1
Karta punktowania egzaminu w dniu 7 II 2011 do kursu Fizyka 1 dla studentów Wydziału Inż. Śr., kier. Inż. Śr.
Uwaga: Poprawne odpowiedzi w zadaniach/pytaniach testowych są POMIESZANE!!!
Zagadnienie 1.
Kinematyka i dynamika ruchu obrotowego
1. Położenie kątowe (w radianach) wybranego punktu A cienkiego cylindra o całkowitej masie 0,3 kg i R = 0,25 m obracającego się bez tarcia na pokładzie stacji kosmicznej (niezgodnie z ruchem wskazówek zegara patrząc z góry, rys. obok) w płaszczyźnie OXY, zadaje dla 0 ≤ t ≤ 8 s wzór Θ(t) = 1+ 5t − 11t2/4.
A) ΩΩΩΩ(t) = 5−−−−5,5t; (4 pkt.). Z podanej postaci Θ(t) = 1+ 5t − 11t2/4 odczytujemy lub wyznaczamy wartość początkowej prędkości kątowej Ω0 = 5 oraz przyspieszenie kątowe ε/2=11/4 skąd ε =5,5; wartości w SI.
B) 10/11 s; (6 pkt.). Cylinder zacznie obracać się zgodnie z ruchem wskazówek zegara po czasie, w którym Ω zacznie przyjmować wartości ujemne, co oznacza konieczność znalezienia miejsca zerowego funkcji Ω(t) = 5−5,5t. t1 = 10/11s jest rozwiązaniem.
C) 72,25 m/s2; (4 pkt.). Wartość przyspieszenia dośrodkowego punktów cylindra po czasie 4 s liczymy ze wzoru [Ω(t=4)]2⋅R
D) ≈0,103 N⋅⋅⋅⋅m; (6 pkt.). Wartość momentu sił w chwili czasu t = 2 s można wyznaczyć ze wzoru I⋅ε, gdzie I = 0,3 ⋅(0,25)2.
E) ≈7,35 J; (6 pkt.). Energię kinetyczną cylindra w chwili czasu t = 6 s obliczamy z równania
I⋅[Ω(t=6)]2/2 = 0,5⋅0,3⋅(0,25)2[5 − 5,5⋅6]2 = 7,35 J.
F) ≈72,26 m/s2; (6 pkt.). Całkowite przyspieszenie punktów cylindra po czasie 4 s określa formuła a = [(adośr)2 + (astyczne)2]1/2;
obliczamy kolejno adośr = 72,25 w SI (patrz C), astyczne=ε·R = 1,375 w SI, stąd wartość całkowitego przyspieszenia a ≈ 72,26 m/s2.
2 Zagadnienie 2.
2. Podaj/sformułuj zasady zachowania: pędu (dla pojedynczej cząstki/ciała i układu cząstek/ciał), momentu pędu (dla pojedynczej cząstki/ciała i bryły sztywnej) (13 pkt.). Scharakteryzuj znaczenie zastosowanych pojęć, symboli i wielkości fizycznych, podaj ich definicje. Przytoczenie jedynie wzorów będzie oceniane na 0 pkt.!!!
Wzorcowa odpowiedź z HRW
2 pkt za definicję pędu cząstki i układu cząstek i komentarze symboli
3 pkt za powyższe stwierdzenie lub równoważne
Def. momentu pędu cząstki/ciała
3
2 pkt za definicję momentu pędu cząstki + komentarze użytych symboli
1 pkt za definicję momentu pędu układu cząstek/ciał
2 pkt za definicję momentu pędu bryły sztywnej+komentarze użytych symboli
3 pkt za pełną definicję +komentarze użytych symboli/pojęć
4
A) p/T; (6 pkt.). Wartość średniej siły wyznaczamy ze związku [px(t) − px(0)]/t = p/T
B) 0,336 kg; (2 pkt.). Rozwiązanie: vA + vA/4 = 5vA/4 = VB i mvA = mVA + MVB, bo vB=0, i
i mvA = m (vA/4) + (5vA/4)M, skąd M = 0,75m/(1,25)=0,6⋅0,56 kg = 0,336 kg.
C) 3,75 m/s; (2 pkt.), bo vA + vA/4 = 5vA/4 = VB = 3,75 m/s.
D) ≈4 rad/s; (8 pkt.). Z zasady zachowania momentu pędu Lz, początkowy = Lz, końcowy , co w zapisie skalarnym prowadzi do równości Lz = −Lz + I ω2 , więc ω2 = 2 Lz / I = 2⋅
0,54⋅10,5/2,82 = 4,021 rad/s.
E) ≈374,6 N (4 pkt.). Średnia siła jest równa (zmiana pędu kulki)/(czas trwania zderzenia). Zmiana pędu była równa
m(2g)1/2[(h1)1/2+(h2)1/2]=0,56⋅(20)1/2[0,61/2+0,521/2]=3,74584, szukana siła miała wartość 374,58 N.
Zagadnienie 3.
3. Scharakteryzuj pojęcie pracy mechanicznej. Pole jakiej siły jest zachowawcze? Sformułuj: a) twierdzenie o pracy i energii kinetycznej, b) twierdzenie o pracy i energii potencjalnej, c) zasadę zachowania energii mechanicznej (12 pkt.). Podaj definicje oraz znaczenie zastosowanych w odpowiedzi pojęć, symboli i wielkości fizycznych. Przytoczenie wzorów bez opisów/komentarzy/definicji będzie oceniane na 0 pkt.!!!
Przykładowe wzorce odpowiedzi
1 pkt
5
2 pkt
2 pkt
2 pkt
6
2 pkt.
1 pkt.
2 pkt.
A) 264 J; (4 pkt.). Przyspieszenie układu 20/4,2 = 4,7619 m/s2; siła F=9,9⋅ 4,7619 = 47,1429; praca siły wynosi 5,6⋅47,1429 = 264 J
7
B) Poszukiwane równanie ma postać
mgd=mg(L+x) = kx2/2, gdzie x jest wydłużeniem liny; szukana głębokość skoku d = L+x
− za podanie postaci 4 pkt,
za wyjaśnienie sensu fizycznego otrzymanego równania 2 pkt.
Po podstawieniu danych mamy 280(15+x)=75x2 i 75x2 − 280x − 4200. Wyróżnik ∆ = 1 338 400, ∆1/2=1156,8924, dodatni pierwiastek ma wartość x ≈ 9,58, więc głębokość skoku d = L+x ≈ 24,58 m (3 pkt.):
C) Siła oddziaływania grawitacyjnego wydrążonej kuli na masę m jest równa różnicy oddziaływania pełnej kuli o masie M odległej o d od m pomniejszonej o oddziaływanie grawitacyjne masy M/8 kuli odległej od m o d – R/2 , co prowadzi do wzoru GMm{1/d2−1/[8(d−R/2)2]} (4 pkt.)
D) –10GM2(1/3+1/4), (6 pkt.). Należy skorzystać z tw. o pracy i en. potencjalnej.
Grawitacyjna energia potencjalna na początku układu 3 ciał wynosiła E0 = −GM2(1/0,3+1/0,4+1/0,5)
Grawitacyjna energia potencjalna układu 2 ciał wynosiła E= −GM2/0,5 Zatem szukana praca
W= −( E − E0) = −GM2(1/0,3+1/0,4)= −10GM2(1/3+1/4) =
−10GM2(1/3+1/4) = −35GM2/6= −5,8(3)GM2.
8
Zagadnienie 4.
Opisz dynamikę ruch harmonicznego prostego.
Przytoczenie równania ruchu w postaciach m⋅a = −k⋅x lub a +(k/m)⋅x = 0, a + ω2⋅x = 0, jego rozwiązania x(t)=x0⋅sin(ωt+φ) wraz z komentarzem i związków ω2=k/m, T=2π/ω itp.
6 pkt.
Podaj definicję ruchu falowego. Falą nazywamy zaburzenie stanu równowagi ośrodka, które rozchodzi się w tym ośrodku czemu towarzyszy transport/przenoszenie energii w ośrodku.4 pkt.
Nadaj sens fizyczny równaniu fali sinusoidalnej poprzecznej y(x,t) = y0⋅sin(ω⋅t – k⋅x) rozchodzącej się w naciągniętej strunie. Wielkość y(x,t) określa wartość wychylenia (wywołanego falą) z położenia równowagi punktów ośrodka odległych o x od źródła w chwili czasu t plus pełne wyjaśnienie użytych symboli6 pkt.
A) 15 m/s; (4 pkt.), z postaci danej fali wynika, że ω = 30 s-1 i k = 2 m-1.
Więc prędkość fali c = ω / k = 30 s-1 / 2 m-1 = 15 m/s.
Gęstość liniowa struny wynosi 2,8⋅10-4 kg/m.
B) 0,063 N; (4 pkt.), ze związku c = (N/ρ)1/2 wyznaczamy naprężenie struny N = c2⋅ρ = 152 (m/s)2 2,8⋅10-4 kg/m =0,063 N
C) ≈0,76 mW; (5 pkt.), średnia intensywność tej fali jest równa J = ρc(vmax)2/2, gdzie vmax maksymalna prędkość ruchu harmonicznego cząsteczek ośrodka równa iloczynowi amplitudy fali i ω, więc
J = 2,8⋅10-4 kg/m⋅ 15 m/s(0,02 m ⋅30 s-1 )2/2 ≈0,000756 mW;
D) 2π(2R/g)1/2, 5 pkt. Z tw. Steinera moment bezwładności obręczy względem punktu zawieszenia wynosi I = 2M⋅ R2, okres drgań wahadła fizycznego
T=2π(I/Mgd)1/2 , co w naszym przypadku wiedzie do
T=2π(2M⋅ R2/MgR)1/2=2π(2R/g)1/2
9
Zagadnienie 5
5. Podaj/wymień i scharakteryzuj/opisz: a) II zasadę termodynamiki oraz jej statystyczną interpretację,
2 PKT. Wzorcowa odpowiedź dotycząca II zasady termodynamiki zaczerpnięta z podręcznika HRW lub równoważna poniższej
6 PKT. Wzorcowa odpowiedź dotycząca interpretacji statystycznej II zasady termodynamiki S = k ln W, gdzie W jest wagą statystyczną/prawdopodobieństwo termo- dynamiczne, tj. liczbą mikrostanów realizujących dany mikrostan. Stałość entropii Izo- lowanego układu interpretujemy jako przebywanie układu makroskopowego w stanie równowagi, który jest realizowany z największym prawdopodobieństwem termody- namicznym (waga statystyczna takiego stanu jest największa). Jest zgodna z III zasada termodynamiki stwierdzającą, że S (T=0K)= 0.
b) funkcja rozkładu Maxwella oraz jej fizyczną interpretację udzielając pisemnej odpowiedzi na pytanie: Co określa całka oznaczona z funkcji rozkładu Maxwella f(v) liczona na przedziale (V1, V2)?
8 PKT. Funkcja rozkładu Maxwella to funkcja rozkładu wartości prędkości cząsteczek/atomów gazu doskonałego przy danej temperaturze gazu. Pozwala wyznaczać prawdopodobieństwo znalezienia atomów gazu posiadających wartości prędkości w danym przedziale. Całka oznaczona z funkcji rozkładu Maxwella f(v) liczona na przedziale (V1, V2) określa z jednej strony ułamek całkowitej liczby atomów gazu doskonałego, których wartości prędkości leżą w przedziale całkowania a z drugiej jest to jednocześnie prawdopodobieństwo znalezienia atomu/atomów o prędkościach należących do przedziału (V1, V2)
A) Va = 0,747 i Vb = 1,494 (w SI) . Liczymy z równania Clapeyrona Va=nRTa/pa= 0,747 m3, 1 pkt
Va/ Ta = Vb/ Tb = Vb/ Tc więc Tc Va/ Ta = Vb= 2 Va = 1,494 m3 1 pkt
10 B) (600; 1,494); trywialny wynik za 1 pkt..
C) (0,747; 2⋅⋅⋅⋅104); (w SI) (2 pkt.) przemiana b→c jest izotermiczna pa Vb= 2pa Vc
więc Vb/2= Vc = 0,747 m3.
D) (0,3735; 2⋅⋅⋅⋅104); (w SI) (2 pkt.); przemiana . c→d jest izobaryczna, zatem Vc/ Tc = Vd/ Td i 0,747/600= Vd/300
Vd = 0,3735 m3.
E) 9R(ln2)/2; (3 pkt.):Wykorzystując wzór
końc. końc.
pocz. pocz.
RlnV VlnT
S n C
V T
∆ = +
.
otrzymujemy dla a→b→c kolejno n[Rln(Vc/Va) +1,5Rln(Tc/Ta)] i zmiana entropii 3R[ln(1) +1,5ln(2)] = 9R(ln2)/2
Powyżej szkic w zmiennych (V, P) cyklu z naniesionymi kierunkami zachodzenia przemian i za w pełni opisany diagram. (6 pkt.)
W. Salejda, K. Tarnowski Wrocław, 7 lutego 2011 r.
P
V 2Va
Va
0,5Va 2Pa
Pa a b
c d
