Wykład I
• Funkcje zespolone,
• Różniczkowanie funkcji zespolonych, funkcje
holomorficzne,
• Całkowanie funkcji zespolonych, wzór Cauchy’ego, szereg
Laurenta, residuum funkcji,
• Obliczanie całek rzeczywistych metodą residuów,
• Odwzorowania konforemne.
( )
( ) (
)
( )
( )
i i i i i i i ie
i
e
e
e
e
e
i
e
re
i
r
z
i
z
iy
x
z
Im
2
sin
,
Re
2
cos
sin
cos
sin
cos
Im
Re
=
−
=
=
+
=
=
=
+
=
+
=
+
=
− − Dla dowolnej funkcji zespolonej
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) (
z
u
x
iy
) ( ) ( ) (
u
x
y
v
z
v
x
iy
) ( )
v
x
y
u
z
iv
z
u
z
f
z
f
z
f
,
,
,
Im
Re
=
+
=
=
+
=
+
=
+
=
Przykłady( )
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
y
x
i
y
x
x
e
e
i
x
e
e
i
e
e
e
e
i
e
e
i
z
z
f
n
ir
n
r
e
r
z
z
f
y y y y y ix y ix iz iz n n in n nsinh
cos
cosh
sin
sin
cos
2
1
2
1
2
1
sin
sin
cos
+
=
+
+
−
=
−
=
−
=
=
+
=
=
=
− − − − −
Przykłady: funkcje wieloznaczne (z wieloma gałęziami)
( )
( )
( )
( )( )
( )( )
ln
ln
(
2
)
,
0
,
1
,
2
,
,
,
1 3 2 3 2 3 4 3 3 3 0 1
=
+
+
=
=
=
=
=
=
=
+ +k
k
i
r
z
z
f
e
r
z
f
e
r
z
f
e
r
z
f
z
z
z
f
n n i i i
π f 1 π f −𝜋2 f 1 1
Obrazowanie przy pomocy funkcji zespolonych
Różniczkowanie funkcji zespolonych - funkcja zespolona
( )
z
f
( )
(
)
(
)
z
d
z
f
dz
z
f
df
idy
dx
z
d
idy
dx
dz
y
f
i
x
f
z
f
y
f
i
x
f
z
f
idy
dx
y
f
i
x
f
idy
dx
y
f
i
x
f
dy
y
f
dx
x
f
df
y
x
z
+
=
−
=
+
=
+
−
−
+
+
+
−
=
+
=
=
,
,
2
1
,
2
1
2
1
2
1
,
Funkcje holomorficzne( ) ( ) ( )
+
+
−
=
=
+
=
y
u
x
v
i
y
v
x
u
z
f
y
x
iv
y
x
u
z
f
2
1
0
,
,
• Warunki Cauchy’ego-Riemannay
u
x
v
y
v
x
u
−
=
=
Całkowanie funkcji zespolonych
( )
(
)(
) (
)
(
)
(
) (
,
)
,
−
=
−
+
+
−
=
+
+
=
C C C C C Cl
d
v
u
vdy
udx
udy
vdx
i
vdy
udx
idy
dx
iv
u
dz
z
f
Twierdzenie Stokesa
=
C Cs
d
w
l
d
w
Introt
Korzystając z twierdzenia Stokesa w dwóch wymiarach i uwzględniając warunki Cauchy’ego-Riemanna, otrzymujemy dla całek po krzywych zamkniętych z funkcji holomorficznych
( )
0
Int Int=
−
+
−
−
=
C C Cdxdy
y
v
x
u
i
dxdy
x
v
y
u
dz
z
f
• Wartość całki z funkcji holomorficznej po krzywej otwartej nie zależy od kształtu krzywej, tylko od punktu początkowego i końcowego
• Krzywą całkowania można dowolnie deformować bez zmiany wartości całki, o ile pozostajemy w obszarze holomorficzności funkcji
Wzór całkowy Cauchy’ego
z
−
z
C
x
y
( )
( )
−
=
Cd
z
f
i
z
f
2
1
- funkcja holomorficzna wobszarze obejmującym krzywą C
( )
z
f
d
ire
d
re
z
i i=
=
−
( )
(
)
( )
( )
z
if
d
z
if
d
re
z
f
i
d
z
f
r i C
2
2 0 0 2 0=
+
=
−
→
→C jest dowolną krzywą obejmującą z
z jest jedynym biegunem funkcji podcałkowej wewnątrz C
Funkcja podcałkowa nie ma zatem osobliwości w okolicy krzywej C więc jest tam holomorficzna
Dlatego możemy zastąpić krzywą C okręgiem o środku w z i przejść z jego promieniem do zera
Szereg Laurenta - funkcja holomorficzna
( )
z
f
( )
(
)
(
)
= = − −−
+
−
=
0 0 1 0 l l l n n nz
z
b
z
z
a
z
f
(
) ( )
(
)
(
)
(
)
( ) 1 , 1 , 1 2 0 1 1 0 0 0 0 1 0 02
2
+ − − + + = + = − −=
=
=
=
−
=
−
−
+
−
=
−
k k k k i k i O k l l k l n n k n ki
ir
d
e
ir
re
z
z
dz
z
z
z
z
b
z
z
a
z
f
z
z
Niech O będzie okręgiem o środku w z0
W powyższych wzorach funkcja podcałkowa nie ma biegunów poza z0 jest więc holomorficzna poza z0 i okrąg O można zastąpić dowolną krzywą C obejmującą z0, bez zmiany wyniku całkowania.
(
)
( )
(
( )
)
+ − −−
=
−
=
C l l C n ndz
z
z
z
f
i
b
dz
z
f
z
z
i
a
1 0 1 02
1
,
2
1
Residuum funkcji
( )
0 02
res
res
1 z C zf
z
dz
i
a
−
=
• Jeżeli krzywa C obejmuje kilka punktów osobliwych
( )
=
j z C ji
dz
z
f
2
res
• Metoda obliczania residuum funkcji
Niech funkcja f(z) ma biegun skończonego rzędu m w z0
( )
(
) (
)
(
)
(
) ( )
(
)
(
)
(
)
(
) ( )
(
)
(
( ) (
)
)
(
) ( )
0
(
)
1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0!
1
lim
!
1
!
!
1
0 − − − → = + − − − = + − − + − − = − − + − −−
=
−
−
+
+
+
−
=
−
−
+
−
+
+
−
+
=
−
−
+
−
+
+
−
+
−
=
a
m
z
f
z
z
dz
d
z
z
l
m
l
b
a
m
z
f
z
z
dz
d
z
z
b
z
z
a
z
z
a
a
z
f
z
z
z
z
b
z
z
a
z
z
a
z
z
a
z
f
m m m z z l l l m m m l m l l m m m m l l l m m m m
(
)
(
) ( )
( )( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
0 0 0 0 1 0 0 0 0res
0
,
0
,
1
lim
!
1
1
res
z
h
z
g
z
h
z
h
z
h
z
g
z
f
m
z
f
z
z
m
z m m z z z
=
=
=
=
−
−
=
− →Lemat Jordana
x
y
Jeżeli dla jednostajnie w dla to
→
R
( )
z
→
0
0
( )
0
,
0
lim
=
= →
z z idz
e
z
R
x y 𝑅 −𝑅 𝑅 2i 𝐶𝑅
𝐶𝑅 𝐶𝑟 𝐼 𝐼𝐼 R r x y i i
Konforemność funkcji holomorficznych
x
y
x
y
f
• Odwzorowania (funkcje) holomorficzne zachowują kąty między krzywymi na płaszczyźnie zespolonej
1
z
2z
1w
2w
( )
t
z
z =
w =
w
( )
z
( )
(
) ( )
( )
( )
(
)
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
+
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1arg
0
arg
arg
;
2
,
1
,
;
,
,
arg
;
2
,
1
,
;
,
,
1t
z
z
f
z
w
z
f
z
f
z
w
k
w
z
f
z
z
z
z
w
w
t
z
k
z
t
z
t
t
t
t
z
z
z dt dw k k k k- funkcja holomorficzna w danym obszarze,
