte: „W en n die A rb eit L am berts m it (lei
des Jesu iten SaCcheri ü b efein stim m t, so is t der U rsp ru n g der N ich t-E u k lid isch en G eom etrie von j 1792 au f 1733 zu rü ck zu d atieren .“ D ie se A n sich t
j find et sich b e stä tig t in dem zw e ite n B an de von
| C lebsch-L indem ann. le b m uss daher gegen ü b er S tü ck ei und E n g e l für m ich in A nspruch nehm en,
! früher d iese g e sc h ic h tlic h e T h atsach e k o n sta tier t zu haben. An h istorisch en D a rstellu n g en d er N ich t-E u k lid isc h e n G eom etrie b e sitz e n w ir zur Z e it so lc h e von L indem ann, F elix K le in , Max Sim on und K äragiann id es; allerd in gs fa st aus- j sc h liesslich vom m ath em atisch en S tan dp un kte,
j w enn auch b ei F elix K lein sich A nsätze zu r W ü rd ig u n g p h ilosop h isch er M itarbeit finden.
E in e ausführlichere L itte ra tu rangab e w erde ich in einem zw eiten , sp äteren T e ile geb en . Für j e t z t kann es sich nur darum handeln, kurz eine o b jek tive D a rstellu n g des h isto risc h e n G an ges zu geb en . N u r das E in e soll n och v o r w e g g e nomm en w erden, die B em erk u n g näm lich, dass der N am e „ N ich t-E u k lid isc h e G eom etrie“ rech t u n glü ck lich g e w ä h lt is t , d ass w ir dafür b esser einen A u sd ru ck w ählen, w ie P a n g eo m etrie, ab-
! so lu te G eom etrie oder am treffen dsten w ohl , M etageom etrie.
E s se i mir g e s ta tte t, m ich h ier in erster L in ie an K lein s D a rstellu n g an zu leh nen. E r u nter
sc h e id e t drei P eriod en .
1 ) G auss, L ob a tsch ew sk y, B olyai.
N ach K lein s A n sic h t is t es durchaus G au ss’
V er d ie n st, den C harakter des P arallelen axiom s
S . 5 2 . L X T E R R I C H T S B L A T T E R . 1 8 9 6 . jNo. 4.
n ich t nur rich tig erfasst zu haben, sondern auch d ie n o tw en d ig en K on seq u en zen daraus g ez o g en zu haben.
M it K lein s A n sich t stim m t, w ie schon vorhin erw ä h n t, w o h l d ie M ehrzahl der M athem atiker überein. W ie m ir sch ein t, is t d ieser S tan d p u n k t durchaus e in se itig ; w ill man A n sich te n , w ie die von G auss, sch o n früher kennen lernen, so m üssen w ir uns — ab geseh en von L am bert und Saccheri
— an A ltm e iste r K an t w e n d e n ; b ei ihm finden w ir in der A bh an d lu n g: U eber den w ahren Grund vom U n tersch ied e der G egen den im R aum e, schon fo lg en d e A u ssp rü ch e, die doch oh ne Z w eifel sch on den K ern der gan zen F ra g e en th alten .
„E in e W isse n sc h a ft von allen d iesen m ög
lich en R aum esarten w äre u nfehlbar d ie h ö ch ste G eom etrie, d ie ein en d lich er V erstand u nter
nehm en k ö n n te ,“ und
„D enn w ir können von den A n schau u ngen anderer den kend er W esen gar n ich t urteilen , ob s ie an d ie n äm lichen B ed in g u n g en g eb u n d en seien , w elc h e unsere A n sch au u n g einschränk en und für uns allgem ein g ü ltig s in d .“
D a m it h at K an t das P rob lem der M etageo- m etrie im w esen tlich en g e g e b e n , zu g le ich aber auch d ie G renze zw isch en P h ilo so p h ie und Ma
th em atik k lar b estim m t. P h ilo so p h isc h , d. h. für d ie E rk en n tn is des R au m es, is t ihm aber d iese S ach e offenbar gan z w er tlo s er sc h ie n e n , so n st w äre er w o h l darauf zu rückgekom m en.
Ohne an d ieser S te lle au f K an t näher ein- geh en zu w o llen , kann ich m ich doch n ich t e n t
halten, fo lg en d e B em erk u n g zu m achen.
D ie gan ze M etageom etrie w ird an den Nam en von G auss g e k n ü p ft, u nter der F la g g e seiner m ach tv o llen A u to r itä t w ird das Prob lem beh an d e lt, ja es w ird gerad ezu d ogm atisch er U n fu g m it sein er A u to r itä t getrieb en . S eh en w ir nun einm al zu, w as von G auss herrüh rt: im grü n de gen om m en n ich ts w e ite r als ein H in w eis a u f das P rob lem in zw e i R ezen sion en über A rb eiten b e
treffen d das P arallelen axiom und in seinem B rief
w ec h se l m it S chum acher. W ie nun K lein au s
d rü ck lich h ervorh eb t, h a tte sich G auss schon als lS jä h r ig e r J ü n g lin g die M ö g lich k e it einer N ich t-E u k lid isc h e n G eom etrie zu rech t g e le g t.
H a t denn nun kein A nh änger sich einm al die F ra g e v o r g e le g t, warum G auss gar k ein e K o n sequ en zen aus den G edanken g ez o g e n h at, die ihn sch on in so ju n g en Jahren b e sc h ä ftig t haben und die er auch späterh in , w ie er au sdrücklich zu g ie b t, durchaus n ich t aus den A u g en verloren h a t? I s t es denn als m öglich zu d enken, dass ein G e ist w ie G auss die gerü h m te W ic h tig k e it sein er G edanken so v ö llig u n tersch ä tzt hätte, um n ie eine zusam m enh ängend e D a rstellu n g s e i
ner A n sich ten zu g eb en ? U nd in dem B riefe, den w ir in S tä c k e l und E n g el ab ged ru ck t finden, b ean sp ru ch t er au sdrücklich , dass der In h alt als vertrau lich an geseh en w ird. S o llte G auss d iese
w eise Z u rü ck haltu ng nur g e ü b t haben, um seinen E p igon en den T u m m elplatz fröh licher P h an tasieen frei zu la ssen ? Ich m uss offen g este h e n , dass m ir eine gen ü g en d e A n tw o rt a u f d ie F ra g e feh lt, warum G auss a u f einen A usbau sein er G edanken und au f ein e w en n auch nur ein igerm assen aus
fü h rlich e D a rstellu n g v e r zich te t h a t, w enn ich n ich t annehm e, dass er der M etageom etrie durch
aus n ich t den W er t b e ig e le g t h a t, den ihre je tz ig e n V ertreter ihr b e ig e le g t zu seh en w ün sch en .
K lein b eze ic h n et also G auss u n b ed in g t als S ch öp fer d er N ich t-E u k lid isc h e n G eom etrie, unter seinem E in flü sse und au f sein e p ersön lich en A n regun gen hin seien die A rb eiten von L obat- sc h e w sk y und den beid en B o ly a i en tstan d en , denn n ich t „sua sp on te h ätten d ie neuen Id een in dem G eiste d ieser M änner W u rzel g e fa s s t “.
W ie w ir geseh en h ab en , geh en aber G auss und d iesen Männern S a cch eri, L am bert, K ant v o ra u s, w ie für K an t zu erst von F o r tla g e fe s t
g e s te llt ist.
K önnen w ir also von unserem S tan d p u n k te aus die U rg e sch ic h te der N ich t-E u k lid isc h e n G eo
m etrie, w ie sie von K lein d a r g e ste llt w ird, n ich t b illig en , so dürfen w ir uns doch für den ferneren V erla u f sein er F ü h ru n g um so sich erer anver
tra u en , als die G esch ich te unseres P rob lem s w e se n tlic h m ath em atisch en C harakter ze ig t.
G eradezu m u sterh aft is t K lein s D a rstellu n g von dem Z u sam m enh ang.von B eltram is „V ersuch einer In terp retation der N ic h t-E u k lid isc h e n G eo
m e tr ie “ m it der T h eorie der F läch en von M onge bis au f unsere Z eit, w orin B eltram i — ze itlic h w e it von G auss g esch ied en — doch in u n m ittelbarer B e zieh u n g zu ihm erkannt w ird.
D ie z w e ite P erio d e nach K lein k n ü p ft sich an d ie N am en R iem ann und H elm h oltz.
D ie se z w e ite P erio d e s te h t in einem d irek ten G eg en sä tze zu der ersten. A rb e ite te die erste m it g eo m etrisch en H iilfsm itteln , so is t der C ha
rak ter der zw e ite n der an a ly tisch e. Insofern w erden w ir uns vom p h ilo so p h isch en S tan d p u n k te m it d ieser zw e ite n P eriod e rein lich er au sein and er
setzen k önn en ; d ieU e b e r tr a g u n g der g ew on n en en R esu lta te a u f die erste P erio d e w ird dann n ich t sc h w er sein.
E s se i m ir g e s ta tte t, h ier ein k urzes R eferat a n zu fü gen über d ie B em erk un gen , d ie K lein an d iese z w e ite P erio d e k n ü p ft.
E r sie h t die B ed eu tu n g der Ile lm h o ltz ’schen A rb eiten vor allen D in g en d arin , d ass sie dem grösseren P u b lik u m b ek an n ter g ew o r d e n sin d als die A rb eiten A nderer.
„So k n ü p ft sich denn auch — h e iss t es — d ie p opu läre D isk u ssio n im K reise der N ich t- M athem atiker, der p h ilo so p h isch en F orsch er, der L eh rer, d ie für E lem en targeom etrie S inn und In te re sse haben, o h n e d o c h g e l e r n t e M a t h e m a t i k e r z u s e i n , fa st a u ssch lie sslich an d ie A rb eiten von H elm h oltz a n .“
1896. No. 4. Di e Gr e n z e z w i s c h e n Ph i l o s o p h i e u n d Ma t h e m a t i k.
E s w erden dann d ie G eleh rten in ihrer S te l
lu ngn ahm e zur N ich t-E u k lid isc h e n G eom etrie in vier G ruppen e in g e te ilt:
1 ) D i e O r t h o d o x e n d. h. die strengen A n hänger K an ts. A ls B e isp ie l w ird D t t h r i n g g e nannt, der b ek an n tlich ein en ergisch er G egner d er m etageom etrisch en U ntersu ch un gen ist.
E s lie isst dann: „D ie Z ahl der F orscher, d ie d iesen A n sich ten h uld igen , is t g a r n ich t g e ring. E s sin d vor allem so lc h e Männer, die sich im frühen A lte r an die A nsch au u n gen der E u k li
d isch en G eom etrie au ssch liesslich g e w ö h n t haben und nun im sp äteren A lte r n ich t m ehr E l a s t i z i t ä t g e n u g b e sitz e n , um sich in d ie neuen Id een der N ich t-E u k lid isch en G eom etrie h in ein zu d enken. D ie s e w issen dann gen au , dass die gan ze T h eorie U n sin n is t , ohne sie darum n o t
w e n d ig erw e ise überh aup t des N äheren zu k e n n e n .“
D ie A n m erk u n g , dass auch h ervorragende M athem atiker d erselb en A n sich t seien , dass z. B.
C ayley g e n e ig t sei, str e n g an den E u k lid isch en A xiom en festzu h a lte n , m ag K lein sch w er g e w o r den s e in , le g t aber ein hervorragend es Z eu gn is fü r die Ehrlichkeit, se in e r G esin n u n g ab.
2) D i e S k e p t i k e r . „S ie glau ben von grund ih res H erzen s n ich t an d ie N ic h t-E u k lid isc lie G eom etrie. S ie k önn en es sich n ic h t vorstellen , dass man u sw . S ie können aber die G ründe g eg e n das P arallelen axiom n ic h t en tk r ä ften .“
„ D ies is t w oh l g r ö s ste n te ils die A n sich t der G ym n asialleh rer.“ A ls B e isp ie l w ird B e e z an
gefü h rt.
D er U n tersch ied zw isch en d iesen beiden G ruppen der O rthodoxen und S k e p tik e r is t n ich t k lar; sie erscheinen gar n ich t als sc h a r f zu tren n ende G ruppen.
3) D i e R e z e p t i v e n d. h. w ese n tlic h die K om m entatoren von H elm h oltz. — B e is p ie l:
E r d in an n.
4) D i e E n t h u s i a s t e n . S ie en tsch eid en sich f ü r d ie N ich t-E u k lid isc h e G eom etrie, aber n ich t aus w isse n sc h a ftlic h e n G ründen, z . B . Z ö 11 n e r au f grund m eta p h y sisch er N eig u n g en für die e l l i p t i s c h e Raumform', da h ierb ei die A u s
d eh nu ng in s U n en d lich e um gan gen w ir d : oder C l i f f o r d aus ä sth e tisch en Gründen w eg e n des in der ellip tisc h e n G eom etrie v o llstä n d ig zur D u rch fü hrun g g ela n g en d en P rin zip s der D u a litä t.
Ich h offe, dass ich S ie m it d ieser ausführlichen A b sc h w e ifu n g n ic h t g e la n g w e ilt habe: m ir ist d iese S te lle in K leins ak adem ischen V orlesun
gen im m er von hervorragendem In te re sse g ew e sen und ich gla u b e annehm en zu dürfen, dass sie a ll
gem ein w e n ig b ek a n n t ist. A uch w erd e ich a u f j ein ig e P u n k te im V erlaufe der U n tersu ch u n g noch j zurückkom m en m üssen. E in er B em erk u n g zu | d ieser E in teilu n g , b eson ders zu der C harakterisie- ru n g der beiden ersten Gruppen en th alte ich m ich m it A b sic h t und w ill nur noch den S ch lu ss
satz an fü h ren : „Clifford allein von den an
gefü hrten Männern k en n t N ich t-E u k lid isc h e G eo
m etrie von Grund aus; die ändern vier haben zw ar davon reden hören und glau ben daher d ie B e re ch tig u n g zu haben, m itreden zu dürfen, das e ig e n tlic h e innre W esen und die stre n g m ath e
m atisch e B eh an d lu n g der N ich t - E u k lid isch en G eom etrie aber sind ih n en u n b ek ann t g e b lie b e n .“
D ie d r i t t e P e r i o d e is t durch das H in zu treten der p rojek tiven G eom etrie b ed in gt. A ls V ertreter seien C ayley und K lein gen an nt.
D a es n ich t m eine A b sich t sein kann au f das sp e z ie ll M athem atische unseres P rob lem s näher einzugehen, so w ill ich nach d ieser k urzen K enn
zeich n u n g des E n tw ick lu n g sg a n g es der M eta g eo m etrie im A n sch lu ss an einen ih rer b eru fen sten V ertreter a u f unsere H au p tfrage, zurückkom m en nach der G renze zw isch en P h ilo so p h ie und M athe
mati k.
D em u n b efangenen B e o b a c h ter m öch te es v ie lle ic h t m ü ssig er sc h e in e n , ein e so lc h e F rage ü berhaupt aufzuw erfen. D en n , w en n w ir uns die A u fgab en der P h ilo so p h ie und M athem atik v er g le ich en d vor A u gen stellen , so tr itt ein tiefer U ntersch ied zw isch en beid en W issen sch a ften zu ta g e : d ie P h ilo so p h ie forscht nach den Q uellen oder G renzen der E rk en n tn is, sie u n tersu ch t den Grad der B e re ch tig u n g unserer A n sich te n über E rfah ru n g und E rkenn tnis, kann aber nach ihrer gan zen N atu r se lb st gar kein e E rken n tn is in dem S inn e von T h atsach en der E rfahrung geb en ; w en ig sten s kom m t für u nsere F ra g e nur d iese S e ite der p h ilosop h isch en W issen sch a ft in b etrach t als erk en n tn isth eo retisch e oder b esser erk en n tn is
k ritisch e W issen sch a ft.
S ch a rf g eg en ü b er s te h t die M athem atik, an sich k ein e W ah rh eit über d ie Q uellen der E r
k en n tn is verm itteln d , sondern g e n ö tig t auf grund von b estim m ten , dem m en sch lichen G eiste in n e
w ohnenden E rk en n tn isq u ellen ihr sto lz e s G ebäude von E rk en n tn issen aufzurich ten. —- D as F u n d a
m ent le g t die P h ilo so p h ie durch ihre K ritik der [ E r k e n n tn is, den B au v o llen d et die M athem atik
; u n ter rein w isse n sc h a ftlic h e r A u sn u tzu n g d ieser F undam ente. A ber w en n so auch scheinb ar b eid e W issen sch a ften stren g von einander g e schieden s in d , so g e h t aus nnserin V ergleich so fo rt auch hervor, w ie man zur F ra g e der G ren z
b estim m u n g zw isch en beid en W issen sch a ften g e kom m en ist.
W o h ört das F u n dam ent auf, w o b eg in n t der Bau ? D a m it is t unsere F rage g e s te llt.
N un w erden a llgem ein zw e i Q u ellen unserer E rk en n tn is anerkannt: an der einen zu zw eifeln , ihre B e re ch tig u n g zu le u g n en — is t b is h eu te noch niem andem e in g e fa llen : m an w ürde jed en für verrü ck t erklären, der d iese S e ite unserer E rk en n tn is auch nur m it dem g er in g ste n Z w e ife l b eflecken w o llte : d iese Q uelle is t das D en k en
— oder um durch einen P leon asm u s die S ache
S . 5 4 . l 'i V T K R R I C H T S B L Ä T T K R . 1 8 9 6 . N o . 4 .
d eu tlich er zu m achen — die lo g isch en G esetze unseres D en k en s. S ie g e lte n u nw id ersproch en : das G esetz der Id en titä t, des W id ersp ru ch s, des au sg esch lo ssen en D ritte n ein e r se its, das G esetz vom Grunde und das K a u sa lg e setz an dererseits.
A lle E rk en n tn is, die aus d ieser Q uelle fliesst, w ird u n b estritten als rich tig anerkannt. U n ter
suchen w ir aber d iese S e ite unseres E rkenn en s, so kom m en w ir im m er w ied er zurück a u f die W a h rh eit, die schon K an t in v oller D e u tlic h k e it
— w enn auch m it anderen W orten — a u sg e
sp rochen : all unser D en k en is t in h a ltlo s, erst die z w e ite Q uelle u nseres E rkenn en s g ie b t diesem D en k e n den I n h a lt : d ie A nschau u ng. So s a g t auch L ie b m a n n : E s g ie b t k ein sch öp ferisch es D en k en . D as w as w ir nach den G esetzen unseres D en k en s verkn ü pfen , sei es nach dem S a tz e der Id e n titä t oder nach dem G e setze der K au salität, m uss uns g eg eb en sein durch die A n sch au u n g, d ie z w e ite Q u elle unseres E rkenn en s.
W ährend nun — w ie g e s a g t — d ie G esetze des D en kens von k ein er S e ite W id ersp ru ch er
fahren haben, ja gan z g e w iss jem and, der sie im E rn st a n zu zw eifeln w a g te , als r e if fiir’s Irrenhaus an gesehen w erd en w ürde, is t es der A nschau u ng, der g le ich w er tig e n zw e ite n Q uelle unserer E r
k e n n tn is, n ich t so g u t g e w o r d e n : man erk en n t zw ar D e n k n o t w e n d i g k e i t e n an, aber k ein e A n s c h a u u n g s n o t w e n d i g k e i t e n : ob gleich sie — und das sp rech e ich mit. v o lls te r U eb erzeu g- ung aus, w en n sich dadurch auch n och ein e fü n fte G ruppe der g a n zT h ö rich te n n ö tig m achen s o llte — gan z eb en so b e r e c h tig t sin d , als d ie D en k n o t
w en d ig k e ite n .
D ie A n sc h a u u n g sn o tw e n d ig k eit aber b e ste h t darin, dass etw a s in der S in n es- und P h a n ta sie- A n sch au u n g b ild lich n o tw e n d ig v o r g e ste llt w e r den m uss, w e il d essen A u fh e b u n g — oh ne b e
grifflichen W id ersp ru ch zu erzeu gen — unserem A n sch au u n gsverm ögen sch le ch te rd in g s n ich t g e lin gen w ill, fo lg lic h m it der O rganisation d ieses V erm ögens unvereinb ar ist.
So is t d ie gerad e L in ie z. B . doch gar k ein e E rfa h ru n g ssa ch e, son dern eine A b stra k tio n , ein Idealb egriff. N iem and h at j e ein e G erade g e se h e n : da, w o w ir sie zu sehen glau b en , bringen w ir den in unserem D en k en und reinen A n schau en geb orenen B e g riff hinzu. N ur d iesen verw en d en w ir als E lem en t in der M athem atik.
E in e s ist. es, w as d iese A n sch au u n gsn otw en - d ig k e iten in M issk red it geb rach t hat, das sind d ie sogen an n ten S in n estä u sch u n g en . A ls w en n die äussere A n sc h a u u n g , das Sehen, m it der inneren A n sch au u n g e tw a s anderes gem ein h ä tte als den N am en. Im U eb erm ass p h ilosop h isch er W e ish e it hat man se lb st durch solch e V er
w ech slu n g en das A nsehen der inneren A n sch au u n g untergraben. Und doch sin d es g e rade d iese an sch au lich en B ezeich n u n g en innerer V o r g ä n g e , die von der a llergrössten B e d e u
tu n g für ihr V erstän d nis sind. H at denn die P h ilo so p h ie v e r g e sse n , dass das sto lz e W o r t
„ b eg re ifen “ n ich ts anderes is t als ein B ild , en t
nomm en der E rfahrung, die uns der T astsin n v e r m itte lt? W e r aber d en k t w oh l n och bei diesem W o rte an seinen u rsp rü nglich en Sinn?
J a , da w ird er v er g essen ! A ber d ie A n sch au u n g so ll etw as rein äu sserlich es, z u fä llig e s sein : immer w ied er treten da V erw ech slu n gen ein zw isch en S eh en und A n sc h a u u n g , g erad e als w en n T asten und B egreifen d asselb e w äre.
E s fä llt m ir liier ein e fein e B em erk u n g von H elm h oltz ei n, der s a g t , für r e e l l m ü sse man sa g en w i r k l i c h , denn es h and le sich dabei um d a s , wa s auf uns w i r k t , n ic h t um r e s, um D in g e. W ie h ier die. E ty m o lo g ie des W o rte s zu ein er w ah rh aft stu p en d en W ah rh eit g efü h r t hat, so m uss auch d ie E n tste h u n g der W o rte „b e
g r e ife n “, „an sch au en “ uns zu ihrem w ahren V er
ständ nis h in fü h ren , der aber liier g erad e in der V er tiefu n g der A u ffassu n g und in der A bk eh r von dem u rsp rü n glich en äu sserlich en S in n e b e steh t.
U nd nun m öch te ic h noch einm al zu rück- koinm en a u f d ie S in n estäu sch u n gen . L ie g t denn n ic h t gerad e d arin , dass w ir gan z allg em ein m en sch lich gen au w is s e n , w o w ir S in n estä u schu ngen u nterw orfen sin d, dass w ir n ich t nur d ie Q uellen lind M ö g lich k e iten d ieser S in n es
täu sch u n gen k e n n e n , n e in , dass w ir sie ganz gen au nach G esetzen fixieren könn en , lie g t n ich t g erad e hierin — fra g e ic h — der allersich erste B e w e is für d ie U n a n fech tb a rk eit der r e i n e n A n sch au u n g, w ie w ir sie le id e r n och im m er b e
zeichn en m ü sse n , um je d e V erw ech slu n g m it dem S eh en — der äu sseren A n sch au u n g — aus- zu sc h liesse n ?
L ie g t n ich t gerad e h ierin eine der stä rk sten S tü tz en für d ie E x iste n z der A n sch au u n gs n o t - W e n d i g k e i t e n ?
D enn w as sin d S in n estäu sch u n gen anders, als W ah rn eh m u ngen resp. M itteilu n g en unserer S inn e, die m it der reinen A n sch au u n g n ich t über
ein stim m en : den A n s c h a u u n g s n o t w e n d i g k e i t e n w id ersp rech en , d ie w ir w ie d ie G esetze d es D en k en s a priori in uns haben ? L ie g t n ich t gerad e hierin ein B e w e is d afü r, dass d ie von u nseren S innen g eliefer ten W ah rn eh m u ngen von uns n ich t u rteilslo s aufgenom m en w er d e n , so n dern dass etw a s in uns i s t , das 11115 d ie W a h r
nehm ungen als rich tig oder falsch b eu rteilen lä ss t? D ieser in n ere G e setzg eb er is t tran szen d en tal, von der E rfah ru n g u n ab hän gig.
W a h rlich man s o llte v e r z w e ife ln , d ass der
s e lb e , der d ie D e n k n o tw e n d ig k e it e n als un
v er le tz lic h e s G esetz an sieh t, d ie A n s c h a u u n g s - n o tw e n d ig k e ite n le u g n e t, ja sich a n m a sst, über d iese A n sch a u u n g sn o tw en d ig k eiten erhaben zu sein , sie zu erklären als ein e A n g ew ö h n u n g , aus der herauszukom m en uns d ie B e q u em lic h k eit
1 8 9 0 . No. 4 . D i e G r e n z e z w i s c h e n P h i l o s o p h i e u n d M a t h e m a t i k . S. 5 5 .
oder ein u n g ew ö h n lich es Mass von B e sch rä n k t
heit. verhinderte.
D er B e g riff der A n sc h a u u n g sn o tw e n d ig k eit is t einer der w ic h tig ste n für unsere F r a g e ; rich
tig a u fg e fa ss t, fü h rt er uns h inü ber von der E n d lic h k e it zur E rk en n tn is des U n en d lich k lein en w ie des U n en d lich grossen . In ihm k r y sta llisier t sich das W esen der r e i n e n A nschau u ng.
So füh rt uns die V o rstellu n g z w e ier Geraden in k on stan tem A b stan d e n o t w e n d i g zur V or
ste llu n g des P arallelism u s auch ausserhalb der G renzen des E n dlich en .
D ie A n sch a u u n g sn o tw en d ig k eiten b ezieh en sich a u f die den id ealen B egriffen adaequaten E r k e n n tn isse , also n ich t au f a n gesch au te G e
raden, sondern au f b egrifflich e Geraden.
M ögen d och die L eu gn er der A n sch au u n gs
n o tw en d ig k e iten uns einm al exp erim en tell die R ic h tig k e it ihrer A n sich ten b ew eisen . G ebe doch einer sein en Ju n gen als V ersu ch sob jek t her, lass ih n von an fan g an in der A n sich t auferziehen, d ass die A n sc h a u u n g sn o tw e n d ig k eiten Z u fä llig k e ite n seien , h elfe er ihm d och über d ie Schran
k en der A n sch au u n g der M ehrheit der M enschen h in w e g : oder v ie lle ic h t e ig n e t sich zu diesem E xp erim en t ein E in geb oren er unserer K olon ien b e sse r , w o man ja, w ie es s c h e in t, u nter dem E influ ss der T ropensonn e le ich ter im stand e ist, so n st an erk an nte S chranken zu ü b ersteigen .
Und dann führe er uns d ieses von den S ch ran ken m en sch lich er A n sch au u n g sy stem a tisch b e
fre ite Individuum v o r: einen so lch en experim en
te lle n B e w e is k ön n en alle die verla n g en , denen von den ein z ig w ahren V ertretern der N ich t- E u k lid isclien G eom etrie ihre B e sch rä n k th eit vor
g ew o rfen wird. E lie er uns aber g e lie fe r t ist, m ögen die U eb erm en sch en , denen v er g ö n n t ist, sich über die S chranken m en sch lich er A n sch au u n g h in w e g zu setze n , uns armen anderen S terb lich en vergönn en , d ass w ir uns in unserer d rei
d im ensionalen ebnen H a u t v ö llig w oh l fühlen.
Z u nächst also g ilt als T h a tsä ch e: d ie D e n k - n o tw en d ig k e iten w erden von k ein em b estritten , d ie A n s c h a u u n g s n o t w e n d i g k e i t e n sollen ein Opfer m ath em atisch er A n a ly se w erden, d ie doch n ie im S tan de is t oder sein w ir d , uns eine Er- k en n tn iss über d ie Q uellen unseres W isse n s zu geben.
E in anderer liier zu erörternder Punkt, ist fo lg e n d e r :
In sehr v ielen geom etrisch en L ehrbüchern fin d et man an der S p itze ein e R eih e von sog.
G rundsätzen a u fg e ste llt, u n ter dem T ite l: Grund
sä tze der allgem ein en G r ö ssen leh re, die in der P lan im etrie A n w en d u n g finden.
D ie s e G run dsätze der allgem ein en Grüssen- lelire m üssen en d lich einm al e n d g ü ltig aus dem Gebiet, der M athem atik herau sgew orfen w erden:
sie sin d gar k ein e 111 a t li e m a t i s c h e n Grund
s ä tz e , sondern n ich ts anderes als ein e A n w en
dung der l o g i s c h e n G esetze von der Id en titä t, dem W id erspruche, dem S atze vom a u sg esc h lo s
senen D r it te n , d ie sc h liesslich alle sich -redu
zieren auf den S atz der Id en titä t. W ir haben es-h ier m it G esetzen zu thun, d ie dem rein p h ilo sop h isch en G eb iete angehören. A lle d iese sog.
G rundsätze der allgem ein en G rössen lehre e n t
sp rin gen der einen Q uelle unserer E rk en n tn is, dem D en k en . U nd u n b estritten w ie die Q uelle, eb en so u nb estritten sind d ie in ihr w urzelnd en G esetze. Vor ihnen macht, se lb s t der sk ep tisch - te s te Ueberm ensch eh rfu rch tsvoll H alt.
W aru m ? J a ! h ier is t jed em ganz k la r , dass irgen d eine E rk en n tn is u nm öglich ist, w enn n ich t d ie W a h rh eit, die E x iste n z d ieser D en k g e se tz e an erk an nt sind, w enn n ich t die D e n k g e se tz e als D e n k n o t w e n d i g k e i t e n anerkannt w erden.
Man versu ch e doch einm al einen A ufbau au f grund d es G esetzes A ist g le ich non — A . —
Jederm ann la c h t über solch e K ap riolen ! Und die A n sc h a u u n g sn o tw e n d ig k eiten ? !
Ja, das is t gan z etw as anderes. H ier sträu b t sich der erhabene M en sch en geist ein ig er U eb er
m enschen, die von der N atu r g e z o g en en Sch ran ken anzuerkennen, hier g ilt k ein a priori: E r
fahrung — die gar k ein G egen satz zum a priori
— is t der Sch lach truf.
U nd doch w ird ja als a priori nur das er
kannt, w as w ir se lb st in die D in g e legen , näm lich d ie a llgem ein e G esetzlich k eit der E rfahrung, w o b e i E rfahrung w o h l zu u ntersch eid en is t von W ah rn eh m u ng oder Em pfindung. E rfahrung se lb st ist tran szend en tal insofern, als sie die durch d ie G e setzm ä ssig k eit des D en k en s g elä u ter te und zerg lied erte W ah rn eh m u ng ist.
U nd nun gar die m ath em atisch en B egriffe, die gar n ich t B ild e r von G egebenem sind, son dern rein w illk ü rlich v o n u n s k o n stru ie rt, g e se tz - m a ssig k on stru iert, denen in der W ir k lich k e it gar n ich ts en tsp rich t, ja gar n ich ts entsprechen k a n n.
S ie sin d G eist von unserm G eist.
A lso den A n seh a u u n g sn o tw en d ig k eiten g e- j gen ü b er w ird das B an ner der E rfah ru n g en tro llt.
A ls w enn n ich t h ie r , w ie ü b erall, die W elt m it B rettern zu g en a g elt w ä re , au f denen m it grossen B u ch stab en s t e h t : Ig n o r a b im u s! W o d iese W an d s t e h t? D i e F rage ist irrelevan t geg en ü b er der G ew issh eit, dass die W an d da ist.
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M öge es dem m en sch lich en G eiste g elin g e n , sie m ö g lic h st w e it h inau szu sch ieb en , es g ie b t keinen S te r b lic h e n , der das in n iger w ü n sch en k ön n te als ich. A ber eb en so u n b ed in gt m uss zu gestau d en w er d e n , d ass sie da ist und dass sie durch die L e u g n u n g der A n sch a u u n g sn o tw en d ig k eiten auch n ic h t um ein noch so k lein es S tü c k von ihrem P la tze g er ü c k t wird.
A b er es g ilt n a ch zu w e ise n , w as die V eran
la ssu n g w u rd e, dass die M athem atik ihre G ren
zen u n rech tm ässig überschritt, dass E in zeln e be-
S. 56. U N T K R R J E H T S B L Ä T T E R . 1896. No. 4.
lu m p te n , die Sch ran ken der A n sch au u n g über
stieg e n . zu haben und v e r la n g e n , w ir so llen es ih n en g le ic h thun.
D er erste, der au f die F ra g e der M öglich k eit von anderen A n schau u ngen als den u nserigen näher e in g in g , w ar H e lm h o ltz, da er se in e b e
rühm ten F lä c h e n w ese n schuf, von denen es h e iss t:
D en k en w ir uns — d a r i n l i e g t k e i n e l o g i s c h e U n m ö g l i c h k e i t — v erstan d b egab te W esen von nur zw e i D im en sion en , d ie innerhalb ihrer Oberfläche W ah rn eh m u ngen ä h n l i c h d e n u n s e r e n m achen.
Sch on im ersten B an de m einer vergl. P la n i
m etrie k on n te ich d agegen die E in w en d u n g m achen, dass d iese F lä ch en w esen gar k ein e a llg e m ein zw eid im en sio n a le W e se n sein können, sondern an das G esetz ihrer F lä ch e gebunden sind. In solch en A n a lo g ieen sin d d ie N ich t-E u - k lid ik e r bei w eitem korrekter.
H e u te g e lte n ern eu te E in w en d u n gen dem P h i 1 o s o p h e n H elm h oltz. E r s a g t a lso : D en ken w ir uns — darin lie g t k ein e lo g is c h e U n m ög
lic h k e it —
W a s in aller W e lt h at h ierm it die L o g ik zu th u n , die sich m it den G esetzen des D en k en s, m it der B ild u n g der B egriffe, m it der V erkn üp f
u n g der B egriffe zum U r t e il, der U rteile zum S ch lu ss b e s c h ä ftig t? M it dem : „hierin lie g t k ein e lo g isc h e U n m ö g lic h k e it“ is t also gar n ich ts g e sa g t. D ieser Z u satz is t aber g e e ig n e t , beim L eser den A nschein der R ic h tig k e it für d ie g e - ; ford erte A nnahm e zu erw eck en , einen m öglich en i E in w a n d im voraus zu b ese itig en , der vom p h i
lo so p h isch en S tan d p u n k te aus gar n ich t gem ach t w erd en kann und- d eshalb auch n ich t gem ach t w erd en so llte . D en n och finden w ir auch b ei \ P h ilo so p h e n etw a fo lg en d e s R aison n em en t: „Ein N ich t-E u k lid isc h e r R aum als gar k ein en begriff- j lie h e n W id ersp ru ch e n th a lte n d , vielm eh r 1 o - I g i s c h der allgem ein ere F a l l , k a n n , ob w oh l j
n ich t anschaubar, g e d a c h t w e r d e n “, w o b e i als j
Z usatz ste h t: „ D e n k e n h e isst liier nach lo g i- I schein S prachgebrauch, etw a s dem B eg riffe nach als w id ersp ru ch slo s, m ith in als lo g is c h m öglich erkennen ganz u n ab h än gig von der M ö g lich k eit der A n sch au u n g.“
D a ss dam it aber jed er G ew inn für u nsere E r
k en n tn is a u sg esc h lo ssen ist, w ird übersehen.
N o ch grösseres B ed en k en aber als die lo g isc h e M ö g lich k e it er w e c k t der eb en sch on g e s tr e ifte A u sd ru ck „Man d en ke s ic h .“
W as m it d iesem W orte schon fiir U n fu g g e trieben w ord en is t , ist gar n ich t zu sagen. Es w ird deshalb lehrreich se in , d ieses „Man d en ke s ic h “ einm al a u f sein en w ahren W er t zu prüfen, j
E s w ird — das w ird w o h l N iem and leu gn en
— m it d iesem W o r t von unserem D en k en eine P r o d u k tiv itä t v erla n g t, u nser D en k en so ll etw a s j N eu es, nie D a g e w e se n e s produzieren, z. B. man
d en ke sich z w e i G eraden sc h n itte n sich in drei P u n k ten .
W o h er nim m t unser D en k en d ies N eu e? D och n ich t etw a aus einem a priori vorhandenen S c h a tz e , denn w as g ie b t es auch für H elm h oltz V erp ön teres als ein a priori, w en n es sich um den In h a lt des D en k en s h an d elt und n ich t um sein e G esetze. Also, b le ib t nur d ie A n sc h a u u n g ! „Man d en ke s ic h “ h e isst also n ich ts anderes als „Man ste lle sich anschaulich v o r “ ; und w o h er nehm en w ir d iese V o rstellu n g ? aus der A nschau u ng.
Ohne h ier a u f das D en k en p h ilo so p h isch
| n och näher e in z u g e h e n , so ll nur so v ie l erinnert I w e r d e n : D en k e ich m ir etw a s oh ne R ü ck sich t
| au f g elä u ter te A n sc h a u u n g , so kann ich le ic h t j etw a s W id er sin n ig e s d en k e n , z. B . dass der
; H im m el w irk lich ein e b lau e G la sg lo ck e m it s il
bernen N ägeln w äre.
M ath em atisch b ezeich n en w ir das D en ken am rich tig ste n , w en n w ir es als das A g en s beim B ild en der G renzbegriffe b etrach ten , und in sofern sc h lie sst sicli w ied er u nsere E rörteru n g zur r e i n e n A n sch au u n g. D urch D en k en w ird die A n sch au u n g zum B egriffe g e lä u te r t; d ie B egriffe aber sin d der G egen stan d des sp ek u la tiv e n D en ken s und geh ören der P h ilo so p h ie an.
E s is t ein gar gefä h rlich es W o rt, d ieses „Man d en ke s ic h “, es h at etw a s so b estric k e n d es; jed er is t g e n e ig t, so fo rt zu zu g e b e n , d ass es m öglich ist, sich etw as zu den ken, z. B . dass m orgen die W e lt u n tergeh t.
A b er w ird m it solchem D en k e n denn das G erin gste für unsere E rk en n tn is g ew o n n e n ?
U n d w arum kann ich m ir denn dann n ich t auch W esen d e n k e n , b ei denen der S atz der Id e n titä t n ich t g ilt , d a s i s t a u c h k e i n e l o g i s c h e U n m ö g l i c h k e i t . S o lch e W esen sin d e b en so g u t denkbar, als F lä ch en w esen .
U nd d iesen F lä c h e n w ese n le g t nun H elm h oltz w eiterh in d ie E ig e n sc h a ft b e i, d ass sie innerhalb ihrer F lä c h e W ah rn eh m u ngen m achen:
ä h n l i c h d e n u n s e r e n . W a s so ll das b ed eu ten ?
E n tw e d e r sie m achen ihre W ah rn eh m u ngen au f grund d e r s e l b e n A n sch au u n gsn otw en d ig- k e ite n w ie w ir und verkn ü pfen sie nach d e n s e l b e n lo g isch en G esetzen w ie w ir: dann sin d sie uns g le ic h ; oder d iese V orau ssetzu n gen g e lte n nicht-, dann sin d sie von uns v ersch ied en — aber durchaus n ich t äh nlich , das g ie b t es n ich t, so n dern im G e g e n te ile , s ie steh en dann m it ihrer gan zen E rk en n tn is im s t r i k t e s t e n G e g e n s ä t z e zu uns.
So sehen w ir , dass d erartige F ik tio n e n bei so r g fä ltig e r P rü fu n g sic h als v ö llig w er tlo s für er k e n n tn isth eo r etisc h e U n tersu ch u n g er
w eisen .
G enau d asselb e aber gilt- für den R aum : dass es k ein e lo g is c h e U n m ö g lic h k e it ist, ein en m ehr
dim en sion alen oder N ic h t-E u k lid isc h e n R aum zu
