Pochodna złożenia Z dotychczasowej nauki matematyki wiemy, iż pochodne funkcji jednej zmiennej bardzo do- brze zachowują się w przypadku składania funkcji. Oczekujemy, iż podobne zależności będą spełnione dla odwzorowań. Rzeczywiście, zachodzi następujące

Wykład 5

Pochodna złożenia

Z dotychczasowej nauki matematyki wiemy, iż pochodne funkcji jednej zmiennej bardzo do- brze zachowują się w przypadku składania funkcji. Oczekujemy, iż podobne zależności będą spełnione dla odwzorowań. Rzeczywiście, zachodzi następujące;

Twierdzenie 1 Niech f : G 7→ G ₁ będzie odwzorowaniem różniczkowalnym w punkcie x ⁰ , a g : G ₁ 7→ R ^k = Z odwzorowaniem różniczkowalnym w punkcie y ⁰ = f (x ⁰ ), gdzie G ⊂ R ^m = X, G ₁ ⊂ R ⁿ = Y , G jest otoczeniem punktu x ⁰ , a G ₁ otoczeniem punktu y ⁰ . Wówczas odwzorowanie g ◦ f jest różniczkowalne w punkcie x ⁰ oraz zachodzi wzór:

D(g ◦ f )(x ⁰ ) = Dg(y ⁰ ) ◦ Df (x ⁰ ).

Dowód twierdzenia pozostawiam jako jedno z zadań.

Zapiszmy tezę twierdzenia bardziej ”dosłownie” tzn. przyjmijmy, że f = (f ₁ , . . . , f n ), gdzie f _u : X 7→ R, u = 1, . . . n, g v : Y 7→ R , gdzie v = 1, . . . k. (W celu nie komplikowania zapisu przyjmujemy na chwilę, że odwzorowania te są określone na całych przestrzeniach X, Y, Z.) Możemy wtedy zapisać, że:

Df =









∂f

1

∂x

1

. . . _∂x ^∂f

¹

..

m

. . .. .. .

∂f

n

∂x

1

. . . _∂x ^∂f

ⁿ

m









, Dg =









∂g

1

∂y

1

. . . ^∂g _∂y

¹

..

n

. . .. .. .

∂g

k

∂y

1

. . . ^∂g _∂y

^k

n









Daje to na mocy twierdzenia:

D(g ◦ f ) =









∂g

1

∂y

1

. . . _∂y ^∂g

¹

..

n

. . .. .. .

∂g

k

∂y

1

. . . _∂y ^∂g

^k

n









·









∂f

1

∂x

1

. . . _∂x ^∂f

¹

..

m

. . .. .. .

∂f

n

∂x

1

. . . _∂x ^∂f

ⁿ

m









.

Jeśli teraz przyjmiemy, że D(f ◦ g) =

"

∂(g ◦ f ) _i

∂x j

#

i = 1, . . . k, j = 1 . . . , m,

to otrzymamy wzór:

∂(g ◦ f ) _i

∂x _j =

n

X

l=1

∂g _i

∂y _l · ∂f _l

∂x _j .

W powyższych zapisach w celu nie zaciemniania ich pominęliśmy punkty w jakich liczone są pochodne cząstkowe i różniczki, co jednak nie czyni wywyodu mniej zrozumiałym.

Rozważmy następujące przykłady:

1

• Dana jest funkcja u = f (x, y, z), przy czym każda ze zmiennychjest funkcją zmiennej t : x = ϕ(t), y = ψ(t), z = θ(t). Chcemy obliczyć różniczkę funkcji złożonej u = f (ϕ(t), ψ(t), theta(t)).

Korzystając z powyższego twierdzenia liczymy:

du dt = ∂u

∂x · dx dt + ∂u

∂y · dy dt + ∂u

∂z · dz

dt = u ₁ · ϕ ⁰ + u ₂ · ψ ⁰ + u ₃ · θ ⁰ .

• Niech teraz u = f (x, y, z), przy czym zmienna x jest niezależna, a zmienne y i z są funkcjami zmiennej x, tzn y = y(x), z = z(x).

Otrzymujemy:

du dx = ∂u

∂x + ∂u

∂y dy dx + ∂u

∂z dz dx .

• Teraz niech u będzie jak poprzednio, natomiast zmienne x i y są niezależne, oraz z = z(x, y).

Mamy wtedy:

∂u

∂x = f _x ⁰ (x, y, z(x, y)) + f _z ⁰ (x, y, z(x, y))z _x ⁰ (x, y);

∂u

∂y = f _y ⁰ (x, y, z(x, y)) + f _z ⁰ (x, y, z(x, y))z _y ⁰ (x, y).

Twierdzenie o odwracaniu odwzorowań

Definicja 1 Odwzorowanie F : G 7→ R ⁿ , gdzie G ⊂ R ^k nazywamy klasy C ¹ , jeśli jest róż- niczkowalne, oraz odwzorowanie G 3 x 7→ w h (x) = DF (x)h jest ciągłe dla każdego ustalonego h ∈ R ^k .

Twierdzenie 2 Na to by odwzorowanie F : G 7→ R ⁿ , F = (f ₁ , f ₂ , . . . , f _n ), gdzie f _i - funkcje rzeczywiste, i = 1, 2, . . . , n było klasy C ¹ potrzeba i wystarcza, by istniały w G pochodne cząstkowe D j f i , j = 1, 2, . . . , k i były w nim ciągłe.

Definicja 2 Niech f : X → Y . Powiemy, że f jest lokalnie odwracalne w punkcie p ∈ X, jeśli istnieje otoczenie U ⊂ X punktu p takie, że f obcięte do U jest odwracalne.

Twierdzenie 3 Niech f : U→ R ^k będzie odwzorowaniem klasy C ¹ , gdzie U ⊂ R ^k - zbiór otwarty. Wówczas, jeśli Df ∈ I(X, Y ) (czyli pochodna funkcji f jest izomorfizmem liniowym przestrzenie X i Y ), (u nas oznacza to det Df 6= 0) to:

a) zbiór f (U ) jest otwarty;

b) odwzorowanie f zawężone do pewnego otoczenia punktu x ₀ jest różnowartościowe.

2

c) jeśli f jest różnowartościowe, to f ⁻¹ istnieje, jest klasy C ¹ oraz zachodzi:

Df ⁻¹ (y) = (Df (x)) ⁻¹ gdzie y = f (x), x ∈ U .

W części ćwiczeniowej:

• stwierdziliśmy, że jeśli z = z(x, y), g = f (x, y, z), to g _x = f ₁ ⁰ + f ₃ ⁰ · z _x ;

• stwierdziliśmy, że odwzorowanie f : R ² → R ² dane wzorem f (x, y) = (x + y, x) jest róż- nowartościowe, jego różniczka jest izomorfizmem liniowym, więc na mocy twierdzenia o odwracaniu jest globalnie odwracalne;

• stwierdziliśmy, że odwzorowanie f : R ² → R ² dane wzorem f (x 1 , x 2 ) = (e ^x

¹

sin x 2 , e ^x

¹

cos x 2 ) ma niezerujący się jakobian, więc jest lokalnie odwracalne w każdym punkcie, aczkol- wiek nie jest różnowartościowe, co czyni go nieodwracalnym globalnie;

• stwierdziliśmy, że odwzorowanie: Φ : (0, ∞) × [−π, π) → R ^{e 2} dane wzorem

Φ(r, ϕ) = (r cos ϕ, r sin ϕ) = (x, y) jest różniczkowalne klasy C e ¹ , stwierdziliśmy jednak, że nie jest różnowartościowe więc nie jest globalnie odwracalne. Zauważyliśmy jednak, że po obcięciu do odwzorowania Φ : (0, ∞) × (−π, π) → R ² \ (R ⁻ × {0}) danego tym samym wzorem

Φ(r, ϕ) = (r cos ϕ, r sin ϕ) = (x, y)

jest bijekcją (różnowartościowe i ”na”). Pokazaliśmy, że jest różniczkowalne klasy C ¹ , że pochodna w każdym punkcie jest izomorfizmem liniowym (tzn jakobian się nie zeruje), więc na mocy twierdzenia o odwracaniu odwzorowań istnieje odwzorowanie odwrotne Φ ⁻¹ klasy C ¹ . Odwzorowanie Φ nazywamy odwzorowaniem biegunowym.

3