1. Geodetyki w geomerii Schwarzschilda. Równania geodezyjnej w parametryzacji anicz- nej mo»na otrzyma¢ z zasady wariacyjnej dla lagran»janu L = (1/2)g αβ ˙x α ˙x β . Dla metryki Schwarzschilda mamy:

Zadania na poniedziaªek, 12 grudnia 2016

1. Geodetyki w geomerii Schwarzschilda. Równania geodezyjnej w parametryzacji anicz- nej mo»na otrzyma¢ z zasady wariacyjnej dla lagran»janu L = (1/2)g αβ ˙x ^α ˙x ^β . Dla metryki Schwarzschilda mamy:

L = − 1 2



1 − 2M r



˙t ² + 1 2



1 − 2M r

 −1

˙r ² + 1

2 r ² θ ˙ ² + 1

2 r ² sin ² θ ˙ φ ² . Deniujemy κ = −L i dalej rozwa»amy 2 przypadki:

(a) geodetyki zerowe: L = −κ ≡ 0,

(b) geodetyki czasowe; w parametryzacji czasem wªasnym: L = −κ ≡ −1/2.

Prosz¦ pokaza¢, »e:

(a) Ruch cz¡stek odbywa si¦ w pªaszczy¹nie (tzn. geodetyki le»¡ w pªaszczy¹nie). Wskazów- ka: skorzysta¢ z równania Lagrange-Eulera dla θ z warunkami pocz¡tkowymi (θ, ˙θ) = (π/2, 0) .

(b)

E =



1 − 2M r



˙t oraz J = r ² φ ˙

s¡ caªkami ruchu. Wskazówka: skorzysta¢ z równa« Lagrange-Eulera dla t oraz φ.

(c) Korzystaj¡c z punktu (b) pokaza¢, »e ˙r speªnia równanie:

1

2 ˙r ² + V (r) = 1

2 E ² , gdzie V (r) = 1 2



1 − 2M r

  J ² r ² + 2κ

 ,

a wi¦c ruch radialny jest opisany takim samym rówaniem jak ruch dla cz¡stki o jednost- kowej masie i energii E ² /2 w potencjale V (r) w mechanice klasycznej.

(d) Naszkicowa¢ funkcj¦ V (r), przedyskutowa¢ zale»no±¢ od warto±ci κ i J.

2. Korzystaj¡c z wyników zadania 1 prosz¦ wyliczy¢ k¡t, o jaki zakrzywia si¦ trajektoria fotonu w geometrii Schwarzschilda. Wskazówki:

(a) Zdeniowa¢ parametr b = J/E i pokaza¢, »e dla b > b c = 3 √

3M trajektoria fotonu nadlatuj¡cego z daleka ma punkt zwrotny w r = r 0 ; znale¹¢ zwi¡zek pomi¦dzy b i r 0 . (b) Prosz¦ pokaza¢, »e trajektoria takiego fotonu speªnie równanie

dφ dr = J

r ²



E ² − J ² r ²



1 − 2M r

 −1/2

. (c) Zdeniowa¢ k¡t ugi¦cia fotonu jako

δφ = 2 Z ∞

r

dφ

dr dr − π - uzasadni¢ t¡ denicj¦.

(d) W powy»szej caªce zamieni¢ zmienne caªkowania na x = r 0 /r a nast¦pnie, rozwiajaj¡c wyra»enie podcaªkowe w pierwszym rz¦dzie w maªym parametrze ε = 2M/r 0 , pokaza¢

»e

δφ = 4M

r ₀ + O  2M r ₀

 2 ! .

3. Korzystaj¡c z wyniku poprzedniego zadania prosz¦ wyliczy¢ ugi¦cie dla fotonu ±lizgaj¡cego si¦ po powierzchni Sªo«ca.

(G/c ² = 0.74 × 10 ⁻²⁸ cm/g, M  = 2 × 10 ³³ g).

4. Korzystaj¡c z wyników zadania 1 wyliczy¢ precesj¦ peryhelim Merkurego. Wskazówki:

(a) Pokaza¢, »e trajektoria planety obiegaj¡cej Sªo«ce speªnia równanie dφ

dr = J r ²

 E ² −



1 − 2M r

  J ² r ² + 1

 −1/2

. (b) Caªki ruchu (E i J) wyrazi¢ przez parametry orbity:

2¯ r = (r − + r ₊ ) oraz 1 d = 1

r −

+ 1 r +

,

gdzie r − i r + s¡ radialnymi wspóªrz¦dnymi peryhelium i aphelium orbity. Otrzyma- ne wyra»enia rozwin¡¢ w maªym parametrze ε = 2M/d z dokªadno±ci¡ O (ε ³ ) (tzn.

zaniedba¢ wyrazy ε ³ )

(c) Zdeniowa¢ k¡t precesji peryhelium planety na jeden obieg dookoªa Sªo«ca (tzn. od jednego peryhelium do drugiego) i wyliczy¢ precesj¦ z dokladno±ci¡ O (ε ² ) .

(d) Wyliczy¢ precesj¦ peryhelium Merkurego dla jednego obiegu dookoªa Sªo«ca. Porówna¢

z wynikami obserwacji.