Wykorzystanie aproksymacji pola pod wykresem funkcji przynależności zmiennej liniowego równania różnicowego do rozwiązania problemu odwrotnego w arytmetyce rozmytej

Pełen tekst

(1)Zeszyty Naukowe nr. 770. Uniwersytetu Ekonomicznego w Krakowie. 2009. Wit Urban Katedra Informatyki. Wykorzystanie aproksymacji pola pod wykresem funkcji przynależności zmiennej liniowego równania różnicowego do rozwiązania problemu odwrotnego w arytmetyce rozmytej Streszczenie. Artykuł stanowi omówienie problemu odwrotnego w działaniach arytmetyki rozmytej w kontekście możliwych korzyści praktycznych związanych z poszukiwaniem niewiadomych w przestrzeni rozmytych liczb rzeczywistych, stanowiących argumenty takich operacji. Jedną z propozycji rozwiązania tego zagadnienia dostarcza możliwość wykorzystania aproksymacji wykładniczej pola pod wykresem funkcji przynależności zmiennej liniowego równania różnicowego. Z tego też względu niezbędna jest konwersja działania arytmetyki rozmytej do postaci wskazanego równania. Jest to szczególnie możliwe w odniesieniu do sumy i iloczynu rozmytego. Opracowanie zawiera prezentację podejścia opartego na wykorzystaniu oszacowania wspomnianego pola dla nieznanego argumentu operacji rozmytej do wyznaczenia jego wartości w przestrzeni rozmytych liczb rzeczywistych. Słowa kluczowe: arytmetyka rozmyta, rozmyte szeregi czasowe.. 1. Wstęp Jednym z istotnych problemów arytmetyki rozmytej jest zagadnienie działań odwrotnych. Jego przezwyciężenie może mieć także znaczenie praktyczne ze względu na jego związek z wyznaczaniem niewiadomych charakterystyk należą-.

(2) Wit Urban. 178. cych do przestrzeni rozmytych liczb rzeczywistych. Celem artykułu jest prezentacja pewnej koncepcji rozwiązania wymienionego problemu. Jej idea opiera się na transformacji działania arytmetyki rozmytej do postaci modelu matematycznego wykorzystującego liniowe równanie różnicowe z rozmytymi rzeczywistymi zmienną i parametrem. Głównym założeniem tej operacji jest wykorzystanie możliwości, jakie daje aproksymacja wykładnicza pola pod wykresem funkcji przynależności w autoszeregu czasowym wygenerowanym na podstawie wspomnianego modelu. Dla uzyskania właściwej prezentacji omawianego podejścia do problemu odwrotnego arytmetyki rozmytej przyjęto następujący układ artykułu. Pierwsza jego część stanowi wprowadzenie do pojęć i definicji wykorzystywanych w dalszym ciągu opracowania, w drugiej natomiast został przedstawiony problem działań odwrotnych. Kolejna część artykułu stanowi wprowadzenie do proponowanej w nim metody rozwiązania wymienionego zagadnienia w drodze konwersji sumy lub iloczynu rozmytego do liniowego równania różnicowego. Został też omówiony algorytm aproksymacji wykładniczej dynamiki pola pod wykresem funkcji przynależności zmiennej takiego równania. Opracowanie kończy prezentacja metody opartej na wspomnianej aproksymacji wyznaczania wyników działań odwrotnych traktowanych jako niewiadome operacji wyjściowych. 2. Podstawowe pojęcia arytmetyki rozmytej Arytmetyka rozmyta stanowi rozwinięcie teorii zbiorów rozmytych poprzez wprowadzenie pojęcia funkcji przynależności do przestrzeni numerycznych oraz wynikających z tego konsekwencji dla klasycznych definicji działań arytmetycznych. Jeśli chodzi o wspomniane uzupełnienie przestrzeni liczbowych o określone dla nich funkcje przynależności, to pozwoliło ono na zdefiniowanie podstawowych terminów związanych z argumentami operacji arytmetycznych, a więc całkowitej liczby rozmytej oraz rzeczywistej liczby rozmytej. Ze względu jednak na zakres tematyczny artykułu koncentrujący się wokół drugiego rodzaju liczb rozmytych tylko ich definicja zostanie tutaj przytoczona.. Definicja 2.1. [Zadeh 1965]. Rozmyta liczba rzeczywista jest zbiorem rozmytym w przestrzeni R mającym ciągłą funkcję przynależności μα oraz spełniającym warunek wypukłości:. μ α (y) ≥ μ α (x) ∧ μ α (z). ∀x, y, z ∈ R, y ∈ [x; z] . (2.1). Klasę rozmytych liczb rzeczywistych oznacza się z kolei często jako N(R). W literaturze występuje także określenie rozmytej liczby rzeczywistej nieżądające spełnienia warunku wypukłości funkcji przynależności [Chang, Chow,.

(3) Wykorzystanie aproksymacji pola…. 179. Chang 1984]. Ponadto w większości publikacji powyższa definicja jest uzupełniana o warunek normalności zdefiniowany w następujący sposób.. Definicja 2.2. [Kaufmann, Gupta 1985]. Zbiór rozmyty A ∈ P(X), gdzie P(X) oznacza klasę wszystkich zbiorów rozmytych w przestrzeni X, nazywamy normalnym, jeżeli. ∃x ∈ X μA(x) = 1.. (2.2). ∀x ∈ X μA(x) < 1,. (2.3). Jeżeli. to zbiór A nazywamy podnormalnym, subnormalnym. Przedstawiona definicja rzeczywistej liczby rozmytej stanowi wprowadzenie do zagadnień arytmetyki rozmytej. Ta część teorii zbiorów rozmytych związana z działaniami arytmetycznymi na liczbach rozmytych, została oparta na wykorzystaniu zdefiniowanej przez L.A. Zadeha [1965] zasady rozszerzenia.. Definicja 2.3. Niech f będzie odwzorowaniem X1 × … × X n → Y, takim że y = f(x1, …, xn); y ∈ Y, xi ∈ X i ∀ i ∈ Nn oraz niech Ai ∈ P(X)∀ i ∈ Nn. Iloczyn kartezjański A1 × … × An przekształcany jest zgodnie z odwzorowaniem f w zbiór rozmyty B ∈ P(Y) określony funkcją przynależności: ⎧ ⎪⎪ μ B (y) = ⎨ ⎪ ⎪⎩. sup. x1 ∈ X 1 , …, xn ∈ X n y = f ( x1 , …, xn ). (. ). min μ A (x1 ), …,μ A (xn ) dla f −1 (y) ≠ ∅ 1. n. ∀y ∈ Y . (2.4). dla f −1 (y) = ∅. 0. Zasada ta pozwala znajdować rozmyte odpowiedniki nierozmytych odwzorowań poprzez zastąpienie koncepcji skalarnie określonej zmiennej podejściem, w którym występuje zbiór stopni przynależności, odpowiadających poszczególnym potencjalnym jej wartościom. Tak więc na podstawie powyższej definicji można określić podstawowe operacje arytmetyczne na liczbach rozmytych [Klir, Pan 1998]. Podane one zostaną również wyłącznie dla klasy rozmytych liczb rzeczywistych z wymienionego wcześniej powodu. Definicja 2.4. Zakładając, że A i B ∈ N(R), oraz przyjmując:. a) f(x1, x2) = x1 + x2 dla operacji dodawania A + B ∈ N(R),. (. ). μ A+ B (y) = sup min μ A (x1 ), μ B (x2 ). x1 , x2 ∈ R y = x 1 + x2. ∀y ∈ R ;. (2.4).

(4) Wit Urban. 180. b) f(x1, x2) = x1 – x2 dla operacji odejmowania A – B ∈ N(R),. (. ∀y ∈ R ;. ). μ A– B (y) = sup min μ A (x1 ), μ B (x2 ). x1 , x2 ∈ R y = x 1 – x2. c) f(x1, x2) = x1 · x2 dla operacji mnożenia A · B ∈ N(R),. (. ∀y ∈ R ;. ). μ A ⋅ B (y) = sup min μ A (x1 ), μ B (x2 ). x1 , x2 ∈ R y = x 1 ⋅ x2. (2.6). d) f(x1, x2) = x1/x2, x2 ≠ 0 dla operacji dzielenia A/B ∈ N(R), μ A /B (y) = sup. (2.5). min μ A (x1 ), μ B (x2 ). x1∈ R, x2∈ R – {0} y = x 1 /x2. (. ). ∀y ∈ R .. (2.7). Jak wynika z powyższej definicji jednym z podstawowych problemów dotyczących działań arytmetyki rozmytej jest ich implementacja praktyczna w formie algorytmów numerycznych. W wypadku obliczeń, których wyniki prezentowane są w niniejszym opracowaniu, zastosowano rozwiązanie zaproponowane przez W. Urbana [1999]. Konsekwencją tego wyboru było wykorzystanie wierzchołkowo-liniowej reprezentacji funkcji przynależności tej klasy liczb rozmytych. Polega ona na aproksymacji dowolnej postaci takiej funkcji za pomocą złożenia funkcji liniowych. W ten sposób do zapisu rzeczywistej liczby rozmytej wystarcza zbiór wierzchołków jej funkcji przynależności. Jego notacja, będąca zarazem określeniem związanej z nim takiej właśnie liczby, może wówczas przyjąć następującą postać ([Urban 1999]), nawiązującą do formuły zaproponowanej pierwotnie dla zbiorów rozmytych ([Zadeh 1965]). n. A ∈ N (R) ⇒ A = ∑ ~ μ A (xi ) / xi i =1. xi ,μ A (xi ) ∈ R,. (2.6). gdzie μ A(x) oznacza funkcję przynależności liczby A. 3. Zagadnienie działań odwrotnych w arytmetyce rozmytej Innym ważnym zagadnieniem dotyczącym operacji arytmetycznych na rzeczywistych liczbach rozmytych jest problem działań odwrotnych. Jak łatwo zauważyć na podstawie przedstawionych definicji tych działań. a+b= c⇒c−a≠b∧c−b≠ a a · b = c⇒c/a ≠ b∧c/b ≠ a a, b, c ∈ N (R). . (3.1).

(5) Wykorzystanie aproksymacji pola…. 181. Dla zilustrowania tego faktu może posłużyć prosty przykład wykorzystujący trójkątne rzeczywiste liczby rozmyte. ( ~ 0 /1 + ~ 1 / 2 + ~ 0 / 3) + ( ~ 0 / 2 + ~ 1 / 3 + ~ 0 / 4) = ( ~ 0 / 3 + ~ 1 / 5 + ~ 0 / 7) ⇒. ( ~ 0 / 3 + ~ 1 / 5 + ~ 0 / 7) − ( ~ 0 /1 + ~ 1 / 2 + ~ 0 / 3) = ( ~ 0 / 0 + ~ 1 / 3 + ~ 0 / 6) ∧ ( ~ 0 / 3 + ~ 1 / 5 + ~ 0 / 7) − ( ~ 0 / 2 + ~ 1 / 3 + ~ 0 / 4) = ( ~ 0 / −1 + ~ 1 / 2 + ~ 0 / 5). (3.2). ( 0 / 2 + 1 / 4 + 0 / 8) · ( 0 /1 + 1 / 2 + 0 / 4) = ( 0 / 2 + 1 / 8 + 0 / 32) ⇒ ~. ~. ~. ~. ~. ~. ~. ~. ~. ( ~ 0 / 2 + ~ 1 / 8 + ~ 0 / 32) / ( ~ 0 / 2 + ~ 1 / 4 + ~ 0 / 8) = ( ~ 0 / 0, 25 + ~ 1 / 2 + ~ 0 /16) ∧. ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ( 0 / 2 + 1 / 8 + 0 / 32) / ( 0 /1 + 1 / 2 + 0 / 4) = ( 0 / 0, 5 + 1 / 4 + 0 / 32) Podobna sytuacja występuje także w odwrotnym przypadku.. a−b= c⇒c+b≠ a a/b = c⇒c · b ≠ a. a, b, c ∈ N (R).. (3.3) . Potwierdzeniem tej sytuacji może być także wcześniejszy przykład.. ( ~ 0 / 3 + ~ 1 / 5 + ~ 0 / 7) − ( ~ 0 /1 + ~ 1 / 2 + ~ 0 / 3) = ( ~ 0 / 0 + ~ 1 / 3 + ~ 0 / 6) ⇒. ( ~ 0 / 0 + ~ 1 / 3 + ~ 0 / 6) + ( ~ 0 /1 + ~ 1 / 2 + ~ 0 / 3) = ( ~ 0 /1 + ~ 1 / 5 + ~ 0 / 9). (3.4). ( ~ 0 / 2 + ~ 1 / 8 + ~ 0 / 32) / ( ~ 0 /1 + ~ 1 / 2 + ~ 0 / 4) = ( ~ 0 / 0, 5 + ~ 1 / 4 + ~ 0 / 32) ⇒. ( ~ 0 / 0, 5 + ~ 1 / 4 + ~ 0 / 32) · ( ~ 0 /1 + ~ 1 / 2 + ~ 0 / 4) = ( ~ 0 / 0, 5 + ~ 1 / 8 + ~ 0 /128).. . Komplikuje to kwestię poszukiwania niewiadomych rzeczywistych wielkości rozmytych w wypadku, gdy znany jest wynik działania arytmetycznego oraz jeden z argumentów. Dla rozwiązania tego problemu można wykorzystać różne metody. Propozycja jednej z nich, stanowiąca przedmiot prezentacji w artykule wiąże się ze specyfiką pola pod wykresem funkcji przynależności zmiennej liniowego równania różnicowego zdefiniowanego w przestrzeni rozmytych liczb rzeczywistych.. xt +1 = axt + b xt , xt +1 , a, b ∈ N(R). . (3.5).

(6) Wit Urban. 182. 4. Aproksymacja wykładnicza pola pod wykresem funkcji przynależności zmiennej liniowego równania różnicowego Jednym z istotnych wniosków, jakie można wyciągnąć z analizy rezultatów eksperymentów symulacyjnych z modelami opartymi na liniowych równaniach różnicowych w przestrzeni rozmytych liczb rzeczywistych, jest możliwość aproksymacji dynamiki pola pod wykresem funkcji przynależności w wygenerowanych w ten sposób rozmytych autoszeregach czasowych, za pomocą funkcji wykładniczej. Dotyczy to jednak pewnej klasy takich modeli. Jej wyodrębnienie wiąże się z przyjęciem pewnych dodatkowych założeń, mających jednak względnie małe znaczenie praktyczne. Odnoszą się one do ogółu parametrów i zmiennych równania różnicowego i są związane z zawężeniem analizy zmienności danych rozmytych do takich przedziałów liczbowych zawartych w dziedzinie zdefiniowania funkcji przynależności, poza którymi przyjmuje ona wyłącznie wartości zerowe. Wówczas zapis takiej funkcji przyjmuje postać odpowiadającą następującemu wzorowi:. (X ∈ N (R) ∧. ∃. < x1 ; xn >. ( xi ∉ < x1; xn >⇒ μ X (xi ) = 0)) ⇒. ⎧ xi ∈ < x1; x2 >⇒ a1 xi + b1 ⎪ xi ∈ < x2 ; x3 >⇒ a2 xi + b2 ⎪ ∀ μ X (xi ) = ⎨ x ∈< x ; x > … ⎪ ⎪ xi ∈ < xn −1; xn >⇒ an −1 xi + bn −1 ⎩ (< x1; x2 > ∪…∪ < xn −1; xn >=< x1; xn >) ∧ ∀ < xi ; xi +1 > ∩ < xi +1; i. 1. n. xi + 2 >= {xi +1 }.. (4.1). i =1,..., n − 2. Należy także zaznaczyć, że prezentowane w opracowaniu rozważania odnoszą się wyłącznie do wniosków wynikających z doświadczeń z przeprowadzonych eksperymentów symulacyjnych z liniowymi równaniami różnicowymi. Potwierdzenie dokonanych spostrzeżeń w drodze analitycznej jest bardzo skomplikowane i wymaga dalszych badań. Niemniej jednak zastosowanie w praktyce rezultatów przeprowadzonych doświadczeń jest jak najbardziej możliwe i uzasadnione. Wiąże się jednak z koniecznością traktowania konkretnego równania różnicowego w kategoriach odrębnego przypadku i co za tym idzie narzuca konieczność symulacyjnej weryfikacji w odniesieniu do niego przedstawionych w artykule stwierdzeń. Całość związanych z tym zabiegów tworzy odpowiednią procedurę aproksymacji i weryfikacji. W celu jej zastosowania, w odniesieniu do rozmytego szeregu czasowego wygenerowanego za pomocą rozważanego rodzaju równania różnicowego należy zrealizować zabieg wyostrzania rzeczywistych danych rozmytych zdefiniowany ogólnym wzorem pola pod wykresem funkcji przynależności..

(7) Wykorzystanie aproksymacji pola…. 183. X ∈ N (R) ⇒ PX =. +∞. ∫ μ X (x X )dx X ,. . −∞. (4.2). który można przekształcić ze względu na przyjęte założenia do postaci ⎞ ⎛y PX = ∫ μ(x X )dx X = ∑ ⎜ ∫ )ai x X + bi ) dx X ⎟⎟, i =1 ⎝ y α ⎠ 2. β. i +1. (4.3). i. gdzie α i β oznaczają końce przedziału wartości, dla których funkcja przynależności rzeczywistej liczby rozmytej przyjmuje wielkości nieujemne oraz poza którym jest równa zero. W ten sposób wielkości otrzymane w następstwie zastosowanego algorytmu skalaryzacji tworzą ciąg pojedynczych wartości rzeczywistych. }. (4.4). ⎧ dpx t ⎫ Px’ ( t ) = ⎨ :t = 0, 1, 2, …, n ⎬ , ⎩ dt ⎭. (4.5). ⎧ dpx t ⎫ Px" ( t ) = ⎨ 2 :t = 0, 1, 2, …, n ⎬ . ⎩d t ⎭. (4.6). Px" ( t ) ≈ eat + b .. (4.7). {. Px ( t ) = px ,t :t = 0, 1, 2, …, n , t. t. który zgodnie z wcześniejszą uwagą można aproksymować za pomocą przekształcenia wykładniczego. W celu jednak zapewnienia lepszego dopasowania krzywej wykładniczej do wykresu przebiegu elementów takiego ciągu procedurę aproksymacyjną należy, jak wskazują wnioski z doświadczeń numerycznych, zastosować do ciągu wartości drugich pochodnych obliczonych na podstawie danych wyjściowych otrzymane w wyniku wyostrzania rozmytego autoszeregu czasowego. W ten sposób dla skalarnego szeregu czasowego zdefiniowanego wzorem (4.4) otrzymujemy odpowiadające mu szeregi obliczonych pierwszych oraz drugich pochodnych: t. t. t. t. Pierwotnym źródłem tych wartości są dane pochodzące z eksperymentu symulacyjnego, dlatego dla ich określenia będzie używany w dalszym ciągu artykułu termin pochodnej empirycznej. Jak wykazała analiza przypadków rozmytych liniowych równań różnicowych zgodnych z ogólnym wzorem (3.5) do aproksymacji wartości (4.6) można wykorzystać poniższą zależność. t. .

(8) Wit Urban. 184. Estymację parametrów tego przekształcenia łatwo przeprowadzić po zlogarytmizowaniu elementów szeregu (4.6). ⎧ dpx t ⎫ ln Px" ( t ) = ⎨ln 2 : t = 0, 1, 2, …, n ⎬ . ⎩ d t ⎭ t. t. (4.8). W tym celu można wykorzystać metodę najmniejszych kwadratów. Na podstawie otrzymanej postaci funkcji wykładniczej opisującej przebieg wielkości empirycznych drugiej pochodnej pola pod wykresem funkcji przynależności dla rozmytego autoszeregu czasowego istnieje możliwość także na aproksymację wartości ciągu (4.4). Dla wyprowadzenia związanej z tym zależności należy wykorzystać następujące przekształcenia: Pxʹ ( t ) = ∫ Pxʹʹ (t)dt , t. t. Pxʹ ( t ) ≈ ∫ eat + b dt = t. Px ( t ) = ∫ Pxʹ (t)dt, t. 1 at + b e + C, a. (4.9). t. ⎛1 ⎞ Px ( t ) ≈ ∫ ⎜ eat + b + C ⎟ dt, ⎝a ⎠ 1 at + c Px (t) ≈ 2 e + Ct + D . a t. . t. Z praktycznym wykorzystaniem ostatecznego wzoru poszukiwanej funkcji aproksymacyjnej wiąże się problem estymacji parametrów C oraz D. Dla ich rozwiązania należy wykorzystać odpowiednie błędy szacunku wartości pól pod wykresem funkcji przynależności wyznaczone dla rozmytego autoszeregu czasowego wygenerowanego za pomocą liniowego równania różnicowego oraz ich empirycznych pierwszych pochodnych, nie uwzględniając przy ich obliczaniu szacowanych wielkości. δP. ’ xt. δP. xt. (t ). (t ). ⎧. ( t ) = ⎨δ P ⎩. (t ) = ⎧⎨δ P ⎩. xt. ’ xt. (t ),t. (t ), t. =. 1 at + b dpx t ⎫ e − ⎬, a dt ⎭. (4.10). 1 at + b ⎫ e + Ct − px , t ⎬. 2 a ⎭. (4.11). =. t. . t. Do estymacji wskazanych parametrów należy wykorzystać wartości średnie lub mediany dla tak otrzymanych odchyleń aproksymacji.. C ≈ δP. ’ xt. (t ). (t) ∨ C ≈ medianaδ. Px’ ( t ) t. (t ),. . (4.12).

(9) Wykorzystanie aproksymacji pola…. D ≈ δP. xt. 185. (t ) (t) ∨. D ≈ medianaδ. Px ( t ) t. (t ).. (4.13). . W wypadku szacowania parametru D warto zauważyć, że, gdy wielkości błędów szacunku dla pól pod wykresem funkcji przynależności analizowanego autoszeregu czasowego różnią się między sobą, można w stosunku do nich zastosować podobną procedurę aproksymacyjną opartą na wykorzystaniu funkcji wykładniczej, z tym jednak, że w wypadku ciągu wartości (4.11) należy ją wykorzystać do wyznaczonych pochodnych rzędu, dla którego spełniony jest następujący warunek: ln. dδ P. (t ) (t). ≈ αt + β .. (4.14) We wszystkich badanych eksperymentalnie przypadkach było to możliwe. Wykorzystując przekształcenia podobne do tych danych wzorem (4.9), można wyprowadzić ogólny wzór funkcji opisującej zmienność wskazanego błędu szacunku:. δP. xt. (t ) (t) ≈. xt. r. dt. χ1 r −1 χ2 χ 1 αt +β e + t + t r − 2 + ... + r −1 t + θ = r (r − 1)! (r − 2)! 1! α. r −1 χi 1 t r −i + θ . = r eαt +β + ∑ (r − i)! α i =1. (4.15). . Do estymacji wartości χ1, …, χ r – 1, θ należy zastosować, podobnie jak we wcześniej rozważanym wypadku, mediany lub średnie właściwych odchyleń od aproksymowanych wielkości. Warto przy tej okazji zauważyć, że w wypadku rozważanej funkcji błędu dopasowanie uzyskanego w wyniku zastosowania przedstawionej procedury przekształcenia jest tym większe, im bardziej zostanie zwiększony rząd wykorzystywanej w niej pochodnej empirycznej. Tego typu zasada nie znalazła jednak zastosowania w odniesieniu do podstawowego w tej części opracowania problemu aproksymacji zmienności pola pod wykresem funkcji przynależności dla rozmytego autoszeregu czasowego wygenerowanego za pomocą liniowego równania różnicowego. Uwzględniając możliwość opisu błędu szacunku wartości wspomnianych pól również za pomocą przekształcenia wykładniczego, wzór (4.9) przyjmuje ostatecznie postać:. Px ( t ) ≈ t. r −1 1 at + c 1 χi e + Ct + r eαt +β + ∑ t r − i + θ. 2 a α i =1 (r − i)!. . (4.16). Przykładem jego wykorzystania może być model oparty na rozmytym liniowym równaniu różnicowym:.

(10) Wit Urban. 186. xt +1 = ( ~ 0 /1, 0 + ~ 1 /1,1 + ~ 0 /1, 2)xt , x0 = ~ 0 /1, 2 + ~ 1 /1, 3 + ~ 0 /1, 4.. . (4.17). W wyniku przeprowadzonego postępowania aproksymacyjnego zgodnego z zaproponowanymi zasadami uzyskano następującą postać zależności (4.16).. 1 1 e0,346006t –2,81914 – 0,104543t − e0,478987t –10,1301 0,11972 0,025213 (4.18) 0,000487 4 0,00066 5 0,00995 2 – t + t + t − 0,046912t – 0,398406 . 24 6 2 Px (t) ≈ t. Wielkość średniego błędu szacunku dla szeregu czasowego pól otrzymanego dla rozmytego autoszeregu czasowego złożonego z dwudziestu dwóch obserwacji wyniosła 0,426946. Warto zauważyć, że uzyskany wzór zakładał wykorzystanie pochodnej empirycznej piątego rzędu dla błędów odchyleń wspomnianych pól. Gdy dla tego samego przypadku zastosowano zależność opartą na pochodnej czwartego rzędu, średni błąd był wyższy i wyniósł 0,476254. 5. Wykorzystanie pola pod wykresem funkcji przynależności zmiennej liniowego równania różnicowego do rozwiązywania problemu odwrotnego Możliwość aproksymacji dynamiki pola pod wykresem funkcji przynależności zmiennej liniowego równania różnicowego za pomocą przekształcenia wykładniczego pozwala na wyznaczanie tej charakterystyki dla dowolnej obserwacji bez konieczności wykonywania dalszych skomplikowanych obliczeń arytmetyki rozmytej. Własność tę można wykorzystać do rozwiązywania problemu odwrotnego w wypadku operacji sumy i iloczynu. Każde z tych działań daje się łatwo przekształcić do liniowego równania różnicowego zgodnego z ogólnym wzorem (3.6).. a ⊗ b = c ∧ ⊗ ∈ {+,*} ⇒ xt +1 = b ⊗ xt ∧ x0 = a ∧ x1 = c. . (5.1). Fakt ten można wykorzystać do wyznaczenia pola pod wykresem funkcji przynależności nieznanego argumentu jednego z dwóch wspomnianych działań. Do realizacji tego celu wystarczy, opierając się na tak zdefiniowanym liniowym równaniu różnicowym, wyznaczyć rozmyty szereg czasowy. Zgodnie z procedurą opisaną w poprzedniej części artykułu można go wykorzystać do aproksymacji za pomocą przekształcenia wykładniczego ciągu pól pod wykresem funkcji przynależności zmiennej rozmytej xt. Stanowi ona podstawę obliczenia wartości tego wskaźnika związanej z obserwacją startową. Z tego też względu transformacja.

(11) Wykorzystanie aproksymacji pola…. 187. działania arytmetyki rozmytej do postaci modelu (5.1) powinna zakładać, że poszukiwany argument rozmyty jest właśnie pierwszą pozycją w wygenerowanym rozmytym szeregu czasowym. Dalsze wykorzystanie uzyskanych informacji jest z reguły uzależnione od postaci poszukiwanej rzeczywistej liczby rozmytej oraz wybranych wierzchołków wykresu jej funkcji przynależności. Dla przykładu dalsze rozważania zostaną odniesione do trójkątnych liczb rozmytych. Łatwo zauważyć, że przy znajomości wspomnianego pola dla takiej liczby oraz wierzchołka wykresu jej funkcji przynależności, w którym przyjmuje ona wartość jeden (założenie o normalności liczby), a także uwzględniając założenie, że oba pozostałe wierzchołki pozostają w równej odległości od niego, wyznaczenie nieznanego argumentu działania sumy lub iloczynu rozmytego jest proste. Można w tym celu skorzystać ze wzoru na pole trójkąta.. a = ~ 0 / xa,l + ~ 1 / xa, ś ~ 0 / xa, p ⇒ PΔ = 0, 5 · 1 · (xa, p − xa,l ).. . (5.2). Wykorzystanie założenia o położeniu wierzchołków brzegowych względem środkowego pozwala na przekształcenie powyższego wzoru do zależności wyznaczających ich współrzędne na osi x. xa, l = xa, ś − PΔ.. (5.3). xa, p = xa, ś + PΔ.. . Przedstawione rozważania wskazują, że do zastosowania wzorów (5.3) niezbędna jest znajomość rzędnej środkowego wierzchołka. Do obliczenia tej wielkości można wykorzystać definicje odpowiednich działań arytmetyki rozmytej oraz przyjęte wcześniej założenia o spełnieniu warunków wypukłości i normalności przez ich argumenty. Na tej podstawie można przyjąć następujące stwierdzenie odnoszące się do istnienia pojedynczych wartości rzeczywistych w liczbach rozmytych a, b, dla których odpowiednie funkcje przynależności są równe jeden. Wykonane na nich działanie arytmetyczne związane z operacją rozmytą dla wskazanych argumentów pozwala na obliczenie podobnej wielkości dla wyniku c. a,b, c ∈ N (R) ∧ a ∈ N (R)Δ ∧ a ⊗ b = c ∧ ⊗ ∈ {+,*} ⇒. xcμ c ( x c )=1. ∃∃ , x ,x μ a ( x a )=1 a. μ b ( x b )=1 b. xcμ. c. ( xc )=1. = xaμ. a. ( xa )=1. ⊗ xbμ. b. (5.4). ( xb )=1. . W powyższej notacji ∃∃ zapis oznacza „istnieje tylko jeden”. Z przedstawionej zależności oraz własności działań arytmetycznych sumy i iloczynu w przestrzeni liczb rzeczywistych wynika, że. xaμ. a. ( xa )=1. = xcμ. c. ( xc )=1. ⊕ xbμ. b. ( xb )=1. ∧ ⊕ ∈{−, /}.. . (5.5).

(12) Wit Urban. 188. Przedstawiony sposób podejścia do analizy problemu odwrotnego w arytmetyce rozmytej ilustruje poniższy przykład iloczynu. ( ~ 0 /1, 0 + ~ 1 /1,1 + ~ 0 /1, 2) · ( ~ 0 /1, 2 + ~ 1 /1, 3 + ~ 0 /1, 4) = = ( ~ 0 /1, 2 + ~ 1 /1, 43 + ~ 0 /1, 68).. Przyjmując, że drugi z argumentów jest nieznany, otrzymano. . ( ~ 0 /1, 0 + ~ 1 /1,1 + ~ 0 /1, 2) · x = ( ~ 0 /1, 2 + ~ 1 /1, 43 + ~ 0 /1, 68).. (5.6). (5.7). Takie równanie z rozmytą niewiadomą stanowiło następnie podstawę budowy odpowiedniego modelu wykorzystującego liniowe równanie różnicowe. xt +1 = ( ~ 0 /1, 0 + ~ 1 /1,1 + ~ 0 /1, 2)xt , x1 = ( ~ 0 /1, 2 + ~ 1 /1, 43 + ~ 0 /1, 68), x0 = ?. (5.8). Na podstawie uzyskanego w ten sposób równania wygenerowano rozmyty szereg czasowy złożony z jedenastu elementów. W wyniku zastosowania procedury aproksymacyjnej dla odpowiadającego mu skalarnego szeregu pól pod wykresem funkcji przynależności zmiennej xt otrzymano wzór funkcji opisującej zmienność tych wielkości: Pxt (t ) ≈. 1. 0,125657. e 0,354481t –2,86288 − 0,072941t −. − 0,023585t + 0,32975.. 1. 0,125868. e 0,354779t – 6,02476 –. (5.9). Wynika z niego, że dla dopasowania złożenia funkcji wykładniczych do wskazanego szeregu wystarczyło wykorzystać drugą pochodną empiryczną błędu określonego zgodnie z zaprezentowaną w artykule metodą aproksymacji. Średni ostateczny błąd szacunku wyniósł dla uzyskanej postaci przekształcenia 0,005043, natomiast jego odchylenie standardowe równało się wartości 0,005837. Aproksymacja dynamiki pola pod wykresem funkcji przynależności zmiennej rozmytej liniowego równania różnicowego określonego wzorem (5.8) została następnie wykorzystana dla wyznaczenia wielkości tej charakterystyki dla obserwacji startowej. Px (0) = 0,105482. . (5.10). t. W następnym kroku zgodnie ze wzorem (5.5) obliczono rzędną poszukiwanej wartości rozmytej, dla której jej funkcja przynależności przyjmuje wartość jeden.. μ x 0 ( x x 0 )=1. xx. 0. = 1, 43 /1,1 = 1, 3 .. . (5.11).

(13) Wykorzystanie aproksymacji pola…. 189. W omawianym przykładzie spełnione jest założenie o równej odległości wierzchołków brzegowych od środkowego. Można więc dla nich obliczyć również współrzędne na osi x, korzystając ze wzorów (5.3). xa, l = 1, 3 − 0,105482,. xa, p = 1, 3 + 0,105482.. . (5.12). W rezultacie uzyskano notację postaci poszukiwanej niewiadomej rozmytej. x = ~ 0 /1,194518 + ~ 1 /1, 3 + ~ 0 /1,405482 ≈ ~ 0 /1, 2 + ~ 1 /1, 3 + ~ 0 /1, 4.. (5.13). Podobne podejście daje się z powodzeniem zastosować bez żadnych zmian także do wypadku rzeczywistych wielkości rozmytych o Gausso podobnej funkcji przynależności. Należy przy tym zwrócić uwagę, że tak zdefiniowane charakterystyki rozmyte relatywnie najlepiej opisują zjawiska świata rzeczywistego, pokazując przy okazji marginalne znaczenie założenia o symetrii wykresu funkcji przynależności względem osi prostopadłej do osi x w punkcie, dla którego ta funkcja uzyskuje wartość największą. Jednak także uchylenie tego założenia, jak też wykorzystanie rzeczywistych liczb rozmytych o bardziej złożonych postaciach takiej funkcji nie czyni przedstawionego podejścia do problemów odwrotnych arytmetyki rozmytej bezużytecznym. Wykorzystując podstawowe twierdzenia algorytmów numerycznych tej arytmetyki [Kaufmann, Gupta 1985], można na podstawie aproksymacji wykładniczej pola pod wykresem takiej funkcji wyznaczyć postać poszukiwanej niewiadomej rozmytej, zwiększając liczbę jej wierzchołków, dla których stosunkowo łatwo można obliczyć odpowiednie współrzędne. Literatura Chang W.K., Chow L.R., Chang S.K. [1984], Arithmetic Operations on Level Sets of Convex Fuzzy Numbers, Fuzzy Sets and Systems. Inteligentne systemy w zarządzaniu. Teoria i praktyka [2000], red. J.S. Zieliński, PWN, Warszawa. Kaufmann A., Gupta M.M. [1985], Introduction to Fuzzy Arithmetic, Theory and Applications, Van Nostrand, New York. Klir G.J., Pan Y. [1998], Constrained Fuzzy Arithmetic: Basic Questions and Some Answers, „Soft Computing 2”, nr 2. Urban W. [1999], Podstawy rozmytej dynamiki systemowej, Akademia Ekonomiczna w Krakowie, Kraków. Zadeh L.A. [1965], Fuzzy Sets, „Information and Control”, nr 8..

(14) 190. Wit Urban. Application of Approximation of Membership Function Chart Area for Linear Differential Equation Variable to Solving a Reverse Problem in Fuzzy Arithmetic The Author discusses a reverse problem in fuzzy arithmetic operations in the context of possible practical benefits connected with searching of unknowns, which are operands for such operations, in a space of fuzzy real numbers. An exponential approximation of an area below a membership function of a linear differential equation variable has been proposed as a potential solution to this problem. Therefore, a conversion of fuzzy arithmetic operation to a specified equation is necessary. It is particularly achievable in relation to fuzzy sum and fuzzy product. The paper presents an approach based on application of the function area estimation for an unknown fuzzy operand to determination of its value in a space of fuzzy real numbers. Key words: fuzzy arithmetic, fuzzy time series..

(15)