praca domowa nr.1 12 marca 2013

(1)

Matematyka w ubezpieczeniach III rok matematyki finansowej

praca domowa nr.1 12 marca 2013

ZADANIE 1 Znaleźć l

_x

, jeżli l

₀

= 1000 oraz:

a) µ

_t

= at;

b) µ

_t

=

_a+bt¹

.

ZADANIE 2 Niech X będzie zmienną losową o dystrybuancie F (x) = 1 − e

^−λx

a) obliczyć ilość zgonów pomiędzy 45 a 50 rokiem życia przyjmując l

₀

= 100000 oraz λ = 0, 001;

b) pokazać, że q

_x

= q

_x+1

= q

_x+2

= . . ..

ZADANIE 3 zdefiniujmy zmienną losową

K

^∗

(x) = min(K(x), n), K(x) = 0, 1, . . . a) wyznaczyć rozkład zmiennej losowej K

^∗

(x)

b) oznaczmy E(K

^∗

(x)) przez e

_x:n|

, pokazać, że

e

_x:n|

=

n−1

X

k=0

k

_k

p

_x

· q

_x+k

+ n

_n

p

_x

=

n

X

k=1 k

p

_x

c) pokazać, że

V ar[K

^∗

(x)] =

n−1

X

k=0

k

_k²

p

_x

· q

_x+k

+ n

²_n

p

_x

− (e

_x:n|

)

²

=

n

X

k=1

(2k + 1)

_k

p

_x

− (e

_x:n|

)

²

ZADANIE 4 Na podstawie danych zawartych w pliku lx.txt (plik dostępny na stronie internetowej) używając akrusza kalkulacyjnego excel:

1. obliczyć d

_x

dla x = 0, . . . , 110, 2. obliczyć q

x

dla x = 0, . . . , 110,

3. policzyć funkcję przeżycia s(x) dla x = 0, . . . , 110 oraz narysować jej wykres, 4. używając aproksymacji

µ

_x

≈ 1

2 (ln(l

_x−1

) − ln(l

_x+1

))

obliczyć wartości funkcji µ

_x

dla x = 0, . . . , 110 oraz narysować jej wykres,

5. narysować wykres funkcji l

_x

µ

_x

i porównać z wykresem funkcji przeżycia,

(2)

6. korzystając z formuły rekurencyjnej e

_x

= p

_x

+ p

_x

e

_x+1

wyliczyć wartości e

_x

dla x = 0, . . . , 110 startując od wartości e

110

= 0, oraz narysować wykres tej funkcji.

ZADANIE 5 Powtórzyć obliczenia z zadania 4 przy założeniu, że zmienna losowa X opisująca długość życia noworodka ma rozkład jednostajny na odcinku [0, 110].

praca domowa nr.1 12 marca 2013

Matematyka w ubezpieczeniach III rok matematyki finansowej

praca domowa nr.1 12 marca 2013

ZADANIE 1 Znaleźć l

, jeżli l

= 1000 oraz:

a) µ

= at;

b) µ

=

.

ZADANIE 2 Niech X będzie zmienną losową o dystrybuancie F (x) = 1 − e

a) obliczyć ilość zgonów pomiędzy 45 a 50 rokiem życia przyjmując l

= 100000 oraz λ = 0, 001;

b) pokazać, że q

= q

= q

= . . ..

ZADANIE 3 zdefiniujmy zmienną losową

K

(x) = min(K(x), n), K(x) = 0, 1, . . . a) wyznaczyć rozkład zmiennej losowej K

(x)

b) oznaczmy E(K

(x)) przez e

, pokazać, że

e

=

X

k

p

· q

+ n

p

=

X

p

c) pokazać, że

V ar[K

(x)] =

X

k

p

· q

+ n

p

− (e

)

=

X

(2k + 1)

p

− (e

)

ZADANIE 4 Na podstawie danych zawartych w pliku lx.txt (plik dostępny na stronie internetowej) używając akrusza kalkulacyjnego excel:

1. obliczyć d

dla x = 0, . . . , 110, 2. obliczyć q

dla x = 0, . . . , 110,

3. policzyć funkcję przeżycia s(x) dla x = 0, . . . , 110 oraz narysować jej wykres, 4. używając aproksymacji

µ

≈ 1

2 (ln(l

) − ln(l

))

obliczyć wartości funkcji µ

dla x = 0, . . . , 110 oraz narysować jej wykres,

5. narysować wykres funkcji l

µ

i porównać z wykresem funkcji przeżycia,

6. korzystając z formuły rekurencyjnej e

= p

+ p

e

wyliczyć wartości e

dla x = 0, . . . , 110 startując od wartości e

= 0, oraz narysować wykres tej funkcji.

ZADANIE 5 Powtórzyć obliczenia z zadania 4 przy założeniu, że zmienna losowa X opisująca długość życia noworodka ma rozkład jednostajny na odcinku [0, 110].

Uwaga!

Pracę wykonać należy w zespołach dwuosobowych i oddać w terminie do 26 marca 2013. (zadania 1-3

należy dostarczyć pisemnie, natomiast zadania 4,5 przesłać w postaci pliku).